考点练习(必修二)：球的表面积和体积(附答案)
2019年高中数学必修二人教A版练习：1.3.2球的体积和表面积含解析
1.3.2 球的体积和表面积【选题明细表】1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π, ①又2πR+2πr=12π, ②得R-r=2.2.(2018·河南平顶山高一期末)长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D ) (A)25π (B)200π (C)100π (D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)5解析:BD=,AC=2,CD=OD-OC=-=-=1.解得R=3.4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )(A) cm(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半径为r,则V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( D )(A)π (B) (C)(D)6π解析:如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r==,所以该圆柱的体积为V=Sh=π·()2·2=6π.故选D.6.(2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为.解析:正四棱锥P ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为=4-R,O,OP=OA=R,PO或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,所以球的表面积S=36π.答案:36π7.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).8.(2018·南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是( D )(A)96(B)16(C)24(D)48解析:设球的半径为R,由πR3=π,得R=2.所以正三棱柱的高为h=4,设其底面边长为a,得×a=2,a=4.所以V=×(4)2×4=48.9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm, 2.243≈11.240 98).解:由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000<516 792,所以钢球是空心的.设球的内径为2x cm,那么球的质量为7.9×[π×()3-πx3]=145 000.解得x3≈11 240.98,所以x≈22.4,2x≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45 cm.10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.解:如图,AE⊥平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体A BCD的棱长为, 在等边△BCD中,BE=,所以AE==.由OB2=OE2+BE2,得R2=(-R)2+,解得R=,所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,所以内切球的体积为π×()3=π.11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由已知知圆锥的底面半径为r,高为h,所以V圆锥=πr2h,球的半径为r,所以V球=πr3.又h=2r,所以V圆锥∶V球∶V圆柱=(πr2h)∶(πr3)∶(πr2h)=(πr3)∶(πr3)∶(2πr3)=1∶2∶3.。
高中数学必修二 8 3 2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 练习(含答案)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1C．1D2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A．2πB．3πC．πD．4π【答案】D【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81πB．100πC．14πD．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RπB．圆锥的侧面积为22RπC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224R R Rππ⨯=，∴A错误；圆锥的侧面积为2R Rπ=，∴B错误；球面面积为24Rπ，∵圆柱的侧面积为24Rπ，∴C正确；2322V R R Rππ=⋅=圆柱，2312233V R R Rππ⋅==圆锥，343V R=π球33324:2::3:1:233:V V V R R Rπππ∴==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.6．（多选题）如图所示，ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥 ∴侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，∴A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，∴C 错误，D 正确.故选：AD .二、填空题7． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.8．如图，若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．【答案】259π3【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得13O A =，24O B =，5OA OB ==，则14OO =，23OO =，127O O =，所以()22π259347π33V ⨯⨯==.9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．【答案】6π【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，可得圆柱的底面半径为1r =，母线2l =，所以该圆柱的表面积为221222212216S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 1.3.2 球的体积和表面积
．3.2 球的体积和表面积 基础梳理1．球的体积．设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3． 练习1：一个球的半径是2，它的体积为32π3． 2．球的表面积．设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．练习2：一个球的半径是2，它的表面积是16π．练习3：一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的22倍． 练习4：一个球的体积是36π，它的表面积是36π．►思考应用1．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．解析：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d.在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2，即R 2＝r 2＋d 2.2．正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位置？ 答案：都在正方体的中心． 自测自评1．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是(A )A ．27πB ．18πC ．9πD ．54π解析：设正方体的棱长为a ，∴6a 2＝54，∴a ＝3，设球的半径为R ，∴(2R)2＝3a 2，4R 2＝27，S ＝4πR 2＝27π.2．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(C )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶163．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是解析：设大球半径为R ，则43πR 3＝43π×13＋43π×13，∴R 3＝2，R ＝32.题型二 球的内接、外切几何体问题题型三 球的体积、表面积的综合应用►跟踪训练基础达标1．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是(C )A .C 24πB .C 22π C .C 2πD ．2πC 2 解析：由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，∴S 球＝4πR 2＝C 2π. 2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(C )A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π解析：该几何体是个半球，且半径r ＝2，故其表面积为：S ＝2πr 2＋πr 2＝2π×4＋π×4＝12π.3．正方体的内切球和外接球的半径之比为(D )A .3∶1B .3∶2C ．2∶ 3D .3∶3解析：内切球与外接球的半径之比为正方体棱长与体对角线长之比，即为3∶3.4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(B )A .8π3B .82π3C ．82πD .32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，∴R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3. 5．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离为4 cm ，则球的体积为(C )A .100π3 cm 3B .208π3cm 3 C .500π3 cm 3 D .41613π3cm 3 解析：由球的性质知，球的半径R ＝32＋42＝5， ∴V 球＝4π3×53＝500π3(cm 3)． 6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4 cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，∴R ＝3. 答案：3 cm 巩固提升7．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．答案：14π8．球面上有四个点P ，A ，B ，C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的表面积．解析：PA ，PB ，PC 两两互相垂直，将三棱锥补成一个以P 为顶点的正方体，且PA ＝PB ＝PC ＝a ， ∴正方体的对角线长就是球的直径，∴2R ＝3a ，R ＝32a ， ∴这个球的表面积为S 球＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3πa 2. 9．已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．解析：如图所示，设以r 1为半径的截面面积为5π，以r 2为半径的截面面积为8π，O 1O 2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.10．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精确到0.1 kg)．解析：(1)由题意，知S正四棱台＝4×12×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝21.85R2，S球＝4πR2，所以这个盖子的表面积为S表＝(21.85＋4π)R2，(2)取R＝2，π＝3.14，得S表＝137.64(cm2)．100个这样的盖子共需涂料约为(137.64×100)÷10 000×0.4≈0.6 kg.1．球的体积比等于半径的立方比，球的表面积之比等于半径的平方比．2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化.。
高中数学必修2单元配套练习试题1.3.2球的体积和表面积及参考答案解析
1.3.2球的体积和表面积姓名:___________班级:______________________1.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.6π 2.正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A.1B.1∶3C.1∶9D.1∶3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A.59倍 B.95倍 C.2倍 D.3倍4.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )A.1B.2C.3D.45.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ) A.2倍 B.22倍 C.2倍 D.32倍6.已知四棱锥ABCD S -的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,若此四棱锥的最大体积为18,则球O 的表面积等于( ) A.18π B.36π C.54π D.72π7.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,,AB BC SA ⊥则球O 的表面积等于( )A.4πB.3πC.2πD.π8.已知点,,,A B C D 在同一个球面上,3,4,5AB BC AC ===,若四面体ABCD 体积的最大值为10,则这个球的表面积是( ) A.25π4B.125π4C.225π16D.625π169.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个直径为12 cm,深为2 cm的空穴,则该球的表面积为________cm 2.10.如图,半球内有一内接正四棱锥S ΑΒCD -,该四棱锥的体积为,则该半球的表面积为_____________.11.已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长为高为3,圆O 是等边三角形ABC 的内切圆,点P 是圆O 上任意一点,则三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为______________.12.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克？13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.14.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm 的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料？参考答案1.B【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个球面积,即221π14π13π2S =⨯+⨯⨯=,故选B.考点:球的表面积. 