数值分析报告作业-三次样条插值

数值分析实验报告-插值、三次样条

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1．认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2．编写相关程序并进行实验；3．调试程序，得到最终结果；4．分析解释实验结果；5．按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析第5版》第二章相关内容。

实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。

结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p ;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。

(精品)数值分析课程设计-三次样条插值

《数值分析课程设计-三次样条插值》报告掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被逼近函数的近似。

三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。

以第1 边界条件为例，用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。

通过Matlab 编制三次样条函数的通用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。

引言分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。

利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。

故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。

三次样条函数的定义及特征定义：设[a,b] 上有插值节点，a＝x1＜x2<…xn＝b，对应函数值为y1,y2,⋯yn。

若函数S(x) 满足S(xj) ＝ yj （ j ＝ 1,2, ⋯,n ）， S(x) 在[xj,xj+1] （ j ＝1,2,⋯,n-1）上都是不高于三的多项式（为了与其对应j 从1 开始，在Matlab 中元素脚标从1 开始）。

当S(x) 在 [a,b] 具有二阶连续导数。

则称S(x) 为三次样条插值函数。

要求S(x) 只需在每个子区间[xj,xj+1] 上确定 1 个三次多项式，设为：Sj(x)＝ajx3＋bjx2＋cjx＋dj, (j＝1,2,⋯,n-1) (1)其中aj,bj,cj,dj 待定，并要使它满足：S(xj)＝yj, S(xj-0)=S(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (2)S'(xj-0)=S'(xj＋0), S"(xj-0)=S"(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (3)式(2)、(3)共给出n＋3(n-2)＝4n-6 个条件，需要待定4(n-1) 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件。

数值分析课程设计报告书三次样条插值的三弯矩法

数值分析课程设计报告书院系名称：学生姓名：专业名称：班级：时间：实验一三次样条插值的三弯矩法一、实验目的已知数据i x ,()i i y f x =,0,,i n =及边界条件()n j x y j j 1,0),(2=,求)(x f 的三次样条插值函数)(x S .要求输出用追赶法解出的弯矩向量0[,,]n M M M =及()(),0,,,0,1,2k i S t i m k ==的值.画出)(x S y =的图形,图形中描出插值点(,)i i x y 及(,())i i t S t 分别用‘o ’和‘*’标记.二、实验原理1.用追赶法求解第二类边界条件的三弯矩方程:0010012111121111[,,]21[,,]26[,,]212[,,]n n n n n n n n n n f x x x M f x x x M M f x x x M f x x x μλμλ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中1111,,j jj j j j j j j j j h h h x x h h h h μλ-+--===-++.2.得出样条函数表达式:332211111()()()()()6666j j j j j j j j j j j j j j j jx x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h +++++----=++-+-. 3.计算(k)(),0,,,0,1,2i S t i m k ==.三、实验结果所用数据:x=[-2.223,-1.987,-1.8465,-1.292,-1.2266,-1.1056,-0.8662,-0.6594,-0.2671,-0.0452,0.5385,1.2564,1.4398,1.5415,1.7646,1.9678,2.236];y=[0.83995,1.1696,1.3141,1.6992,1.7312,1.7847,1.8708,1.9262,1.9881,1.9997,1.9511,1.7169,1.618,1.5543,1.3871,1.191,0.81662];d2s1= -4.5000;d2sn= -4.8967; %第二种边界条件t=[-2.223,-1.9443,-1.6656,-1.3869,-1.1083,-0.82956,-0.55088,-0.27219,0.0065,0.28519,0.56387,0.84256,1.1212,1.3999,1.6786,2.236]; ;(指定计算点)计算结果:-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.50.811.21.41.61.82四、实验分析通过实验结果我们，知道三弯矩法求出满足初始条件的三次样条函数，与其他插值函数的构造相比，三次样条插值法的计算量要小得多。

C _数值分析_三次样条插值_自动选取步长梯形法_ROMBERG求积法_列主元高斯消去法_列主元LU分解法_JACOBI迭

//系数矩阵 //右端项 //中间项 //输出 //选取列主元的比较器
int i,j,k;
//计数器
void main() {
cout << "请输入线性方程组（ai1，ai2，ai3......ain, yi）："<<endl; for ( i = 0; i < N ;i++) {
for (int j = 0; j< N ;j++ ) cin >> A[i][j];
A[i][j] = A[i][j] - T * A[k][j]; } } } X[N-1] = B[N-1]/A[N-1][N-1]; for (i = N-2; i >=0 ; i--) {
6
double Temp = 0; for (int j = i+1; j<N ;j++)
Temp = Temp + A[i][j] * X[j]; X[i] = (B[i] - Temp) /A[i][i]; } cout << "线性方程组的解（X1，X2，X3......Xn）为："<<endl; for( i = 0; i < N ;i++) { cout << X[i] <<" "; } } 运行结果截图：
double fun(double a) {
return 2/( 1+a*a ); } double SelfSelLength(double R_a,double R_b,double e) {
double h = (R_b-R_a)/2; double R1 = (fun(R_a)+fun(R_b)) * h; int n = 1; double R0; double S; double E; do //每当误差值不符合要求时，计算下一个 result 值 {

