角的概念的推广练习题
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角.①正角:习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角.例如,画出下列各角:,,.2.在直角坐标系中讨论角:①角的顶点在原点,始边在轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角.二、终边相同的角的集合设表示任意角,所有与终边相同的角,包括本身构成一个集合,这个集合可记为.集合的每一个元素都与的终边相同,当时,对应元素为.例如,如图,角、角和角都是以射线为终边的角,它们是终边相同的角.特别提醒:为任意角,“”这一条件不能漏;与中间用“”连接,可理解成;当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差的整数倍.终边不同则表示的角一定不同.三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角,如.终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角,显然区域角包括无数个区间角.2.区域角的写法(1)若角的终边落在一个扇形区域内,写区域角时,先依逆时针方向由小到大写出一个区间角,然后在它的两端分别加上“”,右端末注明“”即可.(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内,写区域角时,可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角,在此区间角的两端分别加上“”,右端末注明“”即可.例如,求终边落在图中阴影内(包括边界)的角的集合,可先求落在第一象限内的区间角,故终边落在图中阴影内(包括边界)的角的集合为.3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限,求的终边所在象限.1.代数法由的范围求出的范围.通过分类讨论把写成的形式,然后判断的终边所在的象限.2.几何法画出区域:将坐标系每个象限等分,得个区域.标号:自轴正向起,沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、,如图所示(此时).确定区域:找出与角的终边所在象限标号一致的区域,即为所求.题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中,正确的是()A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③锐角一定是第一象限的角;④小于的角一定是锐角;⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.设集合,,则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是()A.-150°B.680°C.220°D.320°2.写出终边在图中直线上的角的集合.3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.4.下列各组中,终边相同的角是()A.和()B.和C.和D.和5.若角与的终边关于轴对称,且,则所构成的集合为.6.与2021°终边相同的最小正角是.7.写出角的终边在阴影中的角的集合.题型三象限角的定义1.在,,,,这五个角中,属于第二象限角的个数是()A.2B.3C.4D.52.若是第四象限角,则一定是第几象限角?3.已知,则所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第一或第二象限D.第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角,则所在的象限是()A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限2.已知θ为第二象限角,那么是()A.第一或第二象限角B.第一或四象限角C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角3.若是第二象限角,则,是第几象限角?弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量,度的角等于周角的,这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制①弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.②弧度制定义:以弧度作为单位来度量角的单位制.记法:用符号表示,读作弧度.特别提醒:(1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“”可以略去不写,只写这个角对应的弧度数即可,如角可写成.而用度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法:度数弧度数;弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表:【注意】①在同一问题中,角度制与弧度制不能混用;②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系,所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示,如,但角度制表示的角的范围一般不用区间表示,即不用表示,因为区间表示的是数集,但角度数不是实数.三、弧长公式、扇形面积公式如图,设扇形的半径为,弧长为,圆心角为.1.弧长公式:.注意:在应用弧长公式时,要注意的单位是“弧度”,而不是“度”,如果一直角是以“度”为单位的,则必须先把它化为以“弧度”为单位,再代入计算.2.扇形面积公式:.3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径,是圆心角的角度数是扇形的半径,是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是?(用弧度制表示)2.若四边形的四个内角之比为,则四个内角的弧度数依次为.3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图,用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角.6.若θ=-3rad,则θ的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为,中心角为的角所对的弧长为()A.B.C.D.2.已知扇形的面积为,扇形圆心角的弧度数是,则扇形的周长为()A.2B.4C.6D.83.已知扇形的周长为,圆心角为,则扇形的面积为?4.一个扇形的弧长与面积都是,则这个扇形圆心角的弧度数为()A.B.C.D.5.已知弧度的圆心角所对的弦长为,那么,这个圆心角所对的弧长是()A.B.C.D.6.半径为,圆心角为的扇形的弧长为()A.B.C.D.7.设扇形的弧长为,半径为,则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为,面积为,则扇形圆心角的弧度数为?。
(完整word版)角的概念的推广练习题
1、下列说法正确的是( )A 第一象限的角一定是锐角B 锐角一定是第一象限角C 、小于90︒的角一定是锐角D 第一象限的角一定是正角2、-50︒角是( )角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、与330︒角终边相同的角是( )A-60︒ B390︒ C-390︒ D-45︒4、)(30360Z k k ∈-•︒︒所表示的角是( )角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限5、设∂是第二象限角,则2∂是( )角A 一或三象限角B 二或四象限角C 一或二象限角D 二或三象限角6.在0-360︒内,与角︒-1770终边相同的角是( )A210︒ B ︒150 C ︒60 D30︒7、已知下列各角:︒︒︒︒--495,180,240,120,其中第二象限角是( )A ︒︒--240,120B ︒︒-180,120C ︒︒-180,240D ︒︒-495,2408、下列各组角中,终边相同的是( )A ︒︒690,390B ︒︒-750,330C ︒︒-420,480D ︒︒-840,30009、终边在第二象限的角的集合可以表示为:( )A .{α∣90°<α<180°}B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z }C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z }D.{α∣-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}10、把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是()A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360°11、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________.12、终边落在x轴上的角的集合为13、终边落在y轴上的角的集合为14、终边落在坐标轴上的角的集合为15、终边落在一、三象限角的平分线上的角的集合为16终边落在象限的角平分线上的角的集合为。
角的概念的推广2
角的记法 “旋转”定义角之后,角的范围扩大了。 1、角有正负之分
如 : 300 , 190 , 660
2、角可以任意大
体操动作:转体2周(720°),转体3周(1080°) 3、零角 (一条射线没有旋转)
2、“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系内 来讨论角: 使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴 的非负半轴重合,角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限的角。
例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并把S中在-360°~720°间的角写出来: ⑴120° ⑵-36° 解:⑴ S={a|a=120°+k· 360°,k∈Z} S中在-360°~720°间的角是 -1×360° +120°=-240° 0×360° +120°= 120° 1×360° +120°= 480° ⑵S={a|a=-36°+k· 360°,k∈Z} S中在-360°~720°间的角是-36°,324°,684°
y
O
注:角的终边落在坐标轴 上,则此角不属于任何一 x 个象限。
是第一象限角, 是第二象限角, 不是象限角.
3、终边相同的角
观察:图⑴中哪些角的终边相同? 图⑵中哪些角的终边相同?
思考:终边相同的角有什么关系?
图⑴中390°,-330°,30°的终边相同且有如 下关系:
390°=30°+360° -690°=30°-2×360°
-330°=30°-360° ……
结论:所有与a终边相同的角连同a在内可 以构成一个集合: | = +k 360 , k Z } S={ 注意:⑴k∈Z, ⑵a是任意角,
⑶ k· 360°与a之间是“+” ⑷终边相同的角不一定相等, 但相等的角终边相同, 终边相同的角有无数多个,它们的差是 360°的整数倍。
角的概念的推广
4.1 角的概念的推广高考试题1.(2005年全国卷三)已知α为第三象限角,则2α所在的象限是(D )A .第一或第二象限B .第二或第三象限C .第一或第三象限D .第二或第四象限提示:方法一,特殊值方法可以帮助确定,如令0240α=和0120α=-,可得01202α=或0602α=-,故选D ;方法二,由已知000(21)180(21)18090k k α+⋅<<+⋅+(k ∈Z ),则可得000(21)90(21)90452k k α+⋅<<+⋅+,对k 为奇、偶数讨论得D .训练试题1.在下列各组中,终边不相同的一组是(D )A .600和0300-B .2300和9500C .10500和030-D .10000和800提示:D 中两角的差为9200不是3600的整数倍.2.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于900的角},则下列关系中正确的是(D ) A .A=B=CB .A ⊂≠CC .A C=BD .B C=C提示:锐角是小于900的正角,∴B ⊂≠C ,∴B C=C .3.若α是第四象限的角,则0180α-一定是(C ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角提示:设0360k αβ=+⋅,其中00(90,0)β∈-,则000180180360k αβ-=-+⋅,它与0180β-有相同的终边,而0180180270β<-<,故选C.4.若角、αβ满足009090αβ-<<<,则(A ) A .01800αβ-<-< B .009090αβ-<-< C .0900αβ-<-< D .0180180αβ-<-<提示:由不等式的运算性质得.5.已知角α终边上的一点P (,0)(0)b b <,则α是(D ) A .第二象限角 B .第三象限角C .第二或第三象限角D .不属于任何象限的角提示:点P 在x 轴的负半轴上,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限,故选D.6.若角、αβ满足009090αβ-<<<,则2βα-是(A )A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角提示:由已知000902βα-<<,故选A .7.将0885-化为000360(0360,k k αα+⋅≤<∈Z )的形式是(A ) A 、1950+0(3)360-⋅ B 、1650+0(3)360-⋅C 、1950+0(2)360-⋅D 、-1650+0(2)360-⋅提示:可以逐一计算比较得,也可以用待定系数方法求.8.下列各角中与030-有相同终边的角是(D ) A .0330-B .0990C .0630-D .01830-提示:0001830(5)360(30)-=-⨯+-.9.和463-。
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解一、选择题1.(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0,则α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角[答案] C[解析] ∵sin α<0,∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上, ∵tan α>0,∴α为第一、三象限角, ∴α为第三象限角.2.(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ={(x ,y )|y =sin x },集合B ={(x ,y )|y =tan x },则A ∩B =( )A .{(0,0)}B .{(π,0),(0,0)}C .{(x ,y )|x =k π,y =0,k ∈Z }D .∅ [答案] C[解析] 函数y =sin x 与y =tan x 图象的交点坐标为(k π,0),k ∈Z .3.(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π [答案] B[解析] 由条件知,cos α=sin 2π3=sin π3=32, sin α=cos 2π3=-cos π3=-12,∴角α为第四象限角,∴α=2π-π6=11π6,故选B.4.(2010·山东师大附中模拟)cos ⎝⎛⎭⎫-523π=( ) A .-12B .-32C.12D.32[答案] A[解析] cos ⎝⎛⎭⎫-52π3=cos 52π3=cos ⎝⎛⎭⎫17π+π3 =-cos π3=-12.5.(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (-4a,3a )(a <0),则sin α的值为( ) A.35 B .-35C.45D .-45[答案] B[解析] ∵a <0,∴r =(-4a )2+(3a )2=-5a , ∴sin α=3a r =-35,故选B.6.(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )=sin x 在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-1,f (b )=1,则cos a +b2=( )A .0 B.22C .-1D .1[答案] D[解析] 由条件知,a =-π2+2k π (k ∈Z ),b =π2+2k π,∴cos a +b 2=cos2k π=1.7.(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列,若a 1+a 5+a 9=π,则cos(a 2+a 8)的值为( ) A .-12B .