2.D【解析】设正方体的棱长为1,则其内切球的直径为1,半径为12,,半径为2,根据球的体积公式可知两球的体积之比为3312⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭∶1=故选D. 考点:正方体内切球和外接球的体积.3.B【解析】设最小球的半径为1,则最大球的表面积S 大＝36π,S 小＋S 中＝20π,36π9=20π5. 考点:球的表面积. 4.A【解析】设两球的半径分别为R 、r(R ＞r),则由题意得334π4π12π,332π2π6π,R r R r ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得2,1,R r =⎧⎨=⎩故R －r ＝1.考点:球的体积. 5.B【解析】由表面积扩大到原来的2倍可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.考点:球的表面积,体积. 6.B【解析】当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,设球的半径为R ,因为底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,,高为R ,所以23112)183333V Sh R R R ==⨯⨯==⇒=,所以球的表面积为224π4π336πS R ==⨯=,故选B.考点:四棱锥的体积与球的表面积公式. 7.A【解析】因为SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长,宽,高分别为,,SA AB BC 的长方体的外接球的半径,又因为1,SA AB ==所以221R R ==⇒=,所以球的表面积为24π4πS R ==,故选A. 考点:球的表面积公式.8.D【解析】由222AC BC AB =+可知△ABC 为直角三角形,BC BA ⊥,所以△ABC 的外心2O 为AC 的中点,由四面体的体积公式可知,当顶点D 到平面ABC 的距 离最大时,有最大体积,当2,O D ,球心1O 共线时,顶点D 到平面ABC 的距离最 大,由题可求得此时顶点D 到平面ABC 的距离为5=h ,设球的半径为R ,则球心1O 到圆心2O 的距离为d =则h R =解得825=R ,则球的表面积26254ππ16S R ==,故选D. 考点:三棱锥的体积,球的表面积. 9.400π【解析】设球的半径为r cm,依题意可知22362r r +-=（）,解得10r =, ∴球的表面积为()224π400πcm r =. 考点:球的表面积.10.6π【解析】设所给半球的半径为R ,则四棱锥的高h R =,则AB BC CD DA ====,所以)2133R R =⇒=所以半球的表面积为222ππ6πR R +=.考点:球的表面积. 11.20π【解析】由题设可知三棱锥111P A B C -的外接球过上底面ABC 的内切圆和下底面111A B C 的外接圆,容易算得三棱柱的上、下底面的内切圆与外接圆的半径分别为2,1.设球心O 到上、下底面的距离分别是h h -3,,则由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系可得222)3(41h h R -+=+=,解得2=h ,所以5412=+=R ,故球的表面积为4π520πS =⨯=.考点:三棱柱的几何性质与球的面积公式. 12.(1) 169.6 (2) 1 200π【解析】(1)因为半球的直径是6 cm,所以半径R ＝3 cm, 所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3).又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h＝π×9×2＝18π(cm 3).所以这种“浮球”的体积是V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3).(2)上下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2), 所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2). 因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S ＝2 500×48104π＝12π(m 2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π＝ 1 200π(克).考点:圆柱、球的体积、表面积. 13.1∶2∶3【解析】设正方体的棱长为a,三个球的半径依次为123,,r r r ,表面积依次为123,,S S S .①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,则有2r 1＝a,12ar =,所以22114ππS r a ==.②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点,则有2r 2＝2a,22r =,所以22224π2πS r a ==.③正方体的各个顶点在球面上,则有2r 3＝3a,32r a =,所以22334π3πS r a ==. 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3. 考点:球的表面积.14.当圆锥形杯子的高为8 cm 时,用料最省【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须有V圆锥≥V半球,而V半球＝12×43πr 3＝12×43π×43,V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ,则有13π×42×h≥12×43π×43,解得h≥8.即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S 圆锥侧＝πrl ＝π,所以高为8 cm 时,制造的杯子最省材料. 考点:球的体积,圆锥的体积、表面积.。
人教A版高一必修二_132球的体积和表面积数学试题(有答案)
人教A版高一必修二 1.3.2球的体积和表面积数学试题一、单选题1. 如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A.倍B.倍C.2倍D.3倍2. 若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )A.1B.2C.3D.43. 一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A. B. C. D.4. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A. B. C. D.5. 正方体内切球与外接球体积之比为（）A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9参考答案与试题解析人教A 版高一必修二 1.3.2球的体积和表面积数学试题一、单选题 1.【答案】 B【考点】球的表面积和体积 【解析】设小球半径为1，则大球的表面积S 加=36π,S 加+S 加=20π,36π20π=95故答案为B ．【解答】 此题暂无解答 2.【答案】 A【考点】球的表面积和体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 球内接多面体 【解析】设两球的半径分别为R 、f (R >r )，则由题意得{4π3R 3+4π3,3=12π,2πR +2π=6π,解得{R =2y =1,故R −r =1 【解答】 此题暂无解答 3. 【答案】 A【考点】球的表面积和体积 【解析】设正方体的棱长为a ，球的半径为R, 由6a 2=4πR 2得a R =√2π3，故V1V 2=a 343πR 2=3π4√2π3)3=√6π6故答案为A ． 【解答】此题暂无解答 4.【答案】 C【考点】由三视图求体积 二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】试题分析：设正方体棱长为a．因为，球的直径是其内接正方体的对角线，所以，2r=√3a，球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是：4πr26a2=π(√3a)26a2=π2，故选C．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】球的表面积和体积【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为√32a，故所求体积之比为1:3√3故答案为C．【解答】此题暂无解答。
高中数学必修2球的表面积与体积(含答案)
球的表面积与体积典例1、（2019∙西湖区校级模拟）半径为1的球的表面积等于______________【解析】ππ442==r S变式：半径为2的球的表面积等于_____________【解析】ππ1642==r S典例2、（2019∙红塔区校级月考）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为__________ 【解析】22,242=∴=r r变式：棱长分别为4，3，2的长方体内接一个球O ，则球的表面积为___________【解析】ππ164,22==∴=r S r典例3、（2019∙城关区校级期末）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为___________ 【解析】πππ1441444,214,1412322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 变式：棱长为3的正方体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为___________ 【解析】πππ2742744,227,2733322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 典例4、（2019∙肥城市校级月考）若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体外接球的体积是_____________【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,632⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===c b a bc ac ab 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ686634)26(343=⋅⋅==V 变式：若个长方体共一顶点的三个面的对角线分别是,5,2,3则这个长方体外接球的表面积是_________【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,523222222⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+c b a c b c a b a 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ6464)26(42=⋅⋅==S 典例5、（2019∙南充期末）若两个球的半径之比为1：3，则这两个球的体积之比为__________ 【解析】271)3(,3,3:1:31313231211221===∴=∴=R R R R V V R R R R 变式：若两个球的体积之比为27：8，则这两个球的表面积之比为__________ 【解析】23,8273434213231323121=∴===r r r r r r V V ππ 典例6、（2019∙十堰模拟）若一个实心球对半分成两半后表面积增加了π4，则原来实心球的表面积为_____ 【解析】πππππ8)2(44,2,2,4222===∴=∴=∴=r S r S S 球圆圆变式：若一个实心球平均分成三份后表面积增加了π12，则原来实心球的体积为_____ 【解析】ππππ33234,2,4,1233==∴=∴=∴=r V r S S 球圆圆典例7、一个正方体的棱长为2，可以完全放进一个球，则这个球的体积是___________ 【解析】πππ33223434,233=⋅⋅==∴=r V r变式：棱长分别为1，2，3的长方体内完全放进一个球，则该球的表面积是__________ 【解析】πππ3413434,133=⋅⋅==∴=r V r 典例8、（2018∙安庆期末）正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长AB=3，侧棱长21=AA ，则该棱柱的外接球表面积等于___________【解析】底面ABC ∆的外接圆半径1)]321(3[32=⋅⋅⋅=r ，,211)2(222=+=+=h r R ππ842==R S 变式：正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为4，则该棱柱的外接球的体积为______【解析】底面四边形ABCD 的外接圆半径,1222=⋅=r ,541)2(222=+=+=h r R ππ3520343==R V典例9、（2019∙增城区月考）三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且AB=BC=2，AC=1AA =2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________【解析】ABC ABC AC BC AB ∆∴=∠∴=+,90,0222 外接圆半径1=r ，2112=+=∴R ， ππ842==∴R V变式：三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且0120=∠ABC ，2==BC AB ，61=AA ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________【解析】底面ABC ∆的外接圆半径为2=r ，1332222=+=∴R ，ππ5242==∴R S典例10、（2019∙广元模拟）若三棱锥P-ABC 的底面边长与侧棱长都是3，则它的外接球的表面积为_______【解析】正四面体的边长为3，外接球的球心到各顶点的距离都等于半径R ，过一顶点作底面的垂线，垂足就是底面三角形的中心，故3321332=⋅⋅⋅=r ，63322=-=h ，222)(R h r R -+= 即463,)6(3222=∴-+=R R R ，πππ227)463(4422=⋅==∴R S 。
数学必修二球的体积和表面积试题含答案
