勾股定理+分类讨论004
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理内容分析
勾股定理内容分析第一篇：勾股定理内容分析勾股定理内容分析一，勾股定理在教材中的定位勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达。
勾股定理是人们利用图形的拼接，探讨图形面积之间的关系得到的一种规律．历史上，数学家和数学爱好者经过不懈努力，探索出了许多证明方法，本节课采用的是“面积法”证明勾股定理，这为今后证明一些几何问题奠定方法基础．勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它揭示了直角三角形中三边的数量关系，是解直角三角形的主要依据，它还是一般三角形余弦定理和平面解析几何中的两点间距离公式等知识的必要基础，充分体现数学知识承前启后的紧密相关性和连续性．勾股定理不仅促进了数学的发展，而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用．数学地位：1.勾股定理与三角形内角和是180°为等价命题；2.勾股定理与距离3.勾股定理有500多种证法教育价值：1.勾股定理的500多种证法带来的启示；2.勾股定理与变换3.勾股定理提供的丰富的文化价值二，人教版与北师大版的比较北师大版在设计勾股定理的内容时，对老师，学生的要求更高一点。
更加倾向学生在老师的引导下自己去探索问题，发现问题，解决问题。
不同版本的作者对勾股定理的数学教育价值理解有差异，这也会体现在使用教材的一线教师身上。
三，本内容在数学史的发展轨迹中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明，赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
勾股定理知识点+对应类型
勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；例 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知：a=13, b=12, c=5. ABC ∆ 是什么三角形？4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理，作出长为n 的线段类型四：利用勾股定理作长为的线段【变式】在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。
勾股定理的分类讨论
解析： 由于锐 角三 角 形 的高都 在 形 内 ， 钝 角 三角 形 有 的高 在形 外 ， 直
角三角 形有 的高与 一条 直角边 重合 ，而 本题 画 出符合 条件 的三 角形 有两
种， 即锐角三 角形 和钝 角三角 形． （ １ ） 当 Ｄ 在 ＡＡＢ Ｃ 的 内部 时 ， 如 图３ ， 由勾股 定理 ，
高 Ａ Ｄ ， 则 肋＝ ÷日 ｃ ： ６ ， 在Ｒ ｔ Ａ Ａ Ｂ Ｄ ｑ ｂ ， 由 勾
Ｃ
股定理， 得Ａ Ｄ ＝ 、 ／ ， Ａ ＇ 一 肋々 ‘ ＝ 、 ／ ， １ 一 々 ６ ’ ＝ ８ ．
（ ２ ） 当腰 长 为 １ ２ ， 底边长为ｌ ０ 时， 如 图２ ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ＝ １ ２ ， Ｂ Ｃ ＝ １ ０ ， 作底 边 Ｂ Ｃ
的 高是 ．
解析 ： 由于题 中 的 ｌ ０ 和１ ２ 没 有 指 明哪 条边 是腰 、 哪条 边 是底 ， 故 需分 两种 情况 讨 论．
（ １ ） 当腰 长 为 １ ０ ， 底边长为１ ２ ［ 付， 如 图１ ，
在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ａ Ｂ － ＡＣ ＝ Ｉ Ｏ ， Ｂ Ｃ ＝ １ ２ ， 作底 边 上 的
（ １ ） 当 为斜边 时 ， 有３ ‘ ＋ ４ ． ｘ ＝ ５ ．
（ ２ ） 当４ 为斜边 时 ， 有４ ＝ ３ ‘ 综合 ， 得 为５ 或、 ／ 了． 二、 腰、 底 不确 定 时 ， 需 分类
． ＝ 、 ／ 丁．
例２ 已知 一个 等 腰 三 角 形 的一 边 长 是 ｌ ０ ， 另一 边 长是 ｌ ２ ， 则 底边 上
勺 定理
甘
哼江苏 袁 志琴 胡 怀志
分类 讨 论是数 学 中的～种 重要 思 想方 法和 解题 策 略 ，当 一个数 学 问 题 的条件 、 结论不 明确 或会 出现 多种情 况 时 ， 就 需 要对 这个 问题 进行 必 要
8.D专题 勾股定理与分类讨论
专题 勾股定理与分类讨论【方法规律】在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形的面积、高等问题时往往需要分类讨论.一、锐角、钝角不明时需分类讨论1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，S △ABC ＝7.5，求BC 的长.【解答】(1)当△ABC 为锐角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于点D ，S △ABC ＝12·AC ·BD ＝7.5.∴BD＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝52－32＝4.∴＝1.在Rt △中，BC ＝32＋12＝10.(2) 当△ABC 为钝角三角形时，同理可得＝310.2. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，AD 为△ABC 的高，AD ＝12，求BC .【解答】(1)当AD 在△ABC 内部时，如图，易知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝14.(2) 当AD 在△ABC 外部时，如图，同样可知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝4.二、腰和底不明时需分类讨论3. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为AC 上一点，且△ABD 是等腰三角形，求△AB D 的周长.【解答】分三种情况：①图1中，当AB ＝AD 时，周长为20＋45；②图2中，当AB ＝BD 时，周长为32;③图3中，当AD ＝BD 时，CD ＝x ,x 2＋82＝(x ＋6)2,x ＝73,周长为803.三、直角边、斜边不明时需分类讨论4.