-32C.12D.32[答案] A[解析] 由条件知,π=a 1+a 5+a 9=3a 5,∴a 5=π3,∴cos(a 2+a 8)=cos2a 5=cos 2π3=-cos π3=-12,故选A.8.(2010·衡水市高考模拟)设a =log 12tan70°,b =log 12sin25°,c =log 12cos25°,则它们的大小关系为( )A .a <c <bB .b <c <aC .a <b <cD .b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>cos25°>sin25°>0,log 12x 为减函数,∴a <c <b .9.(2010·北京西城区抽检)设0<|α|<π4,则下列不等式中一定成立的是( )A .sin2α>sin αB .cos2α<cos αC .tan2α>tan αD .cot2α<cot α[答案] B[解析] 当-π4<α<0时,A 、C 、D 不成立.如α=-π6,则2α=-π3,sin2α=-32,sin α=-12,-32<-12,tan2α=-3,tan α=-33,cot2α=-33,cot α=-3,而-3<-33,此时,cot2α>cot α.10.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )A .1B .2680C .2010D .1340[答案] C[解析] ∵f (n )=2sin ⎝⎛⎭⎫n π3+π2+1=2cos n π3+1.由S =S +f (n )及n =n +1知此程序框图是计算数列a n =2cos n π3+1的前2010项的和.即S =⎝⎛⎭⎫2cos π3+1+⎝⎛⎭⎫2cos 2π3+1+⎝⎛⎭⎫2cos 3π3+1+…+⎝⎛⎭⎫2cos 2010π3+1 =2⎝⎛⎭⎫cos π3+cos 2π3+cos 3π3+…+cos 2010π3+2010=2×335×cos π3+cos 2π3+cos 3π3+cos 4π3+cos 5π3+cos 6π3+2010=2010.二、填空题11.(2010·南京调研)已知角α的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35,则x 的值为________.[答案] 10[解析] 根据题意知tan α=-6x =-35,所以x =10.12.已知△ABC 是锐角三角形,则点P (cos B -sin A ,tan B -cot C ),在第________象限. [答案] 二[解析] ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A <π2,0<B <π2,0<C <π2,且A +B >π2,B +C >π2,∴π2>A >π2-B >0,π2>B >π2-C >0, ∵y =sin x 与y =tan x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上都是增函数, ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2-B ,tan B >tan ⎝⎛⎭⎫π2-C , ∴sin A >cos B ,tan B >cot C ,∴P 在第二象限.13.在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______. [答案] (π4,5π4)[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知,在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为(π4,5π4).[点评] 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用.14.(文)(2010·上海嘉定区模拟)如图所示,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α,35,则cos α-sin α=________. [答案] -75[解析] 由条件知,sin α=35,∴cos α=-45,∴cos α-sin α=-75.(理)(2010·北京延庆县模拟)直线y =2x +1和圆x 2+y 2=1交于A ,B 两点,以x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α,OB 为终边的角为β,则sin(α+β)=________.[答案] -45[解析] 将y =2x +1代入x 2+y 2=1中得,5x 2+4x =0,∴x =0或-45,∴A (0,1),B ⎝⎛⎫-45,-35,故sin α=1,cos α=0,sin β=-35,cos β=-45, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-45.[点评] 也可以由A (0,1)知α=π2,∴sin(α+β)=sin ⎝⎛⎭⎫π2+β=cos β=-45. 三、解答题15.已知角α终边经过点P (x ,-2)(x ≠0),且cos α=36x .求sin α+1tan α的值. [解析] ∵P (x ,-2)(x ≠0), ∴点P 到原点的距离r =x 2+2. 又cos α=36x ,∴cos α=x x 2+2=36x . ∵x ≠0,∴x =±10,∴r =2 3.当x =10时,P 点坐标为(10,-2), 由三角函数的定义,有sin α=-66,1tan α=-5, ∴sin α+1tan α=-66-5=-65+66;当x =-10时,同理可求得sin α+1tan α=65-66.16.(文)已知sin θ、cos θ是方程x 2-(3-1)x +m =0的两根. (1)求m 的值; (2)求sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ的值.[解析] (1)由韦达定理可得⎩⎨⎧sin θ+cos θ=3-1 ①sin θ·cos θ=m ② 由①得1+2sin θ·cos θ=4-2 3.将②代入得m =32-3,满足Δ=(3-1)2-4m ≥0,故所求m 的值为32- 3.(2)先化简:sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ=sin θ1-cos θsin θ+cos θ1-sin θcos θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=cos 2θ-sin 2θcos θ-sin θ=cos θ+sin θ =3-1.(理)已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根为sin θ和cos θ,且θ∈(0,2π), (1)求sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ的值;(2)求m 的值;(3)求方程的两根及此时θ的值. [解析] (1)由韦达定理可知⎩⎨⎧sin θ+cos θ=3+12①sin θ·cos θ=m 2②而sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=sin θ+cos θ=3+12; (2)由①两边平方得1+2sin θcos θ=2+32,将②代入得m =32; (3)当m =32时,原方程变为 2x 2-(1+3)x +32=0,解得x 1=32,x 2=12, ∴⎩⎨⎧sin θ=32cos θ=12或⎩⎨⎧sin θ=12cos θ=32又∵θ∈(0,2π),∴θ=π6或π3.17.周长为20cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为r ,弧长为l ,则l +2r =20, ∴l =20-2r ,S =12rl =12(20-2r )·r =(10-r )·r , ∴当r =5时,S 取最大值.此时l =10,设卷成圆锥的底半径为R ,则2πR =10, ∴R =5π,∴圆锥的高h =52-⎝⎛⎭⎫5π2=5π2-1π,V =13πR 2h =π3×⎝⎛⎭⎫5π2·5π2-1π=125π2-13π2.。
角的概念的推广(1)
衡山县始边
A
锐角
直角
钝角
╭╮
平角
周角
B 终边 O 终边 C
正角:按逆时针方向旋转而成的角;
α 始边 β A
负角:按顺时针方向旋转而成的角; 零角:射线没有旋转时的角。 ∠AOB=1350 ∠AOC=
- 1350
B β γ α O C δ D
A P
αA β O
O B A
O
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
B
O
B
O
B
O
A
A
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
BB
O O
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
α1 =1 ×3600 + 600 =4200
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
从终边位置来看,任何一个角α 的终边总能与
00 ~ 3600 范围内的一个正角γ的终边重合,而且任 何角α总能表示为: α=k × 3600 + γ,k ∈Z, 00≤γ<3600
α=450
β=α+2 × 3600=450+7200=7650
B
O
P A
O βα
α= -450
P
A
β=α-2 × 3600= -450-7200= -7650
[练习1]说出下图中角α的大小
角的概念的推广与任意角的三角函数随堂练习(含答案)
角的概念的推广与任意角的三角函数基础巩固强化1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0,则角A 的终边一定落在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知,cos A <0,所以角A 的终边一定落在第二象限.选B.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0,且cos αtan α<0,则角α是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第三角限角D .第四象限角 [答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可. 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角. 由cos αtan α<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角. 综上可知,α为第三象限角.2.(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π[答案] B[解析] 由条件知,cos α=sin 2π3=sin π3=32, sin α=cos 2π3=-cos π3=-12, ∴角α为第四象限角, ∴α=2π-π6=11π6,故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3,-4cos3),则α等于( )A .3B .-3C .3-π2 D.π2-3[答案] C[解析] ∵π2<3<π,∴cos3<0,∴点P 位于第一象限, ∴tan α=-cos3sin3=sin (3-π2)cos (3-π2)=tan ⎝⎛⎭⎪⎫3-π2, ∵3-π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α=3-π2. 3.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A .5B .2C .3D .4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ,圆心角为α,则有2R +Rα=12R 2α,即2+α=12Rα整理得R =2+4α,由于4α≠0,∴R ≠2.4.已知点P (-3,4)在角α的终边上,则sin α+cos α3sin α+2cos α的值为( )A .-16 B.16 C.718 D .-1[答案] B[解析] 由条件知tan α=-43, ∴sin α+cos α3sin α+2cos α=tan α+13tan α+2=16. 5.(文)设0≤θ<2π,如果sin θ>0且cos2θ>0,则θ的取值范围是( )A .0<θ<3π4 B .0<θ<π4或3π4<θ<π C.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4 [答案] B[解析] ∵0≤θ<2π,且sin θ>0,∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得,2k π-π2<2θ<2k π+π2, 即k π-π4<θ<k π+π4(k ∈Z ).∵0<θ<π, ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是( )A .(π4,π2)B .(π,5π4)C .(3π4,5π4)D .(π4,π2)∪(π,5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α-cos α>0,tan α>0,如图,使sin α>cos α的角α终边在直线y =x 上方,使tan α>0的角α终边位于第一、三象限,又0≤α≤2π,∴π4<α<π2或π<α<5π4.6.(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ=( )A .-45B .-35 C.35 D.45[答案] B[解析] 依题意:tan θ=±2,∴cos θ=±15,∴cos2θ=2cos 2θ-1=25-1=-35或cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-41+4=-35,故选B.(理)函数f (x )=sin x 在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-1,f (b )=1,则cos a +b2=( )A .0 B.22 C .-1 D .1[答案] D[解析] 由条件知,a =-π2+2k π (k ∈Z ),b =π2+2k π,∴cos a +b 2=cos2k π=1.7.(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴正半轴重合,点P (-4m,3m )(m >0)是角α终边上一点,则2sin α+cos α=________.[答案] 25[解析] 由条件知x =-4m ,y =3m ,r =x 2+y 2=5|m |=5m ,∴sin α=y r =35,cos α=x r =-45,∴2sin α+cos α=25.8.(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上的一点,且sin θ=-255,则y =________.[答案] -8[解析] |OP |=42+y 2,根据任意角三角函数的定义得,y42+y2=-255,解得y =±8,又∵sin θ=-255<0及P (4,y )是角θ终边上一点, 可知θ为第四象限角,∴y =-8.9.(文)(2012·南昌调研)已知sin(α+π12)=13,则cos(α+7π12)的值为________.[答案] -13[解析] cos(α+7π12)=cos[(α+π12)+π2]=-sin(α+π12)=-13. (理)如图所示,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α,35,则cos α-sin α=________.[答案] -75[解析] 由条件知,sin α=35, ∴cos α=-45,∴cos α-sin α=-75. 10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点,且A 、B 分别在第一、二象限.C 是圆O 与x 轴正半轴的交点,△AOB 为正三角形.记∠AOC =α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35,45,求sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α的值;(2)求|BC |2的取值范围.[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35,45,∴tan α=43,∴sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α=sin 2α+2sin αcos α2cos 2α-sin 2α=sin 2αcos 2α+2×sin αcos α2-sin 2αcos 2α=tan 2α+2tan α2-tan 2α=169+832-169=20. (2)设A 点的坐标为(cos α,sin α), ∵△AOB 为正三角形,∴B 点的坐标为(cos(α+π3),sin(α+π3)),且C (1,0), ∴|BC |2=[cos(α+π3)-1]2+sin 2(α+π3)=2-2cos(α+π3).