数学必修二球的体积和表面积学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球为球O，P为球O的球面上动点，DP⊥BC1，则点P的轨迹的周长为( )A.4πB.5πC.2πD.3π2. 如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.120+8√2+8√6B.120+8√5C.190+8√2+4√6D.120+16√23. 在空间直角坐标系O−xyz中，四面体SABC各顶点坐标分别为S(2, 2, 4)、A(6, 6, 4)、B(6, 6, 0)、C(2, 6, 4)，则该四面体的外接球的表面积是( )A.12πB.16πC.32πD.48π4. 已知球O的半径为1，△ABC的顶点都在北纬45∘的纬线圈上，且AB=BC，∠ABC= 90∘，则A，B两点间的球面距离为（）A.π6B.π3C.π2D.π5. 在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=DB=2，现将△ABD沿BD折起，使三棱锥A−BCD的体积最大．若A，B，C，D四点在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A.4πB.133π C.16π3D.7π6. 地球半径为R，A、B两地均在北纬45∘圈上，两地的球面距离为πR3，则A，B两地的经度之差的绝对值为（）A.π3B.π2C.2π3D.π47. 在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6π D.32π38. 体积为43的三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=π2，则球O的表面积的最小值为（）A.8πB.9πC.12πD.16π9.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm，高度为100cm，现往里面装直径为10cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )（附：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）A.22个B.24个C.26个D.28个10. 若正三棱柱ABC−A′B′C′存在一个内切球，则该三棱柱内切球与外接球的表面积之比为( )A.1 5B.14C.13D.2511. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8−43π B.8−3π C.8+43π D.8−2π12. 已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O 的表面积为20π，则该正方体的棱长为()A.2√5B.5C.2√6D.613. 正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为4，E,F分别为棱BB1,D1C1的中点，则四面体FECC1的外接球的表面积为________.14. 工匠准备将一块棱长为4的正方体木头切削成一个球，则该球的表面积的最大值为________.15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积是________．16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为________，外接球的表面积为________．17. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________．18. 如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60∘纬线和南纬30∘纬线长的比值为________．19. 地球北纬45∘圈上有A，B两地分别在东经80∘和170∘处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为________．20. 若取地球的半径为6371米，球面上两点A位于东经121∘27′，北纬31∘8′，B位于东经121∘27′，北纬25∘5′，则A、B两点的球面距离为________千米（结果精确到1千米）．21. 长方体ABCD−A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB:AD:AA1=1:1:√2．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，则m的值为n________．22. 已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为66+4π，则a=________.23. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中把“底面为直角三角形的直棱柱”称为堑堵，今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外接球的表面积为________．24. 三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的表面上，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，又PA= 2，AB=1,BC=√3,则球O的表面积为________．25. 一个几何体的三视图如下图所示（单位：m），(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的；(2)求该几何体的表面积和体积．26. 下面一组图是某一四棱锥S−ABCD的侧面和底面，且点C为离点S最远的顶点，（1）画出四棱锥S−ABCD的示意图，并判断是否存在一条侧棱垂直于底面？说明理由（2）若E为AB的中点，求点A到平面BDE的距离（3）若S−ABCD外接于球O，求S、C两点的球面距离．27. 如图，在底面为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=xAD，E是PD 的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)是否存在正实数x，使得平面PDC⊥平面AEC？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=AB=2，求四棱锥P−ABCD内切球的半径．28. 如图，在四棱锥P−ABCD内，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD=AD= 2.(1)求该四棱锥P−ABCD的表面积与体积；(2)求该四棱锥P−ABCD内切球的表面积.29. 已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)求此几何体的体积．30. 海面上，地球球心角1′所对的大圆的圆弧长为1nmile（海里），1nmile是多少千米？（地球的半径为6370km）31. 在北纬30∘线上有A，B两地，它们分别在东经50∘与东经140∘的经线上，又有点C在东经50∘，南纬15∘线上，设地球半径为R，求：（1）A，C两地的球面距离；（2）A，B两地的球面距离（用R表示）．32. 我国大连与台北可以近似地认为具有相同的经度，从地图上分别查出大连与台北所在的纬度，再求出这两个城市的球面距离大约为多少千米．33. 已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121∘、北纬31∘，大连的位置约为东经121∘、北纬39∘，里斯本的位置约为西经10∘、北纬39∘．（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）34. 已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离．35. 如图，在北纬60∘线上，有A、B两地，它们分别在东经20∘和140∘线上，设地球半径为R，求A、B两地的球面距离．36. 已知球上截得小圆的半径为4cm，截面与球心的距离为3cm，求球的半径、表面积和体积．参考答案与试题解析数学必修二球的体积和表面积一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】C【考点】球面距离及相关计算【解析】注意到P为球O的球面上动点且DP⊥BC1，故点P在平面CDA1B1与球的交线上，从而求周长．【解答】解：∵DP⊥BC1，∴点P在过点D且与BC1垂直的平面上，故点P在平面CDA1B1内，故点P在平面CDA1B1与球的交线上，又∵平面CDA1B1与球的交线是球的大圆，且内切球的半径为1，∴点P的轨迹的周长为2π.故选C.2.【答案】C【考点】由三视图求表面积（切割型）【解析】本题主要考查三视图求几何体的表面积．【解答】解：如图可知．S ABEA1=12×(4+8)×4=24．S PCFD1=12×(6+8)×4=28．S ADD1A1=4×8=32．S BCFE=12×(4+6)×4=20．S ABCD=4×4=16．S△A1ED1=12×4×4√2=8√2．S△D1EF =12×4√3×2√2=4√6．∴ S=24+28+32+20+16+8√2+4√6=120+8√2+4√6．故选C．3.【答案】D【考点】球的表面积和体积【解析】由题意，四面体的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线√3，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：由题意计算可得|AB|=4, |AC|=4, |SC|=4, |BC|=4√2.AB →=(0, 0, −4), AC →=(−4, 0, 0), CS →=(0, −4, 0)，∴ {AB →⋅CS →=0,AC →⋅CS →=0.即CS ⊥平面ABC ， 故四面体SABC 是底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱SC 垂直底面ABC 的几何体， ∴ 四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球， 其直径为正方体的对角线的长4√3，半径为2√3， ∴ 该四面体外接球的表面积S =4π⋅(2√3)2=48π. 故选D . 4.【答案】 B【考点】球面距离及相关计算 【解析】求出北纬45∘圈的小圆半径，然后A 、B 两点的距离，求出球心角，即可求出两点间的球面距离． 【解答】解：地球的半径为1，在北纬45∘圈纬圆半径为：√22； ∵ AB =BC ，∠ABC =90∘， ∴ AB =1，所以A 、B 的球心角为：π3，所以两点间的球面距离是：π3×1=π3； 故选B ． 5. 【答案】 C【考点】球的表面积和体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设点A到平面BCD的距离为ℎ，三棱锥的体积为V，则V=13S△BCD⋅ℎ=√33ℎ，当ℎ最大时，V最大，此时平面ABD⊥平面BCD，如图所示，取BD的中点M，则CM⊥BD，所以CM⊥平面ABD，又M为△ABD的外心，所以三棱锥A−BCD的外接球的球心O是△BCD的中心，则球的半径R=2√33，所以球O的表面积为4π×(2√33)2=163π．故选C．6.【答案】B【考点】球面距离及相关计算【解析】要求A，B两地的经度之差的绝对值，需要求出过A、B两点的小圆的圆心角的大小，利用题目条件进行转化，解三角形即可．【解答】解：地球半径为R，A、B两地均在北纬45∘圈上，过A、B两点的小圆的半径是：√2R2两地的球面距离为πR3，所以AB=R则A，B两地的经度之差的绝对值为：π2故选B．7.【答案】B【考点】多面体的内切球问题球的表面积和体积【解析】根据已知可得直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径8r+6r+10r2=6×82，可得r=2,又由AA1=3，故直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，此时V的最大值43π×(32)3=9π2.故选B.8.【答案】C【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正四面体，易求正四面体相对棱的距离为5√2cm，每装两个球称为“一层”，这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为10+5√2(n−1)cm，若想要盖上盖子，则需要满足10+5√2(n−1)≤100，解得n≤1+9√2≈13.726，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.故选C.10.【答案】A【考点】球的表面积和体积【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．【解答】解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R，当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离，即R=√36a，到相对棱的距离是√33a，又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为√33a，球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离√33a，棱锥的高为√36a，故正三棱锥外接球的半径满足R12=(√33a)2+(√36a)2=512a2，∴内切球与外接球表面积之比为(4πR2):(4πR12)=R2：R12=1:5. 故选A.11.【答案】A【考点】由三视图求体积（切割型）【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图可得该几何体为棱长为2的正方体挖去18个球得到的，该球以顶点为球心，2为半径，所以该几何体的体积为：V=2×2×2−18×43π×23=8−43π.故选A.12.【答案】A【考点】多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设球O的半径为R，有4πR2=20π，可得R=√5，由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等，得球O为该正方体的内切球，所以正方体的棱长为2R=2√5.故选A.二、填空题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）13.【答案】17π【考点】由三视图求外接球问题【解析】主要考查多面体外接球的表积,考查空间想象能力、运算求解能力【解答】解：因为球心到四面体各个顶点的距离相等，所以CF的中点即为四面体外接球的球心，所以r=CF2=√42+122=√172,所以S=4πr2=17π.故答案为:17π.14.【答案】16π【考点】多面体的内切球问题球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知可切削的最大的球为该正方体的内切球，此时该球的半径R=2，表面积S=4πR2=16π.故答案为：16π.15.【答案】5,15+√19【考点】由三视图求表面积（切割型）由三视图求体积（切割型）【解析】此题暂无解析【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图所示：去掉的三棱锥的高为3，底面是等腰直角三角形，直角边长为1，所求几何体的体积为：V几何体=2×1×3−2×13×12×1×1×3=5，表面积为：S几何体=2×3+2×1+2×12×1×3+12×2×3+12×2×1+2×12×√2×√(√10)2−(√22)2=15+√19.故答案为：5；15+√19.16.【答案】13,3π【考点】由三视图求体积（切割型）球内接多面体【解析】由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线√3．即可得出． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色），∴ 多面体的体积为1−4×13×12×1×1×1=13．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3． 因此其球的表面积是4π⋅(√32)2=3π． 故答案为：13；3π． 17. 【答案】√3π【考点】由三视图求外接球问题（组合型） 由三视图求表面积（组合型） 由三视图求体积【解析】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是√22，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是√2，求出表面积及球的表面积即可得出比值． 【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成， 四棱锥的底面是边长是1的正方形， 四棱锥的高是√22，斜高为√32，则这个几何体的表面积为8×12×1×√32=2√3，∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是√2，∴外接球的表面积是4×π(√22)2=2π，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为2√32π=√3π.