复变函数课件6-习题课

(1) Argz(t0 )就是C上点z0处的切线的正向与x轴 正向之间的夹角.
2020/5/14
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(2) 相交于一点的两条曲线 C1与 C1正向之间 的夹角, 就是 C1与 C2在交点处的两条切线正向 之间的夹角.
设 w f (z)在区域 D内解析, z0 D, 且 f (z0 ) 0. C : z平面内过 z0 的有向光滑曲线, 参数方程 :
z (1 i) 又 z 1时, w 1, 故 i a b,
由对称点的不变性知， z 1 对应 w 0, 1 i
故 b 1, a 1 i,
所以 w (1 i)z 1 (i 1)z 1 为所求. z (1 i) z (1 i)
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解3 利用典型区域映射公式
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2) 指数函数w ez .
映射特点: 把水平的带形域 0 Im( z) a 映射成
角形域 0 arg w a.
ai (z)
(w)
0 特殊地: (z)
2i
0
w ez w e2
0
(w)
0
如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.
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三、典型例题
例1 求分式线性映射,使 z 1映射成 w 1,且使 z 1,1 i映射成w 1,.
所以
w
w
1
1 2
(w
w
)
1 2
,
即Re(w) 1 , 2
故 z 1映为w平面上的半平面 Re(w) 1 . 2
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例5 试证明在映射 w eiz下, 互相正交的直线族 Re(z) C1与Im( z) C2依此映射成互相正交的直 线族与圆族 u2 v2 e2C2 .
f (2) i,arg f (2) 0.
解
令z 2 ,
w
2
2i
w1 ,
w1 g( ),
1 w1 g( ) w1 1,
0
w1
i 2i 2
i, 2
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当w1 g( )时，
g1(w1 )
e i
w1 i 1 i w1
2 2
,
z 2 ei (w 2i) 2 i 2 , 1 (i 2) ((w 2i) 2)
方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一点 z0 , 若 z0的象在 C内部, 则 C的内部就映为 C的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
方法2 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同.
则 C的内部就映为C的内部. 若绕向相反, 则C
的内部就映射为C 的外部.
设函数 w f (z)在区域 D内解析, z0为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
定义 设 w f (z)在 z0 的邻域内是解析的,在 z0 具有保角性和伸缩率不变性，那末 w f (z) 在 z0 是共形的，或称w f (z) 在 z0 是共形映射． 也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射
成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
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4）分式线性映射具有保对称性. 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
2 iw
故 w z (2 i) . iz 2 (1 i)
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例4 问分式线性映射w z 将单位圆盘 z 1映 z1
射成w 平面上的什么区域?
解 由已知条件z 1,故从所给映射中将z解出:
z w ,
w z 1
w1 w1
即 w 2 w 1 2 (w 1)(w 1) w 2 (w w ) 1,
将所求映射设为 w ei z A z , 1z 1z
因为 z 1 i 时, w , 所以 1 (1 i) 0,
1 , 1 ,
1 i
1 i
又 z 1时, w 1, 所以 A 1 i,
故
z 1
w i 1
1 i 1z
1
(i 1)z 1 为所求. z (1 i)
即w az b (ad bc 0)可由下式给出: cz d
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
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交比不变性
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对确定区域的映射
在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成C 的外部. 判别方法:
1 i
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例2 求一个分式线性映射 w f (z)它将圆 z 1 映成圆 w 1 ,且满足条件 f (1 2) 0, f (1 2) 0.
解 因 z 1映成 w 1 的映射为
w f (z) ei z a ( a 1) 1 az
因为 a 1 , 2
所以 w ei 2z 1, 2 z
所以 z 2 ei 2(w i) (w),
2 iw
f (z)与 (w)互为反函数，
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由 arg f (2) 0，
arg(i) arg 1 0,
f (2)
(i )
2
e i
2(w 2
i) iw
2ei 3,
wi
得 0. 所以 z 2 2(w i)，
证 设 z x iy, w u iv,
Re(z) x,Im(z) y,
因为 w eiz e y (cos x i sin x) 所以 u e y cos x, v e y sin x,
u2 v2 e2 y , v utan x,
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又因为 Re(z) x C1, Im( z) y C2
z
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分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.
