新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷及答案
最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套
最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0， 故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ． 解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点， 位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立． 因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号． 所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①， 又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则( C ) A ．1a <1bB ．0<a b <1C ．ab >b 2D ．b a >a b[解析] ∵a <b <0，∴两边同乘b ，得ab >b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立， 当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)[解析] 由题意，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12， 所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ． 因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0， 即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×32＝3， ∴ac ＝4.①由log 4sin A ＋log 4sinC ＝－1，得sin A sin C ＝14. 由正弦定理，得ac 4R 2＝14， ∴44R 2＝14， ∴R ＝2(负值舍去)．∴b ＝2R sin B ＝2×2×32＝2 3. 由已知，得a 2＋c 2－(23)2＝4.②当a >c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1Λ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n Λ(n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋).(1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100． 测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121Λ＝________.7．数列{n ＋n 21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯Λ＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a Λ.13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n Λ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； a测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题 13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121ΛΛ.测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？用煤(吨)用电(千瓦)产值(万元)甲种产品 7 2 8 乙种产品351119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a Λ参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1Λ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n Λ(n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋).(1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100． 测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121Λ＝________.7．数列{n ＋n 21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯Λ＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a Λ.13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n Λ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； a测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题 13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121ΛΛ.测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？用煤(吨)用电(千瓦)产值(万元)甲种产品 7 2 8 乙种产品351119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a Λ参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).。
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最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案： C2．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－23 C ．⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x >－23，B ＝{x ∈R |x >3或x <－1}， ∴A ∩B ＝{x ∈R |x >3}． 答案： D3．等差数列{a n }的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．－3D ．3解析： ∵a 1，a 2，a 4成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 4即(a 1＋1)2＝a 1·(a 1＋3) 解得：a 1＝1，∴a 3＝a 1＋2d ＝3. 答案： D4．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( ) A ．t ≤s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t >s 解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1＝－(b －1)2≤0，∴t ≤s . 答案： A5．各项不为零的等差数列{a n }中，有a 27＝2(a 3＋a 11)，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析： b 6b 8＝b 27＝a 27，又a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16，故选D. 答案： D6．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析： ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B ＝5 2.(R 为△ABC 外接圆的半径)答案： C7．在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若前n 项和S n 满足S n ＜a n (n ∈N *)，则n 的最小值是( )A ．60B ．63C ．70D ．72 解析： S n ＜a n ⇔120n ＋n (n －1)2×(－4)＜120＋(n －1)×(－4)，即n 2－63n ＋62＞0，解得n ＜1(舍去)或n ＞62，∴n 的最小值为63. 答案： B8．在R 上定义运算☆，a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析： 根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得 －2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2，1)，故选B.答案： B9．一艘客船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82海里，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．东偏南75°C ．北偏东75°或东偏南75°D ．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB ＝32×12＝16，BS ＝82，∠A ＝30°.在△ABS 中，由正弦定理得 AB sin S ＝BSsin A， sin S ＝AB sin A BS ＝16sin 30°82＝22，∴S ＝45°或135°， ∴B ＝105°或15°，即灯塔S 在B 处的北偏东75°或东偏南75°. 答案： C10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析： 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1.∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案： A11．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析： 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案： C12．在R 上定义运算⊕：x ⊕y ＝x2－y ，若关于x 的不等式x ⊕(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3]解析： x ⊕(x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－xx －(a ＋1)>0⇒xx －(a ＋1)<0，(1)⎩⎪⎨⎪⎧a >－10<x <a ＋1≤2⇒－1<a ≤1； (2)⎩⎪⎨⎪⎧a <－1－2≤a ＋1<x <0⇒－3≤a <－1； (3)a ＝－1时，不等式为x x －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝____________. 解析： 由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案： 7414．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．解析： 由ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12得－2，－12为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根且a <0，∴⎩⎨⎧－2－12＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－12＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52a <0，c ＝a <0，∴不等式ax 2－bx ＋c >0等价于2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <215．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析： 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A. 所以AC ＝BC sin A ·sin B ＝12sin 60°sin 45°＝4 6.答案： 4 616．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析： 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案： [－3,0]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析： 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a <b ，∴B >A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形， S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形， S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析： 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0， 解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅； 当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分13分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2,3，…(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .解析： (1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1的前n 项和为T n ，则T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴S n ＝T n ＋n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋n ＝n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 22．(本小题满分13分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析： 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则 f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x.∵x ≥10，∴48x ＋10 800x ≥1 440，当且仅当x ＝15时，等号成立． ∴f (x )≥2 000.因此，当x ＝15时，f (x )取得最小值f (15)＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．23 B ．2 2 C ． 3D ． 2解析： 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.答案： D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析： 由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案： B3．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＞0 C ．ab ＜acD ．ac (a －c )＜0 解析： 若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案： A4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析： 将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48. 答案： C5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 由c ＝a cos B 得，c ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： D6．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根， 解得x 1＝－12，x 2＝1.∴2x 2－x －1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案： D7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析： 作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A (－1，0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知，z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值，且z max ＝6.答案： C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22C ．12D ．－12解析： 利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2， ∴cos C ≥12.答案： C9．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析： z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝7.当且仅当3x ＝27y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．故选B.答案： B10．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B ．15C ．2D ．3解析： ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c ， ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 答案： A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析： 设左、右臂长分别为t 1，t 2，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10(g)，即大于10 g.答案： B12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析： 利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a ，2a,2a ，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a ＝－24.答案： －2414．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析： 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，∴B (－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3.答案： －315．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．解析： 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac ，①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2， 将b 2＝ac 代入得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c . 答案： 等边三角形16．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则xy 的取值范围是____________． 解析： 由已知得x ＋y ＝xy ，又x ＞0，y ＞0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案： [4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解析： (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.18．(本小题满分12分)(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解析： (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2. 19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0， 即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )， 化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解析： (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.答：sin α的值为3314.方法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.答：sin α的值为3314.22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析： 设桌子、椅子各买x 张和y 张， 则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007. 点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752， 则前面的不等式组所表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0，得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时，亦即x ＝25，y ＝752时，z 取最大值．因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．。
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12．D 【解析】 【分析】
选项 D 中，因为当 a2>b2 时，比如 a=-2,b=0,的不满足 a>b，故错误，排除法只有选 C.
