高中数学人教A版必修四同步课件：2.5平面向量应用举例
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人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课课件_2
3、功的定义即是F与所产生位移S的数量值
例1：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96
v1 v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时vd1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大
时，θ 由0º到90º逐渐变大， 变小2，因此 ：
cos
的2θ 值由大逐渐
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
cos
θ 2
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
答：在（*）式中，当θ =0º时，cos
例1：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96
v1 v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时vd1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大
时，θ 由0º到90º逐渐变大， 变小2，因此 ：
cos
的2θ 值由大逐渐
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
cos
θ 2
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
答：在（*）式中，当θ =0º时，cos
高中数学 2.5 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
解析：由(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，① 得(B→C＋B→A)·A→C－A→C2＝0， 所以A→C·(B→C＋B→A－A→C)＝0.② 所以A→C·(B→C＋B→A＋C→A)＝0.③ 即A→C·(B→C＋C→A＋B→A)＝0， 所以 2 A→C·B→A＝0.
所以A→C⊥B→A.
所以∠A＝90°.
第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实 际问题．(重点)
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点) 3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．(易混点)
1．物理学中的量与向量的关系 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 __向__量____． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 向量的__加__减___法．
(2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( ) 提示：× A→B∥C→D⇒直线 AB 与 CD 重合或平行．
(3)向量A→B，C→D的夹角与直线 AB，CD 的夹角不相等．( ) 提示：× A→B、C→D的夹角可能与直线 AB、CD 的夹角相
等．
1．向量在平面几何中的应用 (1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关 线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向 量的夹角，于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算 取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为我们研 究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具．
所以四边形 A1A2A3A4 是平行四边形．又因为(A→1A2－A→1A 4)·A→1A3＝A→4A2·A→1A3＝0，所以A→4A2⊥A→1A3.所以四边形 A1A2A3A4 是菱形．
答案：B
人教版高中数学高一A版必修4 2.5平面向量应用举例(第1课时)
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1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．
思考平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？
提示：设a ＝(x
1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0，且b ≠0)，a 与b 的夹角为θ.
①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a | ②证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； ③线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔
x 1y 2－x 2y 1＝0；
④求夹角问题，常利用向量的夹角公式：
cos θ＝·||||a b a b . 特别提醒向量法解决几何问题的两个方向
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．。
2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件：2.5 平面向量应用举例1
6.矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系?这一结论能 否推广到一般的平行四边形呢?能否用向量证明这一结论呢? 提示若四边形ABCD是矩形,则其对角线AC,BD的长度与两条邻边 长度之间的关系是AC2+BD2=2(AB2+AD2),这一结论对于一般的平 行四边形也是成立的,可以借助向量的方法对这一结论进行证明. 7.填空:平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平 方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
解析(1)因为 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 所以������������=(1,1),������������=(-4,2),������������=(-3,3). 因为������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0, 所以 AB⊥AC,即∠A=90°,所以△ABC 为直角三角形. (2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是 |������������ + ������������ |和|������������ − ������������ |. ∵������������=(3,5),������������=(-1,1), ∴������������ + ������������ =(2,6),������������ − ������������ =(4,4), ∴|������������ + ������������ |= 22 + 62 =2 10,|������������ − ������������ |= 42 + 42 =4 2.
1 3 1 3 3 1 1 ������������=- ������������ , 3 3 3
人教版必修4 数学2.5 平面向量应用举例 课件(34张)精选ppt课件
法二：以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐 标系，
设 B(0,0)，C(2,0)，则 A(12， 23)，D(52， 23)． 设 E(m,0)，则B→D＝(52， 23)，A→E＝(m－12，－ 23)， 由 AE⊥BD，得A→E·B→D＝0， 即52(m－12)－ 23× 23＝0， 解得 m＝45，所以 BE∶EC＝45∶65＝2∶3.
2．在四边形 ABCD 中，若A→B＋C→D＝0，A→C·B→D＝0，则四边
形为( D )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：由题意可知，A→B∥C→D，|A→B|＝|C→D|，且A→C⊥B→D，
∴四边形 ABCD 为菱形．
3．已知力 F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则 F 对物体所做的功为____1____焦耳． 解析：由已知位移A→B＝(－4,3)，∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝
力 F4，则 F4 等于( D ) A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析：为使物体平衡，即合外力为零，即 4 个向量相加等于
零向量，所以 F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3)) ＝(1,2)．
3．一只鹰正以与水平方向成 30°角的方向向下飞行，直扑 猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度
本部分内容讲解结束
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再见
2019/12/2
(2)证明：设D→C＝λA→B(λ＞0)， ∵P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q－A→P ＝A→B＋12(B→D－A→C) ＝A→B＋12[(A→D－A→B)－(A→D＋D→C)] ＝A→B＋12(C→D－A→B) ＝12(C→D＋A→B)＝12(－λ＋1)A→B， ∴P→Q∥A→B，又 P，Q，A，B 四点不共线，所以 PQ∥AB.