已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的长为___________.【解答】13或 55. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向外作等腰直角△ABD ，求CD 的长.【】分三种情况：①图1中，当BD 为斜边时，过点D 作DE ⊥AC 于E ，△ABC ≌△DAE ，易求CD ＝213； ②图2中，当AD 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，△ABC ≌△BDE ，易求CD ＝210； ③图3中，当AB 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点A 作AF ⊥DE 于F ，△BED ≌△DFA ，设DF ＝BE ＝x ,则DE ＝4－x ,易求BD ＝22AB ＝10.∴x 2＋(4－x )2＝(10)2,x ＝1,∴CD ＝3 2.。
勾股定理分类讨论思想总结
勾股定理分类讨论思想总结勾股定理分类讨论思想总结勾股定理是几何学中的重要定理之一，也是元代数学家周公瑾发现的。
它表述了在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
勾股定理的分类讨论思想是一种运用数学知识进行问题解答的方法，下面我将对其进行总结。
1. 分类思想的基本概念：分类思想是将问题进行分门别类地讨论，运用不同的方法和技巧进行求解。
在勾股定理的分类讨论中，可以根据已知条件的不同进行分类，如根据已知边长的关系、已知角度的关系等。
2. 已知边长的关系：根据已知边长的关系，可以将问题分为已知两直角边求斜边的问题和已知一直角边求另一直角边的问题。
对于已知两直角边求斜边的问题，可以利用勾股定理直接求解，其思路清晰、简单明了。
而对于已知一直角边求另一直角边的问题，则需要运用勾股定理的逆定理，即通过已知边长求出斜边的平方，然后开平方即可得到另一直角边的长度。
3. 已知角度的关系：根据已知角度的关系，可以将问题分为已知一个锐角求另一锐角的问题和已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题。
对于已知一个锐角求另一锐角的问题，可以利用三角函数的知识，通过求解三角函数值来确定另一锐角的大小。
而对于已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题，则可以利用勾股定理和三角函数的关系，通过求解三角函数值和代入勾股定理进行计算。
4. 实际问题的应用：勾股定理的分类讨论思想不仅适用于纯粹的数学问题，还可以应用于解决实际问题。
比如在建筑工程中，可以利用勾股定理来确定房屋的斜坡度，计算建筑物的高度和斜边长度等。
在地理测量中，也可以运用勾股定理来测量两点间的距离，确定地图上的位置等。
总之，勾股定理分类讨论思想是一种灵活运用数学知识解决问题的方法。
通过将问题进行分类、分析和讨论，可以选择与问题相适应的解法，提高问题解决的准确性和效率。
同时，勾股定理分类讨论思想的应用也拓宽了勾股定理的实际应用范围，使其成为一种强有力的工具。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
勾股定理与分类讨论思想
解:(1)当6cm为腰,8cm为底时，如图1所示， 解得AD＝ ； 可得62＝42+AD2， (2)当以8cm为腰，6cm为底时，如图2所示， 解得AD＝ ； 可得82＝32+AD2，
变式题
在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为4cm和6cm，AD为 或 △ABC底边上的高，则△ADC的周长为_______________cm. 解:(1)当4cm为腰,6cm为底时，如图1所示， 解得AD＝ ； 可得42＝32+AD2， 则△ADC周长＝4+3+ ＝7+ ； (2)当以6cm为腰，4cm为底时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如图2所示， 解得AD＝ ； 可得62＝22+AD2， 则△ADC周长＝6+2+ ＝10+ ；
可得52＝32+x2，解得x＝4； (2)当以3cm,5cm为直角边，xcm为斜边时， 解得x＝ ； 可得32+52＝x2，
变式题
已知一个直角三角形的两边长为6cm和8cm，则这个直角三 24cm或(14+ )cm 角形的周长为__________________. 解:设第三边长为xcm，
可得x ＝6 +8 ， (1)当6cm,8cm两边为直角边时，
初中数学
勾股定理与分类讨论思想
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
c
勾股定理
a
b
a +b ＝c
2
2
2
典例精解
类型一：直角边、斜边不明求长度
例1：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段 4或 恰好能组成一个直角三角形，那么x等于__________. 解:(1)当以3cm,xcm为直角边，5cm为斜边时，
勾股定理的知识点总结
勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
在数学教育中，勾股定理也是基础知识之一，学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。
除了勾股定理本身，还有一些与之相关的知识点，比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。
接下来，我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容，以便读者能够更全面地了解这一重要定理。
一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
据说，毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。
他发现，对于一个直角三角形来说，直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。
这一发现被称为勾股定理，成为了数学中的一项重要定理。
勾股定理的数学表述如下：如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
这一定理适用于所有直角三角形，无论其大小或者比例如何，只要是直角三角形，勾股定理都成立。