考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。 10．B
【解析】
解：因为满足条件a
=
4,b
=
3
2,A
=
45
∘
，利用余弦定理可知得到关于
参考答案
【解析】
【分析】 观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数 列，故可得数列的通项公式．
【详解】 观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数 列，
2(n - 1)
故可得数列的通项公式 an= 2n - 1 （n∈Z*）．
1 11 1 6．数列1 , 2 , 3 , 4 ,前 n 项的和为（ ）
2 4 8 16
1 n2 n
1 n2 n
1 n2 n
A．
B．
1
C．
D．
2n 2
2n 2
2n 2
1 2n1
n2 2
n
试卷第 1 页，总 6 页
3
7．若ΔABC的三边长a,b,c成公差为2的 等差数列，最大角的正弦值为 2 ，则这个三角形
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第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理Ⅰ学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 . Ⅱ基础训练题一、选择题1．在△ ABC 中，若BC＝2， AC＝ 2，B＝ 45°，则角 A 等于()(A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 3，cosC＝－1 ，则c 等于 () 4(A)2(B)3(C)4(D)53．在△ ABC 中，已知cos B 3,sin C2， AC＝ 2，那么边AB等于() 53(A) 5(B) 5(C) 20(D) 1243954．在△ ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝ 30°， c＝ 150，b＝ 50 3 ，那么这个三角形是()(A)等边三角形(C)直角三角形5．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是(B)等腰三角形(D)等腰三角形或直角三角形a， b， c，假如 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶3 ，那么a∶ b∶c 等于 ()(A)1∶ 2∶3(B)1∶ 3 ∶2(C)1∶ 4∶ 9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， B＝ 45°， C＝75°，则b＝________.7．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 2 3 ，c＝4，则A＝ ________.8．在△ ABC 中，三个内角A， B，C 的对边分别是a，b， c，若2cosBcosC＝ 1－cosA，则△ ABC形状是________三角形 .9．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 3， b＝ 4，B＝ 60°，则c＝ ________.10．在△ ABC中，若tanA＝ 2， B＝ 45°， BC＝ 5 ，则AC＝________.三、解答题11．在△ ABC中，三个内角A，B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 4，C＝60°，试解△ABC.12．在△ ABC中，已知AB＝ 3， BC＝ 4，AC＝13 .(1)求角 B 的大小；(2)若 D 是 BC的中点，求中线AD 的长 .13．如图，△ OAB 的极点为 O(0， 0)， A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，求角 A 的大小 .14．在△ ABC中，已知BC＝ a， AC＝ b，且 a，b 是方程 x2－ 2 3 x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角 C的度数；(2)求 AB 的长；(3)求△ ABC的面积 .测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 b2＋c2－ a2＝ bc，则角 A 等于 ()ππ2π5π(A)(B)(C)(D)63362．在△ ABC 中，给出以下关系式：① sin(A＋ B)＝ sinC②cos(A＋ B)＝ cosCA B C③ sin cos22此中正确的个数是 ()(A)0(B)1(C)2(D)3 3．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c.若 a＝ 3， sinA＝2， sin(A＋ C)＝3，则 b 等于 () 34(A)4(B) 8(C)6(D)27384．在△ ABC中，三个内角A， B，C 的对边分别是a， b，c，若 a＝ 3，b＝ 4，sinC＝2，则此三角形的面积是 () 3(A)8(B)6(C)4(D)35．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a，b， c，若 (a＋ b＋ c)(b＋ c－ a)＝ 3bc，且 sinA＝ 2sinBcosC，则此三角形的形状是 ()(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝2， b＝ 2， B＝ 45°，则角 A＝ ________. 7．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝ 2， b＝ 3，c＝19 ，则角C＝________.8．在△ ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 b＝ 3，c＝4，cosA＝3，则此三角形的面积为 ________. 59．已知△ ABC的极点 A(1，0)， B(0， 2)， C(4， 4)，则 cosA＝ ________.10．已知△ ABC的三个内角A，B， C 知足 2B＝ A＋ C，且 AB＝ 1，BC＝ 4，那么边 BC上的中线AD 的长为 ________.三、解答题11．在△ ABC中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，且a＝ 3， b＝4， C＝ 60° .(1)求 c；(2)求 sinB.12．设向量 a， b 知足 a· b＝ 3， | a| ＝ 3， | b| ＝2.(1)求〈 a， b 〉；(2)求| a－ b|.13．设△ OAB 的极点为O(0，0)， A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，若 BD⊥ OA 于 D.(1)求高线 BD 的长；(2)求△ OAB 的面积 .14．在△ ABC中，若 sin2A＋ sin2B＞ sin2C，求证： C 为锐角 .(提示：利用正弦定理a b csin A sin B 2R ，此中 R 为△ ABC外接圆半径 )sin CⅡ拓展训练题15．如图，两条直路 OX与 OY 订交于 O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY 上的 A、B 两点， | OA | ＝ 3km ，| OB | ＝ 1km，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO方向，乙沿OY方向 .问： (1)经过 t 小时后，两人距离是多少(表示为 t的函数 )(2)何时两人距离近来cosB b16．在△ ABC中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，且.cosC2a c(1)求角 B 的值；(2)若 b＝13 ，a＋c＝4，求△ABC的面积.第二章数列测试三数列Ⅰ学 目1．认识数列的观点和几种 的表示方法(列表、 象、通 公式)，认识数列是一种特别的函数.2．理解数列的通 公式的含 ，由通 公式写出数列各.3．认识 推公式是 出数列的一种方法，能依据 推公式写出数列的前几.Ⅱ 基一、1．数列 {a }的前四 挨次是： 4， 44， 444， 4444 ，⋯ 数列 {a }的通 公式能够是 ()nn (A)a ＝ 4n(B)a ＝ 4 nnn4 (10 n －1)(D)an(C)a ＝n ＝4×1192．在有必定 律的数列0， 3， 8，15， 24， x ，48， 63，⋯⋯中， x 的 是 ()(A)30(B)35(C)36(D)423．数列 {a n } 足： a 1＝ 1，a n ＝ a n －1 ＋3n ， a 4 等于 ()(A)4(B)13(C)28(D)434．156 是以下哪个数列中的一()(A){n 2＋ 1}(B){n 2－ 1} (C){n 2＋ n}(D){n 2＋ n －1}5．若数列 {a }的通 公式 a ＝ 5－3n ， 数列 {a }是 ()n nn(A) 增数列 (B) 减数列(C)先减后增数列(D)以上都不二、填空6．数列的前 5 以下， 写出各数列的一个通 公式：2 1 2 1 ＝ ________；(1) 1, , , , , , a n3 2 5 3(2)0， 1， 0， 1， 0，⋯， a n ＝ ________.n 21 .7．一个数列的通 公式是 a n ＝n 2(1)它的前五 挨次是________；(2)是此中的第 ________ .8．在数列 {a n }中， a 1＝ 2，a n ＋ 1＝ 3a n ＋1 ， a 4＝ ________.9．数列 {a }的通 公式 a n1* )， a ＝________.(n ∈Nn1 23( 2n 1)3nn2－ 15n ＋ 3， 它的最小 是第________ .10．数列 {a }的通 公式 a ＝ 2n三、解答11．已知数列 {a n }的通 公式a n ＝14－ 3n.(1)写出数列 {a n }的前 6 ； (2)当 n ≥ 5 ， 明a n ＜0.nnn 2n 1 *).12．在数列 {a }中，已知a ＝3(n ∈ N(1)写出 a 10， a n ＋ 1， a n 2 ；(2)79 2是不是此数列中的 假如，是第几313．已知函数1 n ＋).f ( x) x， a ＝ f(n)(n ∈ Nx(1)写出数列 {a n }的前 4 ；(2)数列 {a n }是 增数列 是 减数列 什么测试四 等差数列Ⅰ 学 目1．理解等差数列的观点，掌握等差数列的通 公式，并能解决一些 .2．掌握等差数列的前n 和公式，并能 用公式解决一些 .3．能在详细的 情境中， 数列的等差关系，并能领会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ基 一、1．数列 {a } 足： a ＝ 3，a＝ a －2， a等于 ()n1n ＋ 1n100(A)98(B)－ 195 (C)－ 201 (D)－ 1982．数列 {a n }是首 a 1＝ 1，公差 d ＝ 3 的等差数列，假如 a n ＝ 2008 ，那么 n 等于 ( )(A)667(B)668 (C)669(D)6703．在等差数列 {a } 中，若 a ＋ a ＝ 16， a ＝ 1， a12的 是()n794(A)15(B)30(C)31(D)644．在 a 和 b(a ≠ b)之 插入 n 个数，使它 与a ，b 成等差数列， 数列的公差()(A)b a(B)ba (C)ba (D)ba nn 1n 1n25． 数列 {a n }是等差数列，且a 2 ＝－ 6， a 8＝ 6， S n 是数列 {a n }的前 n 和， ()(A)S ＜ S(B)S ＝ S(C)S ＜ S(D)S ＝ S45456565二、填空6．在等差数列 {a n } 中， a 2 与 a 6 的等差中 是 ________.7．在等差数列 {a n } 中，已知 a 1＋ a 2＝ 5， a 3＋ a 4＝ 9，那么 a 5＋ a 6＝ ________.8． 等差数列 {a } 的前 n 和是 S ，若 S ＝ 102， a ＝ ________.nn 1799．假如一个数列的前n2 ＋2n ，那么它的第n a nn 和 S ＝ 3n＝ ________.10．在数列 {a n }中，若 a 1 ＝1， a 2＝ 2， a n ＋ 2－ a n ＝ 1＋ (－1)n (n ∈ N *)， {a n }的前 n 和是 S n ， S 10＝ ________.三、解答11．已知数列 {a n }是等差数列，其前n 和 S n ，a 3＝ 7， S 4＝24．求数列 {a n }的通 公式 .12．等差数列 {a n }的前 n 和 S n ，已知 a 10＝ 30， a 20＝ 50.(1)求通 a n ；(2)若 S n ＝ 242，求 n.13．数列 {a n }是等差数列，且a 1＝ 50，d ＝－．(1)从第几 开始a n ＜0；(2)写出数列的前 n 和公式S n ，并求 S n 的最大 .Ⅲ 拓展14． 数列 {a n }的前 n 和 S n ，若 3a n ＋ 1＝3a n ＋ 2(n ∈ N * )， a 1＋ a 3＋ a 5＋⋯＋ a 99＝ 90，求 S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学 目1．理解等比数列的观点，掌握等比数列的通 公式，并能解决一些.2．掌握等比数列的前 n 和公式，并能 用公式解决一些 .3．能在详细的 情境中， 数列的等比关系，并能领会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基 一、1．数列 {a } 足： a ＝ 3，a＝ 2an， a 等于 ()n1n ＋ 14(A)3(B)24(C)48(D)5482．在各 都 正数的等比数列{a n }中，首 a 1＝ 3，前三 和 21， a 3＋ a 4＋ a 5 等于 () (A)33(B)72(C)84(D)1893．在等比数列 {a n } 中，假如 a 6＝ 6，a 9＝ 9，那么 a 3 等于 ()(A)4 (B) 316(D)32(C)94．在等比数列 {a } 中，若 a ＝ 9， a ＝ 243， {a}的前四 和 ()n 2 5n(A)81(B)120(C)168(D)1925．若数列 n n1 n －1{a } 足 a＝ a q (q ＞ 1)， 出以下四个 ：① {a n }是等比数列；② {a n }可能是等差数列也可能是等比数列；③ {a n }是 增数列；④ {a n }可能是 减数列 .此中正确的 是 ( )(A)①③ (B)①④(C)②③(D)②④二、填空6．在等比数列 {a n } 中,a 1，a 10 是方程 3x 2＋ 7x －9 ＝0 的两根， a 4a 7＝ ________.7．在等比数列 {a } 中，已知 a ＋ a ＝ 3， a ＋ a ＝ 6，那么 a ＋ a＝ ________.n1 23 4 568．在等比数列 {a n } 中，若 a 5＝ 9， q ＝1， {a n }的前 5 和 ________.29．在 8 和27之 插入三个数，使 五个数成等比数列， 插入的三个数的乘 ________.3210． 等比数列 {a n }的公比 q ，前 n 和 S n ，若 S n ＋ 1， S n ，S n ＋ 2 成等差数列， q ＝ ________.三、解答11．已知数列 {a}是等比数列， a ＝6， a ＝162. 数列 {a }的前 n 和 S .n25nn(1)求数列 {a n }的通 公式； (2)若 S n ＝ 242，求 n.12．在等比数列 {a n }中，若 a 2a 6＝ 36， a 3＋ a 5＝ 15，求公比q.13．已知 数 a ， b ， c 成等差数列， a ＋ 1， b ＋ 1，c ＋ 4 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝ 15，求 a ， b ，c.Ⅲ 拓展14．在以下由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列 .a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数，此中241， a 4254 5a ＝＝ 1 a＝816a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ⋯ a 1j ⋯ a 21 a 22 a 23 a 24a 25⋯a 2j ⋯ a31 a 32aaa⋯a3j ⋯33 34 35 a41a42a a a ⋯ a 4j⋯434445⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯a i1 a i2a i3 a i4 a i5a ij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)求 q 的 ；(2)求 a ij 的 算公式 .测试六 数列乞降Ⅰ 学 目1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分 的和 .2．会使用裂 相消法、 位相减法求数列的和.Ⅱ 基一、1．已知等比数列的公比2，且前 4 的和1，那么前 8 的和等于 ()(A)15(B)17(C)19(D)21n1的等差数列，它的前100 和 145， a 1 3599的 ()2．若数列 {a }是公差2＋ a ＋ a ＋⋯＋ a(A)60(B)(C)85(D)120nn n －1 *n100· 2n(n ∈ N等于 ()3．数列 {a }的通 公式a ＝ (－ 1))， 其前 n 和 S ，S (A)100(B)－ 100(C)200 (D)－ 2001 4．数列(2n1)(2n1)的前 n 和 ()(A)n (B)2n(C)n (D)2n2n 12n 14n 2n 15． 数列 {a }的前 n 和 S ， a ＝ 1， a ＝ 2，且 a＝a n ＋ 3(n ＝ 1， 2， 3，⋯ )， S 等于 ()nn12n ＋2100(A)7000 (B)7250(C)7500(D)14950二、填空6．1111＝ ________.213 243n 1n17．数列 {n ＋2n }的前 n 和 ________.8．数列 {a n } 足： a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ 2a n ， a 12 ＋ a 22 ＋⋯＋ a n 2 ＝________.9． n ∈ N * ， a ∈ R ， 1＋ a ＋ a 2＋⋯＋ a n ＝ ________. 10． 11 2 1 31n1 ＝ ________.2 482n三、解答11．在数列 {a n }中， a 1＝－ 11， a n ＋1＝ a n ＋2(n ∈ N * )，求数列 {| a n |} 的前 n 和 S n .12．已知函数 f(x)＝ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3 x 3＋⋯＋ a n x n (n ∈ N * ， x ∈ R)，且 全部正整数n 都有 f(1)＝ n 2 建立 .(1)求数列 {a }的通 a ；nn(2)求11 1.a 2a 3a nan 1a 1a 21 11n 和 S n .13．在数列 {a n }中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2 ， a n ＝ 142n 1 ，求数列的前2Ⅲ拓展14．已知数列 {a n }是等差数列，且a 1＝ 2， a 1＋ a 2＋ a 3＝ 12.(1)求数列 {a }的通 公式；n(2)令 b n n nn }的前 n 和公式 .＝ a x (x ∈ R)，求数列{b测试七数列综合问题Ⅰ基一、1．等差数列 {a n }中， a 1 ＝1，公差 d ≠0，假如 a 1， a 2， a 5 成等比数列，那么 d 等于 ( )(A)3(B)2(C)－ 2(D)2 或－ 22．等比数列 {a n}中， a n＞ 0，且 a2a 4＋ 2a3a5＋ a4 a6＝ 25， a3＋ a5等于 ()(A)5(B)10(C)15(D)203．假如 a ， a ， a，⋯， a各都是正数的等差数列，公差d≠ 0， ()1238(A)a1a8＞ a4a5(B)a1a8＜ a4 a5(C)a1＋ a8＞ a4＋ a5(D)a1a8＝ a4a54．一定函数y＝f(x)的象在以下中，并且随意a1∈ (0，1)，由关系式a n＋1＝ f(a n)获取的数列 {a n}足 a n＋1＞a n(n ∈N* )，函数的象是()5．已知数列 {a n}足 a1＝0，a n 1a n3) 3a n(n∈ N* )， a20等于 (1(A)0(B)－3(C) 33 (D)2二、填空11a n ,n为偶数,2a2＝________， a3＝ ________.6．数列 {a n}的首 a1＝，且 a n 14a n 1,n为奇数 . 47．已知等差数列 {a n}的公差2，前 20 和等于150，那么 a2＋ a4＋ a6＋⋯＋ a20＝ ________.8．某种菌的培育程中，每20分分裂一次 (一个分裂两个 )， 3 个小，种菌能够由1个生殖成________个 .9．在数列 {a n}中， a1＝ 2，a n＋1＝ a n＋3n(n∈ N* )， a n＝ ________.10．在数列 {a n}和 {b n}中， a1＝ 2，且随意正整数n 等式 3a n＋1－a n＝ 0建立，若 b n是 a n与 a n＋1的等差中， {b n}的前 n 和 ________.三、解答11．数列 {a n}的前 n 和 S n，已知 a n＝ 5S n－ 3(n∈ N* ).(1)求 a ， a ， a ；123(2)求数列 {a }的通公式；n(3)求 a 1＋ a3＋⋯＋ a2n－1的和 .12．已知函数 f(x)＝x22(x＞ 0)， a1＝ 1， a n21· f(a n)＝ 2(n∈ N* )，求数列 {a n}的通公式 . 413．等差数列 {a }的前 n 和 S ，已知 a ＝ 12， S＞0， S＜ 0.n n31213(1)求公差 d 的范；(2)指出 S1， S2，⋯， S12中哪个最大，并明原因 .Ⅲ拓展14．甲、乙两物体分从相距70m 的两地同相向运.甲第 1 分走2m，此后每分比前 1 分多走1m，乙每分走 5m.(1)甲、乙开始运后几分相遇(2)假如甲、乙抵达方起点后立刻折返，甲每分比前 1 分多走 1m ，乙每分走5m ，那么开始运几分 后第二次相遇15．在数列 {a n }中，若 a 1 ，a 2 是正整数，且a n ＝ | a n －1－ a n －2| ， n ＝ 3， 4， 5，⋯ 称 {a n } “ 差数列”.(1) 出一个前五 不 零的“ 差数列” (只需求写出前十)；(2)若“ 差数列”{a n }中， a 1＝ 3， a 2＝ 0， 求出通a n ；(3)* 明：任何“ 差数列”中 含有无 多个 零的.测试八 数列全章综合练习Ⅰ基一、1．在等差数列 {a } 中，已知 a ＋ a ＝ 4， a ＋ a ＝ 12，那么 a ＋ a 等于 ()n12 345 6(A)16(B)20(C)24 (D)362．在 50 和 350 所有末位数是1 的整数和 ()(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773．若 a ， b ， c 成等比数列， 函数y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的 象与 x 的交点个数 ()(A)0 (B)1(C)2(D)不可以确立4．在等差数列 {a } 中，假如前 5 的和S ＝20，那么 a等于 ()n53(A)－ 2(B)2(C)－ 4(D)45．