曲线方程地表示方法
曲线的切线与法线方程
曲线的切线与法线方程在微积分中，曲线的切线和法线是研究曲线性质的重要工具。
切线和法线是与曲线相切于某一点的直线，切线贴近曲线的趋势，法线则与切线垂直。
本文将详细介绍如何求解曲线的切线和法线方程。
一、曲线的切线方程切线是曲线上与曲线相切于某一点的直线。
要求解曲线的切线方程，首先需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 首先，确定曲线方程。
假设我们有一个曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 然后，选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的切线与曲线相切的点。
3. 接下来，求解曲线在P点处的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 利用导数计算曲线在点P的斜率。
斜率可以通过求解斜率公式来进行计算，即斜率k = f'(x0)。
5. 最后，使用点斜式或一般式等形式得到切线方程。
切线方程可以表示为y-y0 = k(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
二、曲线的法线方程法线是与切线垂直的直线。
要求解曲线的法线方程，同样需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 同样地，我们需要确定曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的法线与曲线相切的点。
3. 求解曲线在点P的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 计算曲线在点P处的斜率的负倒数。
法线的斜率是切线斜率的负倒数，即斜率k' = -1/f'(x0)。
5. 利用点斜式或一般式等形式得到法线方程。
法线方程可以表示为y-y0 = k'(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
总结：通过求解曲线在特定点的导数，我们可以得到切线的斜率和法线的斜率。
利用点斜式或一般式，我们可以得到切线和法线的方程。
这些方程可以用来描述曲线的性质，并且在解决相关问题时起到重要作用。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲线与方程
曲线与方程一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．三、求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．（1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数）与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数）（3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数）（4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件下列方程各表示什么曲线？① 29y x -=② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．练习1：（直接法）已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴，y 轴上滑动，求AB 的中点P 的轨迹方程。
二次曲线的标准方程与性质
二次曲线的标准方程与性质二次曲线是代数曲线中的一类特殊曲线，它的标准方程可以通过数学推导得出，并且具有一些特殊的性质。
本文将探讨二次曲线的标准方程以及一些相关的性质。
1. 二次曲线的标准方程在笛卡尔坐标系中，二次曲线的标准方程可表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F为实数，并且满足条件：B^2 - 4AC < 0。
需要注意的是，当B^2 - 4AC = 0时，方程表示一个抛物线；当B^2 - 4AC > 0时，方程表示一个双曲线。
2. 抛物线的性质当B^2 - 4AC = 0时，二次曲线的标准方程表示一个抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 对称轴：抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，方程为x = -D / (2A)。
b. 焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点的坐标为(-D / (2A), -E / (4A))，准线的方程为y = (-E - (B * (-D / (2A)))) / (2A)。
c. 形状：抛物线的开口方向由A的正负决定。
当A > 0时，抛物线开口向上；当A < 0时，抛物线开口向下。
d. 最值点：抛物线的最值点称为顶点，坐标为(-D / (2A), -E^2 / (4A) - F)。
当A > 0时，抛物线的顶点是最小值点；当A < 0时，抛物线的顶点是最大值点。
3. 双曲线的性质当B^2 - 4AC > 0时，二次曲线的标准方程表示一个双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 中心和焦点：双曲线有一个中心点和两个焦点。
中心的坐标为(-D / (2A), -E / (2C))，焦点的坐标分别为(-D / (2A) ± √(B^2 - 4AC) / (2A), -E / (2C))。
b. 渐近线：双曲线有四条渐近线，方程分别为y = (-E ± √(B^2 -4AC) * x) / (2C)和x = (-D ± √(B^2 - 4AC) * y) / (2A)。
(完整版)求曲线方程的六种常用方法
(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。
这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。
方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。
