高中数学必修三第二章 2《用样本估计总体》学案+检测
高中数学必修三学案
第二章统计
2 用样本估计总体
【学习目标】
1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
【新知梳理·夯实知识基础】
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
茎叶图的优点是不但可以记录所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便.
注意：茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
4．样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)a 1＋a 2＋…＋a n
n
称为a 1，a 2，…，a n 这n 个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为–
x ，则这组数据的标准差和方差分别是
s ＝
1n
????(x 1－–x )2＋(x 2－–x )2＋…＋(x n －–x )2 s 2
＝1n ????(x 1－–x )2＋(x 2－–x )2＋…＋(x n －–x )2 [常用结论]
1．频率分布直方图的3个结论 (1)小长方形的面积＝组距×
频率
组距
＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. (3)小长方形的高＝
频率组距，所有小长方形高的和为1
组距
. 2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为—
x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m —
x ＋a .
(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.
①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.
[学用结合]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． ( )
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.
( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频
率越高． ()
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． ()
[答案](1)√(2)×(3)√(4)×
2．(教材改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()
A．4B．8C．12D．16
B[设频数为n，则n
32＝0.25，∴n＝32×1
4＝8.]
3．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
A[∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋92
2
＝91.5，平均数—
x＝
87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96
8＝91.5.]
4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．
48[由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．]
5．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
0.1 [5个数的平均数—x ＝
4.7＋4.8＋
5.1＋5.4＋5.5
5
＝5.1，所以它们的方差s 2
＝1
5[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]
【题型探究·突破重点难点】
题型一 茎叶图的应用
1．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( )
A ．117
B ．118
C ．118.5
D ．119.5
B [22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，
将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76， 所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.] 2．(2019·泉州质检)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
B
[由甲组学生成绩的平均数是
88，可得
70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)
7＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩
的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6，故选B.]
【解题规律与方法】
茎叶图中的三个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要
统一.
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，
一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.
题型二样本的数字特征及应用
1．2018年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动．为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为()
A．9 B．4 C．3 D．2
B[由茎叶图得该组数据的平均数—
x＝
1
5(87＋89＋90＋91＋93)＝90.
∴方差为1
5[(87－90)
2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.]
2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()
甲乙
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
C[甲的平均数是4＋5＋6＋7＋8
5＝6，中位数是6，极差是4，方差是
(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22
5＝2；乙的平均数是5＋5＋5＋6＋9
5＝6，中位数是5，
极差是4，方差是(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋325
＝12
5，故选C.]
3．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有________． 甲 [—x 甲＝—x 乙＝9，s 2
甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，
s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65＞s 2甲，故甲更稳定．]
【解题规律与方法】
(1)众数、中位数、平均数及方差的意义
①平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；②平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.
(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论. 题型三 频率分布直方图及应用
?考法1 求样本的频率、频数
【例1】 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A ．56
B ．60
C ．120
D ．140
D[由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋
0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选
D.]
?考法2频率分布直方图与样本的数字特征的综合
【例2】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
[解](1)由频率分布直方图可知：月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．【解题规律与方法】
1.频率、频数、样本容量的计算方法
(1)频率
组距
×组距＝频率；
(2)
频数
样本容量
＝频率，
频数
频率
＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
2．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
易错警示：1.频率分布直方图的纵坐标是频率
组距
，而不是频率，切莫与条
形图混淆．
2．制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．
【跟踪练习】(1)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()
A．64 B．54 C．48 D．27
B[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.
因为后五组频数和为62，所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频
率为0.32的最大频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.]
(2)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
①若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
②若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90]之外的人数．
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]
x∶y 1∶12∶13∶44∶5
[解]①估计这次语文成绩的平均分x＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
②分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.
所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90]之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人).
【连线真题·提升实战能力】
1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是()
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.
建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；
建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；
建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；
建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D 正确．]
2．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()
A．x1，x2，…，x n的平均数
B．x1，x2，…，x n的标准差
C．x1，x2，…，x n的最大值
D．x1，x2，…，x n的中位数
B[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是()
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
A[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．
故选A.]