而A 、B 分别在第一、二象限, ∴α∈(π6,π2). ∴α+π3∈(π2,5π6), ∴cos(α+π3)∈(-32,0). ∴|BC |2的取值范围是(2,2+3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角,且|sin α2|=-sin α2,则α2是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角,∴α2是第一、三象限角, 又∵sin α2≤0,∴α2是第三象限角,故选C.(理)若α是第三象限角,则y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cos α2的值为( )A .0B .2C .-2D .2或-2 [答案] A[解析] ∵α为第三象限角,∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时,y =1-1=0,当α2为第四象限角时,y =-1+1=0.12.(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,5π4,则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[答案] B [解析]解法1:如图,由单位圆中三角函数线可知,当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4,5π4时,sin θ+cos θ<0,sin θ-cos θ>0.∴复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限.解法2:∵cos θ+sin θ =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4,sin θ-cos θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4,又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,5π4.∴π<θ+π4<3π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4<0. ∵π2<θ-π4<π,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4>0, ∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,5π4时,cos θ+sin θ<0,sin θ-cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a =sin(cos2010°),b =sin(sin2010°),c =cos(sin2010°),d =cos(cos2010°),则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A .aB .bC .cD .d [答案] C[解析] 注意到2010°=360°×5+180°+30°,因此sin2010°=-sin30°=-12,cos2010°=-cos30°=-32,-π2<-32<0,-π2<-12<0,0<12<32<π2,cos 12>cos 32>0,a =sin(-32)=-sin 32<0,b =sin(-12)=-sin 12<0,c =cos(-12)=cos 12>0,d =cos(-32)=cos 32>0,∴c >d ,因此选C.[点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合训练.13.已知角θ的终边上有一点M (3,m ),且sin θ+cos θ=-15,则m 的值为________.[答案] -4[解析] r =32+m 2=m 2+9, 依题意sin θ=m m 2+9,cos θ=3m 2+9,∴m m 2+9+3m 2+9=-15.即m +3m 2+9=-15,解得m =-4或m =-94,经检验知m =-94不合题意,舍去. 故m =-4.14.(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点,则sin α=255; (2)若α>β且α、β都是第一象限角,则tan α>tan β; (3)若θ是第二象限角,则sin θ2cos θ2>0; (4)若sin x +cos x =-75,则tan x <0. 其中正确命题的序号为________. [答案] (3)[解析] (1)取a =1,则r =5,sin α=25=255; 再取a =-1,r =5,sin α=-25=-255,故(1)错误.(2)取α=2π+π6,β=π3,可知tan α=tan π6=33,tan β=3,故tan α>tan β不成立,(2)错误.(3)∵θ是第二象限角,∴sin θ2cos θ2=12sin θ>0,∴(3)正确. (4)由sin x +cos x =-75<-1可知x 为第三象限角,故tan x >0,(4)不正确.(理)直线y =2x +1和圆x 2+y 2=1交于A ,B 两点,以x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α,OB 为终边的角为β,则sin(α+β)=________.[答案] -45[解析] 将y =2x +1代入x 2+y 2=1中得,5x 2+4x =0,∴x =0或-45,∴A (0,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,-35,故sin α=1,cos α=0,sin β=-35,cos β=-45,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-45. [点评] 也可以由A (0,1)知α=π2,∴sin(α+β)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+β=cos β=-45. 15.在平面直角坐标系xOy 中,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,cos 2θ在角α的终边上,点Q (sin 2θ,-1)在角β的终边上,且OP →·OQ →=-12.(1)求cos2θ的值; (2)求sin(α+β)的值.[解析] (1)因为OP →·OQ →=-12, 所以12sin 2θ-cos 2θ=-12,即12(1-cos 2θ)-cos 2θ=-12,所以cos 2θ=23, 所以cos2θ=2cos 2θ-1=13.(2)因为cos 2θ=23,所以sin 2θ=13,所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23,点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-1,又点P ⎝⎛⎭⎪⎫12,23在角α的终边上,所以sin α=45,cos α=35.同理sin β=-31010,cos β=1010, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =45×1010+35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010=-1010. 16.周长为20cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积.[解析] 设扇形半径为r ,弧长为l ,则l +2r =20, ∴l =20-2r ,S =12rl =12(20-2r )·r =(10-r )·r , ∴当r =5时,S 取最大值.此时l =10,设卷成圆锥的底半径为R ,则2πR =10, ∴R =5π, ∴圆锥的高h =52-⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2=5π2-1π, V =13πR 2h =π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2-1π=125π2-12.1.(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4,cos 3π4)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0,cos 3π4<0知角θ是第四象限的角,∵tan θ=cos 3π4sin 3π4=-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π4. 2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2 [答案] C[解析] 设圆的半径为R ,由题意可知:圆内接正三角形的边长为3R ,∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR = 3.3.设a =log 12tan70°,b =log 12sin25°,c =log 12cos25°,则它们的大小关系为( )A .a <c <bB .b <c <aC .a <b <cD .b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°=1>cos25°=sin65°>sin25°>0,y =log 12x 为减函数,∴a <c <b .4.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )A .1B .2680C .2010D .1340 [答案] C[解析] ∵f (n )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3+π2+1=2cos n π3+1.由S =S +f (n )及n =n +1知此程序框图是计算数列a n =2cos n π3+1的前2010项的和.即S =⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3+1+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3+1 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3+cos 2π3+cos 3π3+…+cos 2010π3+2010=2×335×cos π3+cos 2π3+cos 3π3+cos 4π3+cos 5π3+cos 6π3+2010=2010.5.已知角α终边经过点P (x ,-2)(x ≠0),且cos α=36x .求sin α+1tan α的值.[解析] ∵P (x ,-2)(x ≠0), ∴点P 到原点的距离r =x 2+2. 又cos α=36x ,∴cos α=x x 2+2=36x .∵x ≠0,∴x =±10,∴r =2 3. 当x =10时,P 点坐标为(10,-2),由三角函数的定义,有sin α=-66,1tan α=-5, ∴sin α+1tan α=-66-5=-65+66; 当x =-10时,同理可求得sin α+1tan α=65-66.。
1.2角的概念推广基础练习题
1.2角的概念推广基础练习题一、单选题1.1000︒是以下哪个象限的角( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.下列各角中,与27︒角终边相同的是( ) A .63︒B .153︒C .207︒D .387︒3.若角α为第二象限角,则角2α为( )象限角A .第一B .第一或第二C .第二D .第一或第三 4.下列说法正确的是( ) A .第一象限角一定小于90︒ B .终边在x 轴正半轴的角是零角C .若360k αβ+=⋅︒(k Z ∈),则α与β终边相同D .钝角一定是第二象限角5.若角α与角β的终边关于y 轴对称,则必有( ) A .90αβ︒+=B .36090()k k Z αβ︒︒+=⋅+∈C .360()k k Z αβ︒+=⋅∈D .(21)180()k k Z αβ︒+=+⋅∈6.下列各角中,与角330°的终边相同的是( ) A .150°B .-390°C .510°D .-150°7.已知集合A ={α|α小于90°},B ={α|α为第一象限角},则A ∩B =( ) A .{α|α为锐角} B .{α|α小于90°} C .{α|α为第一象限角}D .以上都不对8.与角2021︒终边相同的角是( ) A .221°B .2021-︒C .221-︒D .139︒9.若α是第四象限角,则180°+α一定是( ) A .第一象限角 B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角二、填空题 10.若角2θ的终边与4π的终边重合,且3θ∈[0,2)π,则4θ=_______________.11.2020是第______象限角.12.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈________.13.终边在x 轴上的角α的集合是______.14.已知:①1240︒,②300-︒,③420︒,④1420-︒,其中是第一象限角的为_________(填序号).15.在0°到360°范围内与角380°终边相同的角α为________.三、解答题16.若角α是第二象限角,试确定2,2αα的终边所在位置.17.写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.18.如图,分别写出适合下列条件的角的集合.(1)终边落在射线OB 上; (2)终边落在直线OA 上;(3)终边落在阴影区域内(含边界).参考答案1.D 【分析】首先写出终边相同的角的集合,再判断 【详解】10002360280=⨯+,280角的终边在第四象限,所以1000角的终边也是第四象限.故选:D 2.D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合,取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈, 取1k =,可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选:D 【点睛】本小题主要考查终边相同的角,属于基础题. 3.D 【分析】根据α的范围,求出2α的范围即可. 【详解】因为角α为第二象限角, 所以()22,2k x k k Z ππππ+<<+∈, 所以(),422x k k k Z ππππ+<<+∈,当2k n =()n Z ∈时,()22,422x n n n Z ππππ+<<+∈,此时2α是第一象限角;当21k n =+()n Z ∈时,()5322,422x n n n Z ππππ+<<+∈,此时2α是第三象限角; 所以2α是第一或第三象限角,【点睛】本题主要考查了象限角的范围,属于基础题. 4.D 【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案. 【详解】A.第一象限角范围是2k πx 2k π,2k z π<<+,所以不一定小于90°.所以A 错误.B. 终边在x 轴正半轴的角α2k π,k z =.不一定是零角 . .所以B 错误C.若360,k αβ+=⋅︒则360,?k k z αβ=⋅︒-. 则α应与β-终边相同. .所以C 错误D.因为钝角的取值范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,所以钝角一定是第二象限角. .所以D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了任意角的概念,象限角,是基础的概念题. 5.D 【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称,有12129036090360,,k k k k Z αβ,即可得解.【详解】角α与角β的终边关于y 轴对称, 所以12129036090360,,k k k k Z αβ,21129036090360360180k k k k αβ,12,k k Z ∈即360180(21)180,kkkZ αβ,故选:D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系,关键在于准确将对称关系转化成代数6.B 【解析】分析:由终边相同的角的公式,表示出与角330的终边相同的角,再进行验证即可. 详解:与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈, 令2k =-,可得390α=-,故选B.点睛:本题主要考查终边相同的角,考查了终边相同的角的表示方法,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题. 7.D 【分析】先根据题意得出A ∩B ,再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系,这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论. 