三次样条插值ppt

f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶差商
二阶差商
三阶差商四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]

三次样条插值方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告三次样条插值方法的应用一、问题背景分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。

下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。

二、数学模型样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。

设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<=Λ10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。

● )(b a C S ,2∈；● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。

则称S 为关于划分的三次样条函数。

常用的三次样条函数的边界条件有三种类型：● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。

● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。

● Ⅲ型 ()()Λ3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。

鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。

三、算法及流程按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB在矩阵运算上的优势。

插值数值实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

数值分析——样条函数及三次样条插值

S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的(两点)三次样条插值多项式, 满足

Sk ( x j ) = y j
x → xk
k = 0,1,2, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
lim S k ( x ) = lim S k − 1 ( x ) + −
一、三次样条插值函数
定义1. 定义
a ≤ x0 , x1 ,⋯ , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割
如果函数S ( x )在区间[ a , b ]上满足条件 :
( 1) S ( x ), S ′( x ), S ′′( x )都在区间[ a , b ]上连续 ,即 S ( x ) ∈ C 2 [ a , b ]
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
S ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n lim S ( x ) = S ( x j ) = y j , j = 1,⋯ , n − 1 x→ x xlim S ′( x ) = S ′( x j ) = m j , j = 1,⋯ , n − 1 →x lim S ′′( x ) = S ′′( x j ), j = 1 ,⋯ , n − 1
+ x → xk
Sk ( x j ) = y j
k
k = 0,1, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
− x → xk
k −1
k = 1 , 2 ,⋯ , n − 1 k = 1,2 ,⋯ , n − 1 ------(8) k = 1, 2 ,⋯ , n − 1

数值计算方法三次样条插值

则法方程为其中平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
4.4 三次样条插值
令
A1

j1 (u )

(1
2
u
x hj
j 1
)(
u
xj hj
)2
A2

j (u )

(1
2
u
x hj
j
)(
u
x hj
j 1
)2
B1

j1 (u )

(u

u x j 1 )(
xj hj
)2
B2

j (u )

(u

x
j )(
u
x hj
j
)2
分段三次Hermite插值算法
I2(x)

I
n
(
x
)
x ( x0 , x1)
x ( x1, x2 ) ...... x ( xn1, xn )
其I中 j xxj1 xxj j yj1xxj xxjj 11yj yj1(xxj1)(yj yj1)/(xj xj1)
缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 hm 1jan{xhj xj xj1}足够小才能较好。的逼近
ss((xxn0
) )

f f
( x0 ) (xn )

m0 mn

数值分析三次样条插值

若取等距节点 hi = h, i = 1,…, n –1
i

h h
h

1 2
i
1 i

1 2
di

6 2h
yi 1
2 yi h

yi 1

3 h3
( yi1
2 yi

yi1 )
i 1, 2,, n
例1. 对于给定的节点及函数值
k 0123 xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2 求满足自然边界条件S(x0 ) S(xn ) 0的三次样条插值函数S(x),并求f (3)的近似值
Mi1
( x xi )2 2hi 1

yi1 hi 1
yi

hi 1 6
( M i 1

Mi )
于是
Si( xi )

hi 3
Mi

yi
yi1 hi

hi 6
M i 1
Si1( xi )
hi 1 3
Mi

yi1 hi 1
yi

hi 1 6
M i 1
解：由M关系式
k

hk
hk hk 1
k

hk 1 hk hk 1
1 k
1

2 3
1

1 3
2

1 3
2

2 3
di

6

yi1 hi1
yi

yi
yi hi
1

hi hi1 6 f [ xi1, xi , xi1]

关于三次样条插值函数的学习报告

关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种广泛应用于数值分析领域的插值方法，用于逼近一组已知数据点构成的函数。

在这篇学习报告中，我将介绍三次样条插值函数的定义、原理、应用及其优缺点，并通过实际例子说明其如何在实际问题中使用。

一、三次样条插值函数的定义三次样条插值函数是指用分段三次多项式对一组已知数据点进行插值的方法。

具体来说，对于已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，三次样条插值函数会在每相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，使得这些多项式在相应的数据点上满足插值条件，并且在相邻两个多项式之间满足一定的连续性条件。