4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
D[对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]
高中数学必修三
第二章统计
2《用样本估计总体》检测
一、选择题
1．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()
A．45 B．50
C．55 D．60
【答案】B
【解析】∵[20,40)，[40,60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学
生人数是15
0.3＝50.
2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的平均数和方差分别为()
A．5,2 B．16,2
C．16,18 D．16,9
【答案】C
【解析】∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，
∴x1＋x2＋x3＋…＋x n
n＝5.
∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x n
n＋1＝3×5＋1＝16.
∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的方差是32×2＝18.故选C.
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩在350分到650分之间的10 000名学生的成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图，则总成绩在[400,500)内的学生共有()
A．5 000人B．4 500人
C．3 250人D．2 500人
【答案】B
【解析】由频率分布直方图可求得a＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，故总成绩在[400,500)内的学生共有10 000×0.45＝4 500(人)．故选B.
4．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()
A．95,94 B．92,86
C．99,86 D．95,91
【答案】B
【解析】由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
5．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于()
A．0.12 B．0.012
C．0.18 D．0.018
【答案】D
【解析】由题意知0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018.
6．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e，平均值为x，众数为m0，则()
A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x
C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x
【答案】D
【解析】由图可知m0＝5.由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，所以m e
＝5＋6
2＝5.5.x＝
1
30(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋
10×2)≈5.97＞5.5，所以m0＜m e＜x.故选D.
二、填空题
7．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形．若中间一个小长方形的面
积等于其他10个小长方形的面积和的1
4，且样本容量为160，则中间一组的频
数为________．
【答案】32
【解析】由题意可设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x＝1，x＝0.2，则中间一组的频数为160×0.2＝32.
8．若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．【答案】2
【解析】由1＋2＋3＋4＋m
5＝3，得m＝5，所以这五个数的方差为
1
5[(1－3)
2
＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.
9．某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________．【答案】20
【解析】由题意可知，高级教师有(300－192)×
5
5＋4
＝60(人)，抽样比k＝
n
N
＝64
192＝1
3.故该样本中高级教师的人数为60×
1
3＝20.
10．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
【答案】2 5
【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数
据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝2
5. 三、解答题
11．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：
248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283 (1)完成下面的频率分布表，并做出频率分布直方图；
(2)估计8 280小时； (3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限．
【解】(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：
(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时．
(3)由频率分布直方图可知
x＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时．
12．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．
【解】(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.
使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.
故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.
②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，
所以选B款订餐软件．
人教版高中数学必修二全册导学案
必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的
【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1
教学资料范本 【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1 编辑：__________________ 时间：__________________
【学习目标】 ①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。 ②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。 ③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。 【自主学习】 1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。 2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。 3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。 【典例分析】 例1 求132与143的最大公约数。 跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480 例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。 143)(2367+-+-=x x x x x f 【快乐体验】 一、选择题 1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值 为（ ） 654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v A.－9.8205 B.14.25 C.－22.445 D.30.9785 2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ）
A.31 B.93 C.217 D.651 二、解答题 3.用等值算法求下列各数的最大公约数. （1）63，84； （2）351，513. 4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数. （1）5207，8323； （2）5671， 10759. 5.求三个数779，209，589的最大公约数. 6.用秦九韶算法求多项式在时的值. 5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x 【反思回顾】 总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？
人教版高中数学必修2全册学案(完整版)
第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】
4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1
高中数学 必修三 导学案：3.3
§3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式：
P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上
高中数学必修二学案