若 {a n }是等差数列， 首 a 1＞ 0，a 2007＋ a 2008＞ 0，a 2007·a 2008＜ 0， 使前 n 和 S n ＞ 0 建立的最大自然数n 是 ( )(A)4012 (B)4013 (C)4014(D)4015二、填空6．已知等比数列 {a n }中， a 3＝ 3， a 10＝ 384， 数列的通a n ＝________.7．等差数列 {a n }中， a 1 ＋ a 2 ＋ a 3＝－ 24， a 18＋ a 19＋ a 20＝ 78， 此数列前 20和 S 20＝ ________.n n n2－3n ＋ 1， a n ＝ ________.8．数列 {a }的前 n 和 S ，若 S ＝ n9．等差数列 {a n }中，公差 d ≠ 0，且 a 1，a 3， a 9 成等比数列，a 3 a 6 a 9 ＝ ________.a 4a 7a1010． 数列 {a n }是首 1 的正数数列，且 (n ＋ 1)a n 2 1 －na n 2 ＋ a n ＋ 1a n ＝ 0(n ∈N * )， 它的通 公式a n ＝ ________.三、解答11． 等差数列 {a n }的前 n 和 S n ，且 a 3 ＋ a 7－ a 10＝ 8， a 11－ a 4 ＝4 ，求 S 13. 12．已知数列 {a}中， a＝1，点 (a ， a* )在函数 f(x)＝ 2x ＋ 1 的 象上 .n1nn ＋ 1(1)求数列 {a n }的通 公式；(2)求数列 {a }的前 n 和 S ；nn(3) c ＝ S ，求数列 {cn }的前 n 和 T .nnn13．已知数列 {a }的前 n 和 S 足条件S ＝ 3a ＋2.nnn n (1)求 ：数列 {a n }成等比数列； (2)求通 公式 a n .14．某 企业今年初用98 万元 一艘 船，用于捕 ，第一年需各样 用12 万元，从第二年开始包含 修 在内，每年所需 用均比上一年增添 4 万元， 船每年捕 的 收入 50 万元.(1)写出 船前四年每年所需的 用(不包含 用 )；(2) 船捕 几年开始盈余(即 收入减去成本及所有 用 正)(3)若当盈余 达到最大 ， 船以8 万元 出，那么 船 企业 来的利润是多少万元Ⅱ 拓展15．已知函数 f(x)＝1(x＜－ 2)，数列 {a n}足 a1＝ 1， a n＝ f(－1)(n∈ N* ).x24a n1(1)求 a n；2 1＋ a22＋⋯＋ a2，能否存在最小正整数m，使随意 n∈ N*有 b m(2) b n＝ a n n 2 n 1n＜25建立若存在，求出 m 的，若不存在，明原因.16．已知 f 是直角坐系平面 xOy 到自己的一个映照，点P 在映照 f 下的象点 Q，作 Q＝ f(P).P1(x1， y1)， P2＝ f(P1)， P3＝ f(P2)，⋯， P n＝f(P n－1)，⋯ .假如存在一个，使所有的点P n(x n， y n )(n∈ N* )都在个内或上，那么称个点P n (x n，y n )的一个收 .特地，当 P1＝ f(P1)，称点P1映照 f 下的不点 .若点 P(x， y)在映照 f 下的象点 Q(－x＋ 1，1y).2(1)求映照 f 下不点的坐；(2)若 P 的坐 (2， 2)，求：点*)存在一个半径 2 的收 .P (x ， y )(n∈ N1n nn第三章 不等式测试九 不等式的观点与性质Ⅰ 学习目标1．认识平时生活中的不等关系和不等式(组 )的实质背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基天性质及其证明 .Ⅱ基础训练题一、选择题1．设 a ， b ， c ∈ R ，则以下命题为真命题的是( )(A)a ＞ b a － c ＞ b － c (B)a ＞ b ac ＞ bc(C)a ＞ ba 2＞b 2(D)a ＞ bac 2＞ bc 22．若－ 1＜＜＜ 1，则－的取值范围是 ()(A)(－2， 2)(B)(－2，－ 1)(C)(－ 1， 0)(D)(－ 2， 0) 3．设 a ＞ 2， b ＞2，则 ab 与 a ＋ b 的大小关系是 ()(A)ab ＞ a ＋ b(B)ab ＜ a ＋ b(C)ab ＝a ＋b(D)不可以确立4．使不等式 a ＞ b 和11同时建立的条件是 ()ab(A)a ＞ b ＞ 0 (B)a ＞ 0＞b(C)b ＞ a ＞ 0(D)b ＞ 0＞ a5．设 1＜ x ＜10，则以下不等关系正确的选项是()(A)lg 2x ＞ lgx 2＞ lg(lgx)(B)lg 2x ＞ lg(lgx)＞ lgx 2 (C)lgx 2＞ lg 2x ＞ 1g(lgx) (D)lgx 2＞ lg(lgx)＞ lg 2x二、填空题6．已知 a ＜ b ＜0 ，c ＜ 0，在以下空白处填上合适不等号或等号：(1)(a －2)c________(b － 2)c ；(2) c ________ c；(3)b － a________| a| － | b|.a b7．已知 a ＜ 0，－ 1＜ b ＜ 0，那么 a 、 ab 、 ab 2 按从小到大摆列为 ________.8．已知 60＜ a ＜84， 28＜ b ＜ 33，则 a － b 的取值范围是 ________； a的取值范围是 ________.b9．已知 a ，b ，c ∈ R ，给出四个论断：① a ＞ b ；② ac 2＞ bc 2；③ a b；④ a － c ＞b － c.以此中一个论断作条件，另一c c个论断作结论，写出你以为正确的两个命题是 ________ ________；________________.(在“”的双侧填 上论断序号 ).a32 与Qb ( a1)( a 2)10．设 a ＞ 0， 0＜b ＜ 1，则 P ＝ b的大小关系是 ________.三、解答题11．若 a ＞ b ＞ 0，m ＞ 0，判断 b 与bm的大小关系并加以证明 .aa ma 2b 212．设 a ＞ 0， b ＞0，且 a ≠ b ， p b a , q a b .证明： p ＞ q.注：解题时可参照公式 x 3＋y 3＝ (x ＋ y)(x 2 － xy ＋ y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知 a ＞ 0，且 a ≠ 1，设 M ＝ log a (a 3－a ＋ 1)， N ＝log a (a 2－ a ＋ 1).求证： M ＞ N.14．在等比数列 {a n }和等差数列 {b n }中,a 1＝ b 1＞ 0，a 3＝ b 3＞ 0， a 1≠ a 3，试比较 a 5 和 b 5 的大小 .测试十 均值不等式Ⅰ学习目标1 ．认识基本不等式的证明过程 .2 ．会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数 a ， b 知足 a ＋ b ＝1，则 ab()(A)有最小值1(B)有最小值1(C)有最大值1(D)有最大值142 422．若 a ＞ 0， b ＞0，且 a ≠ b ，则 ()a ba 2b 2(B)aba ba 2b 2(A)ab2222(C)a 2b 2a b(D)a 2b 2aba b ab2 2223．若矩形的面积为 a 2(a ＞ 0)，则其周长的最小值为 ()(A)a(B)2a (C)3a(D)4a4．设 a ， b ∈ R ，且 2a ＋ b － 2＝0，则 4a ＋ 2b 的最小值是 ( )(A) 22(B)4(C) 4 2(D)85．假如正数 a ， b ， c ，d 知足 (A)ab ≤ c ＋ d ，且等号建即刻 (B)ab ≥ c ＋ d ，且等号建即刻 (C)ab ≤ c ＋d ，且等号建即刻(D)ab ≥c ＋ d ，且等号建即刻二、填空题a ＋b ＝ cd ＝ 4，那么 ( )a ，b ，c ，d 的取值独一a ，b ，c ，d 的取值独一 a ， b ，c ， d 的取值不独一a ，b ，c ，d 的取值不独一6．若 x ＞ 0，则变量 x9的最小值是 ________；取到最小值时， x ＝ ________.x4x 7．函数 y ＝ (x ＞ 0)的最大值是 ________；取到最大值时， x ＝ ________.x 218．已知 a ＜ 0，则 a16 的最大值是 ________. a 39．函数 f(x)＝ 2log 2(x ＋ 2)－ log 2 x 的最小值是 ________.10 ．已知 a ， b ， c ∈ R ， a ＋ b ＋ c ＝3 ，且 a ， b ，c 成等比数列，则 b 的取值范围是 ________. 三、解答题 11 ．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断a d 和 bc 的大小关系并加以证明 .212 ．已知 a ＞ 0，a ≠ 1， t ＞ 0，试比较1log a t 与log at 1的大小 .2 2Ⅲ拓展训练题13．若正数 x ， y 知足 x ＋ y ＝ 1，且不等式xy a 恒建立，求 a 的取值范围 .a 14．(1)用函数单一性的定义议论函数f(x)＝ x ＋(a ＞ 0)在 (0，＋∞ )上的单一性；xa (2)设函数 f(x)＝ x ＋(a ＞ 0)在(0， 2]上的最小值为g(a)，求 g(a)的分析式 .x测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．经过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .2．会解简单的一元二次不等式 .Ⅱ基础训练题一、选择题1．不等式 5x ＋ 4＞－ x 2 的解集是 ()(A){x| x ＞－ 1，或 x ＜－ 4}(B){x| －4＜ x ＜－ 1 }(C){x| x ＞ 4，或 x ＜ 1 }(D){x|1 ＜ x ＜ 4}2．不等式－ x 2 ＋x － 2＞0 的解集是 ()(A){x| x ＞1 ，或 x ＜－ 2 } (B){x| －2＜ x ＜ 1} (C)R(D)3．不等式 x 2 ＞a 2(a ＜0)的解集为 ()(A){x| x ＞± a}(B){x| － a ＜ x ＜ a }(C){x| x ＞－ a ，或 x ＜ a }(D){x| x ＞a ，或 x ＜－ a}4．已知不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 { x| 1 2} ，则不等式 cx 2＋ bx ＋ a ＜ 0 的解集是 ()x3(A){x| － 3＜ x ＜ 1 }(B){x| x ＜－ 3，或 x ＞1 }22 1}(D){x| x ＜－ 2，或 x ＞1(C){x － 2＜x ＜}335．若函数 y ＝px 2－ px －1(p ∈ R)的图象永久在 x 轴的下方，则 p 的取值范围是 ()(A)(－∞， 0) (B)(－4， 0](C)(－∞，－ 4)(D)[－ 4， 0)二、填空题6．不等式 x 2 ＋x － 12＜ 0 的解集是 ________. 7．不等式3x1 0 的解集是 ________.2 x58．不等式 | x 2－ 1| ＜ 1 的解集是 ________.9．不等式 0＜ x 2－ 3x ＜ 4 的解集是 ________.10．已知对于 x 的不等式 x 2－ (a ＋1)x ＋ 1＜ 0 的解集为非空会合｛ x| a ＜ x ＜1 }，则实数 a 的取值范围是 ________.aa三、解答题11．求不等式 x 2－ 2ax －3a 2＜0(a ∈ R)的解集 .12．k 在什么范围内取值时，方程组 x 2 y 2 2x 03x 4y k 有两组不一样的实数解Ⅲ 拓展训练题13．已知全集 U ＝ R ，会合 A ＝ {x| x 2－ x － 6＜ 0}， B ＝ {x| x 2＋ 2x － 8＞0}， C ＝ {x| x 2－ 4ax ＋ 3a 2＜ 0}.(1)务实数 a 的取值范围，使C (A ∩ B)； (2)务实数 a 的取值范围，使C( U A)∩ ( U B).14．设 a ∈ R ，解对于 x 的不等式 ax 2－ 2x ＋ 1＜ 0.测试十二 不等式的实质应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的有关知识解决简单的实质应用问题.Ⅱ基础训练题一、选择题1的定义域是 ()1．函数y4 x2(A){x| － 2＜ x＜ 2 }(B){x| －2≤ x≤ 2}(C){x| x＞ 2，或 x＜－ 2 }(D){x| x≥2，或 x≤－ 2 }2．某村办服饰厂生产某种风衣，月销售量x(件 )与售价 p(元 / 件 )的关系为 p ＝300－ 2x，生产 x 件的成本r＝ 500＋30x(元)，为使月赢利许多于 8600 元，则月产量 x 知足 ()(A)55≤ x≤ 60(B)60≤x≤ 65(C)65≤ x≤70(D)70≤x≤ 753．国家为了增强对烟酒生产管理，推行征收附带税政策.现知某种酒每瓶 70元，不征收附带税时，每年大概产销100 万瓶；若政府征收附带税，每销售100 元收税 r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附带税许多于 112万元，那么 r 的取值范围为 ()(A)2≤ r≤ 10(B)8≤ r≤10(C)2≤ r≤ 8(D)0≤ r≤ 84．若对于 x 的不等式 (1＋ k2)x≤ k4＋ 4 的解集是 M ，则对随意实常数k，总有 ()(A)2∈ M， 0∈ M(B)2M ， 0M(C)2∈M，0 M(D)2M，0∈M二、填空题5．已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为 ________.6．不等式 2x2＋ ax＋ 2＞0 的解集是 R，则实数 a 的取值范围是 ________.7．已知函数 f(x)＝ x| x－ 2| ，则不等式f(x)＜ 3 的解集为 ________.8．若不等式 | x＋1| ≥ kx 对随意 x∈ R 均建立，则 k 的取值范围是 ________.三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车内行驶过程中，因为惯性作用，刹车后还要持续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是剖析事故的一个主要要素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现状况不对同时刹车，但仍是相撞了，过后现场测得甲车刹车的距离略超出12m ，乙车的刹车距离略超出10m. 已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速 x(km/h) 之间分别有以下关系：s 甲＝＋， s 乙＝＋．问交通事故的主要责任方是谁Ⅲ拓展训练题11．当 x∈ [－ 1， 3]时，不等式－ x2＋ 2x＋ a＞ 0 恒建立，务实数 a 的取值范围 .12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形 )的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为2400cm2 .怎样选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小测试十三二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题Ⅰ学习目标1．认识二元一次不等式的几何意义，能用平面地区表示二元一次不等式组.2．会从实质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ基础训练题一、选择题1．已知点 A(2， 0)， B(－ 1， 3)及直线 l： x－2y＝0，那么 ()(A)A， B 都在 l 上方(B)A， B 都在 l 下方(C)A 在 l 上方， B 在 l 下方(D)A 在 l 下方， B 在 l 上方x0,2．在平面直角坐标系中，不等式组y0,所表示的平面地区的面积为()x y2(A)1(B)2(C)3(D)43．三条直线 y＝ x， y＝－ x， y＝2围成一个三角形地区，表示该地区的不等式组是()y x,y x,y x,y x,(A) y x,(B) y x,(C) y x,(D)y x,y 2.y 2.y 2.y 2.x y 5 0,4．若 x， y 知足拘束条件x y0,则 z＝ 2x＋ 4y 的最小值是 ()x3,(A)－ 6(B)－ 10(C)5(D)105．某电脑用户计划使用不超出500 元的资本购置单价分别为60 元， 70元的单片软件和盒装磁盘.依据需要，软件起码买 3 片，磁盘起码买2 盒，则不一样的选购方式共有()(A)5 种(B)6 种(C)7 种(D)8 种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组x0 所表示的平面地区内的点位于第________象限 .y07．若不等式 |2 x＋ y＋ m| ＜3表示的平面地区包含原点和点(－ 1， 1)，则 m 的取值范围是 ________.x1,8．已知点 P(x， y)的坐标知足条件y3,那么 z＝ x－ y 的取值范围是 ________.3 x y30,x1,那么y的取值范围是 ________.9．已知点 P(x， y)的坐标知足条件y2,2 x y2x 0,10．方程 | x| ＋ | y| ≤ 1 所确立的曲线围成关闭图形的面积是________.三、解答题11．画出以下不等式 (组 )表示的平面地区：x1,(1)3x＋ 2y＋ 6＞ 0(2)y2,x y 10.12．某实验室需购某种化工原料106kg，此刻市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价钱为 140 元；另一种是每袋 24kg，价钱为120 元.在知足需要的前提下，最少需要花销多少元Ⅲ拓展训练题13．商铺现有75 公斤奶糖和120 公斤硬糖，准备混淆在一同装成每袋装 250 克奶糖和750 克硬糖，每袋可盈余元；第二种每袋装500种应装多少袋，使所赢利润最大最大利润是多少1 公斤销售，有两种混淆方法：第一种每袋克奶糖和500 克硬糖，每袋可盈余元.问每一14．甲、乙两个粮库要向A， B 两镇运送大米，已知甲库可调出100 吨，乙库可调出80 吨，而 A 镇需大米70 吨，B 镇需大米110 吨，两个粮库到两镇的行程和运费以下表：行程 (千米 )运费 (元 /吨·千米)甲库乙库甲库乙库A 镇20151212B 镇2520108问： (1)这两个粮库各运往A、 B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省此时总运费是多少(2)最不合理的调运方案是什么它给国家造成不应有的损失是多少测试十四不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a， b， c∈ R， a＞ b，则以下不等式中必定正确的选项是()(A)ac2＞ bc2(B) 11(C)a－ c＞ b－c(D)| a| ＞ | b|a bx y40,2．在平面直角坐标系中，不等式组2x y40, 表示的平面地区的面积是()y2(A) 3(B)3(C)4(D)6 23．某房地产企业要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的泊车场.若圆的半径为10m，则这个矩形的面积最大值是()(A)50m 2(B)100m2(C)200m2(D)250m 2x 2x 2，若对 x＞ 0 恒有 xf(x)＋ a＞ 0建立，则实数 a 的取值范围是 ()4．设函数 f(x)＝x2(A)a＜ 1－2 2(B)a＜ 2 2 －1(C)a＞ 2 2 －1(D)a＞ 1－ 225．设 a， b∈ R，且 b(a＋ b＋ 1)＜ 0， b(a＋ b－1)＜ 0，则 ()(A)a＞ 1(B)a＜－ 1(C)－ 1＜ a＜ 1(D)| a| ＞ 1二、填空题6．已知 1＜ a＜3， 2＜ b＜ 4，那么 2a－ b 的取值范围是 ________，a的取值范围是 ________. b7．若不等式 x2－ ax－ b＜0的解集为 {x|2 ＜ x＜ 3}，则 a＋ b＝ ________.＋，且 x＋4y＝ 1，则 xy 的最大值为 ________.8．已知 x，y∈ R9．若函数 f(x)＝2x22ax a1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________.10．三个同学对问题“对于x 的不等式 x2＋ 25＋| x3－ 5x2| ≥ ax 在[1，12] 上恒建立，务实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路 .甲说：“只须不等式左侧的最小值不小于右侧的最大值.”乙：“把不等式形左含量x 的函数，右含常数，求函数的最.”丙：“把不等式两当作对于x 的函数，作出函数象.”参照上述解思路，你他所的的正确，即 a 的取范是 ________.三、解答11．已知全集 U＝ R，会合 A＝ {x| | x－1| ＜6 }， B＝ {x| x8＞ 0}.2x1(1)求 A∩ B；(2)求( U A)∪ B.12．某工厂用两种不一样原料生同一品，若采纳甲种原料，每吨成本1000 元，运500 元，可得品90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本1500 元，运400 元，可得品100 千克 .今算每天原料成本不得超6000元，运不得超2000 元，此工厂每天采纳甲、乙两种原料各多少千克，才能使品的日量最大Ⅱ拓展12n12n i ja j两13．已知数集 A＝ {a a，⋯， a }(1 a＜ a ＜⋯＜ a n 2)拥有性 P随意的 j(1 n) a a与a i数中起码有一个属于 A.(1)分判断数集 {1， 3， 4}与{1， 2， 3， 6}能否拥有性 P，并明原因；1a1a2a na n.(2)明： a ＝ 1，且a11a21a n1测试十五必修 5 模块自我检测题一、选择题1．函数y x2 4 的定义域是()(A)(－2， 2)(B)(－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )(C)[－ 2，2](D)(－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )2．设 a＞ b＞ 0，则以下不等式中必定建立的是()(A)a－ b＜ 0(B)0＜a＜ 1 b(C)ab＜a b(D)ab＞ a＋ b 2x1,3．设不等式组y0, 所表示的平面地区是W，则以下各点中，在地区W 内的点是 () x y 0(A) (1,1)(B) (1,1)2323(C) (11)(D) (11) ,3,3 224．设等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，则以下不等式中必定建立的是()(A)a1＋ a3＞ 0(B)a1a3＞ 0(C)S1＋ S3＜ 0(D)S1S3＜ 05．在△ ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶ 3，则 a∶ b∶ c 等于 ()(A)1∶ 3 ∶2(B)1∶ 2∶ 3(C)2∶ 3 ∶1(D)3∶ 2∶ 16．已知等差数列 {a n}的前 20 项和 S20＝ 340，则 a6＋a9＋ a11＋ a16等于 ()(A)31(B)34(C)68(D)707．已知正数 x、 y 知足 x＋ y＝ 4，则 log x＋log y 的最大值是 ()22(A)－ 4(B)4(C)－ 2(D)28．如图，在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站P，已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km，且∠ APB＝ 60° .现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于 ()(A)60～ 70km/h(B)70～ 80km/h(C)80～ 90km/h(D)90～100km/h二、填空题9．