方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。
它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。
方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。
它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。
通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。
方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。
利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。
方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。
拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。
方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。
它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。
通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。
选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。
结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。
通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。
希望这些方法能够对你有所帮助。
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。
下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。
故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
平面曲线的基本性质与方程
平面曲线的基本性质与方程平面曲线是几何学中研究的一个重要概念，它可以由一系列方程或参数方程来描述。
平面曲线的基本性质包括曲线的类型、对称性和方程的解析形式等。
在本文中，将介绍平面曲线的基本性质与方程，以便更好地理解和应用这一概念。
1. 曲线的类型平面曲线可以分为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等不同类型。
直线是最简单的曲线，其方程可以用一次函数来表示。
圆是由到定点距离等于半径的点构成的曲线，其方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
椭圆是圆在平面上的投影，其方程为(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为椭圆中心坐标。
双曲线的方程为(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为双曲线中心坐标。
抛物线的方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
2. 对称性平面曲线可以具有对称性，即关于某条轴或点对称。
直线、圆和椭圆都可以具有轴对称性，而双曲线和抛物线不具有轴对称性。
对于方程为f(x, y)=0的曲线，其对称性可由方程的特性决定。
3. 曲线的方程平面曲线的方程可以通过给定的条件或特征来推导。
例如，对于给定的点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。
若已知两个点，可以使用两点式方程表示直线。
圆的方程可以通过圆心和半径来确定。
椭圆和双曲线的方程可以通过焦点、顶点和离心率等特征来确定。
抛物线的方程可以通过焦点和直线方程来确定。
4. 曲线的参数方程除了用方程来描述曲线，还可以使用参数方程来表示。
参数方程由参数t的函数形式构成，将参数t代入方程中，可以得到曲线上对应点的坐标。
例如，对于直线，可以使用参数方程 x = at + b, y = ct + d 来表示，其中a、b、c、d为常数。
参数方程可以更灵活地描述曲线的变化和特征。
通过研究平面曲线的基本性质与方程，我们可以更好地理解其几何特征和数学表达形式。
解析几何中的曲线方程
解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的点、直线、曲线、曲面及其相互关系。
而曲线方程是解析几何中的重要内容之一，用来描述曲线在坐标系中的数学性质。
曲线方程的一般形式可以表示为：F(x, y) = 0，其中F(x, y)是一个含有x和y的表达式。
通过曲线方程，我们可以得到曲线上的所有点的坐标。
下面我们来看几种常见的曲线方程。
直线是最简单的曲线，其方程可以用一般式表示为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
这种形式的方程被称为线性方程，它表示了平面上的一条直线。
直线的斜率可以从方程中的A和B的比值得到，如B不为0，则斜率为-m=A/B。
圆是解析几何中的重要曲线之一，其方程可以用标准式表示为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中（a，b）表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
圆的方程可以告诉我们圆心及半径，从而确定了圆在坐标系中的位置和大小。
另一种重要的曲线是椭圆，其方程可以用标准式表示为：(x - a)² / a² + (y - b)² / b²= 1，其中（a，b）表示椭圆中心的坐标。
椭圆的方程可以告诉我们椭圆在坐标系中的位置和形状。
椭圆的长轴和短轴分别是2a和2b。
双曲线也是解析几何中常见的曲线之一，其方程可以用标准式表示为：(x - a)² / a²- (y - b)² / b² = 1，其中（a，b）表示双曲线中心的坐标。
双曲线的方程可以告诉我们双曲线在坐标系中的位置和形状。
双曲线的两支分别在x轴和y轴的两侧展开。
除了上述曲线，解析几何还研究了其他曲线方程，如抛物线、椭圆线、双曲线等。