勾股定理的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题，比如求边长、求角度、求面积等。
在三角学中，勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值，从而解决各种三角函数的计算问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身，勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
也就是说，如果三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
只要我们知道了三角形的三条边的长度，就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点题库
(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点题库单选题1、有下面的判断：①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm3、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF 的长度为()A ．5B ．3√5C ．2√5D ．3√24、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．235、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B =90°，则下列等式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．a 2+c 2=b 2D ．c 2−a 2=b 26、如图，点P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P 表示的实数是（ ）A ．-2B ．-2.2C ．-√10D ．-√10+17、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算8、数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my填空题9、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，D为BC的中点，AD=2√5，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．10、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=_______．11、在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．12、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10，BC=3，求AC的长，若设AC=x，则可列方程为________________．13、在△ABC中，AB=√34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．解答题14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．15、如图，在△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．(带解析)人教版初中数学勾股定理_004参考答案1、答案：B解析：根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；②根据勾股定理可得②正确；③根据勾股定理的逆定理可得③正确；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．共2个正确．故选B．小提示：本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．2、答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..3、答案：C解析：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，设CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴16+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AF=CF=5，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴EH=AE−AH=2，∵FH=4，∴EF2=42+22=20，∴EF=2√5；故选C．4、答案：B解析：根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵S△AFB=12AB⋅BF，∴6=12×3⋅BF，∴BF=4，∴AF=√AB2+BF2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴SΔAED=12AD⋅ED=12×5×53=256，故选：B．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、答案：C解析：根据勾股定理解题．解：如图，由勾股定理得，a2+c2=b2，故选：C．小提示：本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6、答案：D解析：在三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数. 在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=√32+12=√10，∴AP=AB=√10，∴OP=AP-OA=√10-1，则P表示的实数为-√10+1．故选D．小提示：本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、答案：A解析：解：利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．8、答案：C解析：分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．