不等式 x(x－ 1)＜ 2 的解集为 ________.10．在△ ABC中，三个内角 A，B， C 成等差数列，则 cos(A＋ C)的值为 ________.11．已知 {a }是公差为－ 2 的等差数列，其前 5 项的和 S ＝0 ，那么 a 等于 ________.n5112．在△ ABC中， BC＝ 1，角 C＝120°， cosA＝2，则 AB＝________.3x0, y013．在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0 ，所表示的平面地区的面积是________；变量 z＝x＋ 3y 的最大x y 30值是 ________.2a (1≤i ≤ n ，1≤ j ≤ n ， i ， j ∈ N)表示位于第 i 行第 j 列的正数 .已14．如 ， n (n ≥ 4)个正数排成 n 行 n 列方 ，符号ij知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若 a 11＝1，a 24＝ 1， a 32＝ 1 ，2 4q ＝ ________； a ij ＝ ________.三、解答15．已知函数f(x)＝ x 2＋ ax ＋6.(1)当 a ＝ 5 ，解不等式 f(x)＜ 0；(2)若不等式 f(x)＞ 0 的解集R ，求 数a 的取 范 .16．已知 {a n }是等差数列，a 2＝ 5， a 5＝ 14.(1)求{a n }的通 公式；n}的前 n n(2) {a 和 S ＝ 155，求 n 的 .17．在△ ABC 中， a ， b ， c 分 是角 A ，B ， C 的 ， A ， B 是 角， c ＝ 10，且cos Ab4 .cos B a3(1) 明角 C ＝ 90°； (2)求△ ABC 的面 .18．某厂生 甲、乙两种 品，生 两种 品每吨所需要的煤、 以及每吨 品的 以下表所示.若每天配厂的煤至多 56 吨，供 至多 45 千瓦， 厂怎样安排生 ，使得 厂日 最大用煤 (吨)用 (千瓦 )(万元 )甲种 品 7 2 8 乙种 品351119．在△ ABC 中， a ， b ， c 分 是角 A ， B ， C 的 ，且 cosA ＝1.3(1)求 sin 2 B C cos 2 A 的 ；2 (2)若 a ＝3 ，求 bc 的最大 .20．数列 {a n }的前 n 和是 S n ，a 1＝ 5，且 a n ＝ S n － 1(n ＝ 2， 3， 4，⋯ ).(1)求数列 {a n }的通 公式；1 1 11 3(2)求 ：a 2 a 3 a na 1 5参照答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1．B2．C3． B4． D5． B提示：4．由正弦定理，得sinC＝3，所以C＝60°或C＝ 120°，2当 C＝ 60°时，∵ B＝ 30°，∴ A＝90°，△ ABC是直角三角形；当 C＝ 120°时，∵ B＝ 30°，∴ A＝ 30°，△ ABC是等腰三角形 . 5．因为 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶3，所以 A＝ 30°， B＝60°， C＝ 90°，由正弦定理a b c＝k，sin A sin B sin C得 a＝ k· sin30°＝1k， b＝k·sin60 °＝3k， c＝ k· sin90°＝ k，22所以 a∶ b∶c＝ 1∶3∶2.二、填空题6． 2 67． 30°8．等腰三角形9．33710． 5 2 324提示：8．∵ A＋ B＋C＝π，∴－ cosA＝ cos(B＋C).∴ 2cosBcosC＝ 1－ cosA＝ cos(B＋ C)＋ 1，∴2cosBcosC＝ cosBcosC－ sinBsinC＋ 1，∴ cos(B－C)＝ 1，∴ B－ C＝ 0，即 B ＝ C. 9．利用余弦定理 b2＝ a2＋ c2－ 2accosB.2AC BC 5 2 10．由 tan A＝ 2，得 sin A 5，依据正弦定理，得sin B sin A，得 AC＝ 4 .三、解答题11．c＝ 2 3， A＝ 30°， B＝ 90° .12．(1)60°； (2)AD＝7 .13．如右图，由两点间距离公式，得 OA＝ (50) 2( 20)229 ，同理得 OB145, AB232 .由余弦定理，得cosA＝ OA2AB 2OB2 2 ，2OAAB2∴A＝45°.14．(1)因为 2cos(A＋ B)＝ 1，所以 A＋ B＝60°，故 C＝ 120°.(2)由题意，得 a ＋ b ＝ 2 3 ， ab ＝ 2，又 AB 2＝c 2＝ a 2＋ b 2 －2abcosC ＝ (a ＋ b)2－ 2ab － 2abcosC＝ 12－ 4－4× ( 1)＝ 10.2所以 AB ＝10 .△ABC1 1·2·3 ＝ 3(3)S＝absi nC ＝2222测试二 解三角形全章综合练习1．B2．C3．D4．C5．B提示：5．化简 (a ＋ b ＋c)(b ＋ c － a)＝ 3bc ，得 b 2＋ c 2－ a 2＝bc ，由余弦定理，得 cosA ＝ b2c 2 a 21，所以∠ A ＝ 60° .2bc 2 因为 sinA ＝ 2sinBcosC ， A ＋ B ＋ C ＝180°，所以 sin(B ＋ C)＝ 2sinBcosC ，即 sinBcosC ＋ cosBsinC ＝ 2sinBcosC. 所以 sin(B － C)＝ 0，故 B ＝C. 故△ ABC 是正三角形 .二、填空题6．30°7． 120° 8． 249．510． 355三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝ 13 ；(2)由正弦定理，得 sinB ＝239.1312．(1)由 a · b ＝ | a| ·| b| · cos 〈 a ， b 〉，得〈 a ， b 〉＝ 60°；(2)由向量减法几何意义，知 | a| ，| b| ， | a － b| 能够构成三角形，所以 | a － b| 2＝| a| 2＋ | b| 2－ 2| a| · | b| ·cos 〈a ， b 〉＝ 7，故 | a － b| ＝ 7 .13．(1)如右图，由两点间距离公式，得OA(50) 2 (2 0)229 ，同理得 OB145 , AB232 .由余弦定理，得OA 2 AB 2 OB 22 cos A 2OAAB,2所以 A ＝ 45° .故 BD ＝ AB × sinA ＝ 2 29 .△OAB1·OA · BD ＝ 1· 29 ·2 29 ＝29. (2)S＝2214．由正弦定理a b csin A sin B2R ，sin C得 asin A, b sin B, c sin C .2R2R 2R 因为 sin 2A ＋ sin 2B ＞ sin 2C ， 所以 ( a)2( b ) 2( c) 2 ， 2R2R2R即 a 2＋ b 2＞ c 2.所以 cosC ＝ a 2 b 2 c 22ab＞ 0，由 C ∈ (0，π )，得角 C 为锐角 .15．(1)设 t 小时后甲、乙分别抵达P 、 Q 点，如图，则 | AP| ＝ 4t ，| BQ| ＝4t ，因为 | OA| ＝ 3，所以 t ＝ h 时， P 与 O 重合 .4故当 t ∈ [0，]时，4| PQ| 2＝ (3－ 4t)2＋ (1＋ 4t)2 －2× (3－ 4t)×(1＋ 4t)× cos60°；当 t ＞h 时， | PQ| 2＝ (4t －3)2＋ (1＋ 4t)2－ 2× (4t － 3)× (1＋4t )× cos120° .4故得| PQ|＝48 224 t7(t ≥ 0).t(2)当 t ＝241h 时，两人距离近来，近来距离为 2km.2 48 416．(1)由正弦定理abcsin A sin B2 R ，sin C得 a ＝2RsinA ， b ＝ 2RsinB ， c ＝ 2RsinC. 所以等式cos Bb 可化为 cos B2 Rsin B，cos C2a ccosC2 2R sin A 2R sin C即 cos B sin B， cosC 2 sin A sin C2sinAcosB ＋sinCcosB ＝－ cosC · sinB ，故 2sinAcosB ＝－ cosCsinB －sinCcosB ＝－ sin(B ＋ C)，因为 A ＋ B ＋ C ＝π，所以 sinA ＝sin(B ＋ C)， 故 cosB ＝－ 1，2所以 B ＝ 120°.(2)由余弦定理，得 b 2＝ 13＝ a 2＋ c 2－ 2ac × cos120°，即 a 2＋ c 2 ＋ ac ＝ 13又 a ＋c ＝ 4，。
人教新课标版数学高二必修五练习人教A版必修5综合质量评估(含答案解析)
综合质量评估第一～三章 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正确的是（ ）()(()()2211A B C a b D a b a b< < >2.在△ABC 中，∠A=60°，a =b=4，那么满足条件的△ABC （ ） (A)有一个解 (B)有两个解 (C)无解 (D)不能确定3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2n ，那么a 2 012的值是（ ） (A)2 0122 (B)2 011×2 010 (C)2 012×2 013 (D)2 011×2 0124.（2011·辽宁高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，2asinAsinB bcos A +=则ba=（ ） ()()((A B C D 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=（ ）()()()()A B 7C 6D6.设a,b, c ∈(-∞,0)，则111a ,b ,c bca+++（ ） (A)都不大于-2(B)都不小于-2 (C)至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-27.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为（ ）()()()()52A B C D 636633ππππππ 或或 8.已知x>0,y>0，2x+y=2,c=xy,那么c 的最大值为（ ）()()()()11A 1BCD 2249.在△ABC 中，关于x 的方程(1+x 2)sinA+2xsinB+(1-x 2)sinC=0有两个不相等的实根，则A 为（ ） (A)锐角 (B)直角 (C)钝角 (D)不能确定10.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5=（ ）(A)35 (B)33 (C)31 (D)2911.已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 3·a 18的最大值是（ ）(A)50 (B)25 (C)100 (D)12.已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0,则使等差数列{a n }前n 项和S n 取最大值的正整数n 是（ ）(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请把答案填在题中的横线上）13.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时,n 等于__________.14.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a,b,c 三条边的对角，如果b=2a,B=A+60°，那么A=________.15.若负数a,b,c 满足a+b+c=-1,则111a b c++的最大值是__________. 16.不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，并且sinA ·sinC=cos 2B ，三角形的面积ABC S =求三边a,b,c.18.(12分）（2011·福建高考）已知等差数列{a n }中，a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项的和S k =-35,求k 的值.19.（12分）（2011·山东高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知cosA 2cosC 2c a.cosB b--=(1)求sinCsinA的值； （2）若1cosB ,4=b=2，求△ABC 的面积S.20.(12分）已知f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时，f(x)>0；x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0. （1）求y=f(x)的解析式；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R.21.(12分）某公司计划在2012年内同时出售空调机和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？22.（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令n2n1ba1=-(n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n.答案解析1.【解析】选A.如果a<0,b>0，那么110,0,ab<>11,a b∴<故选A. 2.【解析】选C.根据正弦定理得bsinA sinB 1,a ===>故无解.故选C.3.【解析】选D.由已知a n+1-a n =2n,∴a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,a 4-a 3=2×3,…,a n -a n-1=2(n-1),以上各式两端分别相加得：()()()n 1n 2 012a a 2123n 1n n 1.a n n 1.a 2 011 2 012.-=++⋯+-=-=-∴=⨯［］即故选D.4.【解析】选D.2asinAsinB bcos A +=2sinAsinAsinB sinBcos A b sinBsinB a sinA∴+=∴=∴==故选D. 5.【解析】选A.18789123a a a q 2.a a a== ()99456123q a a a a a a q ∴===故选A.6.【解题提示】解答本题关键是分析111a b c bca+++++的最大值.【解析】选C.111a b c 6,b c a+++++≤- 三者不能都大于-2.故选C.7.【解析】选D.在△ABC 中，根据b 2=c 2+a 2-2cacosB 得a 2+c 2-b 2=2cacosB ，代入已知得sinB 2∴=2B B ,33ππ∴==或故选D.8.【解析】选B.由已知，22x y =+≥=1c ,2∴≤故选B.9.【解析】选A.4sin 2B-4(sin 2A-sin 2C)>0, 即sin 2B+sin 2C>sin 2A,由正弦定理得b 2+c 2>a 2, 再由余弦定理得cosA>0,所以A 为锐角，故选A. 10.【解析】选C.设公比为q,由题意知2323113647113133311a a a q 2a .5a 2a a q 2a q 2a q 25a q 2a q q 2⎧==⎪⎨+=+=⎪⎩⎧=⎪⎨+=⎪⎩即 解得11q .2a 16⎧=⎪⎨⎪=⎩故55116(1)2S 31 .112⨯-==-故选C.11.【解析】选B.由题可知()3181202031820a a 20a a )S 100,a a 10,22++===∴+=（2318318a a a a ()25.2+∴≤=故选B.12.【解题提示】解答本题的关键是分析出数列{a n }第几项开始有符号发生变化.【解析】选B.由|a 3|=|a 9|得()()()22111n 1a 2d a 8d .a 5d.a a n 1d n 6d,d 0,+=+∴=-=+-=-<（）∴当n ≤6时，a n ≥0，当n>6时，a n <0, ∴前5项或前6项的和最大，故选B. 13.【解析】∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2，由()n n 1a 2n 490,a 2n 1490-=->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，解得n=25. ∴从第25项开始为正，前24项都为负数，即前24项之和最小. 答案：24【方法技巧】求等差数列前n 项和最值的方法：对于等差数列，当公差不等于零时，则其为单调数列，所以其前n 项和往往存在最大值或最小值，常用的方法有：(1)通项公式法：先求出通项公式，通过通项公式确定等差数列的单调性，再求其正项或负项为哪些项，从而确定前n 项和的最值. (2)二次函数法：根据等差数列的前n 项和S n 是关于项数n 的一元二次函数，从而可直接配方，求其最值，但应注意项数n 为正整数，由此，本题还可有以下解法：方法二,a n =2n-49，a 1=-47<0,公差d=2>0,∴数列{a n }为递增等差数列. 令a n =0，得1n 24.2=∴该数列中，a 1,a 2,…,a 24<0，a 25>0,…… ∴数列{a n }的前24项和最小，故n=24. 方法三，可知数列{a n }为等差数列，a 1=-47.()()1n n 222n a a n 472n 49S 22n 48n n 2424,+-+-∴===-=--（）∴当n=24时，S n 取最小值，故n=24. 14.【解析】∵b=2a,B=A+60°,∴sinB=2sinA, sinB=sin(A+60°),∴2sinA=sin(A+60°).12sinA sinA tanA 223=+∴=又∵0°<A<180°,∴A=30°. 答案：30°15.【解题提示】解答本题一方面要注意常值代换的应用，另一方面要注意利用不等式的性质化“负”为“正”. 【解析】∵a+b+c=-1,∴1=-a-b-c.111a b c a b c a b ca b c a b cb ac a c b3()()()a b a c b c32229.---------∴++=++=--+-+-+≤----=-当且仅当a=b=c=13-时取等号. 答案：-916.【解析】不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，即（a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立，若a+2=0，则4x-3>0,显然不恒成立；若a+2≠0,则a 200+>⎧⎨∆<⎩，即()()2a 2044a 2a 10+>⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，解得a>2. 答案：(2,+∞)17.【解析】∵角A ，B ，C 成等差数列， ∴A+C=2B ，A+B+C=180°，∴B=60°， 所以21sinAsinC cos 60.4=︒= ①又ABC 1S acsinB,2==得ac=16. ② 由①②及a csinA sinC=得：22ac a c ()()64,sinAsinC sinA sinCa c 8.sinA sinC asinBb 8sinB 8sin60sinA ========︒=所以又222a c b 1cosB ,2ac 2+-== ()()222222a cb ac,ac b 3ac,a c 484896,a c ∴+-=+-=∴+=+=∴+=③联立③与②得a 2,c 2,a 2,c 2.====或18.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,由a 1=1,a 3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2. 从而a n =1+(n-1)×(-2)=3-2n ，n ∈N *. （2）由（1）可知a n =3-2n.()2n n 132n S 2n n .2+-∴==-［］由S k ＝-35可得2k-k 2=-35. 即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k ∈N *，故k=7.19.【解析】（1）由正弦定理设a b ck,sinA sinB sinC=== 则2c a 2ksinC ksinA 2sinC sinA ,b ksinB sinB ---==cosA 2cosC 2sinC sinAcosB sinB--∴=即（cosA-2cosC ）sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)， 又A+B+C=π，∴sinC=2sinA.因此sinC2.sinA= （2）由sinC2sinA=得c=2a.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB 及1cosB ,b 2.4==22214a 4a 4a .a 1.c 2.4=+-⨯==得解得从而又∵cosB=14且0<B<π,sinB 4∴=因此11S acsinB 122244==⨯⨯⨯= 20.【解析】（1）由x ∈(-3,2)时，f(x)>0;x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0知：-3，2是方程ax 2+(b-8)x-a-ab=0的两根且a ＜0,()2b 832a 3,a a ab b 5.32a f x 3x 3x 18.-⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⎨⎨--=⎩⎪-⨯=⎪⎩∴=--+得（2）由a<0，知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下.要使-3x 2+5x+c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0,即25+12c ≤0,得25c .12≤-∴当25c 12≤-时，ax 2+bx+c ≤0的解集为R. 21.【解析】设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 台,y 台，总利润是z ，则z=6x+8y由题意有30x 20y 3005x 10y 110x 0y 0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x, y 均为整数. 作出可行域如图.由图知直线31y x z 48=-+过M （4，9）时，纵截距最大.这时z 也取最大值z max =6×4+8×9=96(百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元.22.【解题提示】第（1）题可以列方程组求出首项和公差,从而易求a n ,S n .第（2）题要注意对b n 的化简变形和裂项求和法的应用.【解析】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由于a 3=7,a 5+a 7=26,∴a 1+2d=7,2a 1+10d=26.解得a 1=3,d=2.由于a n =a 1+(n-1)d,()1n n n a a S .2+=∴a n =2n+1,S n =n(n+2),n ∈N *.(2)∵a n =2n+1,()2n a 14n n 1.∴-=+()n 1111b ().4n n 14n n 1∴==-++ 故T n =b 1+b 2+…+b n()111111(1)4223n n 111n (1).4n 14n 1=-+-+⋯+-+=-=++ ∴数列{b n }的前n 项和()*n n T n N .4n 1=∈+，。
人教版新课程高中数学测试题(必修5)含答案(38页)