每一种曲线方程都有其独特的数学性质和特征。
在解析几何中，我们可以通过方程来分析曲线的性质，如曲线的形状、对称性、最值点等。
通过研究曲线方程，我们可以得到曲线在坐标系中的图像，进而了解曲线的各种特点。
曲线的标准方程公式
曲线的标准方程公式曲线是我们生活和工作中经常遇到的一个概念，它在数学中有着重要的地位。
而曲线的标准方程公式是描述曲线的一种重要方式。
在本文中，我们将详细介绍曲线的标准方程公式，包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并且通过实例进行说明。
首先，我们来看直线的标准方程公式。
对于直线而言，其标准方程公式可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这个方程可以通过一般方程Ax + By + C = 0除以C得到。
例如，直线2x + 3y = 6的标准方程公式为2x + 3y 6 = 0。
接下来，我们来讨论圆的标准方程公式。
圆的标准方程公式可以表示为(x h)²+ (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
这个方程可以通过圆的一般方程x² + y² + Dx + Ey + F = 0完成平方项配方得到。
例如，圆心坐标为(3, 4)，半径为5的圆的标准方程公式为(x 3)² + (y 4)² = 25。
然后，我们来讨论椭圆的标准方程公式。
椭圆的标准方程公式可以表示为(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(a, b)为椭圆的长短轴，(h, k)为椭圆的中心坐标。
这个方程可以通过椭圆的一般方程Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0完成平方项配方得到。
例如，长轴为6，短轴为4，中心坐标为(3, 2)的椭圆的标准方程公式为(x 3)²/36 + (y 2)²/16 = 1。
接着，我们来讨论双曲线的标准方程公式。
双曲线的标准方程公式可以表示为(x h)²/a² (y k)²/b² = 1，其中(a, b)为双曲线的参数，(h, k)为双曲线的中心坐标。
曲线与曲面的参数方程与切线法向量
曲线与曲面的参数方程与切线法向量曲面与曲线的参数方程与切线法向量在数学中，曲线和曲面是两个基本的概念。
曲线可以用参数方程来表示，而曲面也可以通过参数方程进行描述。
此外，在研究曲线和曲面的性质时，切线和法向量是非常重要的工具。
本文将探讨曲线和曲面的参数方程以及切线法向量的概念和应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来表示，其中曲线上的点坐标是参数的函数。
通常用参数t表示曲线上的点，并用x(t)和y(t)表示点的横纵坐标。
因此，曲线的参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)比如，考虑一条单位圆的曲线，它可以由以下参数方程给出：x = cos(t)y = sin(t)其中t的取值范围是0到2π。
通过改变t的取值，我们可以获得圆上的各个点。
二、曲面的参数方程曲面可以由两个参数来表示，通常用u和v表示曲面上的点的参数。
曲面上的点坐标同样可以表示为参数的函数，用x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)表示。
因此，曲面的参数方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)例如，一个球体的曲面可以由以下参数方程给出：x = R * sin(u) * cos(v)y = R * sin(u) * sin(v)z = R * cos(u)其中R表示球的半径，u的取值范围是0到π，v的取值范围是0到2π。
通过改变u和v的取值，我们可以获得球体上的各个点。
三、曲线的切线和法向量曲线的切线向量表示曲线上某一点的切线方向。
对于参数方程x =x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的切线向量可以通过求导得到：dx/dt = x'(t)dy/dt = y'(t)其中x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。
切线向量的方向是曲线在该点的切线方向。
曲线上某一点的法向量垂直于切线向量，表示曲线在该点的法向量。
对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的法向量可以通过对切线向量的导数再求导得到：d²x/dt² = x''(t)d²y/dt² = y''(t)其中x''(t)和y''(t)分别表示x'(t)和y'(t)关于t的导数。
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。
基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。
2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。
例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。
3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。
比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。
4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。
切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。
5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。
参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。
6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。
具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。
综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。