【详解】解:∵A ={α|α小于90°},B ={α|α为第一象限角}, ∴A ∩B ={小于90°且在第一象限的角},对于A :小于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如﹣30°;对于B :小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°~90°的角,不正确,例如﹣300°; 对于C :第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角,不正确,例如380°, 故选D . 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念,交集及其运算,熟练掌握基本概念是解本题的关键. 8.A 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍,逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221,故A 正确,B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选:A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念,考查了简单的计算,属于概念题,本题属于基础题. 9.B 【分析】通过α是第四象限角,写出其对应角的集合,然后求出180°+α对应角的集合即可得到答案. 【详解】∵α是第四象限角,∴k ·360°-90°<α<k ·360°.∴k ·360°+90°<180°+α<k ·360°+180°. ∴180°+α在第二象限, 故选B. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角,基本知识的考查,深刻理解基本概念是解题的关键. 10.24π或38π 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈,再由3θ的范围确定θ,进而得出4θ.【详解】 由题意可知,2,24k k Z θππ=+∈,则4,363k k Z θππ=+∈ 3θ∈[0,2)π,6πθ=或32πθ=则348θπ=或424θπ= 故答案为:24π或38π【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用,属于基础题. 11.三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣,然后判断α所在的象限,则答案可求. 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒,2020∴︒与220︒角的终边相同,为第三象限角.故答案为三. 【点睛】本题考查了象限角,考查了终边相同的角,是基础题. 12.{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围,根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】 在0360范围内,终边落在阴影内的角α满足:30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为:{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅,k Z ∈,n Z ∈本题正确结果:{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围,重点考查了终边相同的角的定义,属于基础题. 13.{}|,k k Z ααπ=∈ 【分析】直接利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】解:终边在x 轴上的角α的集合是{}|,k k Z ααπ=∈,故答案为:{}|,k k Z ααπ=∈ 【点睛】本题考查了角的终边,属于简单题. 14.②③④ 【分析】利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒,30036060-︒=-︒+︒,42036060︒=︒+︒,1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒,③420︒,④1420-︒是第一象限角, 故答案为:②③④ 【点睛】本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用,属于基础题 15.20° 【详解】与角380°终边相同的角α为380360,()k k Z α=+⋅∈, 又α在0°到360°,所以1,20.k α=-= 【点睛】1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为)22()(0k k Z πααπ+≤<∈的形式,然后再根据α所在的象限予以判断.2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角. 16.角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【分析】写出第二象限角的集合,然后利用不等式的基本性质得到2α,2α.【详解】 ∵角是第二象限角,∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈,(1)4242,k k k Z ππαππ+<<+∈,∴ 角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上. (2),422k k k Z παπππ+<<+∈,当2,k n n Z =∈时, ∴ 22,422n n n Z παπππ+<<+∈,∴2α的终边在第一象限. 当21,k n n Z =+∈时, ∴5322,422n n n Z παπππ+<<+∈, ∴2α的终边在第三象限. 综上所述,2α的终边在第一象限或第三象限.【点睛】本题考查了象限角和轴线角,关键是写出第二象限角的集合,是基础题 17.{β|β=k ·360°-1 910°,k ∈Z };元素β见解析 【分析】把α=-1 910°加上360k ⋅︒可得与α=-1 910°终边相同的角的集合,分别取k =4,5,6,求得适合不等式-720°≤β<360°的元素β. 【详解】与α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k ·360°-1910°,k ∈Z }. ∵-720°≤β<360°,即-720°≤k ·360°-1 910°<360°(k ∈Z ),∴1111363636k ≤< (k ∈Z ),故取k =4,5,6.k =4时,β=4×360°-1910°=-470°; k =5时,β=5×360°-1910°=-110°; k =6时,β=6×360°-1910°=250°. 【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题,涉及到的知识点有终边相同的角的集合,终边确定,落在某个范围内的角的大小的确定,属于简单题目.18.(1){}160360,S k k Z αα==+⋅∈;(2){}230180,S k k Z αα==+⋅∈;(3){}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】(1)可得出终边落在射线OB 上的一个角为60,利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合;(2)可得出终边落在射线OB 上的一个角为30,利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合;(3)分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合,然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】(1)终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈; (2)终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈; (3)终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈,终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈,因此,终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈ {}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示,解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.答案第9页,总9页。
角的概念的推广 (1)
角的概念的推广年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共23题,题分合计115分) 1.下列各角中,与-1050°的角终边相同的角是2.将-885°化为α + k ·360°(0°<α<360°,k ∈Z )的形式是 A.-165°+ (-2)·360° B.195°+ (-3)·360°C. 195°+ (-2)·360°D.165°+ (-3)·360°3.下列命题中正确的是A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等4.若α是锐角,则180°-α是A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角5.在[360°,1440°]中与-21°16′终边相同的角有A.1个B.2个C.3个D.4个6.在[360°,1620°]中与21°16′终边相同的角有A.2个B.3个C.4个D.5个7.角α=45°+k ·180°,k ∈Z 的终边落在A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限8.下列命题中正确的是A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k ·360°(k ∈Z ),则α与β终边相同9.与120°角终边相同的角是A.-600°+k ·360°,k ∈ZB.-120°+k ·360°,k ∈ZC.120°+(2k +1)·180°,k ∈ZD.660°+k ·360°,k ∈Z10.若角α与β终边相同,则一定有A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k ·360°,k ∈ZD.α+β=k ·360°,k ∈Z11.为终边相同的角可以表示则与角若αα,21︒-=12.若α是第四象限角,则180°-α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角13.若α与β的终边互为反向延长线,则有A.α=β+180°B.α=β-180°C.α=-β D .α=β+(2k +1)180°,k ∈Z14.若α是第四象限角,则π-α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角15.与-463°终边相同的角可以表示为(k ∈Z )A.k ·360°+463°B.k ·360°+103°C.k ·360°+257°D.k ·360°-257° 16.下列各对角中终边相同的角是 A.π22π2πk +-和(k ∈Z ) B.-3π和322π C.-9π7和9π11 D.9π1223π20和 17.若α是第四象限角,则π-α一定在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.若α和β的终边关于y 轴对称,则必有A.α+β=2πB.α+β=(2k +21)π,(k ∈Z )C.α+β=2k π,(k ∈Z )D.α+β=(2k +1)π,(k ∈Z )19.命题p :α是第二象限角,命题q :α是钝角,则p 是q 的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件20.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)21.角α的终边与角β的终边关于y 轴对称,则β为A.-αB.л-αC.(2k л+1)л-α(k ∈Z )D.k л-α(k ∈Z )22.集合{}Z ∈︒±︒⋅==k k A ,30180αα,集合{}Z ∈︒⋅-+︒⋅==k k B k ,30)1(180αα,则A.A =BB.A ⊄BC.B ⊄AD.A B B A ⊄⊄且23.终边在直线y =-x 上的角的集合是 A.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,18045αα B.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,180135αα C.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,36045αα D.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,360135αα二、填空题(共12题,题分合计47分) 1.与角-1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .2.若α为锐角,则180°+α在第__________象限,-α在第______________象限.3.若α为锐角,则-α+k ·360°,k ∈Z 在第___________象限.4.第二象限角的集合可表示为___________________.5.角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是___________.6.角α是第二象限角,则180°+α是第象限角;-α是第象限角;180°-α是第________象限角.7.与1840°终边相同的最小正角为 ,与-1840°终边相同的最小正角是 .8.α为第四象限角,则2α在_________________.9.角α=45°+k ·90°的终边在第 象限.10.终边在第一或第三象限角的集合是 .11.今天是星期一,100天后的那一天是星期 ,100天前的那一天是星期 . 12.钟表经过4小时,时针与分针各转了 (填度).三、解答题(共7题,题分合计66分) 1.写出与370°23′终边相同角的集合S ,并把S 中在-720°~360°间的角写出来.2.在直角坐标系中作出角α=60°+k ·180°,k ∈Z ,β=60°+k ·90°,k ∈Z 角的终边.3.写出终边在x 轴上与y 轴上的角的集合.4.在直角坐标系中,作出下列各角(1)360°(2)720°(3)1080°(4)1440°5.已知A ={锐角},B ={0°到90°的角},C ={第一象限角},D ={小于90°的角}.求A ∩B ,A ∪C ,C ∩D ,A ∪D.6.将下列各角表示为α+k ·360°(k ∈Ζ,0°≤α<360°)的形式,并判断角在第几象限.(1)560°24′(2)-560°24′(3)2903°15′(4)-2903°15′(5)3900°(6)-3900°7.设θ为第一象限角,求2θ,2θ,-θ所在的象限.角的概念的推广答案一、选择题(共23题,合计115分)1.2588答案:C2.2589答案:B3.2617答案:C4.2618答案:B5.2622答案:C6.2623答案:C7.2624答案:A8.2628答案:D9.2629答案:A10.2630答案:C11.2587答案:B12.2637答案:C13.2638答案:D14.2981答案:C15.3034答案:C16.3170答案:C17.3173答案:C18.3333答案:D19.3349答案:B20.3352答案:C21.3427答案:C22.2646答案:C23.2647答案:B二、填空题(共12题,合计47分)1.2619答案:240°2.2620答案:三四3.2621答案:四4.2625答案:{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}5.2626答案:{α|α=45°+k·180°,k∈Z}6.2627答案:四三一7.2631答案:40° 320°8.2640答案:第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上9.2641答案:一 二 三 四10.2639答案:{α|k ·180°<α<90°+k ·180°,k ∈Z }11.2632答案:三 六12.2633答案:-120° -1440°三、解答题(共7题,合计66分)1.2642答案:S ={α|α=10°23′+k ·360°,k ∈Z }在-720°~360°之间的角分别是10°23′ -349°37′ -709°37′.2.2643答案:3.2644答案:终边在x 轴上的角的集合是:{}Z ∈︒⋅==n n S ,180ββ. 终边在y 轴上的角的集合是:{}Z ∈︒+︒⋅==k k S ,90180ββ. 4.2634答案:5.2635答案:A ∩B =A A ∪C =C C ∩D ={α|k ·360°<α<90°+k ·360°,k ∈Z ,k ≤0}A ∪D =D6.2636答案:(1)∵560°24′=200°24′+360° ∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限(2)∵-560°24′=159°36′+(-2)·360° ∴-560°24′与159°36′终边相同在第二象限(3)∵2903°15′=23°15′+8·360° ∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限(4)∵-2903°15′=336°45′+(-9)·360° ∴-2903°15′与336°45′终边相同在第四象限(5)∵3900°=300°+10·360° ∴3900°与300°终边相同在第四象限(6)∵-3900°=60°+(-11)·360° ∴-3900°与60°终边相同在第一象限7.2645答案:2θ是第一或第二象限的角,或角的终边在y 轴的正半轴上;2θ是第一象限或第三象限角;-θ是第四象限角.精心整理,仅供参考编辑文案使用,请按实际需求再行修改编辑2020年2月17日。