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欢迎使用本资料!（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．A tan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．325．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
人教版高中数学必修5练习 第一章《解三角形》综合检测
第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[答案] B[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10， cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3； 当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④ [答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A ．725B ．－725C ．±725D ．2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B－1＝725.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 [答案] B[解析] ∵AB →·AC →＝20， ∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC →|＝7.9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎨⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎨⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°， 设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°， 由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)． 在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h [答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝________.[答案] 85或－85[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2. ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45.又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85.14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C ＝________.[答案] 60°[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ． ∴a ＋b ＝2C ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°.15．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形 [解析]∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c，∴cos A ＝bc.由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·新课标Ⅱ文，17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝12－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝(12×1×2＋12×3×2)sin60° ＝2 3.18．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．[解析] (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km. 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵BC12×60＝5， ∴在BC 上需要5min ，CD 上需要5min.∴最长需要5min 检查员开始收不到信号，并至少持续5min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.21．(本题满分12分)如图，已知半圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆O 上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．[解析] (1)设∠POB ＝θ，且0°≤θ≤180°.在△OPC 中，OP ＝1，OC ＝2，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，∴S OPDC ＝S △OPC ＋S △PDC ＝12OP ·OC ·sin θ＋34PC 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534，即y ＝sin θ－3cos θ＋543.(2)由(1)得y ＝sin θ－3cos θ＋543＝2sin(θ－60°)＋534.∵0°≤θ≤180°，－60°≤θ－60°≤120°，∴当sin(θ－60°)＝1，即θ－60°＝90°，也即θ＝150°时，S OPDC 有最大值，且为2＋534，故当∠POC ＝150°时，四边形OPDC 的面积最大，最大值为2＋534.22．(本题满分14分)如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile /h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 设行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处． 当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°， 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120° ＝(21－9t )2＋(6t )2－2×(21－9t )·6t ·(－12)＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189. ∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t >73时，BC ＝9t －21，则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ×cos60°＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321n mile ，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.高中数学-打印版精校版。
最新人教B版高中数学必修五综合测试题及答案2套
最新人教 B 版高中数学必修五综合测试题及答案 2 套
模块综合测评(一)
(时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.若 a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( 1 1 A.a>b C.a2<b2 b B.a>1 D.ab<a＋b )
【解析】 ∵2 3＝a＋b≥2 ab，∴ab≤3. 由 ax＝by＝3 得 x＝loga3，y＝logb3，
1 1 1 1 ∴x＋y＝log 3＋log 3＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1.故选 C. a b 【答案】 C 11.△ABC 的内角 A，B，C 所 对的边分别为 a，b，c，若∠B＝2∠A，a＝1，b＝ 3，则 c＝( A.2 3B.2 C. 2D.1 a b 【解析】 由正弦定理得：sin A＝sin B， ∵∠B＝2∠A，a＝1，b＝ 3， 1 3 ∴sin A＝2sin Acos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0. 3 ∴cos A＝ 2 . π π 又 0＜∠A＜π，∴∠A＝6，∴∠B＝2∠A＝3. π ∴∠C＝π－∠A－∠B＝2，∴△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 c＝ 12＋ 32＝2. 【答案】 B 12.一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有 ( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 )
人教A高中数学必修5综合检测试卷(含答案)
人教A 高中数学综合检测试卷数 学(必修5)(时间120分钟，满分150分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个1．在△ABC 中，若0030,6,90===B aC ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 13．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2D ．2 4．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定 5．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．146．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于A ．66B ．99C ．144D ．2977．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 8．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．21D ． 1±9．若02522>-+-x x ，则221442-++-x xx 等于（ ）A ．3B ．3-C ．54-xD ．x 45-10．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．22a b > D ．2a b >11．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞D ．[2,)+∞12．下列各对不等式中同解的是（ ）A ．72<x 与 x x x +<+72B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确选项填在横线上)13．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是________________． 14．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为_________．15．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=______． 16．函数1sin sin y x x=+， ),0(π∈x 的最小值为________． 三、解答题：(本大题共6小题，共70分)17. (10分) (1) 求不等式的解集：0542<++-x x ；(2)求函数的定义域：5y =．18. (12分)在△ABC 中，0120,,ABCA c b a S =>=，求c b ,．19. (12分)已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求第4项及前5项和．20. (12分) 求函数4522++=x x y 的最小值．21.(12分)成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数．22. (12分)如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．Array AC人教A 高中数学综合检测试卷数 学(必修5)参 考 答 案一、选择题：1—5．CACAC ； 6—10．BBDAD ； 11—12．BB ． 二、填空题：13．锐角三角形； 14．8； 15．－2； 16．2． 三、解答题：17．（1）{15}x x x <->或 (2) {21}x x x <-≥或．18．解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆===2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b >，所以4,1==c b ．19．解：设公比为q ，由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 解得21=q ，81=a ， 所以1)21(83314=⨯==q a a ，231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ．20．解：2y ==,(2)t t =≥1y t t =+在[)2,t ∈+∞上为增函数，所以当2t =时，min 15222y =+=．21．解：设四数为3,,,3a d a d a d a d --++，则22426,40a a d =-=即1333,222a d ==-或， 当32d =时，四数为2,5,8,11；当32d =-时，四数为11,8,5,2．22．解：在△ABC 中，∠B ＝152o －122o ＝30o，∠C ＝180o －152o ＋32o ＝60o ，∠A ＝180o －30o －60o ＝90o ， BC ＝235，∴AC ＝235sin30o ＝435． 答：船与灯塔间的距离为435n mile ．。
新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷附答案解析
解题技巧
认真审题，理解 题意
运用所学知识， 分析问题
结合实际，联系 生活
细心计算，确保 答案准确
易错点提醒
计算错误：学生可 能因为粗心或计算 能力不足而犯错
概念混淆：学生对 相关概念理解不清 晰，导致填空题答 案错误
逻辑推理错误：学生 在解题过程中，可能 因为逻辑推理不严密 而导致答案错误
审题不清：学生可能因 为审题不仔细，导致理 解题意出现偏差，从而 影响答案的准确性
难度分布：试卷难度适中，注重基础知识的考查，同时也有一定的难度和区分度。
题型设计：本试卷包括选择题、填空题、解答题等多种题型，考查学生的不同能力。
考查重点：本试卷重点考查学生的数学基础知识和应用能力，以及学生的数学思维和解题技 巧。
难度分析
基础题占比： 40%
中档题占比： 40%
难题占比：20%
题目设计注重考查 学生的数学析
题目类型：单项选择题
题目数量：10道
题目难度：中等
解析：对每道题目进行详细的 解析，包括解题思路、方法、 答案等
解题技巧
掌握基础知识：选择题通常考察基础知识点，应熟练掌握相关概念和公式。 仔细审题：读懂题目要求，找出关键信息，避免因误解而选错答案。
排除法：对于一些难以确定答案的选择题，可以采用排除法，排除明显错误的选项。
善于利用选项：有些选择题的答案可以通过代入选项进行验证，从而快速找到正确答案。
易错点提醒
选项中涉及到的知识点是否准确掌握 选项中的陷阱和迷惑性词语是否能够识别 计算和分析过程中是否有遗漏或错误 解题思路和方法是否正确且符合题意
题目类型及解析
题目类型：填空题 题目难度：中等 题目数量：10道 解析：针对每道题目给出详细的解题思路和答案解析
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6(D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ；(2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝81，a 42＝1，a 54＝5.(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( )(A)0 (B)－3 (C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________. 8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明.12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式. 测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________. 7．不等式05213≤+-x x 的解集是________.8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________.三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba 的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于()(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________.12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34c o s c o s ==a b B A . (1)证明角C ＝90°；(2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0).(2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ；(2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35. 三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋2)1(-⨯n n ×2＝n 2＋11n ， ∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－0.6)＝－0.6n ＋50.6.解不等式－0.6n ＋50.6＜0，得n ＞84.3. 因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0.(2)S n ＝na 1＋2)1(-n n d ＝50n ＋2)1(-n n ×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n .由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S n )max ＝S 84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8(B)6(C)4(D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形(B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30(B)35(C)36(D)423．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4(B)13(C)28(D)434．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1}(B){n 2－1}(C){n 2＋n }(D){n 2＋n －1}5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列(C)先减后增数列(D)以上都不对二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1Λ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n Λ(n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项.三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98(B)－195(C)－201(D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667(B)668(C)669(D)6703．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15(B)30(C)31(D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) (A)nab - (B)1+-n ab (C)1++n ab (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________. 9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83(B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33(B)72(C)84(D)1893．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4 (B)23 (C)916 (D)34．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81(B)120(C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列；④{a n }可能是递减数列.其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④(C)②③(D)②④二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15(B)17(C)19(D)212．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60(B)72.5(C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100(C)200(D)－2004．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n(B)122+n n(C)24+n n(D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950二、填空题 6．nn +++++++++11341231121Λ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯Λ＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求13221111++++n n a a a a a a Λ.13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n Λ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3(B)2(C)－2(D)2或－22．