在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。
希望本文对您求解曲线方程有所帮助。
注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。
求曲线方程的几种常见方法
求曲线方程的几种常见方法求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M 的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B 之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q （），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q 的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。
求曲线方程的基本方法--坐标法
求曲线方程的基本方法——坐标法借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科．平面解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质．例1 设A 、B 两点的坐标是(10)(10)-，，，，若1MA MB k k =- ，求动点M 的轨迹方程． 解：设M 的坐标为()x y ，，M 属于集合{}|1MA MB P M k k ==- ．由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为1(1)11y y x x x =-≠±-+ ，整理后得 221(1)x y x +=≠±．下面证明221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程．（1）由求方程的过程可知，M 的坐标都是方程221(1)x y x +=≠±的解；（2）设点1M 的坐标11()x y ，是方程221(1)x y x +=≠±的解，即221111(1)x y x +=≠±，221111(1)y x x =-≠±，1111111y y x x =--+ ， ∴111M A M B k k =- ．由上述证明可知，方程221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程．点评：所求的方程221x y +=后面应加上条件1x ≠±．例2 点M 到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M 的轨迹方程．解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图1所示．设点M 的坐标为()x y ，，点M 的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合{}|P M MR MQ ==，其中Q R ，分别是x 轴、y 轴上的过点M 的垂线的垂足．因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件MR MQ =可写成x y =，即0x y ±=．①下面证明①是所求轨迹的方程．（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）设点1M 的坐标11()x y ，是方程①的解，那么110x y ±=，即11x y =，而11x y ，正是点1M 到y 轴、x 轴的距离，因此点1M 到这两条直线的距离相等，点1M 是曲线上的点． 由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图1所示．点评：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单，所求方程的形式较“整齐”． 例3 用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和．证明：如图2所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设()P x y ，为任意点，矩形四个顶点为11221221()()()()A x y C x y B x y D x y ，，，，，，，，则有：2222221122()()()()PA PC x x y y x x y y +=-+-+-+-，2222221221()()()()PB PD x x y y x x y y +=-+-+-+-． ∴2222PA PC PB PD +=+．点评：在上述证明中，若选取矩形的邻边AB 、BC 所在直线分别为y 轴和x 轴，那么矩形的四个顶点坐标分别为1111(0)(00)(0)()A y B C x D x y ，，，，，，，，这样数据更简单，运算更简便了．因此用坐标法解题，坐标系选取得适当，可以简化运算过程．。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
双曲线方程公式
双曲线方程公式双曲线方程是一种独特的曲线，它在数学中被广泛应用。
它是一种有一定闭合特征的曲线，它在空间中看起来像一个双拱形，是一种对称的曲线，是椭圆形的特殊情况。
双曲线通常有两个独立的变量：x和y，它的方程可表示为：ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 (a≠0)其中，a，b，c，d，e，f是实数常数。
其参数a，b，c是双曲线方程的系数，其值可以用来判断双曲线的特性，如`类型`、`焦点`和`对称轴`等。
双曲线的类型有三种，即椭圆、双曲线和双曲线非曲线。
如果b/a和c/a的绝对值不大于1，则该双曲线方程表示一条椭圆；如果其中一个大于1或者两个都大于1，则该方程表示一条双曲线；如果a，b，c都等于0，则该方程表示一条双曲线非曲线。
双曲线的焦点是代表该双曲线的一种重要特征，它可以由参数d, e计算而得，即焦点处的坐标为(d/2a,e/2b)。
双曲线的对称轴是另一个重要的特征，它也可以由参数d, e计算而得，其斜率为-d/e，它的方向与左边向量(1,d/e)垂直。
由于双曲线是一种对称的曲线，因此有两条对称轴，另一条对称轴的斜率为d/e，它的方向与左边向量(1, -d/e)垂直。