小提示：考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．9、答案：2√5解析：根据中点的含义先求解BD,作点C关于AB对称点C′，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,于是得到∠C′BC= 90°，再证明BC′=BC=4，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵AC=BC=4，D为BC的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=2，∠CBA=45°，作点C关于AB对称点C′，CC′交AB于O，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,∴∠C′BC=90°，∴BC′⊥BC，点C关于AB对称点C′，∴AB垂直平分CC′，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√42+22=2√5.所以答案是：2√5．小提示：此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．10、答案：1.5解析：解：在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=5∵将△ABC折叠得△AB′E∴AB′＝AB，B′E＝BE∴B′C＝5－3＝2设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2∴（4－x）2＝x2＋22解得x=1.5所以答案是：1.511、答案：157解析：过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，由勾股定理可求AB=5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，DF ⊥BC 于F ，∵将ΔADC 沿直线CD 翻折，∴AC =CE =3，∠ACD =∠BCD =45°，∴BC =4，∵DH ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACD =∠BCD =45°，∴DF =DH ，∠DCF =∠FDC =45°，∴DF =CF ，∵AB 2=AC 2+BC 2=9+16=25，∴AB =5，∵S ΔABC =12×AC ×BC =12×AC ×DH +12×BC ×DF ，∴12=7DF ，∴DF =127，∴DF =CF =127，EF =97， ∴DE =√DF 2+EF 2=√14449+8149=157，所以答案是：157．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出DF的长是本题的关键．12、答案：x2+32=(10−x)2解析：设AC=x，则AB=10-x，再由AC2+BC2=AB2即可列出方程．解：∵AC=x，且AC+AB=10，∴AB=10−x，在Rt△ABC中，由勾股定理有：AC2+BC2=AB2，即：x2+32=(10−x)2，故可列出的方程为：x2+32=(10−x)2，所以答案是：x2+32=(10−x)2．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．13、答案：9或1解析：△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=√(√34)2−32=5，CD=√AC2−AD2=√52−32=4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为9或1．小提示：本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．14、答案：（1）证明见解析；（2）4√3解析：（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴AC=2DC=8，AD=√AC2−DC2=√82−42=4√3小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15、答案：84解析：先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴ΔABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在RtΔACD中，CD=√AC2−AD2=15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴SΔABC=12BC·AD=12×21×8=84．因此ΔABC的面积为84．故答案为84．小提示：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形．。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。
证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。
拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。
勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。
此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。
记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。
勾股定理分类讨论
在电磁学中，电场强度、磁场强度等物理量的计 算也需要用到勾股定理。
在日常生活中的应用
建筑学中的应用
在建筑学中，勾股定理常常被用 来确定建筑物的位置、角度和尺 寸等参数，以确保建筑物的稳定 性和安全性。
航海中的应用
在航海中，勾股定理被用来确定 船只的位置、航向和航速等参数， 以确保船只能够安全地到达目的 地。
勾股定理的数学表达式
$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直 角边，$c$是斜边。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早可以追溯到古希腊 的毕达哥拉斯学派，该学派认为 数是万物的本原，而数学则是对 现实世界的抽象表达。
中国古代的发现