故答案为：√3π.18.【答案】√33【考点】球面距离及相关计算【解析】设出地球的半径，求出北纬60∘纬圆和南纬30∘纬线长圆的半径，代入圆的周长公式，计算出北纬60∘纬圆和南纬30∘纬线长圆的周长，即可求出地球上的北纬60∘纬线和南纬30∘纬线长的比值．【解答】解：设地球的半径为R，对应的北纬60∘纬线所在的小圆的半径为12R，其周长为πR对应的南纬30∘纬线所在的小圆的半径为√32R，其周长为√3πR∴地球上的北纬60∘纬线和南纬30∘纬线长的比值为πR:√3πR=√33故答案为：√3319.【答案】π3R【考点】球面距离及相关计算【解析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】解：地球表面上从A地（北纬45∘，东经80∘）到B地（北纬45∘，西经170∘），A，B两地都在北纬45∘上，对应的纬圆半径是√22R，经度差是90∘．∴AB=R，得球心角是π3．∴A，B两地的球面距离是πR3．故答案为：π3R．20.【答案】673【考点】球面距离及相关计算【解析】由于A、B两点都在东经121∘27′，计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即为A、B两点的球面距离．【解答】解：A、B两点都在东经121∘27′，纬度差是6∘3′所以AB两地的球面距离为，是过A、B的大圆周长的61 20360=1217200，即1217200×2π×6371≈673故答案为：673．21.【答案】12【考点】球面距离及相关计算【解析】设出AB，求出球的半径，解出A、B两点和A、D1两点的球心角，分别求出球面距离即可；【解答】解：设AB=a，则AD=a，AA1=√2a⇒球的直径2R=√a2+a2+2a2=2a，即R=a则△OAB是等边三角形，⇒m=16⋅2πa=13πa，在△AOD1中，OA=OD1=a，AD1=√3a∠AOD1=120∘⇒n=13⋅2πa故mn=12故答案为：1222.【答案】3【考点】由三视图求表面积（组合型）【解析】此题暂无解析【解答】解：根据三视图分析知，该几何体是四棱柱与两个圆柱体的组合体，且四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为4的直四棱柱，圆柱体的底面圆直径为2，高为1，所以2×(a×a+a×4+a×4)+2π×1×1×2=66+4π，解得a=−11(舍)或a=3.故答案为：3.23.【答案】20π【考点】球的表面积和体积【解析】由今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，求出该堑堵的外接球半径=√5，由此能求出该堑堵的外接球的表面积．R=√22+422【解答】解：∵今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，∴该堑堵的外接球半径R=√22+42=√5，2∴该堑堵的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×5＝20π．故答案为：20π.24.【答案】8π【考点】球的表面积和体积【解析】根据题意，PC为三棱锥P−ABC的外接球的直径,求出PC的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥P−ABC的外接球的表面积．【解答】解：因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥PA，又PA⊥AB，且AB∩BC=B.则PA⊥ABC，所以PA⊥AC，又因为BC⊥AB，则PC为三棱锥P−ABC的外接球直径，则PC=2+BC2+PA2=√1+3+4=2√2，故球O的半径R=2，表面积S=4πR2=8π.三、解答题（本题共计 12 小题，每题 10 分，共计120分）25.【答案】解：(1)由三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切；(2)易得圆锥的母线长为√32+12=√10，∴表面积S=S圆锥侧+S长方体−S锥底=π×1×√10+2×(2×3+1×3+1×2)−π×12=(√10−1)π+22(m2)，体积为V=13π×12×3+3×2×1=6+π(m3)．故所求几何体的表面积是[(√10−1)π+22]m2，体积是(6+π)m3.【考点】由三视图求表面积（组合型）由三视图求体积（组合型）简单组合体的结构特征【解析】（1）由三视图知几何体上面是圆锥，下面是长方体由三视图知几何体；（2）由圆锥的母线长为3，底面圆的半径为1，得：圆锥母线长√32+1=√10，长方体的长、宽、高分别为3、2、1；根据表面积S=S圆锥侧+S长方体−S圆锥底求几何体的表面积，体积V=V长方体+V圆锥求几何体的体积．【解答】解：(1)由三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切；(2)易得圆锥的母线长为√32+12=√10，∴表面积S=S圆锥侧+S长方体−S锥底=π×1×√10+2×(2×3+1×3+1×2)−π×12=(√10−1)π+22(m2)，体积为V=13π×12×3+3×2×1=6+π(m3)．故所求几何体的表面积是[(√10−1)π+22]m2，体积是(6+π)m3.26.【答案】解：（1）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD 又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．（2）{SA⊥面ABCDBD⊂面ABCD⇒BD⊥SA又BD⊥AC，AC∩SA=A由线面垂直的判定定理，BD⊥面SAC，又BD⊂面SBD由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD设O′为底面中心，则平面SAC∩平面SBD=SO′过A作AH⊥SO′，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO′2=SA2+AO′2=a2+(√2a2)=32a2SA×AO′=SO′×AH，∴AH=a×√2a 2√6a 2=√3a3（3）SC为S−ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离πR=√3aπ2【考点】直线与平面垂直的判定球面距离及相关计算球内接多面体点、线、面间的距离计算【解析】（1）由SA⊥AB，SA⊥AD可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．（2）证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离．（3）SC为S−ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离为大圆的周长的一半．【解答】解：（1）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD 又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．（2）{SA⊥面ABCDBD⊂面ABCD⇒BD⊥SA又BD⊥AC，AC∩SA=A由线面垂直的判定定理，BD⊥面SAC，又BD⊂面SBD由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD设O′为底面中心，则平面SAC∩平面SBD=SO′过A作AH⊥SO′，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO′2=SA2+AO′2=a2+(√2a2)=32a2SA×AO′=SO′×AH，∴AH=a×√2a 2√6a 2=√3a3（3）SC为S−ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离πR=√3aπ2 27.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又AD∩AP=A，故CD⊥平面PAD．又因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．(2)解：存在x=1满足条件．当x=1时，即PA=AD，所以AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，所以AE⊥平面PCD．又AE⊂平面AEC，平面PCD⊥平面AEC．(3)解：由(1)、(2)可知△PAB、△PAD、△PCD均为直角三角形，因为PB=2√2，BC=2，PC=√22+(2√2)2=2√3，所以△PBC也为直角三角形．所以SΔPAB=SΔPAD=2，SΔPCD=SΔPBC=2√2．设四棱锥P−ABCD内切球的球心为O，半径为r，则由等积法得：V P−ABCD=V O−ABCD+V O−PAB+V O−PAD+V O−PCD+V O−PBC，即：13×4×2=13×4×r+13×2×r+13×2×r+1 3×2√2×r+13×2√2×r，所以r=8+42=2−√2．【考点】多面体的内切球问题直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又AD∩AP=A，故CD⊥平面PAD．又因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．(2)解：存在x=1满足条件．当x=1时，即PA=AD，所以AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，所以AE⊥平面PCD．又AE⊂平面AEC，平面PCD⊥平面AEC．(3)解：由(1)、(2)可知△PAB、△PAD、△PCD均为直角三角形，因为PB=2√2，BC=2，PC=√22+(2√2)2=2√3，所以△PBC也为直角三角形．所以SΔPAB=SΔPAD=2，SΔPCD=SΔPBC=2√2．设四棱锥P−ABCD内切球的球心为O，半径为r，则由等积法得：V P−ABCD=V O−ABCD+V O−PAB+V O−PAD+V O−PCD+V O−PBC，即：13×4×2=13×4×r+13×2×r+13×2×r+1 3×2√2×r+13×2√2×r，所以r=8+4√2=2−√2．28.【答案】解：(1)由已知底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2，得PD⊥AD,PD⊥AB,AD⊥AB.又PD∩AD=D，∴ AB⊥平面PAD,∴ PA⊥AB，∴ PA=2√2,PB=2√3，∴S△PAB=2√2,S△PAD=2，同理S△PCB=2√2,S△PCD=2,又S正方形ABCD=4.∴S四棱锥表面积=4√2+8，V P−ABCD=13S正方形ABCD⋅PD=83.(2)设内切球的半径为r，球心为O,则球心O到平面PAB，平面PAD，平面PCB，平面PCD，平面ABCD的距离均为r, 由V P−ABCD=V O−PAB+V O−PAD+V O−PCB+V O−PCD+V O−ABCD，可得13S正方形ABCD⋅PD=13S△PAB⋅r+13S△PAD⋅r+13S△PCB⋅r+13S△PCD⋅r+13S正方形ABCD⋅r=13S四棱锥表面积⋅r，∴ r=S正方形ABCD⋅PDS四棱锥表面积=2−√2,∴S内切球表面积=4πr2=(24−16√2)π.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积多面体的内切球问题柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2，得PD⊥AD,PD⊥AB,AD⊥AB.又PD∩AD=D，∴ AB⊥平面PAD,∴ PA⊥AB，∴ PA=2√2,PB=2√3，∴S△PAB=2√2,S△PAD=2，同理S△PCB=2√2,S△PCD=2,又S正方形ABCD=4.∴S四棱锥表面积=4√2+8，V P−ABCD=13S正方形ABCD⋅PD=83.(2)设内切球的半径为r，球心为O,则球心O到平面PAB，平面PAD，平面PCB，平面PCD，平面ABCD的距离均为r, 由V P−ABCD=V O−PAB+V O−PAD+V O−PCB+V O−PCD+V O−ABCD，可得13S正方形ABCD⋅PD=13S△PAB⋅r+13S△PAD⋅r+13S△PCB⋅r+13S△PCD⋅r+13S正方形ABCD⋅r=13S四棱锥表面积⋅r，∴ r=S正方形ABCD⋅PDS四棱锥表面积=2−√2,∴S内切球表面积=4πr2=(24−16√2)π.29.【答案】解：(1)由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2√2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=12×2π×2×2√2=4√2π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4√2π.(2)V圆锥=13×4π×2=83π，V圆柱=4π×4=16π，V=16π+83π=563π.【考点】由三视图求表面积（组合型）由三视图求体积【解析】（1）几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，由三视图判断圆锥与圆柱的底面半径与母线长，根据其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，代入公式计算；（2）利用圆柱的侧面展开图，求得EB的长，再利用勾股定理求AB的圆柱面距离．【解答】解：(1)由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2√2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=12×2π×2×2√2=4√2π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4√2π.(2)V圆锥=13×4π×2=83π，V圆柱=4π×4=16π，V=16π+83π=563π.30.【答案】∵1′=(160)，∴1nmile的长度=160π×6370180=637π1080千米．故1nmile是637π1080千米．【考点】球面距离及相关计算【解析】化分为度，再由弧长公式求解．【解答】∵1′=(160)，∴1nmile的长度=160π×6370180=637π1080千米．故1nmile是637π1080千米．31.【答案】由图可知，∠AOC=π4，则A，C两地的球面距离为π4R；由已知可得，∠AOO′＝60∘，则AO′=√32R，同理BO′=√32R，而∠AO′B＝90∘，∴AB=√62R，在△AOB中，由OA＝OB＝R，AB=√62R，可得cos∠AOB=R2+R2−32R22R2=14，则∠AOB=arccos14．∴A，B两地的球面距离为arccos14R．【考点】球面距离及相关计算【解析】由题意画出图形．（1）直接求出∠AOC的大小，由弧长公式求A，C两地的球面距离；（2）解三角形求得∠AOB的大小，再由弧长公式求A，B两地的球面距离．【解答】由图可知，∠AOC=π4，则A，C两地的球面距离为π4R；由已知可得，∠AOO′＝60∘，则AO′=√32R，同理BO′=√32R，而∠AO′B＝90∘，∴AB=√62R，在△AOB 中，由OA ＝OB ＝R ，AB =√62R ， 可得cos ∠AOB =R 2+R 2−32R 22R 2=14，则∠AOB =arccos 14．∴ A ，B 两地的球面距离为arccos 14R ．32.【答案】经查地图可知，大连纬度为北纬39∘，台北纬度为北纬25∘， 则两地的纬度差为14∘，则这两个城市的球面距离大约为14π×6370180≈1555千米．故大连与台北这两个城市的球面距离大约为1555千米． 【考点】球面距离及相关计算 【解析】通过查地图得到大连与台北这两个城市的纬度差，再由弧长公式求解两个城市的球面距离． 【解答】经查地图可知，大连纬度为北纬39∘，台北纬度为北纬25∘， 则两地的纬度差为14∘，则这两个城市的球面距离大约为14π×6370180≈1555千米．故大连与台北这两个城市的球面距离大约为1555千米． 33.【答案】 解：（1）∵ 上海与大连在同一经线上，∴ 它们在地球的同一个大圆上． 