双曲线的极坐标可以由它的直角坐标求得，其极坐标形式为：r = (cx + ay)/[(a - b)r][(b/c)x + (a/c)y + (d/c)r] 其中，r表示双曲线上任意点到原点的距离，即极角α恒定的圆的半径。
这样就可以用极坐标的方式表示双曲线的方程，即：r = k[(b/c)cosα + (a/c)sinα + (d/c)]而这种方程又称为双曲线的标准方程，其可以简化为：r = acos2α + bsin2α + csinαcosα + dcosα + esinα + f 双曲线的特征不仅仅可以由参数a, b, c, d, e, f来表示，还可以用它的轨迹方程来表示：(x/a) + (y/b) = 1这是双曲线的另一种简要的方程形式。
第二章曲线的表示
第二章 曲线的表示自由曲线是CAGD 最基础的内容，自由曲面能够以为是自由曲线在三维空间的拓展。
本章第一介绍了关于曲线的微分几何基础知识，要紧包括曲线的参数矢量方程、自然参数、曲率等。
然后依照自由曲线造型的进展历程，讨论了Ferguson 曲线、Bézier 曲线、B 样条曲线和NURBS 曲线。
前三种曲线是多项式曲线，它们之间存在着本质的联系，在必然条件下能够彼此转化。
插值是CAD 软件经常使用的一种造型方式。
Ferguson 曲线确实是依照插值条件直接构造的曲线，本章详细讨论了其构造方式。
关于B 样条曲线，本章也详细论述了其插值算法。
NURBS 曲线是非多项式曲线，其特点是对B 样条曲线操纵顶引入了权因子，使得NURBS 方式能够精准表示圆锥曲线。
在权因子均为1的情形下，NURBS 曲线确实是B 样条曲线。
在关于图形数据互换的标准(例如IGES 标准和STEP 标准)中，NURBS 方式是概念自由曲曲线曲面的重要方式。
曲线的微分几何基础 2.1.1 曲线的参数矢量方程图 点、坐标和矢量 图 矢量运动形成曲线如图1所示，设P 是三维空间中的一点。
在成立了笛卡尔坐标系以后，点P 能够用坐标(x,y,z)唯一表示。
另一方面，矢量OP 也能够唯一表示点P 在空间中的位置。
在以点O 为原点的笛卡尔坐标下，OP 能够用(x,y,z)唯一表示。
因•xyzOP),,(z y x •此，在带有坐标系的空间中，点、矢量和数组能够以为是等价的。
n 维空间中的点和向量用n 维数组表示。
为了便于计算和分析，经常使用矢量和数组表示空间中的点,称r =OP 是点P 的位置矢量。
设矢量r 是参数t 的函数，即r =)(t r =[)(t x ,)(t y ,)(t z ]如下图，若是r 是极点P 的位置矢量，那么点P 的运动轨迹是空间中的曲线。
方程成为该曲线的矢量参数方程。
以图中的圆柱螺线为例说明矢量参数的构造。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 曲线论§1.1 曲线方程的表示方法曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。
现实中的各种轨迹曲线图形。
在空间直角坐标系Oxyz 中， 点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。
向量r OP xi yj zk ==++，可简记为),,(z y x r =。
222z y x r ++= 。
对任意向量,a b ，成立三角形不等式||||||||||||a b a b +≤+，||||a b a b -≤- 。
补充知识：（1） 向量的内积设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ⋅=⋅→→，称为向量→a与→b 的内积；记为→→⋅b a 或),(→→b a ，其中θ是向量→a 与→b 的夹角。
可以证明：332211b a b a b a b a ++=⋅→→ 。
2322212),(||||a a a a a a ++==→→→；),(||||2→→→→→→++=+b a b a b a 22||||),(2||||→→→→++=b b a a 。
（2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→c 的大小为θsin ||||||||b a ⋅，(0)θπ≤≤，且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→⨯b a ；在直角坐标系中，可以证明： 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→，则123123i j k a b a a a b b b →→⨯=231312231312()a a a a a a i j k b b b b b b =+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。
外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算θ2222sin ||||||||||||→→→→=⨯b a b a)cos 1(||||||||222θ-=→→b a222),(||||||||→→→→-=b a b a 。
设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→，123(,,)c c c c →= 。
混合积123123123()a a a a b c b b b c c c ⋅⨯=，记()(,,)a b c a b c ⋅⨯=，显然有()()()a b c a b c c a b ⋅⨯=⨯⋅=⨯⋅ 。
几何意义二重外积展开式()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅，()()a b c c a b ⨯⨯=-⨯⨯()()a c b b c a =⋅-⋅ 。
Lagrange 恒等式()()a c a d a b c d b cb d ⋅⋅⨯⋅⨯=⋅⋅ 。
()()(,,)(,,)a b c d a b d c a b c d ⨯⨯⨯=-(,,)(,,)c d a b c d b a =-。
定理 设123(,,)T ααα=为三阶正交矩阵，123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则有()()sgn(det )()aT bT T a b T ⨯=⨯。