二、三次样条插值函数的原理三次样条插值函数的原理是利用三次多项式在每个数据点上的取值和导数值来确定三次多项式的系数，从而构造出满足插值条件和连续性条件的插值函数。

具体来说，对于每个相邻的数据点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$，我们可以构造一个三次多项式$S_i(x)$，满足以下条件：1.$S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，即在数据点上满足插值条件；2.$S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$，$S_i''(x_{i+1})=S_{i+1}''(x_{i+1})$，即在数据点上满足连续性条件。

通过求解上述条件，可以得到每个相邻数据点之间的三次多项式$S_i(x)$，从而得到整个插值函数。

三、三次样条插值函数的应用三次样条插值函数在数值分析领域有广泛的应用，尤其在曲线拟合、数据逼近等问题中起到重要作用。

例如，当我们需要根据已知的离散数据点绘制平滑的曲线图形时，可以使用三次样条插值函数来进行插值，从而得到更加连续和光滑的曲线。

另外，在信号处理、图像处理等领域也常常会用到三次样条插值函数。

例如，在数字图像处理中，我们需要对像素点进行插值以得到更高分辨率的图像，三次样条插值函数可以很好地满足这个需求，使图像更加清晰和真实。

三次样条插值算法详解

局限性
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题，未来研究可以探索改进算法的数值稳定性，提高算法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等，以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理等。

三次样条插值报告

三次样条插值多项式实验的目的及意义：为了取得理想结果：在不增加更多的插值条件下，能够求得一个插值多项式，既有良好的逼近效果，又有好的光滑性，引进三次样条插值多项式。

如果已知函数y=f(x)在节点a=x0<x1<…<xn=b 处的函数值和导数值：()i i x f y =，i=0,1,2,…,n如果S(x)满足条件：1. S(x)是一个分段的三次多项式且()i i y x S =；2. S(x)在[a,b]具有二阶连续导数。

则称S(x)是三次样条插值函数。

S(x)的具体形式为：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=-]12,121,01,[,...............][,][,n n n x x x x s x x x x s x x x x s x s其中()x S i 在[]i i x x ,1-上是三次多项式()iiiiid x c x b x a x S +++=23由插值条件()ii y x S =，i=0,1,2,…,n ，得n+1个条件。