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5(B)10(C)15(D)203．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5(D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16(B)20(C)24(D)362．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880(B)5539(C)5208(D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0(B)1(C)2(D)不能确定4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2(B)2(C)－4(D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2(D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 22．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2)(B)(－2，－1)(C)(－1，0)(D)(－2，0)3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b(C)ab ＝a ＋b(D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0(B)a ＞0＞b(C)b ＞a ＞0(D)b ＞0＞a5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x )(B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( ) (A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( )(A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( ) (A)a(B)2a(C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一(B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围.14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式. 测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1}(C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a }4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(A)(－∞，0) (B)(－4，0](C)(－∞，－4)(D)[－4，0)二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________. 7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )； (2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70(D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8(D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M(D)2∉M ，0∈M二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方(B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方(D)A 在l 下方，B 在l 上方2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)63．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2(B)100m 2(C)200m 2(D)250m 24．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－225．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________. 8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121ΛΛ.测试十五必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=xy的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a－b＜0 (B)0＜ba＜1(C)ab＜2ba+(D)ab＞a＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤,0,1yxyx所表示的平面区域是W，则下列各点中，在区域W内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(--(D))31,21(-4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a1＋a3＞0 (B)a1a3＞0 (C)S1＋S3＜0 (D)S1S3＜05．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )(A)1∶3∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶3∶1 (D)3∶2∶16．已知等差数列{a n}的前20项和S20＝340，则a6＋a9＋a11＋a16等于( )(A)31 (B)34 (C)68 (D)707．已知正数x、y满足x＋y＝4，则log2x＋log2y的最大值是( )(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km，距测速区终点B的距离为0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h(C)80～90km/h (D)90～100km/h二、填空题9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.11．已知{a n}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S5＝0，那么a1等于________.12．在△ABC中，BC＝1，角C＝120°，cos A＝32，则AB＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥342,0yxyxyx，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y的最大值是________.14．如图，n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵，符号a ij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a11＝21，a24＝1，a32＝41，则q＝________；a ij＝________.三、解答题15．已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.16．已知{a n}是等差数列，a2＝5，a5＝14.(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和S n＝155，求n的值.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且34coscos==abBA.(1)证明角C＝90°；(2)求△ABC的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：⋅<++++531111321n a a a a Λ参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题 6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7， 故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ， 所以222)2()2()2(RcR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2.所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n . 所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2， 即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).。
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第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理I 学习目标1掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形2 •会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 .n 基础训练题一、选择题在厶ABC 中，若BC = .2 , AC = 2, B = 45°，则角 A 等于(10. 在△ ABC 中，若 tanA = 2, B = 45°, BC = %;5，贝U AC = ____________ .三、解答题11. 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 4, C = 60°，试解△ ABC. 12. 在△ ABC 中，已知 AB = 3, BC = 4, AC = .13 .(1)求角B 的大小；⑵若D 是BC 的中点，求中线 AD 的长.13. 如图，△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和B(— 9, 8),求角 A 的大小.(A)60(B)30 °(C)60 或 120°2. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c , 若 a(D)30。
或 150 °1=2, b = 3, cosC= ---------- ，贝V c 等于( --------------------------------- ) (A)23. 在厶ABC 中, (A)；(B)3已知 cosB - ,sinC 5(B)53(C)42AC= 2,3-I?(D)5那么边AB 等于()12 (D) —54. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知B = 30°, c = 150, b = 50 i 3，那么这个三角形5. 是() (A)等边三角形 (C)直角三角形在厶ABC 中， 三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,(B)等腰三角形(D)等腰三角形或直角三角形如果 A : B : C = 1 : 2 : 3,那么a : b : c 等于(6. 7. 8. 9. (A)1 : 2 : 3 、填空题在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 角形•在厶ABC 中, 三个内角 三个内角 三个内角 三个内角 (B)1 :A , A , A , (C)1 : 4 : 9(D)1 : 一 2C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 a , a , a , a , b , b , b , b , c , c ,c , c , a = 2, B = 45°, a = 2, b = 2 3C = 75°，贝V b = c =4，贝U A =若 2cosBcosC = 1 — cosA ，则△ ABC 形状是若 a = 3, b = 4, B = 60°，贝V c =、选择题1.在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若 b 2+ c 2— a 2= be ,则角 A 等于( )nn2 n 5 n(A)-(B) —(C) —(D) —63362. 在△ ABC 中，给出下列关系式：A BC①sin(A + B)= sinC ②cos(A + B)= cosC ③ sin^~B cosC2 2其中正确的个数是( )、填空题6. _____________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = V 2 , b = 2, B = 45°，则角 A= __________________ .7. ___________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 3, c = 7T9，则角C= _____________________ .3&在厶ABC 中，三个内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若b = 3, c = 4, cosA = — ,则此三角形的面积为 ____________59. 已知△ ABC 的顶点 A(1, 0), B(0 , 2) , C(4 , 4),则 cosA = ________ .10. ________________________________________________________________________________________________ 已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 满足2B = A + C ,且AB = 1, BC = 4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ________________14 .在△ ABC 中，已知 2cos(A + B) = 1.(1)求角C 的度数； ⑵求AB 的长； (3)求厶ABC 的面积.测试二解三角形全章综合练习I 基础训练题(A)0(B)1(C)23. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,b p .,c.右(D)323a = 3, sinA = , sin(A + C)=，贝Vb 等于()3 4(A)4(B)8(C)6(用84. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c ,右 a = 3, b = 4,2sinC =-，则此三角形的面积是(5. (A)8在厶ABC 中， 此三角形的形状是( 三个内角 (B)6 A ,B , )(C)4C 的对边分别是 a , b , c , 若 (a + b + c)(b + c — a) = 3bc ,且 sinA = 2sinBcosC ，则(D)3(A)直角三角形(B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形=0的两根， BC = a , AC = b三、解答题11. 在△ ABC 中，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边，且a= 3 , b= 4 , C= 60 ° .⑴求c;(2)求 sinB.12. 设向量 a , b 满足 a • b = 3, |a|= 3, |b|= 2.(1) 求〈a , b 〉； (2) 求 |a - b|.13. 设△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和 B(- 9, 8)，若 BD 丄 OA 于 D.(1) 求高线BD 的长； (2) 求厶OAB 的面积.14. 在△ ABC 中，若 sin 2A + sin 2B >sin 2C ,求证：C 为锐角.15. 如图，两条直路 OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为 60°，甲、乙两人分别在 OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |= 3km , | OB |= 1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿 XO 方向，乙沿OY 方向. 问：⑴经过t 小时后，两人距离是多少 俵示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？(1)求角B 的值;⑵若b = ■ 13 , a + c = 4,求厶ABC 的面积.(提示：利用正弦定理 a b csin A sin B sinC2R ，其中RABC 外接圆半径)n 拓展训练题16.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且cosB cosCb 2a c3第二章数列测试三数列 I 学习目标1•了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数2 •理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项3•了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项 n 基础训练题 一、选择题 1.数列｛a n ｝的前四项依次是：4, 44, 444, 4444,…则数列｛a n ｝的通项公式可以是()(A) a n = 4n(B)a n = 4n 4 (C) a n = (10n — 1)(D)a n = 4 x 11n92.在有一定规律的数列0, 3, 8, 15, 24, x , 48,63,……中，x 的值是( )10. ____________________________________________________________ 数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n 2— 15n + 3,则它的最小项是第 ___________________________________________________ 项.三、解答题11. 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = 14— 3n.(1) 写出数列｛a n ｝的前6项； (2) 当n 》5时，证明a n V 0. 12 .在数列｛a n ｝中，已知a n =1 它的前五项依次是 _________ ,2 0. 98是其中的第 _________ 项.在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = 3a n + 1,贝U a 4 =(A)30 (B)35 (C)36 3.数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n = a n —1 + 3n , 则a 4等于( )(A)4 (B)13 (C)28 4. 156是下列哪个数列中的一项 ( )(A){ n 1 2+ 1} (B){ n 2— 1} (C){ n 2 + n}5. 若数列｛a n ｝的通项公式为a n 5 3n , 则数列｛ a n ｝是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 ― 、填空题6. (D)42 (D)43(D){ n 2+ n — 1}(D)以上都不对7. 数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式: 2 12 1 (1) 1,—, , , , , a n3 2 5 3 (2) 0, 1 , 0, 1, 0,… 一个数列的通项公式是a n = ______2na n =2~A .n 2 18. a n + 19.数列｛a n ｝的通项公式为a n (2n 1) (n € N *)，贝U a 3=(1) 写出a10, a n+1, a n2 ；2(2) 79 —是否是此数列中的项？若是，是第几项?113.已知函数 f(x) x ，设 a n = f(n)(n € N + ). x(1) 写出数列｛a n ｝的前4项；(2) 数列｛ a n ｝是递增数列还是递减数列？为什么?测试四等差数列 I 学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题 .2.掌握等差数列的前 n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系n 基础训练题一、选择题6. ____________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，a 2与a 6的等差中项是 .7. _______________________________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 + a 2= 5, a 3 + a 4 = 9,那么 a 5 + a 6 = ____________________________________________________ . &设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,若S 17 = 102,则a 9= ______________ .9. _____________________________________________________________ 如果一个数列的前 n 项和S n = 3n 2 + 2n ，那么它的第n 项a “= _______________________________________________________ . 10. 在数列｛a n ｝中，若 a 1= 1, a 2= 2, a n +2 — a n = 1 + (— 1)n (n € N *)，设｛ a n ｝的前 n 项和是 S n ,贝U S 10= _______ 三、解答题11. 已知数列｛a n ｝是等差数列，其前 n 项和为S n , a 3= 7, S 4= 24.求数列｛a n ｝的通项公式 12. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 10= 30, a 20 = 50.(1) 求通项a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.13. 数列｛a n ｝是等差数列，且 a 1= 50, d =— 0. 6.(1) 从第几项开始a n V 0 ；(2) 写出数列的前n 项和公式S n ,并求S n 的最大值.川拓展训练题14. 