证明123123(,,)(,,)aT a a a a αααααα==⋅⋅⋅，123123(,,)(,,)bT b b b b αααααα==⋅⋅⋅， 由外积的计算公式，并利用Lagrange 恒等式， 可得()()aT bT ⨯231312231312(,,)a a a a a a b b b b b b αααααααααααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅231312(()(),()(),()())a b a b a b αααααα=⨯⋅⨯-⨯⋅⨯⨯⋅⨯231312()(,(),)a b αααααα=⨯⨯-⨯⨯123()sgn(det )(,,)a b T ααα=⨯sgn(det )()T a b T=⨯，这是由于 123,,ααα构成右手系，或构成左手系。
求z =+值. 解=是点(),,0Px y 与点()1,2,2A 的距离，=是点(),,0Px y 与点()3,1,1B --的距离也是点(),,0P x y 与点()3,1,1C -的距离，由于AB PA PB ≤+,故z 的最小值为AB =.注意点()1,2,2A与点()3,1,1C -同在xOy 平面的一侧,在xOy 平面上寻找一点(),,0Px y ,使PA PC +最小, 点()3,1,1B --是点()3,1,1C -关于xOy 平面的对称点, PC PB =,AC =此题的几何意义是经典熟知的.一、 平面曲线的几种表示方法 1° 显表达：)(x f y =，函数)(x f y =的图象)(f G 说成是一段曲线。
)(x f y =是该曲线的表达式，如果某曲线是函数)(x f y =的图象，则)(x f y =称为该曲线的显表达式。
2°隐表达式：如果曲线上的点是由方程0),(=y x F 的解),(y x 所构成，则方程0),(=y x F表示该曲线。
例如：0),(222=-+=a y x y x F表示一个圆的曲线，0),(=++=c by ax y x F ，)0(22>+b a表示一个直线。
3°曲线的参数表示： 如果曲线上的点可由⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点),(y x 来描绘， 则称它为曲线的参数方程。
例如:单位圆221x y +=有参数表达式sin ,cos x y θθ=⎧⎨=⎩,[0,2]θπ∈；或 2221,121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩),(+∞-∞∈t .在2tan12tan2sin 2θθθ+==x 221tan2cos 1tan2y θθθ-==+中,令2tan θ=t ,(即是万有代换),则有212t t x += , 2211t y t -=+.单位圆的参数方程的几何意义： 过(1,0)-作斜率为k 的直线与单位圆的交点坐标。
设斜率为k ，则过点(1,0)-的直线方程为 (1)y k x =+，求它与圆22=1x y +的交点，联立得222(+1+=1k x x ），2222(+1)210,k x k x k ++-=利用求根公式解得，221,1k x k -=+从而 22,1ky k =+2221,12,1k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为单位圆的参数方程。
例如：椭圆22221x ya b+=有参数表达式sin ,cos x a t y b t=⎧⎨=⎩,[0,2]t π∈。
例1、 由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ,π20≤≤t 所确定的曲线称为旋轮线（也称为摆线）。
来源背景，它的几何意义是：当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点P所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。
方程建立的过程。
手工操作运动法。
课外搜索阅读：摆线、最速降线的文献资料。
4°曲线的极坐标表示：θ≤αθβr.(r≤=),极坐标表示与直坐标表示可以互化，=，x rθθ()cos=y rθθ()sin。
几种表示的优缺点。
二、空间曲线的表示方法1°参数表示法：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t 所形成的点)),(),(),((t z t y t x 描绘出空间中的一条曲线，称为曲线的参数表示。
例如：⎪⎩⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos )0,0(),,(>>+∞-∞∈b a t 由于222a y x =+，它的几何意义：它的图形是圆柱螺线。
圆柱螺线的产生方式：将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。
螺线的运动产生方式。
列举常见的螺线。
2° 曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称为向量。
在选定坐标系下向量的表示：123r x e y e z e →→→=++，或),,(z y x r = 。
把参数曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t改写成向量形式 ))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，],[βα∈t ， 两者表示的是同样一条曲线， ))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，],[βα∈t 称为该曲线的向量方程。
定义 1.1如果)(),(),(t z z t y y t x x ===都是区间],[βα上的连续函数，那么曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t 称为连续曲线。
空间曲线的一般定义: 设I 是一个区间，定义在I 上的向量值函数))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，在空间3R 中构成的点集Γ，称为一条曲线， 称()r r t =为曲线Γ的向量方程。
多种多样的曲线已被人们所发现所认识，满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。
练习：试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处，用数学软件绘制出曲线的图形。