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 （预习教材P2~ P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ 图1 2.【研读课本】 （1）多面体的概念：叫多面体， 叫多面体的面，叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四 边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，， 叫作棱台。 （2）旋转体的概念： 叫旋转体，叫旋转体的轴。
①圆柱：所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥：所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台：的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱 （2）下列说法错误的是（） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 （3）下列命题中正确的是（） A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 （4）下列几个命题中， ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.（） A.1 B.2 C.3 D.4 （5）下列说法中不正确的是（） A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形 （6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案
9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况
作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n 第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360° 课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 高中数学必修二复习全册导学案 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)） [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P84～P91，回答下列问题． (1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？ 提示：相关关系． (2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？ 提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域． (3)求回归直线方程的主要方法是什么？ 提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法． 2．归纳总结，核心必记 (1)变量之间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达． (2)两个变量的线性相关 ①散点图 将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图． ②正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ③负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关． ④线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程． (3)回归直线方程 ①回归直线方程 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2) ，…，(x n ，y n )，则所求回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^ 是截距． 其中????? b ^＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x ) 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y － b ^x －. ②最小二乘法 通过求Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． [问题思考] (1)任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ 提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图． (2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？ 提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义． (3)根据a ^＝y －b ^x 及回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ ，判断点(x ，y )与回归直线的关系是什么？ 提示：由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^ ，因此点(x ，y )在回归直线上． [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点： (1)相关关系： ； (2)散点图： ； (3)回归直线方程及求回归直线方程的方法步骤： . 瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚，春天小麦就长得越好． [思考1] 下雪与小麦丰收有关系吗？ 2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝ y2－y1 x2－x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下： 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2－A2B1＝0且 B1C2－B2C1≠ 0(A2C1－A1C2≠0) 或 A1 A2＝ B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0) 有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2－A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1＝λA 2, B 1＝λB 2, C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1 A 2＝B 1B 2 ＝C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2＝－1 对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2 B 2. 又可以得出：l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的 第一章算法初步 §1.1.1 算法的概念 授课 时间 第周星期第节课型新授课主备课人 学习目标1.了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求。 2.通过例题分析，体会算法的基本思路。 重点难点重点：算法的含义及应用。 难点：写出解决一类问题的算法。 学习过程与方法自主学习:认真自学课本P2-5, 完成下列问题. ZXXK]算法作为一个名词，我们虽然没有接触过它的概念，但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。 1．解二元一次方程组： ? ? ? = + - = - ② y x ① y x 1 2 1 2 分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，请用加减消元法写出它的求解过程. 解：第一步：； 第二步：； 第三步：。 探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？ 评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法： 2．试写出求方程组()0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1≠ - ? ? ? = + = + b a b a ② c y b x a ① c y b x a 的解的算法. 解：第一步：； 第二步：； 第三步： . 提炼： 一、算法概念： 在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 现在, 算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. 解析几何 2.1.1 直线的斜率 ? 2.11,,172 - 3. 4.3,3 5.180α?- 6.1 7.(1)m>1或m<-5; （2）m=-5; (3)-5 [推荐]2020年苏教版高中数学必修三(全册) 精品教学案汇总 第1章算法初步 1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌． 问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的． 问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？ 提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛． 2．给出方程组? ???? x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ② 问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x , ③ 把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝3 2 . ④ 把④代入③得y ＝1 2 . 得到方程组的解??? x ＝32 ，y ＝1 2. 