边界条件一：()()nn y x S y x S '',''00== 边界条件二：()()nn y x S y x S '''',''''00==数学公式：()()2211133[2]()[2()]()i i i i i i i i i i ih x x x x h x x x x H x y y h h ---+-----=++2211122()()()()i i i i i i i ix x x x x x x x m m h h -------+ 算法描述：Step1:输入未知数X 及(xi,yi),i=0,1,…,n ； Step2:计算步长H[i]; Step3:计算[][]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=+=-+++i i i i i i i ii i i i i x x f x x f u g u hh h ,,311111λλλStep4:根据边界条件，求解相应的方程得到m0,m1,…, mn Step5:判断X 属于[]i i x x ,1-，i=1,2,…,n 中的哪一个Step6:计算()x s y i i ≈Step7:输出y. 程序原代码如下： #include "stdio.h" #define N 5 void main() { int i,k; float X,s,y0,yn;float a[N][N+1],h[N],u[N],v[N],g[N],m[N],p[N],q[N],w[N];printf("please input X:"); //X 为未知数的大小scanf("%f",&X);printf("please input x:"); //输入x的大小for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&a[i][0]);printf("please input y:"); //输入y的大小for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&a[i][1]);for(i=1;i<N;i++)h[i]=a[i][0]-a[i-1][0]; //计算步长for(i=1;i<N;i++){v[i]=h[i+1]/(h[i]+h[i+1]);u[i]=1-v[i];g[i]=3*u[i]*(a[i+1][1]-a[i][1])/h[i+1]+3*v[i]*(a[i][1]-a[i-1][1])/h[i]; }printf("\t(1)已知边界条件1\n");printf("\t(2)已知边界条件2\n");printf("请选择边界条件序号:");scanf("%d",&k);if(k==1){printf("请输入y0和yn的一阶导:"); //输入边界条件一scanf("%f%f",&m[0],&m[N-1]);p[0]=0; //用追赶法求解m[N]q[0]=0;g[1]=g[1]-v[1]*m[0];g[N-2]=g[N-2]-u[N-2]*m[N-1];for(i=1;i<N;i++){w[i]=2-u[i]*p[i-1];p[i]=v[i]/w[i];q[i]=(g[i]-u[i]*q[i-1])/w[i];}m[N-2]=q[N-2];for(i=N-3;i>0;i--)m[i]=q[i]-p[i]*m[i+1];printf("输出m[i]的值:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%f\n",m[i]);for(i=1;i<N;i++) //计算最终结果if(X>a[i-1][0]&&X<a[i][0])s=(h[i]+2*(X-a[i-1][0]))*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*a[i-1][1]/(h[i]*h[i]*h[i]) +(h[i]-2*(X-a[i][0]))*(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*a[i][1]/(h[i]*h[i]*h[i])+ (X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*m[i-1]/(h[i]*h[i])+(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*m[i]/(h[i]*h[i]);printf("s(%f)=%f\n",X,s);}if(k==2){printf("请输入y0和yn的二阶导:"); //输入边界条件二scanf("%f%f",&y0,&yn);g[0]=3*(a[1][1]-a[0][1])/h[1]-h[1]*y0/2;g[N-1]=3*(a[N-1][1]-a[N-2][1])/h[N-1]+h[N-1]*yn/2;q[0]=g[0];u[0]=1;v[N-1]=1;w[0]=2;for(i=1;i<N;i++){w[i]=2-v[i]*u[i-1]/w[i-1];q[i]=g[i]-v[i]*q[i-1]/w[i-1];}m[N-1]=q[N-1]/w[N-1];for(i=N-2;i>=0;i--)m[i]=(q[i]-u[i]*m[i+1])/w[i];printf("输出m[i]的值:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%f\n",m[i]);for(i=1;i<N;i++)if(X>=a[i-1][0]&&X<=a[i][0])s=(h[i]+2*(X-a[i-1][0]))*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*a[i-1][1]/(h[i]*h[i]*h[i]) +(h[i]-2*(X-a[i][0]))*(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*a[i][1]/(h[i]*h[i]*h[i])+ (X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*(X-a[i][0])*m[i-1]/(h[i]*h[i])+(X-a[i-1][0])*(X-a[i-1][0])*(X-a[i][0])*m[i]/(h[i]*h[i]);printf("s(%f)=%f\n",X,s);}}数值计算：已知y=f(x)的如下数值求三次样条插值函数S（x），满足条件1.s’(0)=0,s’(4)=482.s’’(0)=0,s’’(4)=24Please input X:2.5Please input x:0 1 2 3 4 Please input y:-8 -7 0 19 56(1)已知边界条件1(2)已知边界条件2请选择边界条件的序号:1请输入y0和yn的一阶导:0 48 0.0000003.00000012.00000027.00000048.000000s(2.500000)=7.625000press any key tocontinue请选择边界条件的序号:2请输入y0和yn的二阶导:0 24 -0.0000003.00000011.99999927.00000248.0000007.625000press any key tocontinue s(2.500000)=7.625000 对计算结果进行评价分析：()()443845h M x S x f ≤-三次样条插值函数与三次Hermite 插值函数相比，不仅光滑度有提高，而且要求求解时还不需要增加内节点处的导数值，因此比较实用。

数值分析实验报告-插值、三次样条

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1．认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2．编写相关程序并进行实验； 3．调试程序，得到最终结果； 4．分析解释实验结果； 5．按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析第5版》第二章相关内容。

实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。

结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36* x^4+2.0202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。

数值分析三次样条插值函数

数值分析三次样条插值函数【问题】对函数f x =ex, x∈[0,1]构造等距节点的三次样条插值函数，对以下两种类型的样条函数1. 三次自然样条2. 满足S′ 0 =1,S′ 1 =e的样条并计算如下误差：max{ f x1 −S x1 ,i=1,…,N} i−i−i这里xi−1为每个小区间的中点。

对N=10,20,40比较以上两组节点的结果。

讨论你的结果。

【三次样条插值】在每一个区间[t1,t2],…,[tn−1,tn]上，S都是不同的三次多项式，我们把在[ti−1,ti]上表示S的多项式记为Si，从而，S0 x x∈[t0,t1]∈[t1,t2] S x = S1 x x…Sn−1 x x∈[tn−1,tn]通过在节点处函数值、一阶导数和二阶导数的连续性可以得到：Si−1 ti = yi= Si ti 1≤i≤ n−1Si−1′ ti = Si′ tix→ti+limS′′ x =zi=limS′′(x) x→ti−再给定z0和zn 的值就构成了4n个条件，而三次样条插值函数共4n个系数，故可以通过这4n个条件求解三次样条函数的系数，从而求得该三次样条插值函数。