设地球的球心为O ，上海、大连分别为点A 、B ．由上海、大连的经、纬度知∠AOB =8∘地球半径r ≈6371千米 经计算得AB 的弧长：6371×π×8∘180∘≈889.56(千米) 889.56÷720≈1.2（小时）∴ 从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C ，过B 作 与赤道平面平行的球面的截面， 设其圆心为O′，由已知得∠BO′C =121∘+10∘=131∘，∠OBO′=39∘OB =OC =rO′C =O′B =OB cos ∠OBO′=r cos 39∘由余弦定理可得BC 2=O′B 2+O′C 2−2O′B ⋅O′C cos 131∘=2r 2cos 239∘(1−cos 131∘) cos ∠BOC =OB 2+OC 2−BC 2=2r 2−2r 2cos 239∘(1−cos 131∘)2≈−1.87×10−4 ∴ ∠BOC ≈90.01∘于是大圆的弧长BC 为6371×π×90.01∘180∘≈10009(千米)∴ 大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．【考点】球面距离及相关计算 【解析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间． （2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】 解：（1）∵ 上海与大连在同一经线上，∴ 它们在地球的同一个大圆上． 设地球的球心为O ，上海、大连分别为点A 、B ．由上海、大连的经、纬度知∠AOB =8∘地球半径r ≈6371千米 经计算得AB 的弧长：6371×π×8∘180∘≈889.56(千米)889.56÷720≈1.2（小时）∴ 从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C ，过B 作 与赤道平面平行的球面的截面， 设其圆心为O′，由已知得∠BO′C =121∘+10∘=131∘，∠OBO′=39∘OB =OC =rO′C =O′B =OB cos ∠OBO′=r cos 39∘ 由余弦定理可得BC 2=O′B 2+O′C 2−2O′B ⋅O′C cos 131∘=2r 2cos 239∘(1−cos 131∘) cos ∠BOC =OB 2+OC 2−BC 22⋅OB ⋅OC =2r 2−2r 2cos 239∘(1−cos 131∘)2r 2≈−1.87×10−4 ∴ ∠BOC ≈90.01∘于是大圆的弧长BC 为6371×π×90.01∘180∘≈10009(千米)∴ 大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米． 34.【答案】解：∵ 62+82=102，∴ △ABC 为Rt △．∵ 球心O 在平面ABC 内的射影M 是截面圆的圆心， ∴ M 是AC 的中点且OM ⊥AC ．在Rt △OAM 中，OM =√OA 2−AM 2=12．∴ 球心到平面ABC 的距离为12．【考点】球面距离及相关计算【解析】先确定△ABC的形状为Rt△，然后找出球心到平面ABC的距离，求解即可．【解答】解：∵62+82=102，∴△ABC为Rt△．∵球心O在平面ABC内的射影M是截面圆的圆心，∴M是AC的中点且OM⊥AC．在Rt△OAM中，OM=√OA2−AM2=12．∴球心到平面ABC的距离为12．35.【答案】（本题满分14分）解：设纬线圈半径为r，据题意，∠AO1B=140∘−200=1200．∴r=R cos∠OAO1=R cos60∘=12R(∵ ∠OAO1=∠AOC=600)，在△AO1B中，AB2=r2+r2−2r2⋅cos120∘=3r3⇒AB=√3r=√32R又在△AOB中，sin12∠AOB=√34⇒∠AOB=2arcsin√34∴A、B两地的球面距离AB̂=2R arcsin√34【考点】球面距离及相关计算【解析】设纬线圈半径为r，求出r，在△AO1B中，求出AB，然后求解A、B两地的球面距离AB̂．【解答】（本题满分14分）解：设纬线圈半径为r，据题意，∠AO1B=140∘−200=1200．∴r=R cos∠OAO1=R cos60∘=12R(∵ ∠OAO1=∠AOC=600)，在△AO1B中，AB2=r2+r2−2r2⋅cos120∘=3r3⇒AB=√3r=√32R又在△AOB中，sin12∠AOB=√34⇒∠AOB=2arcsin√34∴A、B两地的球面距离AB̂=2R arcsin√3436.【答案】解：∵球上截得小圆的半径为4cm，截面与球心的距离为3cm，小圆半径，截面与球心的距离与球的半径构成直角三角形∴球的半径为5，表面积为100π，体积为500π3【考点】球的表面积和体积【解析】球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理求出球的半径，然后根据球的表面积公式和体积公式解之即可．【解答】解：∵球上截得小圆的半径为4cm，截面与球心的距离为3cm，小圆半径，截面与球心的距离与球的半径构成直角三角形∴球的半径为5，表面积为100π，体积为500π3试卷第31页，总31页。
高中数学必修2第1章-1.3.2球的体积和表面积同步练习题及答案
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】1.3.2球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6B．π2C．2π2D．3ππ2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的() A．2倍B．22倍C．2倍D．32倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()A．1∶ 3 B．1∶3C．1∶3 3 D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()A．1∶2∶3 B．1∶2∶ 3C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A．4∶9 B．9∶4C．4∶27 D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．3．2 球的体积和表面积 答案知识梳理1．4πR 2 4 2．43πR 3作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a ＝6π3r ，再由体积公式求得体积比为6π6．] 2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．] 4．C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶33．]5．B [外接球的直径2R ＝长方体的体对角线＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高)．]6．A [设球半径为r ，圆锥的高为h ，则13π(3r)2h ＝43πr 3，可得h ∶r ＝4∶9．]7．4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR 地球＝8，故R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里，其大圆的周长为4万里．8．3 cm解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm ．9．(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为r ． (1)当6a 2＝4πr 2时，V 球＝43πr 3＝6πa 3>a 3＝V 正方体；(2)当a 3＝43πr 3时，S 球＝4πr 2＝63π6a 2<6a 2＝S 正方体．10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h)2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h＝315r ．即容器中水的深度为315r ．12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．] 13．解 设正方体的棱长为a ．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2． ③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ， r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2． 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．。
考点13 球的表面积和体积-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(原卷版)
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1．球的表面积公式为S 球＝4πR 2，即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝43
πR 3．
【例】用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．
【解析】设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A 1B 1，A 2B 2，上述大圆的垂直于A 1B 1的直径交两截面圆于O 1，O 2，设球心到两截面的距离分别为d 1，d 2，
则⎩⎪⎨⎪⎧
d 1＋d 2＝27， ①d 21＋242＝R 2， ②
d 22＋152＝R 2， ③解得R ＝25． 当|d 1－d 2|＝27时，其与②③组成的方程组无解． ∴S 球＝4πR 2＝2 500π(cm 2)． 【易错易混】注意两个截面的位置． 1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A ．2倍
B ．22倍
C ．2倍
D ．32倍
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A ．
6π6 B ．π2 C ．2π2 D ．6π6
小试牛刀
典型例题
要点阐述。
球的体积和表面积(附答案)
球得体积与表面积［学习目标］ 1、记准球得表面积与体积公式，会计算球得表面积与体积、2、能解决与球有关得组合体得计算问题、知识点一 球得体积公式与表面积公式1、球得体积公式V ＝４3πR ３(其中R 为球得半径）、 2、球得表面积公式S =４πＲ2、思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗?答 球没有底面，球得表面不能展开成平面、知识点二 球体得截面得特点１、球既就是中心对称得几何体,又就是轴对称得几何体，它得任何截面均为圆，它得三视图也都就是圆、2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面得距离构建直角三角形就是把空间问题转化为平面问题得主要途径、题型一 球得表面积与体积例１ （１)已知球得表面积为64π,求它得体积;（2)已知球得体积为错误!π,求它得表面积、解 (1)设球得半径为R ，则4πＲ2=64π,解得Ｒ=4，所以球得体积Ｖ＝错误!πR ３=错误!π·４3=错误!π、（２)设球得半径为R ,则错误!πR 3=错误!π,解得R ＝5,所以球得表面积Ｓ＝4πR ２＝4π×５2＝100π、跟踪训练1 一个球得表面积就是1６π,则它得体积就是（ )A、64π Ｂ、错误!C、32πD、错误!答案Ｄ解析设球得半径为R,则由题意可知4πR2=16π，故R=2、所以球得半径为2,体积V=错误!πR ３＝＼f(３2,3)π、题型二球得截面问题例２平面α截球O得球面所得圆得半径为1、球心Ｏ到平面α得距离为＼r(2)，则此球得体积为（）A、＼ｒ（6)π Ｂ、４错误!π C、4错误!π D、6错误!π答案 B解析如图，设截面圆得圆心为O′，M为截面圆上任一点,则OO′＝错误!,O′M=１、∴OM=错误!=错误!、即球得半径为３、∴Ｖ=错误!π(错误!)3＝4错误!π、跟踪训练2 已知长方体共顶点得三个侧面面积分别为3，错误!,错误!,则它得外接球表面积为__＿_＿_＿_、答案9π解析如图,就是过长方体得一条体对角线AB得截面，设长方体有公共顶点得三条棱得长分别为x,y,z,则由已知,得错误!解得错误!所以球得半径R＝错误!AB=错误!错误!=错误!,所以S球＝４πR2＝9π、题型三球得组合体与三视图例３ 某个几何体得三视图如图所示,求该几何体得表面积与体积、解 由三视图可知该几何体得下部就是棱长为2得正方体,上部就是半径为１得半球，该几何体得表面积为S =１2×4π×１2＋6×22－π×12=2４＋π、 该几何体得体积为V =2３+＼f （1,2)×43π×1３＝8＋＼f （2π,3)、 跟踪训练３ 有三个球，第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体得各个顶点，求这三个球得表面积之比、解 设正方体得棱长为a 、①正方体得内切球球心就是正方体得中心，切点就是正方体六个面得中心，经过四个切点及球心作截面,如图（1)所示,则有2r 1＝a ，即r 1=错误!,所以S 1=4πr 错误!=πａ2、②球与正方体得得各棱得切点在每条棱得中点，过球心作正方体得对角面得截面,如图（2)所示,则2r2=错误!ａ,即r2＝错误!a,所以Ｓ2=4πr错误!＝2πa2、③正方体得各个顶点在球面上，过球心作正方体得对角面得截面,如图(3)所示,则有2r3=＼r(3）a,即r3＝错误!a，所以S3＝4πr错误!=3πａ2、综上可得S1∶S2∶S3＝１∶２∶３、轴截面得应用例4有一个倒圆锥形容器,它得轴截面就是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r得铁球,并注入水,使水面没过铁球与球正好相切,然后将球取出，求这时容器中水得深度、分析分别表示出取出铁球前后水得体积→由水得体积不变建立等式→求出所求量、解如图，⊙O就是球得最大截面,它内切于△AＢC,球得半径为ｒ、设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E、则ＤO＝r,ＡＤ=错误!r,AB=AC=ＢC=2错误!r，∴CD＝3r、由图形知V圆锥CE∶Ｖ圆锥CD＝错误!∶错误!=CＥ3∶ＣD3、又∵V圆锥ＣD＝＼f(π,3)（３r)2·3r＝3πｒ３，V圆锥CE＝Ｖ圆锥ＣD-V球Ｏ＝３πr3-错误!πr3=错误!πr3,∴错误!∶3πr3=CE3∶（3ｒ）3,∴ＣE=错误!r、∴球从容器中取出后，水得深度为错误!r、１、直径为6得球得表面积与体积分别就是()A、３6π，144π ﻩＢ、36π，3６πC、144π,3６πD、1４４π,144π2、若球得体积与其表面积数值相等,则球得半径等于（)Ａ、错误!B、1 C、2Ｄ、33、两个半径为1得实心铁球，熔化成一个球,这个大球得半径就是＿＿_＿_＿__、4、若球得半径由R增加为2R,则这个球得体积变为原来得_＿__＿＿_＿倍，表面积变为原来得＿＿______倍、5、某几何体得三视图如图所示,则其表面积为_____＿__、一、选择题1、设正方体得表面积为24,那么其外接球得体积就是( )A、错误!π Ｂ、错误!C、4错误!π D、3２错误!π２、一个正方体得八个顶点都在半径为1得球面上，则正方体得表面积为()A、8B、82Ｃ、８错误!Ｄ、４错误!3、两个球得半径之比为1∶3,那么两个球得表面积之比为( )A、1∶9 Ｂ、1∶27 C、1∶３D、1∶14、设正方体得表面积为24cm２,一个球内切于该正方体，那么这个球得体积就是（)A、６π cm３B、＼f（3２,3）π ｃm３C、＼ｆ(8,3)πcm3D、错误!π cm35、若与球外切得圆台得上、下底面半径分别为r,R,则球得表面积为(）A、4π(ｒ＋R)2ﻩＢ、4πr2Ｒ２Ｃ、4πＲｒD、π（R+ｒ)26、已知底面边长为１，侧棱长为＼r(２)得正四棱柱得各顶点均在同一球面上,则该球得体积为()A、错误!B、4πC、2π Ｄ、错误!