_X射线衍射的几何原理_衍射矢量

ON - MA r S - r S0 r (S S0 )
S S0
其位相差为：

2

2

r
k r k (ma nb pc)
图3-1 任意两阵点的相干散射
A Ap exp(i )
p
Ac Ap exp(i ) Ap exp(ima k ) exp(inb k ) exp(ipc k ) Ap G
Intensity (%)
120
(e) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 0,0,2 0,2,0 2,0,0 1,1,2 1,2,1 2,1,1 0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,1,3 1,0,3 0,3,1 1,3,0 3,0,1 3,1,0 0,1,1 1,0,1 1,1,0

布拉格方程的讨论
选择反射 产生衍射的极限条件 干涉面和干涉指数 衍射花样和晶体结构的 关系 Laue方程与布拉格方程 的等效性
选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中 各原子散射波之间的干涉结果, 只是由于衍 射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反 射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。 但是X射线的原子面反射和可见光的镜 面反射不同。一束可见光以任意角度投射到 镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线 的反射并不是任意的，只有当、、d三者 之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以 把X射线这种反射称为选择反射。 二者的反射效率也不相同.
1 s s0 1 a k a H 2 s s0 1 2 b k b K 2 1 s s0 3 c k c L 2
3 不考虑温度因子 4 略去折射效应
5 不考虑吸收
首先从晶体点阵中任意取出两个阵 点，求出它们散射波的光程差和相位差， 然后将它们的振幅对所有参加衍射的阵 点求和，从而得出参加衍射晶体的相干 散射振幅和强度。
S0
S0 O M
A
S
N
S
(任意两个阵点相干散射的示意图)
如图3-1，设有两个任意的阵点O、A，取O为 坐标原点，A点的位置矢量r=ma+nb+pc，即 空间坐标为（m,n,p），S0和S分别为入射线和 散射线的单位矢量，散射波之间的光程差为: 图3-1 任意两阵点的相干散射
产生衍射的极限条件
在布拉格方程中，sin 不能大于1， 因此： n
2d
sin 1 ，即 n 2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观 测的衍射角下，产生衍射的条件为<2d，这也就 是说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须小于参 加反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生 衍射现象。 d> /2, 表明在波长确定的情况下,能发生衍射的是那 些面间距大于波长一半的晶面, 波长越短，能出现的 衍射线数目越多
Intensity (%)
120
图3-
X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
Bragg方程是晶体衍射的必要条件 含义？
Laue方程与布拉格方程的等效性
3.4 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
在描述X射线的衍射几何时，主要是解决两个 问题： 1. 产生衍射的条件，即满足布拉格方程； 2. 衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍 射角2 。 为了把这两个方面的条件用一个统一的矢 量形式来表达，引入了衍射矢量的概念。 倒易点阵中衍射矢量的图解法：厄尔瓦德图解.
正方晶系：
斜方晶系：
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞 大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的种类 和位置。
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40
1,1,0 (立方: Fe a=b=c=0.2866 nm
3.1 晶体点阵对X射线的衍射
假定参加衍射的晶体为平行六面体， 它的三个棱边为：N1a、N2b、N3c，N1、 N2、N3分别为点阵基矢量a、b、c方向上 的阵点数，参加衍射的阵点总数为 N=N1N2N3。 我们的任务是求出散射体外某一点 的相干散射振幅和强度。
几个假设:
1 平行光入射
2 只考虑一次散射,略去多重散射
在 1 H 处有函数极大值，即在
1 H 的方向上产生衍射线。
G 中的三个因子是类似的。因此，决定
2
晶体发出的衍射线方向的条件为： 1 s s0 1 a k a H 2 左式称为劳厄方程，式中H s s0 1 、K、L称为衍射指数或干 2 b k b K 2 涉指数。 1 s s0 3 c k c L 2
2,0,0 (65.03,14.9) 2,1,1 (82.35,28.1) 2,2,0 (98.96,9.3) 3,1,0 (116.40,16.6)
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120
(b) 面心立方: Fe a=b=c=0.360nm
3.3 布拉格定律
布拉格方程的导出
布拉格方程的讨论
布拉格方程的导出：
布拉格实验 根据图示，干涉加强的条件是：
反 射 面 法 线
2d sin n
式中：n为整数，称为反射级数； 为入射线或反射线与反 射面的夹角，称为掠射角，由 于它等于入射线与衍射线夹角 的一半，故又称为半衍射角， 把2 称为衍射角。
1 一维原子列
a(cos cos0 ) H
原子列的衍射
原子列衍射圆 锥示意图
2 二维原子点阵
a (cos cos 0 ) H b(cos cos0 ) K
3 三维原子点阵 的衍射
a (cos cos 0 ) H b(cos cos0 ) K c(cos cos 0 ) L
干涉面和干涉指数
我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到 简化的布拉格方程： d hkl d hkl 2 sin , 令d HKL n n 则有： 2d HKL sin 把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl） 晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级 反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的 反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干 涉面的面指数称为干涉指数。
a (cos cos 0 ) H b(cos cos0 ) K c(cos cos 0 ) L , , : s 与基矢量a , b, c的夹角 0 , 0 , 0 : s0与基矢量a , b, c的夹角
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 2,0,0 (50.67,44.6) 2,2,0 (74.49,21.4) 3,1,1 (90.41,22.7) 2,2,2 (95.67,6.6) 1,1,1 (43.51,100.0)
1 1
2

N1
对干涉函数而言，主峰的有值范围为：

N1
1 H
2 K

N2
3 L

N3
H、K、L为整数（包括零在内） 主峰最大值的对应位置为：
1 H 2 K
3 L
3.2 劳厄方程
干涉函数
G1
2
sin 2 N1 1 sin 2 1
1 3 c k 2
干涉函数具有如下一些性质： 1） G1 2 max N1 2 2）由主峰和副峰组成，两 个相邻的主峰之间有 N1 2 个副峰； 3）当 G1 0 时， 1 N 1 主峰在 H N 范围内有值，主峰底宽为 2 ，主峰的积分面积近似等于 N1
1 2 1 2 1 sin N1 a k sin N 2 b k sin N 3c k 2 2 2 2 G 2 1 2 1 2 1 sin a k sin b k sin c k 2 2 2
2
称为干涉函数。
令:
1 1 a k 2
1 2 b k 2
Intensity (%)
4,0,0 (117.71,3.8) 115 120
(c) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 2,0,0 2,2,0 2,1,1 3,1,0 2,2,2 1,1,0
N m 0 n 0 p 0
N1 1
N 2 1
N3 1
G
N1 1 m 0
exp(ima k ) exp(inb k ) exp(ipc k )
n 0 p 0
N 2 1
N 3 1
衍射强度为：
I c cI p G
2
式中c为比例系数，Ap 、 I p 为单一阵点的散射振幅和强度
Intensity (%)
120
(d) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,1,1 2,0,2 1,0,3 2,2,0 3,0,1 3,1,0 1,1,0 1,0,1