特别的，当z0=zn=0 时称为自然三次样条。

文本预览：一、自然三次样条插值【自然三次样条插值算法】1.由上面的分析可知，求解三次样条函数实际上就是求解一个矩阵：u 1h 1h1u2h2h2u3…v1 z1 v2 z2 z3=v3 … z…hn−2 n−2 vn−2 z vn−1 un−1 n−1ih3…hn−3un−2hn−26…其中hi=ti+1−ti，ui=2(hi+hi−1)，ui=h(yi+1−yi)，vi=bi−bi−1 所以自然三层次样条插值的算法就是在得到端点的函数值，一次导数值和二次导数值，然后根据上述求解矩阵得到v，代入自然三次样条的表达式即可。

2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。

【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：N=101. 计算得到zi的值为：由此可以得到各个区间的自然三次样条插值函数。

计算方法大作业——三次样条插值

8
计算方法上机报告
此完成所有数据的输入。继续按 Enter 键会出现提示“选择封闭方程组的边界条件: 第一类边界条件输入 1，第二类边界条件输入 2，第三类边界条件输入 3。 ”根据已知情况选择相应的边界条件，若为自然三次样条插值，则选 1，并将插值区间两端点的二阶导数值设置为 0。输入完成之后按 Enter 开始求解，程序运行结束后命令窗口会显示要求的三次样条插值函数，同时会出现该插值函数以及插值节点的图像，便于直接观察。 2.3 算例及计算结果 (1) 《数值分析》课本第 137 页的例题 4.6.1，已知函数 y=f(x)的数值如下表，求它的自然三次样条插值函数。 xi yi -3 7 -1 11 0 26 3 56 4 29
(2) 给定函数 f ( x)
3 x 1 1 x 0 0 x3 3 x 4
1 (1 x 1) 。取等距节点，构造牛顿插值多项式 N5(x) 1 25x 2 和 N10(x)及三次样条插值函数 S10(x)。分别将三种插值多项式与 f(x)的曲线画在同一个
N10 x
22757 10 5444 8 20216 6 17147 4 3725 2 x x x x x 1 103 11 53 139 221
将牛顿插值多项式 N5(x)和 N10(x)及三次样条插值函数 S10(x)分别与 f(x)的曲线画在同一个坐标系上进行比较，如图 12。可以看出三次样条函数与原函数符合的非常好，对于低次的牛顿插值多项式，与原函数的大致趋势相同，而高次的牛顿插值多项式由于龙格现象的出现，与原函数之间相差比较大。
S ( xi ) S ( xi ), ( xi ) S ( xi ), S S ( x ) S ( x ), i i i 1, 2, , n 1

数值分析课程设计--三次样条插值

《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。

二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。

(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。

(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。

三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月三次样条插值摘要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。

利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。

三次样条插值实验报告

画图：
x1=0:.01:1;y1=polyval(S1(1,:),x1-X(1)); x2=1:.01:2;y2=polyval(S1(2,:),x2-X(2)); x3=2:.01:3;y3=polyval(S1(3,:),x3-X(3)); x4=3:.01:4;y4=polyval(S1(4,:),x4-X(4)); x5=4:.01:5;y5=polyval(S1(5,:),x5-X(5)); x6=5:.01:6;y6=polyval(S1(6,:),x6-X(6)); >> plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,'.') >> hold on >> x1=0:.01:1;y1=polyval(S2(1,:),x1-X(1)); x2=1:.01:2;y2=polyval(S2(2,:),x2-X(2)); x3=2:.01:3;y3=polyval(S2(3,:),x3-X(3)); x4=3:.01:4;y4=polyval(S2(4,:),x4-X(4)); x5=4:.01:5;y5=polyval(S2(5,:),x5-X(5)); x6=5:.01:6;y6=polyval(S2(6,:),x6-X(6)); >> plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,'.') >> hold on >> x1=0:.01:1;y1=polyval(S3(1,:),x1-X(1)); x2=1:.01:2;y2=polyval(S3(2,:),x2-X(2)); x3=2:.01:3;y3=polyval(S3(3,:),x3-X(3)); x4=3:.01:4;y4=polyval(S3(4,:),x4-X(4)); x5=4:.01:5;y5=polyval(S3(5,:),x5-X(5)); x6=5:.01:6;y6=polyval(S3(6,:),x6-X(6)); >> plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,'.')

(完整word版)数值分析作业-三次样条插值..