π７、如图,有一个水平放置得透明无盖得正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为６cｍ,如果不计容器厚度，则球得体积为（）A、错误!cm３B、错误!cm3Ｃ、错误!cm３ﻩD、错误!cm3二、填空题８、一个几何体得三视图(单位：ｍ)如图所示，则该几何体得体积为＿__＿____ m3、9、已知一个正方体得所有顶点在一个球面上、若球得体积为＼ｆ(９π,2),则正方体得棱长为＿＿___、10、正四棱锥得顶点都在同一球面上,若该棱锥得高为４,底面边长为２，则该球得表面积就是__＿_____、11、圆柱形容器内盛有高度为8 ｃｍ得水,若放入三个相同得球（球得半径与圆柱得底面半径相同)后,水恰好淹没最上面得球(如图所示),则球得半径就是＿_＿___ｃｍ、三、解答题12、如图所示，半径为Ｒ得半圆内得阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体得表面积、（其中∠BＡC＝３0°)13、一个高为16得圆锥内接于一个体积为972π得球,在圆锥内又有一个内切球，求：（１)圆锥得侧面积;(2)圆锥得内切球得体积、当堂检测答案1、答案 B解析 球得半径为3，表面积Ｓ＝４π·3２＝36π,体积Ｖ=＼ｆ(4,3)π·33=36π、2、答案 Ｄ解析 设球得半径为Ｒ,则4πR 2＝43πR 3，所以Ｒ＝3、 ３、答案 ＼r(3,2）解析 设大球得半径为R ，则有错误!πR 3=2×错误!π×１３,R ３＝２,∴R ＝３2、4、答案 8 4解析 球得半径为Ｒ时,球得体积为V 1＝错误!πR 3,表面积为Ｓ1＝4πR 2,半径增加为2R 后，球得体积为V ２=错误!π(2R ）３=错误!πR 3,表面积为Ｓ2=4π（2R )2＝1６πR 2、所以＼f(V 2,V 1)=错误!＝8,错误!=错误!＝4,即体积变为原来得8倍,表面积变为原来得４倍、5、答案 ３π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1得半球，其表面积为半个球面面积与截面面积得与,即＼f(1,2)×4π＋π＝3π、 课时精练一、选择题1、答案 Ｃ解析 由题意可知，6ａ２＝2４，∴ａ＝２、设正方体外接球得半径为Ｒ,则＼r(3)a＝2R,∴R＝错误!,∴V球＝错误!πＲ３=4错误!π、2、答案 A解析∵球得半径为1,且正方体内接于球,∴球得直径即为正方体得对角线，即正方体得对角线长为２、不妨设正方体得棱长为a,则有3ａ2=4,即ａ2＝错误!、∴正方体得表面积为6ａ2=6×错误!＝8、3、答案A解析由表面积公式知,两球得表面积之比为R错误!∶Ｒ错误!=１∶9、4、答案 D解析由正方体得表面积为24 cm2，得正方体得棱长为2 ｃm,故这个球得直径为2cm,故这个球得体积为＼f(４,3）π cm3、5、答案C解析方法一如图，设球得半径为r1，则在Ｒｔ△ＣDＥ中,DE＝２r1,CE=R－ｒ,DＣ=R＋r、由勾股定理得4r错误!=(Ｒ＋ｒ)2-（R－ｒ)2,解得r1＝错误!、故球得表面积为S球＝４πr 错误!＝4πＲr、方法二如图,设球心为O,球得半径为r1,连接ＯA，OB,则在Ｒt△AOB中,OＦ就是斜边ＡB 上得高、由相似三角形得性质得ＯF2＝ＢF·ＡF＝Rｒ,即ｒ错误!＝Rr，故r1＝错误!,故球得表面积为S球＝4πRr、6、答案Ｄ解析∵正四棱柱得底面边长为1，侧棱长为错误!,∴正四棱柱得体对角线得长为错误!＝2、又∵正四棱柱得顶点在同一球面上,∴正四棱柱体对角线恰好就是球得一条直径，∴球得半径Ｒ＝１、故球得体积为V＝错误!πR3=错误!π、7、答案 A解析利用球得截面性质结合直角三角形求解、如图，作出球得一个截面,则MＣ＝8－6=2(cm),BM＝＼f（１,2）AB＝错误!×8＝4(cｍ)、设球得半径为R cｍ,则R2=OM2+MB2＝（R-2)２＋42,∴Ｒ＝５,∴V球＝错误!π×5３=错误!(ｃm3）、二、填空题8、答案9π+18解析将三视图还原为实物图后求解、由三视图知,几何体下面就是两个球，球半径为错误!；上面就是长方体,其长、宽、高分别为6、3、１,所以V=错误!π×错误!×2＋１×3×6＝9π＋18、9、答案错误!解析先求出球得半径，再根据正方体得体对角线等于球得直径求棱长、设正方体棱长为ａ，球半径为R，则错误!πR3=错误!π，∴Ｒ＝错误!,∴错误!a＝3,∴a=错误!、10、答案错误!π解析由已知条件可知,球心在正四棱锥得高所在得直线上、设球得半径为Ｒ,球心为O,正四棱锥底面中心为E,则OE=|4-R｜，所以(４-R）2＋（错误!）2＝R２,解得Ｒ＝错误!、所以球得表面积S＝4πＲ2=＼ｆ（８1π,4）、１１、答案4解析设球得半径为ｒ，则圆柱形容器得高为６r,容积为πr２×６r＝６πr3,高度为8 cｍ得水得体积为8πｒ2，3个球得体积与为3×错误!πr３=4πr３，由题意得６πr3-8πr２＝４πr３,解得r ＝４(cｍ)、三、解答题12、解如图所示,过Ｃ作CO1⊥AB于O１、在半圆中可得∠BCＡ=90°,∠BＡC＝30°，ＡB=２Ｒ,∴AC=错误!Ｒ,BC＝Ｒ,CO１＝错误!Ｒ，∴S球＝4πR2，=π×错误!R×错误!R＝错误!πR2,=π×错误!Ｒ×R＝错误!πR２,∴S几何体表=S球+＋＝错误!πＲ2＋错误!πＲ2＝错误!πR2、故旋转所得几何体得表面积为错误!πR2、１3、解（1）如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O,⊙Ｏ1内切于△ABC、设⊙O得半径为Ｒ，由题意,得错误!πR3=972π，所以R3＝72９，Ｒ=9,所以CE＝１8、已知ＣD=16,所以ED＝2、连接AＥ,因为ＣＥ就是直径，所以ＣＡ⊥AE,所以CA2＝CＥ·CD＝１８×1６＝288，所以CA＝12错误!,因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE＝16×２＝32，所以AD=4错误!,Ｓ圆锥侧＝π×4＼r（2）×１２＼r(2）＝9６π、(2）设内切球O1得半径为r，因为△AＢC得周长为2×(12错误!+４错误!)＝3２错误!，所以S△ABC=错误!ｒ·3２错误!＝错误!×8错误!×１6,解得r＝4,所以内切球O1得体积Ｖ球＝错误!πr3＝错误!π、。
高中人教A版数学必修二教师用书第1章 1.3.2 球的体积和表面积 Word版含答案
球的体积和表面积．了解并掌握球的体积和表面积公式．．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)教材整理球的表面积与体积公式阅读教材“练习”以下至“练习”以上内容，完成下列问题．．球的体积设球的半径为，则球的体积＝π.．球的表面积π设球的半径为，则球的表面积＝，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()球的体积之比等于半径比的平方．( )()长方体既有外接球又有内切球．( )()球面展开一定是平面的圆面．( )()球的三视图都是圆．( )【解析】()错误．球的体积之比等于半径比的立方．()错误．长方体只有外接球，没有内切球．()错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．()正确．球的三视图都是圆．【答案】()×()×()×()√()()已知球的体积为π，求它的表面积．【精彩点拨】借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．【自主解答】()设球的半径为，则由已知得π＝π，＝.所以球的体积：＝×π×＝π.()设球的半径为，由已知得π＝π，所以＝，所以球的表面积为：＝π＝π×＝π.．一个关键抓住球的表面积公式球＝π，球的体积公式球＝π是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．．两个结论()两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；()两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．．()球的体积是，则此球的表面积是( )．π．π()用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )。
高中数学必修2立体几何常考题型：球的体积和表面积
球的体积和表面积【知识梳理】1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3. 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．【常考题型】题型一、球的体积与表面积【例1】 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．[解] 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝ r 2＋h 2＝ 5h ， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52. 【类题通法】求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．【对点训练】1．球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12πB ．16π C.16π3 D.64π3解析：选B 设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.题型二、根据三视图计算球的体积与表面积【例2】 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积为2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12. [答案] 4π＋12【类题通法】1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．【对点训练】2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π解析：选C由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.题型三、球的截面问题【例3】已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[解]如图所示，设以r为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面1面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【类题通法】球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.【对点训练】3．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，设O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x .又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x .解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924. 在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R 2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R . 由勾股定理得(R 2)2＋(924)2＝R 2. 解得R ＝362. 故S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π. 【练习反馈】1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1答案：A2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )A ．8πB ．4πC ．12πD ．16π 解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R ＝23，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝12π.3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．解析：设火星半径为r ，地球半径则为2r ，V 地V 火＝43π(2r )343πr 3＝8. 答案：84．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．解析：由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋(R 2)2，R ＝2，则球的表面积为16π.答案：16π5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积．(2)已知球的体积为108π3，求它的表面积． 解：(1)∵直径为2，∴半径r ＝1，∴表面积S 球＝4πr 2＝4π×12＝4π，体积V 球＝43πr 3＝43π×13＝43π. (2)∵V 球＝43πr 3＝1083π，∴r 3＝27，r ＝3，∴S 球＝4π×32＝36π.。
高中数学必修二 球的表面积和体积 答案解析版
1.3.2球的体积和表面积（课时检测题）一、选择题1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为()A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1【解析】设两球的半径分别为r ,3r ,则表面积之比为()2241943r r ππ=.【答案】A2.若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,则圆柱的高为()A .RB .2RC .3RD .4R【解析】设圆柱的高为h ,则πR 2h=3×43πR 3,所以h=4R.【答案】D3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的()A .1倍B .2倍C .3倍D .4倍【解析】设三个球的半径分别为x ,2x ,3x ,则最大球的体积V 大=×(3x )3=36πx 3,另两球的体积之和V 和=43πx 3+43π×(2x )3=12πx 3,所以V 大=3V 和.43π【答案】C4.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为()A .8πB .323πC .83πD .3【解析】作轴截面如图所示,则OO 1=1.设截面圆的半径为r ,球的半径为R.由已知可得πr 2=π,所以r=1,.故S 球=4πR 2=8π.【答案】A5.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为()A .18πB .30πC .33πD .40π【解析】由三视图可知该几何体是上面为半球,下面为圆锥的组合体,所以表面积S=12×4π×32+π×3×5=33π.【答案】C6.若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积之比是()A.6∶5B.5∶4C.4∶3D.3∶2【解析】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,母线长为2R ,则圆柱的表面积为2πR 2+2πR×2R=6πR 2,球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2=3∶2.【答案】D7.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A .9πB .10πC .11πD .12π【解析】该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π.故该几何体的表面积是4π+8π=12π.【答案】D8.