在中国，商朝时期的商高就有了 “勾三股四弦五”的勾股定理特 例，而周朝时期的陈子也对此做 出了类似的表述。
05
勾股定理的扩展与推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理的逆定理，可以通过证 明三角形两边平方和等于第三边的平 方来证明该三角形是直角三角形。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广形式一
勾股定理可以推广到任意多边形，只要 多边形可以被分割成若干个直角三角形 ，就可以应用勾股定理。
应用场景
在几何学、三角函数、 解析几何等领域中，勾 股定理在直角三角形中
都有广泛的应用。
证明方法
勾股定理的证明方法有 多种，其中最为常见的 是利用相似三角形的性
质进行证明。
锐角三角形中的勾股定理
总结词
锐角三角形中的勾股定理是指对于任意一个锐角 三角形，任意一边的平方小于其他两边平方和。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类
1.勾股定理是什么？
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是一个数学定理，表述为：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方的和。
2.勾股定理的公式是什么？
在直角三角形中，设直角边（又称斜边）为c，其余两边分别为a和b，则有：
c²=a²+b²。
3.勾股定理有哪些应用？
勾股定理在三角函数、图形的性质、向量的计算等方面有广泛应用。
4.勾股定理的常见题型有哪些？
常见的勾股定理题型主要有以下几种：
（1）已知两边求斜边长度。
（2）已知一个角及一边求其他两边长度。
（3）已知三边长度判断是否为直角三角形。
（4）已知三角形面积和直角边长度求另一条直角边长度。
勾股定理中的分类讨论
勾股定理中的分类讨论在用勾股定理解决问题时，有些问题会出现多种情况，若分析不到位就会漏解或错解.这就需要我们利用分类思想对各种情况加以讨论，并逐类求解，然后综合得解.本文以一个中考题为例，对运用勾股定理解题时需要用到的分类思想加以探讨，供同学们参考.（2010?黑龙江双鸭山）Rt△ABC中，∠BAC=90°，【例题】AB=AC=2. 以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_______.【分析】首先要结合题意，画出相应的图形.因为以AC为一边在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则AC可以是直角边，也可以是斜边，其中以AC为直角边又分两类，分别以A、C为直角顶点，所以有三种情况.【解答】情况一：如图1，以A为直角顶点，向外作等腰直角△DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4.情况二：如图2，以C为直角顶点，向外作等腰直角△ACD，∵△ACD是等腰三角形，∴得AC=CD=2，∠ACD=90°，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴AB∥CD且AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AC和BD互相平分，且相交于O，情况三：如图3，以AC为斜边，D为直角顶点，向外作等腰直角△ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴设AD=DC=x，根据勾股定理，建立方程x2+x2=22，又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，【涉及知识点】等腰三角形，勾股定理.【点评】本题中，符合条件的图形不唯一，所以结论存在多种情况.在应用一条已知线段构造等腰直角三角形时，这条已知线段可以是直角边，也可以是斜边.根据具体图形，结合勾股定理计算线段的长即可.本题主要考查勾股定理、等腰三角形性质的灵活运用，同时对分类讨论思想有较高要求.同学们不妨尝试完成下列变式：【变式】Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2.以BC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形BCD，则线段BD的长为_______.【分析】本例同上例类似，都是有着与勾股定理有关的无图多解的特点.如果不注意分类讨论，就会漏解或错解.所以有必要利用分类讨论思想逐类求解.参考答案：2或4或2.同学们不妨再想一想，如何求AD的长？【小练习】1. 已知△ABC是等腰三角形，其中一边长是10，另一边长是8，则底边上的高为（）.D. 以上都不是2. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6 m、8 m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.【参考答案】1. AB=AC=10，BC=8 AB=AC=8，BC=10按照腰和底的长进行分类讨论如图1、图2，再利用勾股定理计算得答案为C.2. 利用等腰三角形性质进行分类讨论，如图①②③，可利用勾股定理和方程思想求得答案分别为：32或20+4 【题型分析】此类题考查了运用勾股定理计算中的分类思想.要熟悉等腰三角形的分类，要全面分析在原来直角三角形的基础上可能构成等腰三角形的各种情况，防止以偏概全.题目如有图形则将变得很简单，按图形解答即可.但若没有图形，则需要讨论几种可能的情况，这正是“无图题前细思考，分类讨论保周到”.总之，勾股定理作为解题中的一种工具，在中考中的应用十分广泛，覆盖了填空、选择、探究、证明等各种题型.它作为一种代数思想解决几何问题的最重要的工具，除了在等腰三角形中出现，更是常常与其他知识，如全等三角形、圆及图形变换等结合，同学们要能灵活运用所学知识，结合图形的特点，恰当分类解决问题.（作者单位：江苏省常州市兰陵中学）。
勾股定理解题中的分类讨论
勾股定理解题中的分类讨论
勾股定理作为工具性内容，在初中几何中有比较广泛的用途，在勾股定理的应用中，会运用到一些方法和思路。
一．配方法：
将一个二次式通过配方转化为几个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算即可。
二．等面积法：
把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式。
在几何中，通常利用等面积法求垂线段的长度以及证明垂线段之间的关系.