数值计算方法作业实验4.3 三次样条差值函数实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。

实验函数:dt ex f xt ⎰∞--=2221)(πx 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x) 0.5000 0.5398 0.57930.61790.7554求f(0.13)和f(0.36)的近似值实验内容：（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；（2）计算各插值节点的弯矩值；（3）在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。

实验4.5 三次样条差值函数的收敛性实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。

对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。

作为工业应用的例子，考实验名称实验 4.3三次样条插值函数（P126）4.5三次样条插值函数的收敛性（P127）实验时间姓名班级学号成绩虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一段数据如下： k x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k y 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 ky ' 0.80.2算法描述：拉格朗日插值：错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

是拉格朗日基函数，其表达式为：()∏≠=--=ni j j j i ji x x x x x l 0)()(牛顿插值：))...()(](,...,,[....))(0](,,[)0](,[)()(1102101210100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=-)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[01102110x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n i k j i k j k j i ji j i j i三样条插值：所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a<X0<X1……<Xn<b)分成的每个小区间[x i-1,x i ]上是三次多项式，其在此区间上的表达式如下：],[),6()6(]6)([6)(6)()(111113131i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x h yM h M h h y x M M h h y y h x x Mi h x x M x S -------∈-+-+---+-+-=式中Mi=)(i x S ''.因此，只要确定了Mi 的值，就确定了整个表达式，Mi 的计算方法如下：令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---+=+=+=+--++++++],,[6)(6111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ix x x f h y y h y y h h d h h h h h h λμ则Mi 满足如下n-1个方程：1,...2,1,211-==+++-n i d M M M i i i i i i λμ 常用的边界条件有如下几类：（1）给定区间两端点的斜率m 0,m n ,即n n n m y x S m y x S ='='='=')(,)(000 （2）给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即n n n M y x S M y x S =''=''=''='')(,)(000 （3）假设y=f(x)是以b-a 为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S （x ）也为周期函数，对S （x ）加上周期条件2,1,0),0()0()(0)(=-=+p x S x S n p p对于第一类边界条件有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=+--)(62)(6211001110n n n n n n i h y y mn h M M m h y y h M M对于第二类边界条件有⎩⎨⎧=+=+-n n n n d M M d M M 221100μλ其中n n n n nnn M u x x f m h d M m x x f h d )1(2]),[(6)1(2)],[(6100001010-+-=-+-=-μλλ那么解就可以为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n n n n d d d d d M M M M M 1210121011...2...............2............................1..2.1......0..2μλμλμλ 对于第三类边界条件，)0()0(,,000-=+==n n n x S x S M M y y ，由此推得0010012d M M M n =-++μλ，其中]),1[],[(6,,101010110n n nn n n x x f x x f h h d h h h h h h --+=+=+=μλ，那么解就可以为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1221012101221100...2.............2..............................2..,,.......,..22n n n n n n n d d d d d M M M M M n μλλμλμμλ 程序代码： 1拉格朗日插值函数Lang.mfunction f=lang(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标 %xi 插值点处的横坐标%f 求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); f=0; for i=1:n l=1; for j=1:i-1l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ; for j=i+1:nl=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ;%拉格朗日基函数 f=f+l*Y(i); endfprintf('%d\n',f) return2 牛顿插值函数newton.mfunction f=newton(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标 %xi 插值点处的横坐标%f 求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X);newt=[X',Y'];%计算差商表for j=2:nfor i=n:-1:1if i>=jY(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));else Y(i)=0;endendnewt=[newt,Y'];end%计算牛顿插值f=newt(1,2);for i=2:nz=1;for k=1:i-1z=(xi-X(k))*z;endf=f+newt(i-1,i)*z;endfprintf('%d\n',f)return3三次样条插值第一类边界条件Threch.mfunction S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)% X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%dy0左端点处的一阶导数% dyn右端点处的一阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n%求函数的一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:n%求函数的二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%¸赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;syms x;for i=1:nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))...