球面上有三点A ,B ,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为()A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π【解析】∵AB 2+BC 2=182+242=302=AC 2,∴△ABC 为直角三角形,且其外接圆的半径为152AC=,即截面圆的半径r=15.又球心到截面的距离为d=12R (R 为球的半径),∴2221152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴R=∴球的表面积S=4πR 2=4π×2=1200π.【答案】A★9.表面积为16π的球的内接正方体的体积为()A.8B.169C.9D.16【解析】设表面积为16π的球的半径为r ,则4πr 2=16π,解得r=2.设内接正方体的棱长为a ,2r ,所以.所以内接正方体的体积V=a 3=39=.【答案】C 二、填空题10.已知长方体的8个顶点在同一个球面上,且长方体的体对角线长为4,则该球的体积是.【解析】该球的半径为42=2,则该球的体积是43π×23=323π.【答案】323π11.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为.【解析】设球O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得12.若长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1满足AB 2+BC 2+21CC =1,则其外接球的表面积为.【解析】因为外接球的半径12=,所以外接球的表面积为4π×212⎛⎫⎪⎝⎭=π.【答案】π13.已知圆柱OO'的底面半径为4,高为163,球M 的体积等于圆柱OO'的体积,则球M 的半径等于.【解析】设球M 的半径为r ,则43πr 3=π×42×163,解得r=4,即球M 的半径为4.【答案】414.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,那么该球的表面积是.【解析】由三视图可知边长为2的正方体内接于球,则球的半径.所以球的表面积为4πr 2=12π.【答案】12π三、解答题15.一种空心钢球的质量是142g,它的外径是5.0cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm 3,最后结果精确到0.1)【解析】设空心钢球的内径为2x cm,由题意得7.933454142323x ππ⎡⎤⎛⎫⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,则x 3=35142311.327.94π⨯⎛⎫-≈ ⎪⨯⎝⎭.∴x ≈2.24.∴2x ≈4.5,即所求钢球的内径约为4.5cm .16.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中.若取出这两个小球,则水面将下降多少厘米?【解析】设取出小球后,容器中的水面下降了h cm,两个小球的体积为V 球=2345125323ππ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(cm 3),该体积等于它们在容器中排开水的体积V=π×52×h ,所以1253π=π×52×h ,解得h=53.故若取出这两个小球,则水面将下降53cm .17.某个几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S ;(结果保留π)(2)求该几何体的体积V.(结果保留π)【解析】由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2m 的正方体,上半部分是半径为1m 的半球.(1)几何体的表面积为S=12×4π×12+6×22-π×12=24+π(m 2).(2)几何体的体积为V=23+1423⨯×π×13=8+23π(m 3).。
高中数学二 1.3.2 球的表面积与体积 含答案
1。
3。
2 球的体积和表面积时间：30分钟,总分:70分班级：姓名:一、选择题（共6小题，每题5分，共30分)1。
把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A.2倍B。
2倍C。
倍D。
倍【答案】B【解析】设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.故选B。
2。
将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（)A。
πB。
C。
πD.4π【答案】B【解析】根据题意知，此球为正方体的内切球,所以球的直径等于正方体的棱长,故r=1，所以V=πr3=π。
故选B.3、一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆,则这个几何体的体积是（ )A ．3π B ．23π C ．π D ．43π 【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体为一个球体的43，缺口部分为挖去的41．∵球的半径1=R ,∴ππ=⨯⨯⨯=13443V ，故选:C ．考点：由三视图求面积，体积．4．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．6πB ．9πC ．3πD ．12π【答案】B【解析】由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径， 即22221223R =++=，所以32R =，所以求得表面积为22344()92S R πππ==⨯=．故选B。
5、平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α，则球O的表面积为（）A．D．4π【答案】B【解析】由题球心O到平面α的距离为,可得R===⨯⨯=．故选B.Sππ43126、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【答案】B【解析】由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为错误!＝错误!a,又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝6a，则S＝4πR2＝4π错误!2＝6πa2。
2024-2025年北师大版数学必修第二册6.6.3球的表面积和体积(带答案)
6．3 球的表面积和体积必备知识基础练知识点一 球的表面积和体积1．球的体积是32π3 ，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C．16π3 D ．64π32．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍C ．95 倍D ．74倍3．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定知识点二 与球的截面有关的体积和表面积问题4．一平面截一球得到直径为25 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646 π cm 3D ．108π cm 35．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的半径．知识点三 与球有关的组合体的体积和表面积6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )A ．16πB ．20π C．24π D ．32π 7．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2 ，此时四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．556 π B．776 πC ．5π D．7π8．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为________．关键能力综合练一、选择题1．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( ) A ．C 24π B ．C 22π C ．C 2πD ．2πC 22．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3 B ．32π3 C ．8π D ．82π33．在正四棱锥S ABCD 中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为6 的等腰三角形，则正四棱锥S ABCD 的外接球的体积为( )A ．27π2B ．9π C．9π2D ．18π4．将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．6πB ．24π C．6 π D ．86 π5．(探究题)如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 π B．839πC ．16327 π D．32327 π二、填空题6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为________．7．(易错题)已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 8．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体．若该多面体的表面积是143 ，则该多面体外接球的表面积是________．三、解答题 9.《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，求(1)四面体ABCD 的表面积； (2)四面体ABCD 内切球半径； (3)四面体ABCD 外接球的表面积．学科素养升级练1.(多选题)在半径为15的球O 内有一个底面边长为123 的内接正三棱锥A BCD ，则此正三棱锥的体积为( )A ．8646B ．8643C ．2166D ．21632．(学科素养——生活情境)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖．如图，已知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是________．6．3 球的表面积和体积必备知识基础练1．答案：B解析：设球的半径为R ，则由已知得43 πR 3＝32π3，解得R ＝2.故球的表面积S 表＝4πR2＝16π.故选B.2．答案：C解析：设最小球的半径为r ，由三个球的半径之比为1∶2∶3，得另外两个球的半径分别为2r ，3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2，16πr 2，36πr 2，所以36πr 24πr 2＋16πr 2 ＝95.故选C.3．答案：A解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意得V ＝43πR 3＝a 3，所以a ＝3V ，R ＝ 33V4π.所以S 正方体＝6a 2＝63V 2 ＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ， 所以S 正方体>S 球．故选A.4．答案：B解析：设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1， 则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示．在Rt△OO 1A 中，O 1A ＝5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋（5）2＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3).故选B.5．解析：作出球的轴截面，如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5 ，r 2＝22 .又球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21 ，d 2＝R 2－r 22 ， ∴d 1－d 2＝R 2－5 －R 2－8 ＝1.∴R 2＝9.∴R ＝3. 6．答案：A解析：设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由V ＝13 a 2h ＝6，得a ＝6 ，由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r ，则(3－r )2＋(3 )2＝r 2，解得r ＝2，故S 球＝4πr 2＝16π.故选A.7．答案：C解析：由于等边三角形三线合一，则BD ＝CD ＝1.又因为翻折后BC ＝2 ，所以翻折后BD ⊥CD ，则四面体ABCD 的外接球与以BD ，CD ，AD 为棱的长方体的外接球相同．长方体外接球半径R ＝12 BD 2＋CD 2＋AD 2 ＝12 ×12＋12＋（3）2＝52 ，所以四面体外接球的表面积为4πR 2＝5π.故选C.8．答案：92π解析：可采用补体的方法，先画一个正方体，正方体的棱长为322 ，那么正方体的面对角线长为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若球与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长一半，即342 ，该球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫342 2 ＝92 π.关键能力综合练1．答案：C解析：设过球心的圆面半径为R ，则球的半径为R .由2πR ＝C ，得R ＝C2π，∴S 表＝4πR2＝C 2π.故选C. 2．答案：C解析：设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，∴截面圆的面积S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π.∴R 2＝2.∴球的表面积S ′＝4πR 2＝8π.故选C. 3．答案：C 解析：如图所示，设外接球的球心为O ，半径为R ，底面中心为E ，连接SE ，BO ，BE ，因为在正四棱锥S ABCD 中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为6 的等腰三角形，所以BE ＝2 ，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt△OBE 中，R 2＝OE 2＋BE 2，即R 2＝(2－R )2＋(2 )2，解得R ＝32 ，所以外接球的体积为V ＝43 πR 3＝92π.故选C.4．答案：A解析：在边长为2的正方形ABCD 中，设E 、F 分别为AB 、BC 的中点， △AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，满足题意，如图所示：翻折前AE ⊥AD ，BE ⊥BF ，CD ⊥CF ，翻折后，则由A ′D ⊥A ′E ，A ′D ⊥A ′F ，A ′E ⊥A ′F ，将三棱锥D A ′EF 补成长方体A ′EMF DPNQ ，其中A ′E ＝A ′F ＝1，A ′D ＝2，设三棱锥D A ′EF 的外接球的半径为R ，则2R ＝A ′E 2＋A ′F 2＋A ′D 2 ＝12＋12＋22＝6 ，∴R ＝62，故该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.故选A.5．答案：D解析：由题意，设球的半径为r ，作出球和圆锥的组合体的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝ ⎛⎭⎪⎫233 3 ＝32327 π，即溢出溶液的体积为32327π.故选D.6．答案：243π16解析：设底面ABCD 的中心为E ，则PE 为正四棱锥的高，PE ＝4，AB ＝2，AE ＝12AC ＝2 .