高一数学角的概念的推广试题
高一数学角的概念的推广试题1.如将分针拨慢10分钟,则分针转过的弧度数是()。
A.B.-C.D.-【答案】A【解析】∵分针转一周为60分钟,转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴分针拨慢10分钟,则分针所转过的弧度数为×2π=【考点】本题主要考查弧度制,集合的关系。
点评:分针转过的角是负角,但这里是将分针拨慢。
2.用弧度制表示,终边落在坐标轴上的角的集合为。
【答案】【解析】终边落在X轴上的角集为{α|α=k•180°,K∈Z};终边落在Y轴上的角集为{α|α=k•180°+90°,K∈Z};即{α|α=2k•90°,K∈Z},{α|α=(2k+1)·90°,K∈Z},所以可化简为{α|α=n•90°,n∈Z},即。
【考点】本题主要考查弧度制,轴线(象限界)角的概念及表示。
点评:注意讨论终边在坐标轴上的各种情况,并注意化简。
3.若,则是第象限角。
【答案】一、三.【解析】因为,所以k=2n时,,是第一象限角;当k=2n+1时,,是第三象限角,故答案为是第一、三象限角。
【考点】本题主要考查弧度制,象限角的概念及表示。
点评:注意讨论k的取值。
4.若,则的范围是。
【答案】【解析】因为,所以,,故。
【考点】本题主要考查弧度制,不等式的性质。
点评:易错题,注意本题限定了。
5.一个半径为R的扇形,若它的周长等于它所在圆的周长的一半,则扇形圆心角的度数为。
【答案】【解析】利用弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。
计算弧长与半径之比得。
【考点】本题主要考查弧度制。
点评:扇形中弧长、半径、弦长等关系相互表示,联系密切,应熟练掌握。
弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。
6.把化成的形式是()A.B.C.D.【答案】D;【解析】除以360,商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1,商为k,余数为,故选D。
【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。
角的概念的推广习题
目录
• 角的基本概念与性质 • 推广至任意角 • 推广至平面内任意角 • 推广至空间任意角 • 习题解析与讨论
01
角的基本概念与性质
角的定义与表示方法
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形,这个共享的端点称为 角的顶点,两条射线称为角的边。
角可以用三个大写字母表示,其中中间的字母表示角的顶点,两边的字 母分别表示角的两条边。例如,角ABC可以表示为∠ABC。
解答过程
由题意可知,角α的终边经过点P(3,4),则 OP=√(3^2+4^2)=5。根据三角函数的定义,我们有 sinα=y/r=4/5,cosα=x/r=3/5。
例题2
已知sinθ=3/5,θ为第二象限角,求cosθ和tanθ的值。
分析
本题考查同角三角函数的基本关系式。根据同角三角函 数的基本关系式,我们可以求出cosθ和tanθ的值。
02
推广至任意角
任意角的定义及表示方法
任意角定义
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形,这两条射线被称为角的边, 共享的端点被称为角的顶点。
表示方法
在平面直角坐标系中,通常用希腊字母(如α、β等)表示角,顶点位于坐标原 点,一条边与x轴正半轴重合,另一条边绕顶点逆时针旋转到终边所形成的角。
任意角的三角函数关系
还有一种表示角的方法是在角的顶点处画一个小弧线,并标上数字或字 母。例如,角A可以表示为∠1或∠A。
角的大小比较和运算
角的大小可以用度数、弧度或其 他度量单位来衡量。在几何学中, 通常使用度数作为角的度量单位。
两个角如果它们的大小相等,则 称它们为等角。等角具有相同的
度数或弧度。
角的运算包括角的加法、减法、 乘法和除法。这些运算遵循与数
高中数学角的概念的推广习题有答案解析
角的概念的推广一、选择题1.下列命题中正确的是( )A.第一象限的角必是锐角B.终边相同的角必相等C.相等角的始边相同时,终边位置必相同D.不相等的角终边位置必不相同2.-1 122°角的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列各组角中,终边相同的角是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.300°与-840°4.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列关系中正确的是( )A.A=B=CB.A⫋CC.A∩C=BD.B∪C=C5.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=()A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}6.已知α为第三象限角,则α所在的象限是( )2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限二、填空题7.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.8.设集合M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},N={β|β=k·45°,k∈Z},则集合M 与集合N的关系是.三、解答题9.求终边在直线y=-x上的角的集合S.10.已知α=-1 910°.(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.11.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求α.一、选择题1.200°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.若α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、解答题3.已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.4.如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.一、选择题1.C 可用排除法,如390°角在第一象限,不是锐角,故排除A;终边相同的角相差360°的整数倍,如390°角与30°角终边相同,但两角不相等,故排除B;390°角与30°角不相等但终边相同,故排除D.故选C.2.D 因为-1 122°=-4×360°+318°,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.3.B 若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,750°=-330°+3×360°.4.D 由题意得A={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},B={α|0°<α<90°},C={α|α<90°},∴B∪C=C.5.C 由-180°<k·90°-36°<180°(k∈Z)得-144°<k·90°<216°(k∈Z),∴-14490<k<21690(k∈Z),∴k=-1,0,1,2,∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C.6.D 由k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得k 2·360°+90°<α2<k 2·360°+135°,k∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角;当k 为奇数时,α2为第四象限角.二、填空题7.答案 30;2.5解析 将时钟拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角度都是正角.这时,分针转过的角度是360°12=30°, 时针转过的角度是30°12=2.5°.8.答案 M ⫋N解析 集合M 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②,不难得出M ⫋N.三、解答题9.解析 因为直线y=-x 是第二、四象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是135°和315°,所以S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.10.解析(1)-1 910°=-6×360°+250°,因为250°角为第三象限角,所以-1 910°角为第三象限角.(2)θ为-110°或-470°.11.解析在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为30°<α<150°或210°<α<330°,所以满足题意的角α={α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}= {α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.一、选择题1.C 200°是第三象限角.2.C 若α是第四象限角,则-α是第一象限角,将-α的终边逆时针转180°到第三象限,故180°-α是第三象限角.二、解答题3.解析如图,集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此集合A∩B={α|30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.4.解析(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.。
高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广(解析版)
第5章 第一节 课时1 角的概念的推广一、单选题1.如图,圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转,10min 转一圈,24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是( )A .864-B .432C .504D .864【答案】D【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转,10min 转一圈, 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=, 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=, 故选:D .2.下列各角中与60终边相同的角是( )A .300-B .240-C .120D .390【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】30060360-=-,24060300-=-,0106602=+,39060330=+, 因此,只有A 选项中的角与60终边相同. 故选:A.3.下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A .37-B .143C .379D .143-【答案】D【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈,然后对k 赋值可得出正确选项.【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅,k Z ∈,当1k =-时,37180143-=-,所以,143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D .【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系,熟悉结论:与角α的终边在同一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈,属于基础题. 4.若角2α与240角的终边相同,则α= A .120360,k k Z +⋅∈ B .120180,k k Z +⋅∈ C .240360,k k Z +⋅∈ D .240180,k k Z +⋅∈【答案】B【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈,由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同,所以()2240360k k Z α=+⋅∈, 则120180k α=+⋅,k Z ∈. 故选B.【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系,考查计算能力,属于基础题. 5.若角αβ、的终边相同,则αβ-的终边在. A .x 轴的非负半轴上 B .x 轴的非正半轴上 C .y 轴的非负半轴上 D .y 轴的非正半轴上 【答案】A【分析】可用终边相同的公式表示,αβ,再作差根据范围判断即可【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈,则()122,k k k Z -=-∈αβπ,终边在x 轴的非负半轴上 故选A【点睛】本题考查任意角的概念,终边相同的角的表示方法,属于基础题 6.如果角α的终边上有一点()0,3P -,那么α A .是第三象限角 B .是第四象限角 C .是第三或第四象限角 D .不是象限角 【答案】D【分析】根据点P 的位置,可判断出角α终边的位置.【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上,即角α的终边落在y 轴的非正半轴上,所以α不是象限角. 故选D.【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置,考查对任意角概念的理解,属于基础题.7.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是A .90α︒-B .90α︒+C .360α︒-D .180α︒+【答案】C【详解】分析:由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解:若α是第一象限角,则:90α︒-位于第一象限, 90α︒+位于第二象限, 360α︒-位于第四象限, 180α︒+位于第三象限,本题选择C 选项.点睛:本题主要考查象限角的概念,意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 8.已知角2α是第一象限角,则α的终边位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第一或第二象限D .第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【答案】D【分析】由象限角可得到角2α的范围,进而可求得α的范围,即可得出α的终边所在位置. 【详解】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上. 故选:D.【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.9.集合(){}180190,nA x x n n Z ==⋅+-⋅∈与{}36090,B x x m m Z ==⋅+∈之间的关系是 A .ABB .B AC .A B =D .A B =∅【答案】C【分析】对集合A 中的整数n 分偶数和奇数两种情况讨论,并将集合A 中的等式化简,由此可判断出集合A 与集合B 之间的关系.【详解】对于集合A ,当n 为偶数时,设()2n k k Z =∈,()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+;当n 为奇数时,设()21n k k Z =+∈,()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+.所以,集合{}36090,A x x k k Z ==⋅+∈,因此,A B =. 故选C.【点睛】本题考查角的两个集合之间包含关系的判断,解题的关键就是对整数n 进行分类讨论,并将集合A 中的等式化简,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 10.