+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i));%三样条插值函数表达式endfor i=1:ndisp('S(x)=');fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));endfor i=1:nif xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M (i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;endenddisp('xi S');fprintf('%d,%d\n',xi,S);return4 三次样条插值第二类边界条件Threch2.mfunction [Sx]=Threch2(X,Y,d2y0,d2yn,xi)X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%d2y0左端点处的二阶导数% d2yn右端点处的二阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n%求一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:n%求二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=2*d2y0;d(n+1)=2*d2yn;%赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=0;A(n+1,n)=0;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;syms x;for i=1:nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i));endfor i=1:ndisp('S(x)=');fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));endfor i=1:nif xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2 +(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;endenddisp('xi S');fprintf('%d,%d\n',xi,S);return5插值节点处的插值结果main3.mclearclcX=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];xi=0.13;%xi=0.36;disp('xi=0.13');%disp('xi=0.36');disp('拉格朗日插值结果');lang(X,Y,xi);disp('牛顿插值结果');newton(X,Y,xi);disp('三次样条第一类边界条件插值结果');Threch1(X,Y,0.40,0.36,xi);%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数disp('三次样条第二类边界条件插值结果');Threch2(X,Y,0,-0.136,xi);%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上main2.mclearclcX=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];a=linspace(0,0.4,21);NUM=21;L=zeros(1,NUM);N=zeros(1,NUM);S=zeros(1,NUM);B=zeros(1,NUM);for i=1:NUMxi=a(i);L(i)=lang(X,Y,xi);% 拉格朗日插值N(i)=newton(X,Y,xi);%牛顿插值B(i)=normcdf(xi,0,1);%原函数S(i)=Threch1(X,Y,0.4,0.36,xi);%三次样条函数第一类边界条件endplot(a,B,'--r');hold on;plot(a,L,'b');hold on;plot(a,N,'r');hold on;plot(a,S,'r+');hold on;legend('原函数','拉格朗日插值','牛顿插值','三次样条插值',2);hold off7增加插值节点观察误差变化main4.mclear;clc;N=5;%4.5第一问Ini=zeros(1,1001);a=linspace(-1,1,1001);Ini=1./(1+25*a.^2);for i=1:3 %节点数量变化次数N=2*N;t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点ft=1./(1+25*t.^2);%插值节点函数值val=linspace(-1,1,101);for j=1:101L(j)=lang(t,ft,val(j));S(j)=Threch1(t,ft,0.074,-0.074,val(j));%三样条第一类边界条件插值endplot(a,Ini,'k')%原函数图象hold onplot(val,L,'r')%拉格朗日插值函数图像hold onplot(val,S,'b')%三次样条插值函数图像str=sprintf('插值节点为%d时的插值效果',N);title(str);legend('原函数','拉格朗日插值','三次样条插值');%显示图例hold offfigureend8车门曲线main5.mclearclcX=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29]; dy0=0.8;dyn=0.2;n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:nh(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1); A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;x=zeros(1,n);S=zeros(1,n);for i=1:nx(i)=X(i)+0.5;S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i ))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3;endplot(X,Y,'k'); hold on;plot(x,S,'o');title('三次样条插值效果图');legend('已知插值节点','三次样条插值');hold off实验结果：4.31计算插值节点处的函数值xi=0.13时Xi=0.36时2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上4.5.1增加插值节点观察误差变化4.5.2 车门曲线。