设球心为O ，则O 一定在线段PE 上，连接OA ，设球的半径为R ，在Rt△AOE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，即R 2＝(2 )2＋(4－R )2，解之得R ＝94 ，所以球的体积为V ＝4π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫94 3 ＝243π16 .7．答案：8π解析：过正方体的对角面作截面如图所示． 故球的半径r ＝2 ，∴其表面积S ＝4π×(2 )2＝8π. 8．答案：11π解析：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的13 ，设原正四面体的棱长为a ，则其表面积为4×34×a 2＝3 a 2，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为13a 的正三角形的面积，所以该多面体的表面积为3 a 2－8×34 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2 ＝73a 29 ＝143 ，所以a ＝32 .如图，O 1是下底面正六边形ABCDEF 的中心，O 2是上底面正三角形MNG 的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O 在原正四面体的高PO 1上，O 2G ＝2 ×32 ×23 ＝63 ，O 1O 2＝23 PO 1＝23（32）2－（32×32×23）2＝433. 设球O 的半径为R ，在Rt△OO 1A 中，OA 2＝O 1A 2＋OO 21 ，所以R 2＝2＋OO 21 ，在Rt△OO 2G 中，OG 2＝OO 22 ＋O 2G 2，所以R 2＝O 2G 2＋(433 －OO 1)2＝23 ＋(433 －OO 1)2，所以OO 21 ＋2＝23 ＋(433 －OO 1)2，解得OO 1＝32 ，所以R ＝OO 21 ＋2 ＝112，所以该多面体外接球的表面积S ＝4πR 2＝11π.9．解析：(1)因为AB ⊥平面BCD ，BC ，BD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AB ⊥CD ，又因为BC ⊥CD ，AB ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AC .所以∠ABC ＝∠ABD ＝∠ACD ＝∠BCD ＝90°. 由题意得，AB ＝BC ＝CD ＝1，则S △ABC ＝12 AB ·BC ＝12 ，同理S △BCD ＝12 ，因为在Rt△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2 ， 所以S △ACD ＝12 AC ·CD ＝22 ，同理S △ABD ＝22，所以四面体ABCD 的表面积S ＝S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝1＋2 .(2)设内切球球心为O ，半径为r ，显然V A BCD ＝13 AB ·S △BCD ＝13 ×1×12 ＝16，由体积相等得V A BCD ＝V O ABC ＋V O ABD ＋V O ACD ＋V O BCD ＝13r (S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD )，得到r ＝3V A BCD S ＝122＋1＝2－12 .(3)由题意得，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，所以取AD 中点为P ，则PA ＝PB ＝PC ＝PD ， 所以P 为四面体外接球的球心，AD 为直径，在Rt△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝3 ，所以四面体外接球的半径为r ＝AD 2 ＝32，所以四面体外接球表面积为S ＝4πr 2＝4π×34＝3π.学科素养升级练1．答案：BD 解析：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23 ×32 ×123 ＝12.∴OH ＝OB 2－HB 2 ＝9，∴正三棱锥A BCD 的高h ＝9＋15＝24.又S △BCD ＝34 ×(123 )2＝1083 ，∴V 三棱锥A BCD ＝13×1083 ×24＝8643 .②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083 ，∴V 三棱锥A BCD ＝13 ×1083 ×6＝2163 .综上，可知正三棱锥的体积为8643 或2163 .故选BD.2．答案：239π解析：由题意可知，正方体的体积为V ＝2×2×2＝8，因为已知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，所以牟合方盖的体积为V 1＝8－163 ＝83.设正方体的外接球的半径为R ，则易知，正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，即(2R )2＝22＋22＋22，解得R ＝3 ，所以正方体的外接球的体积为V 2＝43 πR 3＝43π×(3 )3＝43 π.所以牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是V 1V 2 ＝8343π ＝239π .。
专题132球的体积和表面积-试题君之K三关高一数学人教版(必修2)含答案.doc
1.3.2球的体枳和表面积隹知识一、球的体积与表面积1.球的体积设球的半径为乩它的体积只与半径斤有关，是以斤为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R,那么它的体积V二__________________ .2.球的表面积设球的半径为R,它的表血积由半径斤唯一确定，即它的表血积S是以斤为自变量的函数.事实上，如果球的半径为爪那么它的表面积5= _______________ ・二、球的截面1.球的截面在解决球的相关计算问题中的作用(1)当截血过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；(2)当截血不过球心吋，截血圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.2.球的截面的性质(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离〃与球的半径斤及截面圆的半径厂之间满足关系式：d二加_厂2三、球的切、接问题(常见结论)(1)若正方体的棱长为d,则正方体的内切球半径是丄d；正方体的外接球半径是匣a；与正方体所有棱相切的球的半径是—67.2(2)若长方体的长、宽、高分别为Q, b, h,则长方体的外接球半径是丄J/+b2+〃2 .(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的内切球半径是— a；正四面体的外接球半径（4） 球与圆柱的底而和侧而均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. （5） 球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.K 知识参考答案:4一、1. _兀/?332. 4TI /?2« v 冷■「；»«<■ y 「。
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/；：!«-<蔭重点K —重点：球的体积和表面积.K —难点：球的截面问题、球与几何体的切、接问题. K —易错：空间能力想象不足、考虑不全出错等. 1. K 重点一一球的体积与表面积确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积； 反Z,已知球的体积或表面积也可以求其半径.例1若三个球的表面积之比为1 ： 4 ： 9,则这三个球的体积之比为 __________ ・ 【答案】1 ： 8 ： 27【解析】设三个球的半径分别为兀盘q 出， •・•三个球的表面积之比为1 ： 4： 9,・・4戒j ： 4诫f : 4诫孑=1： 4： 9,艮卩斤P :斤去：斤Q=］： 4： 9,・••妁：隔:駕=1： 2： 3「得鳶:賜:盘（=1： 8： 27, 二歼：内：Vi=扌碣m :专阖:专站=Rf :时:R/ =1: 8： 27.晅吓総・"。
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球的表面积和体积一、球的表面积和体积1. 已知地球半径为,R 北纬60 纬线的长度是_________．2. 已知球的表面积为64π，求它的体积3. 已知球的体积为5003π，求它的表面积．4. 两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶275. 两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．6. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A ．3B ．2C ．1 D.127. 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π38. 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm10. 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)二、与球有关的三视图问题1. 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．3. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋124. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋185. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )三、球的截面问题1. 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α则此球的半径为（ ）A B C ． D ．3. 过球半径的中点，作垂直于这条半径的截面，截面面积为248cm π，求此球的半径．4. 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．5. 在半径为6cm 的球的内部有一点，该点到球心的距离为4,cm 过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．211cm πB ． 220cm πC ． 232cm πD ． 227cm π6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 37. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，留下一个直径为24cm ，深8cm 的空穴，则球的半径为____________．8. 已知三角形ABC 的三个顶点在同一球面上，若90,2,BAC AB AC ∠=︒==球心O 到平面ABC 的距离为1，则该球的半径为____________．9. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2四、球面距离1. 在北纬45︒圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50︒与东经140︒圈上，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A ．12R πB ．13R πC ．14R πD R2. 已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每点间的球面距离为,2π则球心O 到平面ABC 的距离为_________．3. 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．4. 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且12,1,AB AD AA ==则顶点A B 、间的球面距离是________．5. 球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为（）A．B．C．2D．6. 在地球北纬60︒圈上有A B、两点，它们的经度相差180A B︒，、两地沿纬线圈的弧长与A B、两点的球面距离之比为（）A．3:2B．2:3C．1:3D．3:1参考答案 球的表面积和体积一、球的表面积和体积 1. 略2. 解 设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.3. 解 (2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.4. 由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.5. 设大球的半径为R ，由题意得43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32.6. 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.7. 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 8. 答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.9. 答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.10. 解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1，1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(1AO V 圆锥＋1BO V 圆锥)＝56πR 3.二、与球有关的三视图问题 1. 答案 4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.2. 答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.3. 答案 C解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V ＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＋13×12×1×1×1＝2π6＋16，故选C.4. 答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＋3×3×2＝92π＋18. 5. 答案 D解析 根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A ；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是B ；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是C ；D 为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选D.三、球的截面问题 1. 答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5. ∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．7. 略 8. 略 9. 略 四、球面距离 1. 略 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 略。