记数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 3a n +1= 3a n + 2(n € N *), a 1 + a 3 + a 5+・・・+ a 99= 90,求 S 100.1. 2. 3. 数列｛a n ｝满足：a 1 = 3, (A)98 数列｛a n ｝是首项a 1= 1, (A)667 在等差数列｛a n ｝中，若(A)15 a n +1 = a n — 2，贝V a 1oo 等于()(B) — 195 (C) — 201公差d = 3的等差数列，如果 a n = 2008,(B)668 (C)669a 7 + a 9= 16, a 4= 1，贝U a 12 的值是((B)30(D)—198 那么n 等于((D)670 (D)64 4. 在a 和b(a ^ b)之间插入n 个数，使它们与 b a (A)-n 设数列｛a n ｝是等差数列，且 (A)S 4V S 55. b a (B)—7 n1 a 2=— 6,(B)S 4= S 5(C)31 a , b 组成等差数列，则该数列的公差为b a b a (C) (D)- n 1 n 2 a 8= 6, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则( (C)S 6V S 5 (D)S 6= S测试五等比数列I 学习目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题2 •掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3•能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系n 基础训练题一、选择题1.数列｛a n｝满足：a1 = 3, a n+1= 2a n,贝U a4等」()(A)8(B)24(C)48(D)542 . 在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，,首项a1 = 3, 前三项和为21,贝U a3+ a4 + a5 等于((A)33(B)72(C)84(D)1893.在等比数列｛a n｝中，如果a6= 6, a9= 9,那么a3等于（）(A)4(B)-(C)16(D)3294.在等比数列｛a n｝中，若a2= 9, a5= ：243,则｛a n｝的前四项和为（)(A)81(B)120(C)168(D)1925 .若数列｛a n｝满足a n= a1q n—1(q> 1), 给出以下四个结论：①｛a n｝是等比数列；②｛a n｝可能是等差数列也可能是等比数列；③｛a n｝是递增数列；④｛a n｝可能是递减数列.其中正确的结论是（)（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④二、填空题6. __________________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中,a i, a io是方程3x2 + 7x—9= 0的两根，则a4a7=_________________________________________________7. ______________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中，已知a i + a2= 3, a3 + a4 = 6,那么a5 + a6 = ___________________________________________________ .1 山&在等比数列｛a n｝中，若a5= 9, q =一，则｛a n｝的前5项和为_____________ .29. 在8和岂之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________3 210. ________________________________________________________________________________ 设等比数列｛a n｝的公比为q，前n项和为S n,若3+1, S n, 3+2成等差数列，则q = ___________________________________三、解答题11. 已知数列｛a n｝是等比数列，a2= 6, a5= 162.设数列｛a n｝的前n项和为S n.（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若S n= 242，求n.12. 在等比数列｛a n｝中，若a2a6= 36, a3 + a5= 15,求公比q.13. 已知实数a, b, c成等差数列，a+ 1, b+ 1, c+ 4成等比数列，且a+ b + c= 15，求a, b, c.川拓展训练题14. 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q,每列上的数从上到1 5下都成等差数列.a j表示位于第i行第j列的数，其中a24= , a42 = 1, a54 = .(1) 求q 的值； (2) 求a j 的计算公式. 测试六数列求和 I 学习目标1•会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和 2•会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和 n 基础训练题1. 、选择题 已知等比数列的公比为 (A)152. 若数列｛a n ｝是公差为3. (A)60数列｛a n ｝的通项公式(A)100 2,且前4项的和为 (B)17 1 丄的等差数列，它的前 2(B)72.5 a n = (— 1)n 1 (B)—100 1,那么前8项的和等于() (C)19(D)21 100 项和为 145，贝U a i + a 3+ a 5+- + (C)85 (D)120 • 2n(n € N *)，设其前n 项和为S n ,则S 100等于( (D) — 200 (C)200 4.数列(2n 1)(2 n 1)的前n 项和为(a 99的值为(n(A)k2n (B)- 2n 1设数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1= 1, (A)7000 一、填空题 2n(计5. (B)7250(C) 4n 2 a 2 = 2,且 a n +2= a n + 3(n = 1, 2, 3，…)，贝V S 100等于((C)7500 (D)149506. 1 、2 17. 数列｛n + 丄｝的前n 项和为2n2 2 2 a ? + a ； +…+a 2 9. 设 n € N *, a € R , 则 1 + a + a 2+…+ a n = 1 1 1 1 10 .1 2 3 — n n = 2 4 8 2n 数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n +1 = 2a n ，则 8. 三、解答题 11 .在数列｛a n ｝中，a 1 = 11, a n +1= a n + 2(n € N *)，求数列｛| a n |｝的前 n 项和 S n . 12.已知函数 f(x)= a 1x + a 2x 2+ a 3x 3+…+ a n x n (n € N *, x € R),且对一切正整数 n 都有 f(1) = n 2成立.(1)求数列｛a n ｝的通项a n ；1a n a n 11113.在数列｛a n ｝中，a i = 1,当n 》2时，a n = 12 4川拓展训练题14. 已知数列｛ a n ｝是等差数列，且 a 1 = 2, a 1+ a 2 + a 3= 12.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵令b n = a n x n (x € R)，求数列｛b n ｝的前n 项和公式.测试七数列综合问题I 基础训练题、选择题(A)0二、填空题(B) — 3(C) 3、3(D )y1丄a n ,n 为偶数6.设数列｛a n ｝的首项a 1 =1且an 12 1 贝U a 2=, a 3=4a n ,n 为奇数47.已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前20项和等于150,那么a 2 + a 4 + a 6+・・・+ a 20= __________ . &某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由________ 个.9. _______________________________________________________ 在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = a n + 3n(n € N )，贝V a n = __________________________________________________ .10. 在数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1= 2,且对任意正整数 n 等式3a n +1— a n = 0成立，若b n 是a n 与a n +1的等差中项，则｛b n ｝ 的前n 项和为 ___________ . 三、解答题11. 数列｛a n ｝的前n 项和记为 S n ,已知a n = 5S — 3( n € N *).(1)求 a 1, a 2, a 3；，求数列的前 n 项和S n .1.等差数列｛a n ｝中, a 1= 1,公差d 丰0,如果a 1, a 2, a 5成等比数列，那么d 等于( (A)3 (B)2 (C) - 2 (D)2 或一22.等比数列｛a n ｝ 中, a n >0,且 a 2a 4+ 2a 3a 5 + a 4a 6= 25,贝U a 3 + a 5等于((A)5(B)10(C)15 3.如果a 1, a 2, a 3,…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差(D)20 d 丰0,则((A) a 1a 8> a 4a 5 (B) a 1a 8V a 4a 5 (C)a 1 + a 8> a 4 + a 5(D) a 1a 8 = a 4a 54.一给定函数y = f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1 € (0, 1)，由关系式 a n (n € N *)，则该函数的图象是()a n + 1= f(a n )得到的数列｛a n ｝满足a n + 1>1个繁殖成⑵求数列｛a n｝的通项公式；(3) 求 a i + a 3+・・・+ a 2n -1的禾口 .2 2 *12. 已知函数 f(x)= r (x >0),设 a i = 1, a * i • f(a n ) = 2(n € N )，求数列｛a n ｝的通项公式.x 413. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为 3,已知a 3= 12, S 12>0, S 13V 0.(1) 求公差d 的范围；(2) 指出S 1，S 2,…，S 12中哪个值最大，并说明理由.川拓展训练题14. 甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前 1分钟多走1m ,乙每 分钟走5m.(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1分钟多走1m ,乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15. 在数列｛a n ｝中，若a 1, a 2是正整数，且a n = |a n -1 — a n -2|, n = 3, 4, 5，…则称｛a n ｝为"绝对差数列”(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(2) 若“绝对差数列” ｛a n ｝中，a 1= 3, a 2= 0,试求出通项a n ； (3) *证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项测试八数列全章综合练习I 基础训练题、选择题5. 若｛a n ｝是等差数列，首项a 1> 0, a 2007 + a 2008> 0, a 2007 • a 2008V 0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数6. _______________________________________________________________ 已知等比数列｛a n ｝中，a 3 = 3, a 10= 384,则该数列的通项 a n = _____________________________________________________ .7. _________________________________________________________________________________ 等差数列｛a n ｝中，a 1+ a 2+ a 3= — 24, a 18+ a 19+ a 20= 78,则此数列前 20项和 S 20= __________________________________ &数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,若S n =『一 3n + 1 ,贝V a n = _____________ . 9. 等差数列｛a n ｝中，公差0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则10. ______________________________________________________________________________________________ 设数列｛a n ｝是首项为1的正数数列，且(n + 1)a ：1 — na ： + a n + 1a n = 0(n € N *)，则它的通项公式 a n = ___________________ 三、解答题(A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2.在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877 3.右 a , b , c 成等比数列，则函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点个数为((A)0 (B)1(C)2 (D)不能确定 4.在等差数列 ｛a n ｝中，如果前5项的和为 S s = 20,那么a 3等于( )1 .在等差数列｛a n ｝中，已知a 1 + a 2= 4, a 3 + a 4 = 12,那么a 5 + a 6等于() )(A) — 2 (B)2(C) — 4(D)4 (A)4012 、填空题(B)4013 (C)4014 (D)4015 a 3 a 6a 9a 4 a 7 a1011. 设等差数列｛ a n｝的前n项和为S n,且a3+ a7 —a10 = 8, an —a4= 4，求S13.12. 已知数列｛ a n｝中，a1 = 1,点(a n, a n+1+ 1)(n€ N*)在函数f(x) = 2x+ 1 的图象上.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵求数列｛a n｝的前n项和S n；(3) 设c n= S n,求数列｛c n｝的前n项和T n.13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n满足条件S n= 3a n + 2.(1) 求证：数列｛a n｝成等比数列；(2) 求通项公式a n.14 .某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？n 拓展训练题(1)求a n；2 2 2 一一" 亠im …⑵设b n= a n 1+ a n 2+…+ a2n 1，是否存在最小正整数m,使对任意n€ N*有b n v 成立？若存在，求出m25的值，若不存在，请说明理由.16•已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q,记作Q= f(P).设P1(X1, y1), P2= f(P1) , P3= f(P2),…，P n= f(P n-1),….如果存在一个圆，使所有的点P n(x n, y n)(n € N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n(x n, y n)的一个收敛圆•特别地，当P1= f(P1)时，则称点P1为映射f 下的不动点•1若点P(x, y)在映射f下的象为点Q( —x + 1, y).2(1)求映射f下不动点的坐标；⑵若P1的坐标为(2, 2)，求证：点P n(x n, y n)(n € N*)存在一个半径为2的收敛圆.第三章不等式测试九不等式的概念与性质I 学习目标1•了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小2 •理解不等式的基本性质及其证明.n 基础训练题一、选择题1 . 设a, b, c€ R,则下列命题为真命题的是()(A)a> b a—c> b—c(B) a > b ac> bc(C)a> b a2> b2(D)a > b ac2> bc215.已知函数f(x) =1 、，—2(x v —2)，数列｛a n｝满足a1 = 1, a n = f(—一x 41an 1)(n € N*).2 . 若—1 v v v 1,贝U -- 的取值范围是()(A)( —2, 2)(B)( —2,—1)(C)( —1, 0)(D)( —2, 0)3 . 设a>2, b>2,贝U ab与a+ b的大小关系是( )(A) ab> a+ b(B) ab v a + b(C)ab= a + b(D)不能确定4 . 使不等式 1 1 a > b和丄a b同时成立的条件是()(A)a> b> 0(B)a> 0 > b(C)b > a> 0(D)b> 0 > a5 . 设1v x v 10,则下列不等关系正确的是()(A)ig 2x>lgx2> ig(lgx) (B)lg 2x> lg(lg x)> igx2 (C)ig x2> lg2x> Ig(lgx) (D)lg x2> lg(lgx) > lg2x二、填空题6. 已知a v b v 0, c v 0，在下列空白处填上适当不等号或等号：c c(1)(a—2)c _______ (b —2)c; (2) —_______ - ；(3)b—a ______ ⑻一|b|.a b7. _____________________________________________________________ 已知a v 0, —1v b v 0,那么a、ab、ab2按从小到大排列为 ________________________________________________________ .a&已知60v a v 84, 28v b v 33,则a—b的取值范围是；一的取值范围是 _________ .ba b9. 已知a, b, c€ R，给出四个论断：①a>b;②ac2>be2;③二④a—c>b — c.以其中一个论断作条件，另c c一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是 ____________ __________ ; ________ ___________ .(在“ ”的两侧填上论断序号).310. 设a>0, 0v b v 1，贝y P= J 2与Q ^，-(a 1)(a 2)的大小关系是.三、解答题11. 若a>b>0, m>0，判断b与b―m的大小关系并加以证明.a a m12 .设a>0, b> 0,且a丰 b, p a , q a b .证明：p> q.b a注：解题时可参考公式x3+ y3= (x+ y)(x2—xy+ y2).川拓展训练题13 .已知a> 0，且1,设M = log a(a3— a +1), N = log a(a2—a+ 1).求证：M > N.2214.在等比数列｛a n ｝和等差数列｛b n ｝中,a i = b i >0, a 3= b 3>0, a i ^a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 I 均值不等式 学习目标 1. 了解基本不等式的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题. 基础训练题 i . 、选择题 已知正数a , (A)有最小值 b 满足 a + b = 1,贝U ab( 1 1(B)有最小值— 421 (C)有最大值- (D)有最大值2. 若 a >0, b >0,且b ,则( )(A)兮 ab ,0^ a 2 b 223. 4. (C) .ab a 2 b 2 a b 2~T~(D) a 2 b 2 ab若矩形的面积为 a 2(a > 0)，则其周长的最小值为( (A) a (B)2 a (C)3 a 设a , b € R ，且2a + b - 2= 0，贝U 4a + 2b 的最小值是 (D)4a(A) 2、2 (B)4 (C) 4 ： 2 (D)8如果正数a , b , (A) ab < c + d , (B) ab > c + d , (C) ab w c + d , (D) ab > c +d , 一、填空题 5. c , d 满足 a + b = cd = 4，那么( 且等号成立时 且等号成立时 且等号成立时 且等号成立时a , a , a , a ,b , b , b , b ,c , c , c , c , )d 的取值唯一 d 的取值唯一 d 的取值不唯一 d 的取值不唯一 6. 9若x > 0，则变量x -的最小值是 x;取到最小值时, x =7. 函数 4xy=— x-(x > 0)的最大值是 1 ;取到最大值时, 8. 已知 16 -- 的最大值是a 3 f(x) = 2log 2(x + 2) - log 2x 的最小值是av 0，贝U a 9. 10. 已知a , b , c € R , a + b + c = 3,且a , b , c 成等比数列，则 b 的取值范围是 三、解答题 函数 11.四个互不相等的正数 a , b , c , d 成等比数列，判断 和bc 的大小关系并加以证明 2t 11 1的大小.1 12 .已知 a > 0,1, t > 0,试比较一 log a t 与 log a拓展训练题13.若正数x , y 满足x + y = 1,且不等式 x . ya 恒成立，求a 的取值范围.a14. (1)用函数单调性的定义讨论函数f(x) = x +(a >0)在(0,+s )上的单调性;xa(2)设函数f(x)= x +(a > 0)在(0, 2］上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.x测试十一 一元二次不等式及其解法I 学习目标1. 通过函数图象理解2.会解简单的一元二次不等式 .一、 选择题 1.不等式5x + 4>-x 2的解集是()(A){ x|x >- 1,或 x v — 4}(C){ x|x >4,或 x v 1}2 .不等式一x 2 + x — 2 > 0的解集是()(A){ x|x > 1,或 x v — 2} (C)R3. 不等式x 2 > a 2(a v 0)的解集为()(A){ x|x >± a}(C){ x|x >— a ,或 x v a }14. 已知不等式ax 2 + bx + c > 0的解集为{x| -3 1(A){ x| — 3 v x v }2 1、(C){x — 2v x v — }35. 若函数y = px 2— px — 1(p € R)的图象永远在(A)( —R, 0) (B)( — 4, 0]二、 填空题6. ___________________________________ 不等式x 2 + x — 12v 0的解集是 .7 .