若角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈,中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( ).A .B .C .D .【答案】C【分析】分k 为偶数和奇数讨论,即可容易判断选择. 【详解】当k 取偶数时,2,k n n Z =∈,2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈,故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时,21,k n n Z =+∈,532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈, 故角的终边在第三象限. 故选:C.【点睛】本题考查图形中阴影部分对应角度的集合,属简单题.二、多选题11.(多选)下列四个选项中正确的是( ) A .-75°角是第三象限角 B .225°角是第二象限角 C .475°角是第二象限角 D .-315°是第一象限角【答案】CD【分析】根据象限角的定义结合图像逐一判断即可得出答案.【详解】解:对于A ,如图1所示,-75°角是第四象限角,故A 错误;对于B ,如图2所示,225°角是第三象限角,故B 错误;对于C ,如图3所示,475°角是第二象限角,故C 正确;对于D ,如图4所示,-315°角是第一象限角,故D 正确.12.下列命题中,假命题的是( ) A .终边在x 轴的非正半轴上的角是零角 B .第二象限角一定是钝角 C .第四象限角一定是负角D .若()360k k βα=+⋅︒∈Ζ,则α与β终边相同 【答案】ABC【解析】角的概念和辨析,按照概率逐一进行判断即可.【详解】终边在x 轴负半轴上的角是2,k k αππ=+∈Z ,零角是没有旋转的角,所以A 为假命题;第二象限角应表示为2,2,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ,是由无数多个区间的并集构成,所以B为假命题;第四象限角表示为32,22,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ,当0k ≥时,就是正角,所以C 为假命题;若()360k k βα=+⋅︒∈Z ,则α与β终边相同,所以D 为真命题. 故选:ABC.13.(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方,那么角α可能是 A .第一象限角 B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角【答案】AC【分析】由角2α的终边的位置,可得角2α的范围:3602360180k k α⋅<<⋅+,k Z ∈,即得角α的范围:18018090k k α⋅<<⋅+,k Z ∈,再对k 分奇数和偶数讨论可得解. 【详解】因为角2α的终边在x 轴的上方,所以3602360180k k α⋅<<⋅+,k Z ∈,则有18018090k k α⋅<<⋅+,k Z ∈.故当2k n =,n Z ∈时,36036090n n α⋅<<⋅+,n Z ∈,α为第一象限角; 当21k n =+,n Z ∈时,360180360270n n α⋅+⋅<<⋅+,n Z ∈,α为第三象限角.【点睛】本题考查角2α和角α的终边的位置关系,关键在于由角的终边的位置得角的范围,再分k 为奇数和偶数讨论,属于基础题.14.下列条件中,能使α和β的终边关于y 轴对称的是( ). A .540αβ+=︒ B .360αβ+=︒ C .180αβ+=︒ D .90αβ+=︒【答案】AC【解析】假设α,β为0180内的角,可得180αβ+=,再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设α,β为0180内的角,如图所示:由α和β的终边关于y 轴对称,所以180αβ+= 根据终边相同角的概念,可得()36018021180,k k k Z αβ+=+=+∈, 所以满足条件的为A 、C 故选:AC三、填空题15.将90︒角的终边按顺时针方向旋转30︒所得的角等于________. 【答案】60︒【分析】顺时针旋转所得角为负角,即903060︒︒︒-=.【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角,所以所求的角为90(30)60︒︒︒+-=. 【点睛】此题考查角定义逆时针旋转为正,顺时针旋转为负,属于简单题目. 16.已知角α为钝角,角4α与角α有相同的始边与终边,则角α=______.【答案】120【分析】由题意得出()4360k k Z αα=⋅+∈,可得出120k α=⋅,再由90120180k <⋅<求出整数k 的值,即可得出角α的值.【详解】若角4α与角α有相同的始边与终边,则()4360k k Z αα=⋅+∈,即()120k k Z α=⋅∈.又角α为钝角,则90120180k <⋅<,所以1k =,所以120α=. 故答案为120.【点睛】本题考查利用终边相同求角的值,解题的关键就是利用两角终边相同这一条件得出角的表达式,根据题中条件列不等式求解,考查计算能力,属于中等题.四、双空题17.如图,花样滑冰是冰上运动项目之一.运动员通过冰刀在冰面上划出图形,并表演跳跃、旋转等高难度动作.运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是______,逆时针旋转两圈半所得角的度数是______.【答案】 900-︒ 900°【分析】根据正角和负角及任意角的定义即可得出答案.【详解】解:顺时针旋转两圈半所得角的度数是236018()0900-⨯︒+︒=-︒,则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°. 故答案为:900-︒;900°五、解答题18.在与530°角终边相同的角中,找出满足下列条件的角β. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)720360β-︒≤<-︒. 【答案】(1)190β=-︒ (2)170β=︒(3)550β=-︒【分析】(1)写出与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒,k ∈Z ,再根据3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒,即可的解;(2)根据0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒,即可的解; (3)根据720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒,即可的解.【详解】(1)解:与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒,k ∈Z ,由3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ,可得2k =-,故所求的最大负角190β=-︒; (2)解:由0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ,可得1k =-,故所求的最小正角170β=︒; (3)解:由720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒且k ∈Z ,可得3k =-,故所求的角550β=-︒. 19.如图,分别写出适合下列条件的角的集合.(1)终边落在射线OB 上; (2)终边落在直线OA 上;(3)终边落在阴影区域内(含边界).【答案】(1){}160360,S k k Z αα==+⋅∈;(2){}230180,S k k Z αα==+⋅∈;(3){}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】(1)可得出终边落在射线OB 上的一个角为60,利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合;(2)可得出终边落在射线OB 上的一个角为30,利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合;(3)分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合,然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】(1)终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈; (2)终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈; (3)终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈,终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Zαα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Zαα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈,因此,终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈{}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示,解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.20.如图,半径为1的圆的圆周上一点A 从点()1,0出发,按逆时针方向做匀速圆周运动.已知点A 在1min 内转过的角度为1(080)θθ︒<<︒,2min 到达第三象限,15min 回到起始位置,求θ.【答案】96θ=︒或120°.【分析】由题意列出关于θ的关系式,直接求解即可【详解】由题意,得()0180180227015360k k θθθ⎧︒<<︒⎪︒<<︒⎨⎪=⋅︒∈⎩Z ,即()9013524k k θθ︒<<︒⎧⎨=⋅︒∈⎩Z ,解得96θ=︒或120°.。
1.1.1角的概念的推广
1.1.1角的概念的推广基础练习 1.与-457°角终边相同的角的集合是( ) A . {α|α=k ·360°+457°,k ∈Z } B . {α|α=k ·360°+97°,k ∈Z } C . {α|α=k ·360°+263°,k ∈Z } D . {α|α=k ·360°-263°,k ∈Z } 2.下列命题中正确的是( ) A .第一象限角一定不是负角 B .小于90°的角一定是锐角 C .钝角一定是第二象限角 D .终边相同的角一定相等 3.与120°角终边相同的角是( ) A . -600°+k ·360°, k ∈Z B . -120°+k ·360°, k ∈Z C . 120°+(2k +1)·180°, k ∈Z D . 660°+k ·360°, k ∈Z 4.α的终边经过点M (0,-3),则α ( ) A . 是第三象限角 B . 是第四象限角 C . 既是第三象限角又是第四象限角 D . 不是任何象限角 5.终边与坐标轴重合的角的集合是( ) A . {α|α=k ·360°,k ∈Z } B . {α|α=k ·180°,k ∈Z } C . {α|α=k ·90°,k ∈Z } D . {α|α=k ·180°+90°,k ∈Z }6.已知α是第四象限角,则2是( ) A .第一或第二象限角 B .第二或第三象限角 C .第二或第四象限角 D .第三或第四象限角 7.如图,终边落在阴影部分的角的集合是( )A . {α|-45°≤α≤120°}B . {α|120°≤α≤315°}C . {α|k ·360°-45°≤α≤k ·360°+120°,k ∈Z }D . {α|k ·360°+120°≤α≤k ·360°+315°,k ∈Z } 8.与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是____9.如图所示,写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出-950°12’是否是该集合中的角.10.(1)写出与-2007°终边相同的角α的集合M ; (2)把-2007°写成k ·360°+α (0°≤α≤360°)的形式.提高练习1.设集合A ={α|α=k ·180°+90°,k ∈Z }∪{α|α=k ·180°, k ∈Z },集合B ={β|β=k ·90°, k ∈Z },则( )A . A BB . B AC . A ∩B =∅D . A =B2.若α为锐角,-α+k ·180°(k ∈Z )所在象限是_________3.已知3α=k ·360°+60°(k ∈Z ),求2α角的终边位置.4.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P 从点A (1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒到达第三象限,经过14秒后又恰好回到出发A ,求θ.5.(1)已知α与150°角的终边相同,写出与α终边相同的角的集合,并判断3α是第几象限角. (2)已知角α是第二象限角,试判断角2α和2α各是第几象限角.6.如图所示,(1)分别写出终边落在OA 、OB 位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.7.已知集合A ={α|30°+k ·180°<α<90°+k ·180°,k ∈Z },集合B ={β|-45°+k ·360°<β<45°+k ·360°, k ∈Z },求A ∩B .。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角W.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么sin α=yr;cos α=xr,tan α=yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (-12,m ),cos θ=-1213,则m 的值为( ) A.-5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ=-12(-12)2+m2=-1213,解得m =±5. 3.在-720°~0°范围内,所有与角α=45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {-675°,-315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为:β=45°+k ×360°(k ∈Z ),则令-720°≤45°+k ×360°<0°(k ∈Z ),得-765°≤k ×360°<-45°(k ∈Z ). 解得k =-2或k =-1,∴β=-675°或β=-315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角,则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴sin 2α=2sin αcos α<0,故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时,时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角,则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ,时钟经过两个小时,时针转过的角是-60°,故错误; 对于B ,钝角一定大于锐角,显然正确;对于C ,若三角形的内角为90°,则是终边在y 轴正半轴上的角,故错误; 对于D ,∵角α的终边在第二象限, ∴2k π+π2<α<2k π+π,k ∈Z , ∴k π+π4<α2<k π+π2,k ∈Z .当k =2n ,n ∈Z 时,2n π+π4<α2<2n π+π2,n ∈Z ,得α2是第一象限角;当k =2n +1,n ∈Z 时,(2n +1)π+π4<α2<(2n +1)π+π2,n ∈Z ,得α2是第三象限角,故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事,我国采取的“密位制”是6 000密位制,即将一个圆周分成6 000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad , ∴1密位=2π6 000=π3 000(rad), ∴60密位=π3 000·60=π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π+45°(k ∈Z )B.k ·360°+9π4(k ∈Z ) C.k ·360°-315°(k ∈Z )D.k π+5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π+9π4(k ∈Z ),但是角度制与弧度制不能混用,排除A 、B ,易知D 错误,C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角,则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角, ∴π+2k π<α<3π2+2k π,k ∈Z , ∴π2+k π<α2<3π4+k π,k ∈Z ,当k =2m ,m ∈Z 时,π2+2m π<α2<3π4+2m π,m ∈Z ,此时α2在第二象限, 当k =2m +1,m ∈Z 时,3π2+2m π<α2<7π4+2m π,m ∈Z , 此时α2在第四象限.