复变函数课件6-习题课

一、重点与难点
重点：分式线性变换及其映射特点 难点：分式线性变换与初等函数相结合，求一
些简单区域之间的映射
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二、内容提要
f (z) 的几何意义 共形映射
一一对应性 保角性 保圆性
保对称性
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分式线性映射
分 式 线 性 映 射 的 确 定
对 确 定 区 域 的 映 射
u2 v2 e2C2 ,v utanC1. 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，
故命题得证.
[证毕]
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例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解
取分式线性映ห้องสมุดไป่ตู้w1
z z
i i
,
将切点i映射为w1 ,并将
z i映射为w1 0.
y i
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
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2) 指数函数w ez .
映射特点: 把水平的带形域 0 Im( z) a 映射成
角形域 0 arg w a.
ai (z)
(w)
0 特殊地: (z)
2i
0
w ez w e2
0
(w)
0
如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.
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三、典型例题
例1 求分式线性映射,使 z 1映射成 w 1,且使 z 1,1 i映射成w 1,.
成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
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4）分式线性映射具有保对称性. 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
(1,0,
w,
)
1, 1
1
i
,
z,1
i
即
w w
1
z
z
1 1
1i
1 i 1 1i 1
z1 , zi z i
1 i
所以 w (i 1)z 1 为所求. z (1 i)
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解2 利用不变对称点 因 z 1 i 时, w , 所以 w az b ,
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又因
f (z)
e i
3 (2 z)2
,
所以
f
1 2
4e i 3
0,
arg
f
1 2
2kπ
(k 0,1,2 )
所求映射为w 2z 1. 2 z
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例3 求一个分式线性映射w f (z)它将圆z 2 1 映成圆 w 2i 2 ，且满足条件
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线 的一对对称点. 这一性质称为保对称性.
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4.唯一决定分式线性映射的条件
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).
0 Im( w3 ) i映射为上半平面 Im( w) 0,
从而
w
e w3
ew2
eiw1
i zi
e zi
为所求映射.
y
i
(w1 )
• O
1x
w1
z z
i i
•i
1
O
i
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所以
w
w
1
1 2
(w
w
)
1 2
,
即Re(w) 1 , 2
故 z 1映为w平面上的半平面 Re(w) 1 . 2
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例5 试证明在映射 w eiz下, 互相正交的直线族 Re(z) C1与Im( z) C2依此映射成互相正交的直 线族与圆族 u2 v2 e2C2 .
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特殊地: w zn将角形域0 arg z 2 共形映射成w平面上
n
除去正实轴的区域.
(z)
(w)
2
w zn
0
n
zn w
0
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 用幂函数 w zn(或根式函数 w n z) 所构成的共 形映射.
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z
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分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.
2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
如果规定两条伸向无穷远的曲线在z 处
的夹角,等于它们在映射 1下所映成的通
z
过原点 0的两条象曲线的夹角,则分式线
性映射是保角的.
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3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
i
w1将两相切的圆周映射为两平行的直线(且w1(1) i).
取旋转变换
i
w2 e 2 w1 iw1
将铅直带形域
1 Re(w1 ) 0映射为水平带形域0 Im( w2 ) i
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取伸缩变换 w3 w2,将水平带形域 0 Im( w2 ) i映射为水平带形域0 Im( w2 ) i 取指数变换 w ew3 ,将水平带形域
方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一点 z0 , 若 z0的象在 C内部, 则 C的内部就映为 C的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
方法2 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同.
则 C的内部就映为C的内部. 若绕向相反, 则C
的内部就映射为C 的外部.
2 iw
故 w z (2 i) . iz 2 (1 i)
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例4 问分式线性映射w z 将单位圆盘 z 1映 z1
射成w 平面上的什么区域?
解 由已知条件z 1,故从所给映射中将z解出:
z w ,
w z 1
w1 w1
即 w 2 w 1 2 (w 1)(w 1) w 2 (w w ) 1,
设函数 w f (z)在区域 D内解析, z0为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
定义 设 w f (z)在 z0 的邻域内是解析的,在 z0 具有保角性和伸缩率不变性，那末 w f (z) 在 z0 是共形的，或称w f (z) 在 z0 是共形映射． 也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射
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分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
所以 z 2 ei 2(w i) (w),
2 iw
f (z)与 (w)互为反函数，
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由 arg f (2) 0，
arg(i) arg 1 0,
f (2)
(i )
2
e i
2(w 2
i) iw
2ei 3,
wi
得 0. 所以 z 2 2(w i)，
lim
zz0
s
(s表示C上点z0与z间的
弧长, 表示上对应的w0与w之间的弧长)的值称
为曲线C在z0的伸缩率.
f (z0 )是经过映射w f (z) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
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2.共形映射（保角映射）
1 i
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例2 求一个分式线性映射 w f (z)它将圆 z 1 映成圆 w 1 ,且满足条件 f (1 2) 0, f (1 2) 0.
解 因 z 1映成 w 1 的映射为
w f (z) ei z a ( a 1) 1 az
因为 a 1 , 2
所以 w ei 2z 1, 2 z
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3.分式线性映射
定义 w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的
分式映射复合而成: (1)平移映射 w z b;
(2)旋转与相似映射w az; (3)反演映射 w 1 .
z (1 i) 又 z 1时, w 1, 故 i a b,
由对称点的不变性知， z 1 对应 w 0, 1 i
故 b 1, a 1 i,
所以 w (1 i)z 1 (i 1)z 1 为所求. z (1 i) z (1 i)
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解3 利用典型区域映射公式