高中数学必修四人教A版 课件《2-5平面向量应用举例-1》
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练
1
已知 A -1,-
7 3
,B 1,
1 3
,C -
1 ,2 2
,D -
7 ,-2 2
,则直线 AB
与直线 CD( ) A.垂直
解析 :������������ = 2,
8 3
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二垂直问题 【例2】 已知正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,求证AF⊥DE.
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探究一
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探究四
思维辨析
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探究四
思维辨析
变式训练
2
平面上有三个点 A(-2,y),B 0, .
�����Leabharlann ,������ 2������ 2
,C(x,y)(x ≠0),若
������������ ⊥ ������������ ,则动点 C 的轨迹方程为
解析 :∵������������ = 2,������ 2
, ������������ =
, ������������ ⊥ ������������ ,
答案:(1)C (2)2 10 4 2
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高中数学 2.5.2平面向量的应用举例课件 新人教A版必修4
反思小结 观点提炼
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系， 再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？ 用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
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8
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
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9
[作业精选，巩固提高]
• 题：A组：3，4. B组：2.
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10
2.5.2平面向量的应用举例
完整版ppt
1
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
问题1：你能掌握物理中的哪些矢量？
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2
设计问题 创设情境
平面向量的应用举例
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
学生探索 尝试解决
平面向量的应用举例
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
用向量研究物理问题的方法: 问题转化，即把物理问题转化为数学问题； 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
高中数学 2.5平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
第二章
平面向量
2.5 平面向量应用举例预习篇Fra bibliotek提高篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
学习目标
1.通过向量知识在实际问题中的应用，提高分析问题、 解决问题的能力.
2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学 模型解决实际问题.
重点难点
重点：向量知识在实际问题中的应用； 难点：把实际问题转化成数学问题.
预习篇01
＋O→C－2O→A|，则对△ABC 的形状最准确的描述为( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：因为O→B＋O→C－2O→A＝O→B－O→A＋O→C－O→A＝A→B＋ A→C，O→B－O→C＝C→B＝A→B－A→C，于是|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|， 所以|A→B＋A→C|2＝|A→B－A→C|2，即A→B·A→C＝0，从而 AB⊥AC.故 选 B.
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点， ∴M(0，12)， ∴M→D＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)， M→B＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)． ∴M→D＝－M→B，∴M→D∥M→B. 又MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线．
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位 移都是 向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与 分解就是向量的 加减法运算． 用向量解决速度、加速 度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有 时也用坐标运算．
3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位 移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．
新知导学
平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．
平面向量
2.5 平面向量应用举例预习篇Fra bibliotek提高篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
学习目标
1.通过向量知识在实际问题中的应用，提高分析问题、 解决问题的能力.
2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学 模型解决实际问题.
重点难点
重点：向量知识在实际问题中的应用； 难点：把实际问题转化成数学问题.
预习篇01
＋O→C－2O→A|，则对△ABC 的形状最准确的描述为( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：因为O→B＋O→C－2O→A＝O→B－O→A＋O→C－O→A＝A→B＋ A→C，O→B－O→C＝C→B＝A→B－A→C，于是|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|， 所以|A→B＋A→C|2＝|A→B－A→C|2，即A→B·A→C＝0，从而 AB⊥AC.故 选 B.
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点， ∴M(0，12)， ∴M→D＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)， M→B＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)． ∴M→D＝－M→B，∴M→D∥M→B. 又MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线．
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位 移都是 向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与 分解就是向量的 加减法运算． 用向量解决速度、加速 度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有 时也用坐标运算．
3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位 移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．
新知导学
平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
高中数学 必修四 课件：2-5 平面向量应用举例
(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题． (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问 题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面 直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．
第二章 2.5
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2， 对角线BD＝2.求对角线AC的长．
第二章 2.5
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[证明] 设A→O＝a，O→B＝b， 则A→B＝a＋b，O→C＝a，B→C＝a－b， |a|＝|b|.
第二章 2.5
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因为A→B·B→C＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， 所以A→B⊥B→C.所以∠ABC＝90°.
第二章 2.5
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如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对 角线，试用向量证明：AC⊥BD.
第二章 2.5
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[解析] 解法一：∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0. ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD.
一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶， 航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实 际速度．
[分析] 先根据题意作出示意图，然后再用向量知识解 决．
第二章 2.5
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[解析]
如图，
→ OA
第二章 2.5
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如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2， 对角线BD＝2.求对角线AC的长．
第二章 2.5
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[证明] 设A→O＝a，O→B＝b， 则A→B＝a＋b，O→C＝a，B→C＝a－b， |a|＝|b|.
第二章 2.5
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因为A→B·B→C＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， 所以A→B⊥B→C.所以∠ABC＝90°.
第二章 2.5
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如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对 角线，试用向量证明：AC⊥BD.
第二章 2.5
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[解析] 解法一：∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0. ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD.
一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶， 航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实 际速度．
[分析] 先根据题意作出示意图，然后再用向量知识解 决．
第二章 2.5
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[解析]
如图，
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