综上,α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y =3x 上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5π3,-2π3,π3,4π3解析 终边在直线y =3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α=π3+k π,又由α∈[-2π,2π),即-2π≤π3+k π<2π,k ∈Z , 解得k =-2,-1,0,1,故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5π3,-2π3,π3,4π3.感悟升华 1.确定nα,αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或αn 的范围,然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角:先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α,半径为R ,弧长为l ,若α=π3,R =10 cm ,求:(1)扇形的面积;(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α=π3,R =10, ∴S 扇形=12α·R 2=12·π3·102=50π3(cm 2). (2)l =α·R =π3·10=10π3(cm),S 弓形=S 扇形-S 三角形=12·l ·R -12·R 2·sin π3 =12×10π3·10-12×102×32=50π-7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ,则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ,圆心角弧度数为α,则由题意得⎩⎨⎧2r +αr =6,12αr 2=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =1,α=4或⎩⎪⎨⎪⎧r =2,α=1,可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ,弧长为l cm , 则2r +l =8,S =12rl =12r ×(8-2r ) =-r 2+4r =-(r -2)2+4, 所以S max =4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,y ,则sin α·tan α等于( )A.-33 B.±33C.-32D.±32答案 C解析 由OP 2=14+y 2=1,得y 2=34,y =±32.当y =32时,sin α=32,tan α=-3, 此时sin α·tan α=-32.当y =-32时,sin α=-32,tan α=3, 此时,sin α·tan α=-32. 综上sin α·tan α=-32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.-12 B.-32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (-8m ,-3),r =64m 2+9,所以cos α=-8m64m 2+9=-45,所以m >0,解得m =12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,∴cos θ≥0,tan θ≤0,∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上,∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.2.要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0,tan θsin θ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,若A(-1,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-31010,则y=________.答案(1)D(2)-3解析(1)由tan θsin θ>0,得1cos θ>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ=-31010<0,A(-1,y)是角θ终边上一点,所以y<0,由三角函数的定义,得yy2+1=-31010.解得y =-3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游,当地时间比北京时间晚一个小时,他需要调整手表的时间,则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.-π3D.-π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时,所以时针应该是逆时针方向旋转,故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.-3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.-400°是第四象限角D.-315°是第一象限角答案 BCD解析 -3π4是第三象限角,故A 错误;4π3=π+π3,从而4π3是第三象限角,B 正确;-400°=-360°-40°,是第四象限角,从而C 正确;-315°=-360°+45°,是第一象限角,从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中,若角α以x 轴的非负半轴为始边,且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,则sin α=( )A.-32B.-12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α=12⎝ ⎛⎭⎪⎫-322+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=12.故选D.4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ,弧长为l ,则由扇形面积公式可得2=12|α|r 2=12×4×r 2,解得r =1,l =αr =4,所以所求扇形的周长为2r +l =6.5.若角α的终边在直线y =-x 上,则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k ·2π-π4,k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k ·2π+3π4,k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k ·π-3π4,k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k ·π-π4,k ∈Z 答案 D解析 由图知,角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=2n π+3π4,k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=2n π-π4,k ∈Z =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=(2n +1)π-π4,k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=2n π-π4,k ∈Z =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k π-π4,k ∈Z . 6.设θ是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2=-cos θ2,则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知,θ2为第二或第四象限角, 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2=-cos θ2,所以cos θ2<0, 综上可知,θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点A (2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=( )A.12B.-12C.32D.-32答案 A解析 由三角函数定义得tan α=32sin α,即sin αcos α=32sin α,得3cos α=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图,A ,B 是单位圆上的两个质点,点B 的坐标为(1,0),∠BOA =60°,质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动,则( )A.经过1 s 后,∠BOA 的弧度数为π3+3B.经过π12 s 后,扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后,扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后,A ,B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后,质点A 运动1 rad ,质点B 运动2 rad ,此时∠BOA 的弧度数为π3+3,故A 正确;经过π12 s 后,∠AOB =π12+π3+2×π12=7π12,故扇形AOB 的弧长为7π12×1=7π12,故B 正确;经过π6 s 后,∠AOB =π6+π3+2×π6=5π6,故扇形AOB 的面积为S =12×5π6×12=5π12,故C 不正确;设经过t s 后,A ,B 在单位圆上第一次相遇,则t (1+2)+π3=2π,解得t =5π9(s),故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6,面积为π3,则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ,弧长为l ,则⎩⎪⎨⎪⎧l r =π6,12lr =π3,解得⎩⎨⎧l =π3,r =2. 10.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在角2π3的终边上,且|OP |=2,则点P 的坐标为________.答案 (-1,3)解析设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x =|OP |cos 2π3,y =|OP |sin 2π3,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =3,所以点P 的坐标为(-1,3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°,cos 35°)为角α终边上一点,若0°≤α<360°,则α=________.答案 55°解析 由题意知cos α=sin 35°=cos 55°,sin α=cos 35°=sin 55°,P 在第一象限,所以α=55°.12.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α=23,则|a -b |=________.答案 55解析 由O ,A ,B 三点共线,从而得到b =2a ,因为cos 2α=2cos 2α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2+12-1=23,解得a 2=15, 即|a |=55,所以|a -b |=|a -2a |=|a |=55.B 级 能力提升13.设集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =k 2·180°+45°,k ∈Z ,N ={x |x =k 4·180°+45°,k ∈Z },那么( )A.M =NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N =∅ 答案 B解析 由于M 中,x =k 2·180°+45°=k ·90°+45°=(2k +1)·45°,2k +1是奇数;而N 中,x =k 4·180°+45°=k ·45°+45°=(k +1)·45°,k +1是整数,因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,∠APB 是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β 答案 B解析 如图,设点O 为圆心,连接PO ,OA ,OB ,AB ,在劣弧上取一点C ,则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ,B 是圆周上的定点,所以弓形ACB 的面积为定值,故当△ABP 的面积最大时,阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值,故当点P 为优弧的中点时,点P 到弦AB 的距离最大,此时△ABP 面积最大,即当P 为优弧的中点时,阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角,且∠APB =β,所以∠AOB =2β,∠AOP =∠BOP =180°-β,则阴影部分的面积S =S △AOP +S △BOP +S 扇形OAB =2×12×2×2sin(180°-β)+12×22×2β=4β+4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3,则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7+439解析 设扇形半径为R ,内切圆半径为r .则(R -r )sin π3=r ,即R =⎝⎛⎭⎪⎫1+233r . 又S 扇=12|α|R 2=12×2π3×R 2=π3R 2=7+439πr 2,所以S 扇πr 2=7+439.16.在平面直角坐标系中,劣弧,,,是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段弧上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α,所以P 所在的圆弧不是,因为tan α<sin α,所以P 所在的圆弧不是,又cos α<sin α,所以P 所在的圆弧不是,所以P 所在的圆弧是.。
三角函数向量解三角形练习题50套带答案