数值分析作业-三次样条插值

数值计算方法作业实验4.3 三次样条差值函数实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。

实验函数:dt ex f xt ⎰∞--=2221)(π实验内容：（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；（2）计算各插值节点的弯矩值；（3）在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。

实验4.5 三次样条差值函数的收敛性实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。

对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。

作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一段数据如下：kx012345678910 ky0.00.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29ky'0.80.2算法描述：拉格朗日插值：其中是拉格朗日基函数，其表达式为：()∏≠=--=nijj jiji xxxxxl)()(牛顿插值：))...()(](,...,,[....))(](,,[)0](,[)()(11211211----++--+-+=nnnxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=-)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[11211xxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxxfxxxfxfxxfnnnnikjikjkjijijiji三样条插值：所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a<X0<X1……<Xn<b)分成的每个小区间[xi-1,xi]上是三次多项式，其在此区间上的表达式如下：],[),6()6(]6)([6)(6)()(111113131iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxhyMhMhhyxMMhhyyhxxMihxxMxS-------∈-+-+---+-+-=式中Mi=)(ixS''.因此，只要确定了Mi 的值，就确定了整个表达式，Mi 的计算方法如下：令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---+=+=+=+--++++++],,[6)(6111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ix x x f h y y h y y h h d h h h h h h λμ则Mi 满足如下n-1个方程：1,...2,1,211-==+++-n i d M M M i i i i i i λμ 常用的边界条件有如下几类：（1）给定区间两端点的斜率m 0,m n ,即n n n m y x S m y x S ='='='=')(,)(000 （2）给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即n n n M y x S M y x S =''=''=''='')(,)(000 （3）假设y=f(x)是以b-a 为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S （x ）也为周期函数，对S （x ）加上周期条件2,1,0),0()0()(0)(=-=+p x S x S n p p对于第一类边界条件有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=+--)(62)(6211001110n n n n n n i h y y mn h M M m h y y h M M对于第二类边界条件有⎩⎨⎧=+=+-n n n n d M M d M M 221100μλ其中n n n n nnn M u x x f m h d M m x x f h d )1(2]),[(6)1(2)],[(6100001010-+-=-+-=-μλλ那么解就可以为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n n n n d d d d d M M M M M 1210121011...2...............2............................1..2.1......0..2μλμλμλ对于第三类边界条件，)0()0(,,000-=+==n n n x S x S M M y y ，由此推得0010012d M M M n =-++μλ，其中]),1[],[(6,,101010110n n nn n n x x f x x f h h d h h h h h h --+=+=+=μλ，那么解就可以为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1221012101221100...2.............2..............................2..,,.......,..22n n n n n n n d d d d d M M M M M n μλλμλμμλ 程序代码： 1拉格朗日插值函数Lang.mfunction f=lang(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标 %xi 插值点处的横坐标%f 求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); f=0; for i=1:n l=1; for j=1:i-1l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ; for j=i+1:nl=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ;%拉格朗日基函数 f=f+l*Y(i); endfprintf('%d\n',f) return2 牛顿插值函数newton.mfunction f=newton(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%f求得的拉格朗日插值多项式的值n=length(X);newt=[X',Y'];%计算差商表for j=2:nfor i=n:-1:1if i>=jY(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));else Y(i)=0;endendnewt=[newt,Y'];end%计算牛顿插值f=newt(1,2);for i=2:nz=1;for k=1:i-1z=(xi-X(k))*z;endf=f+newt(i-1,i)*z;endfprintf('%d\n',f)return3三次样条插值第一类边界条件Threch.mfunction S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)% X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%dy0左端点处的一阶导数% dyn右端点处的一阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n%求函数的一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:n%求函数的二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%¸赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;syms x;for i=1:nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))...+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i));%三样条插值函数表达式endfor i=1:ndisp('S(x)=');fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));endfor i=1:nif xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6 *h(i))*(xi-X(i))^3;endenddisp('xi S');fprintf('%d,%d\n',xi,S);return4 三次样条插值第二类边界条件Threch2.mfunction [Sx]=Threch2(X,Y,d2y0,d2yn,xi)X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%d2y0左端点处的二阶导数% d2yn右端点处的二阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n%求一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:n%求二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=2*d2y0;d(n+1)=2*d2yn;%赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=0;A(n+1,n)=0;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;syms x;for i=1:nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i));endfor i=1:ndisp('S(x)=');fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));endfor i=1:nif xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i)) /(6*h(i))*(xi-X(i))^3;endenddisp('xi S');fprintf('%d,%d\n',xi,S);return5插值节点处的插值结果main3.mclearclcX=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];xi=0.13;%xi=0.36;disp('xi=0.13');%disp('xi=0.36');disp('拉格朗日插值结果');lang(X,Y,xi);disp('牛顿插值结果');newton(X,Y,xi);disp('三次样条第一类边界条件插值结果');Threch1(X,Y,0.40,0.36,xi);%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数disp('三次样条第二类边界条件插值结果');Threch2(X,Y,0,-0.136,xi);%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上main2.mclearclcX=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];a=linspace(0,0.4,21);NUM=21;L=zeros(1,NUM);N=zeros(1,NUM);S=zeros(1,NUM);B=zeros(1,NUM);for i=1:NUMxi=a(i);L(i)=lang(X,Y,xi);% 拉格朗日插值N(i)=newton(X,Y,xi);%牛顿插值B(i)=normcdf(xi,0,1);%原函数S(i)=Threch1(X,Y,0.4,0.36,xi);%三次样条函数第一类边界条件endplot(a,B,'--r');hold on;plot(a,L,'b');hold on;plot(a,N,'r');hold on;plot(a,S,'r+');hold on;legend('原函数','拉格朗日插值','牛顿插值','三次样条插值',2);hold off7增加插值节点观察误差变化main4.mclear;clc;N=5;%4.5第一问Ini=zeros(1,1001);a=linspace(-1,1,1001);Ini=1./(1+25*a.^2);for i=1:3 %节点数量变化次数N=2*N;t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点ft=1./(1+25*t.^2);%插值节点函数值val=linspace(-1,1,101);for j=1:101L(j)=lang(t,ft,val(j));S(j)=Threch1(t,ft,0.074,-0.074,val(j));%三样条第一类边界条件插值endplot(a,Ini,'k')%原函数图象hold onplot(val,L,'r')%拉格朗日插值函数图像hold onplot(val,S,'b')%三次样条插值函数图像str=sprintf('插值节点为%d时的插值效果',N);title(str);legend('原函数','拉格朗日插值','三次样条插值');%显示图例hold offfigureend8车门曲线main5.mclearclcX=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29]; dy0=0.8;dyn=0.2;n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:nh(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1); A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2:nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;x=zeros(1,n);S=zeros(1,n);for i=1:nx(i)=X(i)+0.5;S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i))^2+(M(i+1)-M (i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3;endplot(X,Y,'k'); hold on;plot(x,S,'o');title('三次样条插值效果图');legend('已知插值节点','三次样条插值');hold off实验结果：4.31计算插值节点处的函数值xi=0.13时Xi=0.36时2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上4.5.1增加插值节点观察误差变化从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果4.5.2 车门曲线（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。