问题2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得x ＝3 2 . ③ 将③代入①得y ＝1 2 , 得方程组的解 ??? x ＝32 ，y ＝12. 问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一． 1．算法的概念 对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征 (1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的． (2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答． 1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述． 2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法． 高一期末复习学案（必修三） 1.程序框图 1.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A. －3 B. －12 C. 1 3 D. 2 2.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第1题图) (第2题图) 3.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 [14，1 2 ]内，那么输入的实数x 的取值范围是( ) A. (－∞，－2]B. [－2，－1]C. [－1,2] D. [2，＋∞) 4.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是1 63 ，则判断框内应填入的条件是( ) A. i <4? B. i >4? C. i <5? D. i >5? (第3题图) (第4题图) 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )． A ．105 B ．16 C ．15 D ．1 6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )． A ．3 B ．11 C ．38 D ．123 (第5题图) (第6题图) (第7题图) 7如图是求实数x 的绝对值的程序框图， 则判断框①中可填__________． 8．某程序框图如图所示，若输入的 x 的值为1 2 ，则执行该程序后， 输出的y 值为__________． 9某程序框图如图所示，则该程序 运行后输出的n 的值为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．10 (第8题图) (第9题图) 10.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )． A．8 B．18 C．26 D．80 11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值可能是( )．A．30 B．42 C．56 D．72 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于( )．A．－3 B．－10 C．0 D．－2 13．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________． (第10题图) (第11题图) (第12题图) (第13题图) 2 简单随机抽样 1．简单随机抽样（最常用的简单随机抽样的方法：__________和____________）．2．系统抽样的步骤 3．分层抽样 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是①采取______________，②采用____________，③采用____________．2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 ________________________________________________________________________．3．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表所示： .为了了解学生对本次活动其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的 5 的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人． 4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生的人数为________． §1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形． 第三章概率 . 事件与概率 . 随机现象 . 事件与基本事件空间 h预习导学三朝涉自我.￡声落实 ［学习目标］ ? 了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件. ?理解事件与基本事件的定义，会求试验中的基本事件空间以及事件包含的基本事件的个数. ［知识链接］ .在标准大气压下，水的沸点是°C . ?在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. .当乞时，函数=在(，+* )上单调递增，当VV时，函数=在(，+x )上单调递减. ［预习导引］ .现象 ()必然现象 在一定条件下必然发生某种结果的现象. ()随机现象 在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象. .试验：把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察 结果或实验结果称为试验的结果. ?不可能事件、必然事件、随机事件 ()在同样条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件. ()在每次试验中一定发生的结果，称为必然事件. ()在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件. ()随机事件的记法：通常用大写英文字母，，，…来表示；随机事件简称为事件. ?基本事件、基本事件空间 ()基本事件：试验中不能再分的最简单的随机事件，并且其他事件可以用它 们来描绘的随机事件. ()基本事件空间：所有基本事件构成的集合，称为基本事件空间，基本事件 空间通常用大写希腊字母Q来表示. 要点一必然现象、随机现象 例判断下列现象是必然现象还是随机现象： ()掷一枚质地均匀的骰子出现的点数； ()行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色； ()在个同类产品中，有个正品、个次品，从中任意抽出个检验的结果. 解()掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现?点，不能确定，因此是随机现象. ()行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象. ()抽出的个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有可能是两个次品，故此现象为随机现象. 规律方法判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下, 现象的结果是否可以预知、确定，若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象为随机现象. 跟踪演练下列现象中，随机现象有哪些？ ()某射手射击一次，射中环； ()同时掷两颗骰子，都出现点； ()某人购买福利彩票未中奖； 人教A版高中数学必修二 全册精品导学案 高中数学必修导学案 §1.1 空间几何体的结构 【使用说明及学法指导】 1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。 2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。 3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。 【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一【问题导学】 探索新知 探究1：几何体的相关概念 （1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行 分类，并说明分类依据。 （2）空间几何体的概念： （3 探究2新知1： （1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点 探究2：旋转体的相关概念 新知2： 旋转体 旋转体的轴 探究31、 棱柱： 2、棱柱的分类： （1）按侧棱及底面垂直及否，分为： （2）按底面多边形的边数，分为： 注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 3、棱柱的表示： 4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱 探究41、棱锥： 2、棱锥的分类： 注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 3、棱锥的表示： 探究5：（三）棱台 1、棱台： 2、棱台的分类： 3、棱台的表示： 二【小试牛刀】 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）. A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体 2. 棱台不具有的性质是（）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 三【合作、探究、展示】 例1、根据右边模型，回答下列问题： (1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为 棱柱底面的有多少对？ (2) 如右图，长方体'''' 中被截去一部 ABCD A B C D 分，其中'' EH A D。问剩下的几何体是什么？截 //高中数学必修4全套学案
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