第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1.正角、负角和零角:规定,一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2.象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①-880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④-3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴-2100,⑵-1900,⑶-6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) -210与6990(B) 1800与-5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00~3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶-2000; ⑷-4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴-3300; ⑵-18300; ⑶-6300; ⑷9900.7.在[-1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二 角的概念的推广(二)要点1. 与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2. 第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,-2),则角α的集合是________________.4. 与-20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ -834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三 弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=-3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② -45π,③419π,④-43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与-32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ -67030/⑶2 ⑷-67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α(0≤α<2π,)的形式, 并求出在(-2π,4π)内和它终边相同的角.(1)-316π; (2)-6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)-3π (C) 6π (D)-6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五 任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π+2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |-|cos |cos αα的值是 ( ) (A)-2 (B)0 (C)-1 (D)22.设角α的终边过点P(-3α,-4α),(α≠0),则sin α-cos α的值是 ( ) (A)51 (B)- 51 (C)- 51或 -57 (D) -51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,-3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π-tan 45π+43tan 26π+sin 611π+cos 267π-sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六 任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00~3600(或0~2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)- 21(D) -232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(-4400)_____0; ⑵cot(-817π)·sin(-34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(-417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(-π,π),且cos α>-23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(-6300)+n 2tan(-3150)-2mncos(-7200);(2) sin(-623π)+cos 713πtan4π-cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ<21 (3)-21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七 同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π+2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300+cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=-213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=-53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=-3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八 同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边-右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九 正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十 正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角 同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润(1933~1996),中国数学家、中国科学院院士。
《三角函数》专题1 角的概念的推广(Word版含答案)
《三角函数》专题1-1 角的概念的推广(5套,4页,含答案)知识点:图示典型例题:1.—225°是第象限角?(③)2.与30°终边相同的角是:( ④) A-30°B210°C390°D-360°3.在0°到360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为⑤.4.不相等的角的终边位置(⑥)A.一定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对5.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是(⑦)A.B=A∩C B.B∪C=C C.A≠⊂C D.A=B=C随堂练习:1.-1120°角所在象限是(⑧)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.与-1050°终边相同的最小正角是⑨.3.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合____________.(⑩)4.以下列四个命题:①大于90°的角是钝角;②第二象限的角一定是钝角;③第二象限的角必定大于第一象限的角;④负角也可能是第一象限角.其中不正确...命题的个数有(11)A.1个B.2个C.3个D.4个《三角函数》专题1-2 角的概念的推广1.与1991°终边相同的最小正角是__,绝对值最小的是,它们是第_ 12象限角.2.下列角中终边与330°相同的角是(13)A.30°B.-30°C.630°D.-630°3.若α=1 690°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=____14____.4.A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B=( 15)A. {锐角}B.{小于90°的角}C. {第一象限角}D.以上都不对5.若时针走过2小时40分,则分针转过的角度是____16____.1.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.17(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.2.求θ,使θ与-900°角的终边相同,且θ∈[-180°,1260°].(18)3.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是(19)A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D4.将分针拨快10分钟,则分针所转过的度数为____20____.《三角函数》专题1-4 角的概念的推广1.下列各组角中,终边相同的角是(21)A.280°与580° B.-125°与485° C.-360°与0°D.12°与364°2.已知角α终边上有一点P(0,b)(b<0),则α是(22)A.第三象限角B.第四象限角C.第三或第四象限角D.以上都不对3.如图所示,写出终边落在直线y=3x上的-360°到360°之间的角.234.下列四个命题中正确的是(24)A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角5.钟表经过4小时,时针转了度,分针转了25度.1.与-1778°角的终边相同且绝对值最小的角是26.2.给出下列四个命题,其中正确的命题有(27)①-75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④-315°是第一象限角A.1个B.2个C.3个D.4个3.在(-720°,720°)内与100°终边相同的角的集合是___28_____.4.设E={小于900的角},F={锐角},G={第一象限的角},M={小于900但不小于00的角},则有(29)A.F⊆G⊆E B.F⊆E⊆G C.M⊆(E∩G) D.(E∩G)∩M=F5.时钟走过3小时20分,则分针所转过的角度为________,时针所转过的角度为____30___.① 答案:(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转② 答案:第几象限角③ 答案:2;④ 答案:C ;⑤ 答案:120°与300°;⑥ 答案:C ;⑦ 答案:B ;⑧ 答案:D ;⑨ 答案:30°;⑩ 答案:{}0000708,348,12,372--;11答案:C ;12 答案:191°,-169°,三;13 答案:B ;14 答案:-110°或250°;解析 ∵α=1 690°=4×360°+250°,∴θ=k ·360°+250°,k ∈Z .∵-360°<θ<360°, ∴k =-1或0.∴θ=-110°或250°.15 答案:D ;16 答案 -960°; 解析 ∵2小时40分=223小时, ∴-360°×223=-960°.17 答案:解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.18 答案:{}o o o o o 1260,900,540,180,180-;19 答案:D ;[锐角θ满足0°<θ<90°;而B 中θ<90°,可以为负角;C 中θ满足k ·360°<θ<k ·360°+90°,k ∈Z ;D 中满足0°<θ<90°,故A =D .]20 [答案] -60°;21答案:C ;22 答案:D ;23 答案:240°,60°,-120°,-300°;24 答案:B ;25 答案:-120°,-1440°;26 答案:22°;27 [答案] D ;[解析]由终边相同角的概念知:①②③④都正确,故选D.28答案{-620°,-260°,100°,460°};解析与100°终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+100°,k∈Z}令k=-2,-1,0,1,得α=-620°,-260°,100°,460°.29答案:D;--;30答案:1200,100。
人教A版数学必修四(角的概念的推广).doc
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作(角的概念的推广)一.选择题1、下列角中终边与330°相同的角是( )A .30°B .-30°C .630°D .-630°2、-1120°角所在象限是 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3、把-1485°转化为α+k ·360°(0°≤α<360°, k ∈Z )的形式是 ( )A .45°-4×360°B .-45°-4×360°C .-45°-5×360°D .315°-5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( )A .{α∣90°<α<180°}B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z }C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z }D .{α∣-270°+k ·360°<α<-180°+k ·360°,k ∈Z }5、下列命题是真命题的是( )Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B .第一象限的角必是锐角C .不相等的角终边一定不同D .{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα6、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( )A .B=A ∩CB .B ∪C=C C .A ⊂CD .A=B=C 7、已知角2α的终边在x 轴的上方,那么α是 ( )A .第一象限角B .第一、二象限角C .第一、三象限角D .第一、四象限角8、若α是第四象限的角,则α-180是 .(89上海)A .第一象限的角B .第二象限的角C .第三象限的角D .第四象限的角 二.填空题1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________.3、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________.4、在0°到360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 .三.解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角:(1) 210-; (2)731484'-.2、求θ,使θ与 900-角的终边相同,且[] 1260180,-∈θ.3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| , {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .4、已知角α是第二象限角,求:(1)角2α是第几象限的角;(2)角α2终边的位置。
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角的概念的推广练习题
班级________ 姓名________
一、选择题:
1、把-1485°转化为α+k ·360°(0°≤α<360°, k ∈Z )的形式是 ( ) A .45°-4×360°B .-45°-4×360°C .-45°-5×360°D .315°-5×360° 2.若是第四象限角,则
2
α
是( ). A .第二象限角 B .第三象限角 C .第一或第三象限角 D .第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A .{α∣90°<α<180°}
B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z }
C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z }
D .{α∣-270°+k ·360°<α<-180°+k ·360°,k ∈Z }
4、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( )
A .B=A ∩C
B .B ∪C=
C C .A ⊂C
D .A=B=C
5.下列各角中,与-1050°的角终边相同的角是 ( )
︒︒︒︒30-D C30 60-B. 60.A
6.若α是锐角,则180°-α是( )
A.第一象限角
B.第二角限角
C.第三象限角
D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角,那么( )
(A )x 一定是正(B )x 一定是锐角(C )-3600x-2700或00x900 (D )xxk3600xk3600+900 kZ
8、设A=为正锐角,B=为小于900的角}, C={为第一象限的角},D={为小于900的正角}。
则下列等式中成立的是( )
(A )A=B (B )B=C (C )A=C (D )A=D
二、填空题:
1.一昼夜时针转过多少度
2.跳水运动员后滚翻两周半跳水,转过多少度
3、-1120°角所在象限是______________________
4、与角-1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .
5.将-885°化为α + k ·360°(0°<α<360°,k ∈Z )的形式是______________________
6、终边在x 轴上的角的集合是____________________;终边在y 轴上的角的集合是_________________。
三、解答题:
1、写出与-2250角终边相同角的集合,并在这个集合中求出-7200~10800内的所有角。
2、求θ,使θ与
900-角的终边相同,且[
]
1260180,
-∈θ.
3、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: (1)
210-; (2)731484'-
.
4、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360°≤α<720°的元素α写出来.
(1)-15° (2) 124°30′。