不等式竺丄0的解集是 _______________ .2x 5元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系n 基础训练题 (B){ x|— 4v x v — 1} (D){ x|1 v x v 4}(B){ x|— 2 v x v 1}(D)(B){ x|— a v x v a } (D){ x|x >a , 或 x v — a}x 2}，则不等式cx 2 + bx + a v 0的解集是()1(B){ x|x v — 3，或 x >}2 1 (D){ x|x v — 2, 或 x >} 3x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(C)( —^,— 4)(D)[ — 4, 0)12. k 在什么范围内取值时，方程组2x3xy 2x 0有两组不同的实数解?4y k 08不等式|x2—1|v 1的解集是____________ .9. ___________________________________ 不等式0v x2—3x v 4的解集是.1 110. 已知关于x的不等式x2—(a+—)x+ 1v 0的解集为非空集合｛x|a v x v—｝，则实数a的取值范围是a a三、解答题11 .求不等式x2—2ax—3a2v 0(a € R)的解集.川拓展训练题13. 已知全集U = R，集合A={x|x2—x—6v0} , B={X|X2+2X— 8>0}, C = {x|x2—4ax+ 3a2v0}.(1) 求实数a的取值范围，使C (A n B);(2) 求实数a的取值范围，使C (.u A) n QuB).14. 设a € R，解关于x的不等式ax2—2x+ 1 v 0.测试十二不等式的实际应用I 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题n 基础训练题一、选择题11•函数、——的定义域是()V4 x(A){ x| —2 v x v 2} (B){ x|—2 < x< 2}(C){ x|x>2,或x v —2} (D){ x|x>2,或x<—2}2. 某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p= 300 —2X,生产x件的成本r = 500 +30x(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足()(A)55 < x w 60 (B)60 < x< 65(C)65 w x< 70 (D)70 w x w 753. 国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r的取值范围为()(A)2 w r w 10 (B)8 w r w 10(C)2 w r w 8 (D)0 w r w 84. 若关于x的不等式(1 + k2)x w k4+ 4的解集是M，则对任意实常数k,总有()(A)2 € M, 0€M (B)2 M, 0 M(C)2 € M, 0 M (D)2 M, 0 €M二、填空题5•已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为 ________ .6. _____________________________________________________________ 不等式2x2+ ax + 2> 0的解集是R，则实数a 的取值范围是________________________________________________________ .7. _____________________________________________________ 已知函数f(x) = x|x —2|,则不等式f(x) v 3的解集为. &若不等式|x+ 1|> kx对任意x€ R均成立，则k的取值范围是_____________ .三、解答题9•若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状10. 汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0. 1x+ 0. 01x2, s乙=0. 05x+ 0. 005x2.问交通事故的主要责任方是谁？川拓展训练题11. 当x€ [ —1, 3]时，不等式一x2+ 2x + a>0恒成立，求实数a的取值范围12.某大学印一份招生广告，所用纸张 （矩形）的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题I 学习目标1•了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组2•会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 n 基础训练题 一、选择题1.已知点 A(2, 0), B( — 1, 3)及直线1:x — 2y = 0,那么()（A ） A , B 都在l 上方(B)A , B 都在 1 下方（C ）A 在1上方，B 在1下方（D ）A 在1下方，B 在1上方 x 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组y 0,所表示的平面区域的面积为（x y 2(A)1 (B)2(C)3(D)43.三条直线y = x , y = — x , y = 2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）y x, y x,yx,y x, (A) y x,(B) y x,(C) yx, (D) y xy 2.y 2.y2.y 2.x y 50,4.若 x , y 满足约束条件 x y 0,则 z = 2x + 4y 的最小值是（)x 3,(A) —6(B) — 10(C)5(D)10 5.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为 60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ ）（A ）5 种 （B ）6 种 （C ）7 种（D ）8 种二、填空题7.若不等式|2x + y + m|v 3表示的平面区域包含原点和点 （一1,1），则m 的取值范围是x 1,&已知点P （x , y ）的坐标满足条件y 3, 那么z = x — y 的取值范围是 ________ .3x y 3 0,x 6.在平面直角坐标系中，不等式组y0所表示的平面区域内的点位于第 ——象限.x 1,9.已知点P（x, y）的坐标满足条件y 2, 那么丄的取值范围是__________x2x y 2 0,10•方程|x|+ |y|w 1所确定的曲线围成封闭图形的面积是____________ .三、解答题11. 画出下列不等式（组）表示的平面区域：x 1,（1）3x+ 2y+ 6> 0 （2） y 2,x y 1 0.是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元?川拓展训练题13•商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0. 5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0. 9元. 问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14. 甲、乙两个粮库要向A, B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少?（2）最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少?测试十四不等式全章综合练习I基础训练题、选择题1.设a, b, c€ R, a>b,则下列不等式中一定正确的是（）(A) ac2> bc21(B) — a 1(C)a —c> b —c (D)|a|> |b| bx y 4 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,表示的平面区域的面积是（12.某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg,价格为140元；另一种x 2— ，若对x > 0恒有xf(x) + a > 0成立，则实数a 的取值范围是( )x(A)a v 1 - 2 2 (B)a v 2 2 — 1 (C)a > 2 2 — 1 (D)a > 1 — 2 25. 设 a , b € R ，且 b(a + b +1)v 0, b(a + b — 1)v 0，则()(A)a > 1 (B)a v — 1(C) — 1 v a v 1(D)|a|> 1二、 填空题a6. ______________________________________________________ 已知1v a v 3, 2v b v 4，那么2a — b 的取值范围是______________________________________________________________ ，—的取值范围是 __________ .b 7•若不等式 x 2— ax — b v 0 的解集为｛x|2v x v 3｝，贝V a + b = _______ .&已知x , y € R ，且x + 4y = 1,贝V xy 的最大值为 ____________ .l' 29•若函数f(x)= I 2x 2ax a 1的定义域为R ，则a 的取值范围为 __________________ .10•三个同学对问题“关于 x 的不等式x 2+ 25+ x 3 — 5x 2|> ax 在［1 , 12］上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路•甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 .”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 _________ .三、 解答题x 811.已知全集 U = R ,集合 A = ｛x| |x — 1|v 6｝ , B = ｛x|> 0｝.2x 1(1)求 A n B ； ⑵求C U A) U B.12.某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过 2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？n 拓展训练题a j ,,13. 已知数集 A = { a 1, a 2,…，a n }(1 <a 1 va 2<・・・va n , n 》2)具有性质 P ：对任意的i , j(1< i < n),a i a j 与 -两3. (A) 32某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场 ( )(A)50m 2(B)3(C)4(D)6.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是(B)100m 2 (C)200m 2(D)250m 24. 2X 设函数f(x) =a i数中至少有一个属于 A.(1)分别判断数集｛1 , 3, 4｝与｛1 , 2, 3, 6｝是否具有性质P,并说明理由;(2)证明：a i= 1,且91i a2i a i n a n.aj a?1a n11 1(A) (2,3)(C)( 2, 3)2 34. 设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则下列不等式中一定成立的是()(A) a i + a3> 0 (B)a1a3> 0 (C) S1 + S3 v 0 (D) S1S3V 05. 在△ ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若A : B : C= 1 : 2 : 3,贝U a : b : c等于()(A)1 : . 3 : 2 (B)1 : 2 : 3 (C)2 : 3 : 1 (D)3 : 2 : 16. 已知等差数列｛a n｝的前20项和S20= 340,则a6+ a9 + an+ a16等于()(A)31 (B)34 (C)68 (D)707. 已知正数x、y满足x+ y= 4，贝U log2x+ log2y的最大值是()(A) - 4 (B)4 (C) - 2 (D)2&如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0. 08 km ,距测速区终点B的距离为0. 05 km，且/ APB = 60° .现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介(A)60 〜70km/h (B)70 〜80km/h(C)80 〜90km/h (D)90 〜100km/h二、填空题9._________________________________ 不等式x(x- 1)v 2的解集为.10 .在△ ABC中，三个内角A, B, C成等差数列，则cos(A+ C)的值为_____________ .、选择题测试十五必修5模块自我检测题1函数y x24的定义域是()(A)( - 2, 2) (B)((C)[ - 2, 2] (D)( -R,2.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()2) U (2,+^ )2] U [2 ,+^ )a(A) a-b v 0 (B)0 v v 1b(C) 一ab va b2x 1,3.设不等式组y 0,所表示的平面区域是x y 0(D) ab> a + bW,则下列各点中，在区域W内的点是(311.______________________________________________________________________ 已知｛a n｝是公差为一2的等差数列，其前5项的和S5= 0,那么a1等于_____________________________________________2 …12. 在△ ABC 中，BC= 1,角C= 120 °, cosA = ，贝V AB= .320.⑵求证：5x 0,y 0值是 _________ .14. 如图，n 2(n 》4)个正数排成n 行n 列方阵，符号 a j (1 < i < n , 1 < j < n , i , j € N)表示位于第i 行第j 列的正数.11 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于 q.若an = - , a 24= 1, a 32=-,24贝 y q = ______; a ij = ________ .久如…商“a21…门打II V « « V 9fl.i o ■工 % …a…三、解答题15. 已知函数 f(x)= x 2 + ax + 6.(1) 当a = 5时，解不等式f(x) v 0;(2) 若不等式f(x)> 0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 16. 已知｛a n ｝是等差数列，a 2= 5, a 5= 14.(1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 设｛a n ｝的前n 项和S n = 155，求n 的值.(1) 证明角C = 90°; (2) 求厶ABC 的面积.18•某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大?119.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且 cosA =-•3(1)求 sin 2"B C cos2A 的值；2 ⑵若a =3，求bc 的最大值.数列｛a n ｝的前n 项和是S n , (1)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1 113.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,所表示的平面区域的面积是________ ;变量z = x + 3y 的最大17.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，A , B 是锐角,c = 10,且cos A cos Ba 1 = 5，且 a n = S n - 1(n = 2, 3, 4，…).20.⑵求证：5a1a2a3a n2122参考答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1. B2. C3. B4. D5. B提示：4. 由正弦定理，得sinC= f，所以C= 60°或C = 120°,当C= 60。
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必修五综合检测试卷
一．选择题：
1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）
A ．4
B ．34
C ．9
D ．18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3、若不等式
897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10
B ．a =﹣4 b =﹣9
C ．a =﹣1 b =9
D ．a =﹣1 b =2 4、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．锐角三角形
5、在首项为21，公比为12
的等比数列中，最接近1的项是（ ） A ．第三项 B ．第四项 C ．第五项 D ．第六项
6、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则10
20a a 等于（ ） A ．32 B ．23 C ．23或32 D ．﹣32或﹣2
3 7、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（ ）
A ．120o
B ．60o
C ．150o
D ．30o 8、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A ．2221a a
B ．2322a a
C ．2423a a
D ．2524a a
9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）
A ．41.1
B ．51.1
C ．610(1.11)⨯-
D ． 511(1.11)⨯-
10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（ ）
A ．2
B ．2-π
C ．4
D ．24-π
二．填空题：
11、在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=
12．函数2lg(12)y x x =+-的定义域是
13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =
14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为
三．解答题：
15、△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且
cos cos 2B b C a c =-+ （1）求∠B 的大小；
（2）若a =4，35=S ，求b 的值。
16、已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列
（1）求通项公式n a
（2）设2n a
n b =，求数列n b 的前n 项和n s
17、已知：ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当)2,3(-∈x 时， 0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈Y x 时，0)(<x f
（1）求)(x f y =的解析式
（2）c 为何值时，02≤++c bx ax 的解集为R.
18、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成。
已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。
（1）若设休闲区的长11A B x =米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？
A
19.已知数列}{n a 中，531=a ，),2(121+-∈≥-=N n n a a n n ，数列}{n b 满足
)(11+∈-
=N n a b n n ； （1） 求证：数列}{n b 是等差数列；
（2） 求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由．
必修5综合测试
1.D;
2.B;
3.B;
4.B;
5.C;
6.C;
7.A;
8.C;
9.D; 10.B;11. 6; 12.{}34x x -<<; 13.
48 ; 14.18; 15.10; 16.5;
17、⑴由cos cos sin cos 2cos 2sin sin B b B
B C a c C A C =-⇒=-++
2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos sin cos cos sin A B B C B C ⇒=--
2sin cos sin()2sin cos sin A B B C A B A ∴=-+⇒=- 1
2
cos ,0,23B B B ππ⇒=-<<∴=又
⑵113
4,53sin 5222a S S ac B c c ====⨯⨯⇒=由有
22223
2cos 1625245612b a c ac B b b =+-⇒=+-⨯⨯⨯⇒=18、⑴由11A B x =，知114000
B C x =
4000
(20)(8)S x x =++80000
41608(0)x x x =++>
⑵80000
80000
41608416085760S x x x x =++≥+=g
当且仅当80000
8100x x x ==即时取等号
∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米.
19、⑴(1)3,(2)6f f ==
当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点
当2x =时，
y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点 ∴()23f n n n n =+= ⑵()(1)9(1)22n n n f n f n n n T ++== 119(1)(2)
229(1)22n n n n
n n T n n n T n
+++++⇒==+ 当1,2n =时，1n n T T +≥
当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒<
∴1n =时，19T =
2,3n =时，23272
T T == 4n ≥时，3n T T <
∴{}n T 中的最大值为23272
T T == 要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，只需
272m ≤∴272m ≥。