三．分类讨论思路
在运用勾股定理时，当斜边或直角未定时，需要分类讨论.在解决有关高线的问题中，当三角形的形状未定时，需要注意分类讨论，一般分为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）两种情况，分别画图计算即可.在一些几何综合探究题和存在性问题中也经常需要应用分类讨论思路。
四．整体转化思路
在解题中，需要的数据或关系式不能直接得出时，就可以考虑整体替换思路。
五．方程思想
在应用勾股定理求线段长度问题中，当题目未知量较多或给定的条件不能直接利用，如已知两线段之间的和、差、
倍、分、比关系，但两线段长度均未知，这个时候可以考虑利用方程来解题，因为在直角三角形中，“知二可推一”。
设其中一条未知线段长度为x，再用含有x的代数式表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。
勾股定理中的分类讨论
勾股定理中的分类讨论在学习勾股定理时，有时会遇到多种情况，稍不留神就会丢解或造成错解，这就需要我们利用分类讨论思想对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解．为帮助同学们解决这类问题，现将勾股定理中需用到分类的问题为同学们分类浅析．一、按直角边、斜边分类例1 如果三条线段的长分别为3cm 、x cm 、5cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于________．解：（1）当以3cm 、x cm 为直角边，5cm 为斜边时，有52＝32＋x 2，x ＝4；（2）当3cm 、5cm 均为直角边时，有32＋52＝x 2，x因此，x 为4二、按等腰三角形的腰与底分类例2 在等腰三角形ABC 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，则△ABC 的面积为________．解：（1）当5cm 为腰，6cm 为底时，则AB ＝AC ＝5cm ，如图1．过A 点作AD ⊥BC ，所以CD ＝3，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，所以AD 2＝52－32，AD ＝4，因此S △ABC ＝12×6×4＝12cm 2． （2）当6cm 为腰，5cm 为底时，则BC ＝AC ＝6cm ，如图2．过C 点作CD ⊥AB 于点D ，所以AD ＝52，在Rt △ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2，所以222562CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，CD ，因此1522ABC S =⨯⨯=△2．所以△ABC 的面积为12cm 2cm 2． 三、按高的位置分类例3 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为________．解：（1）当△ABC 的高在三角形内时，如图3．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9＋5＝14，因此△ABC 的周长为9＋5＋15＋13＝42．（2）当△ABC 的高在三角形外时，如图4．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9－5＝4，因此△ABC 的周长为4＋15＋13＝32．综上所述△ABC 的周长为32或42．四、按展开方式的不同分类例4 如图5是一个放置雕塑的长方体底座，AB ＝12米，BC ＝2米，BB ′＝3米，一只蚂蚁从点A 出发，以2厘米/秒的速度沿长方体表面爬到C ′至少需（ ）A ．11052分钟 B ．5106分钟 C ．1132分钟 D ．10分钟 解：2厘米/秒＝0.02米/秒．（1）将正面与右面展开，如图6．由两点之间，线段最短及勾股定理可知路径一：AC ′2＝AC 2＋CC ′2＝142＋32＝205；（2）将左面与上面展开，如图7．由勾股定理知路径二：AC ′2＝AD 2＋C ′D 2＝152＋22＝229；（3）将正面与上面展开，如图8．由勾股定理知路径三：AC′2＝AB2＋BC′2＝122＋52＝169．因为229＞205＞169，所以路径二AC′＞路径一AC′＞路径三AC′，因此按路径三的方式0.02＝650秒，即5106分钟，故应选B．。
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——勾股定理+分类讨论
齐市第二十一中学：于景春
1.直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三 角形的第三边为 . 变式一 2.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 的第三边为 . 3.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 的斜边为 .
变式二 4.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 斜边上的中线为 . 5.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 第三边上的中线为 .
典型题训练 1.已知一个三角形两边长分别为20cm和30cm，第 三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2.
2.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD， 则线段BD的长为 .
3.Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角 为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且 ∠ACP=30°，则PB的长为 .
（2011年中考题）
1.已知一个三角形两边长分别为20cm和30cm，第三边上 的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2.
（2010年中考题）
2.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边， 在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长 为 .
（2012年中考题）
3.Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°， 点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°， 则PB的长为 .
类比训练
1.三角形的一边为8，另两边都是方程 x 的根，该三角形的面积为 .
2
16x 60 0
2.为迎接我市縁博会，计划在和平广场用30平方米的草皮 铺设有一个边长为10米的等腰三角形绿地，那么该绿地 的周长为 .
拓展训练
在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC= ，⊙A的半径为1， 2 2 2 点P在线段BC上，（不与点B、C重 合），以点P为圆心，PB长为半径 作⊙P，当⊙P与⊙A相切时， △APC的面积为 .
AHale Waihona Puke BPC1.直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形的 第三边为 .
2.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形的第三 边为 .
3.直角三角形的两边分别为6和8，则该三角形的斜边 为 . 4.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形斜边上 的中线为 . 5.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形第三边 上的中线为 .