2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
如果规定两条伸向无穷远的曲线在z 处
的夹角,等于它们在映射 1下所映成的通
z
过原点 0的两条象曲线的夹角,则分式线
性映射是保角的.
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3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
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特殊地: w zn将角形域0 arg z 2 共形映射成w平面上
n
除去正实轴的区域.
(z)
(w)
2
w zn
0
n
zn w
0
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 用幂函数 w zn(或根式函数 w n z) 所构成的共 形映射.
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lim
zz0
s
(s表示C上点z0与z间的
弧长, 表示上对应的w0与w之间的弧长)的值称
为曲线C在z0的伸缩率.
f (z0 )是经过映射w f (z) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
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2.共形映射（保角映射）
0 Im( w3 ) i映射为上半平面 Im( w) 0,
从而
w
e w3
ew2
eiw1
i zi
e zi
为所求映射.
y
i
(w1 )
• O
1x
w1
z z
i i
•i
1
O
i
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3.分式线性映射
定义 w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的
分式映射复合而成: (1)平移映射 w z b;
(2)旋转与相似映射w az; (3)反演映射 w 1 .
u2 v2 e2C2 ,v utanC1. 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，
故命题得证.
[证毕]
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例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解
取分式线性映射w1
z z
i i
,
将切点i映射为w1 ,并将
z i映射为w1 0.
y i
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
3)保角性 相交于点z0 的任意两条曲线C1与 C2之间的
夹角在其大小和方向上都等同于经过 w f (z)
映射后跟 C1与C2对应的曲线 1与 2之间的夹角. 映射 w f (z) 具有保持两曲线间夹角的大小和 方向不变的性质, 此性质称为保角性.
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4）伸缩率
极限
f
(z0 )
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又因
f (z)
e i
3 (2 z)2
,
Leabharlann Baidu
所以
f
1 2
4e i 3
0,
arg
f
1 2
2kπ
(k 0,1,2 )
所求映射为w 2z 1. 2 z
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例3 求一个分式线性映射w f (z)它将圆z 2 1 映成圆 w 2i 2 ，且满足条件
(1,0,
w,
)
1, 1
1
i
,
z,1
i
即
w w
1
z
z
1 1
1i
1 i 1 1i 1
z1 , zi z i
1 i
所以 w (i 1)z 1 为所求. z (1 i)
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解2 利用不变对称点 因 z 1 i 时, w , 所以 w az b ,
z z(t), ( t );
映射 w f (z) 将 C 映射成 w平面内过 w0 f (z0 )
的一条有向光滑曲线 w f [z(t)], z , 且
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1) 导数f (z0 ) 0的幅角Arg f (z0 )是曲线C经过 w f (z)映射后在z0处的转动角. 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关.
一、重点与难点
重点：分式线性变换及其映射特点 难点：分式线性变换与初等函数相结合，求一
些简单区域之间的映射
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二、内容提要
f (z) 的几何意义 共形映射
一一对应性 保角性 保圆性
保对称性
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分式线性映射
分 式 线 性 映 射 的 确 定
对 确 定 区 域 的 映 射
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几个初等 函数构成
的映射
幂指 函数 数函
数
w zn w ez
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1. f (z)的几何意义
设 z z(t)( t )表示z平面内一条有向连
续曲线C,正方向为t增大方向, z(t)为连续函数.如果
z(t0 ) 0, t0 ,那么表示z(t0 )的向量与C相切
于点z z(t0 ). 若规定z(z0 )的方向(起点为z0 )为C上点z0处切线的 正向,则有
解1 利用分式线性映射不变交比和对称点
因为w 0与w 是关于圆周 w 1的对称点, 又 z 1 i 关于圆周 z 1的对称点为 1 ,
1 i 据分式线性映射不变对称点的性质知
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w 0在z平面上的逆象为z 1 (z 1 i对应w ). 1 i
由交比不变性知
i
w1将两相切的圆周映射为两平行的直线(且w1(1) i).
取旋转变换
i
w2 e 2 w1 iw1
将铅直带形域
1 Re(w1 ) 0映射为水平带形域0 Im( w2 ) i
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取伸缩变换 w3 w2,将水平带形域 0 Im( w2 ) i映射为水平带形域0 Im( w2 ) i 取指数变换 w ew3 ,将水平带形域
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分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线 的一对对称点. 这一性质称为保对称性.
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4.唯一决定分式线性映射的条件
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).