北师大版九年级数学下册圆的对称性PPT课件(4篇)
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新北师大版九年级数学下册《圆的对称性》优质教学课件
课堂练习 1.如图，在⊙O中， AB = AC , ∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵ AB = AC
A
O·
B
C
∴ AB=AC， △ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心 角、弦灵活转化是解题的关键.
新知讲解
等对等定理
同圆或等圆中，两个 圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心 角所对的弦中如果有 一组量相等，它们所 对应的其余各组量也 相等。
B
α
A
Oα
A1
B1
新知讲解
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
拓展提高
如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边 分别交于点 A，B和C，D，求证：AB=CD.
证明：作OM⊥APO NPO
OM AB
OM
ON
ON CD
AB CD.
拓展提高
2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD． （1）求证：OC∥BD； （2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定 四边形OBDC的形状．
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的 图形重合. 圆具有旋转不变性
新知讲解 探究三：圆心角、弧、弦之间的关系
B A
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. ∠AOB ∠COD
O C
北师大版数学九年级下册圆的对称性课件
教学过程
10
记一记
通过探究，我们进一步得出同圆或等圆中圆心角、
新 弧、弦、弦心距之间关系.
知 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么
新 它们所对应的其余各组量都分别相等
授
O
O'
A
C
B
A' C' B'
教学过程
11
记一记
同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的
教学过程
8
议一议
在等圆⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB和
新 ∠A'O'B'，视察两个圆的重叠情况，你有什么发现？.
知
O
O'
新
ACΒιβλιοθήκη BA' C' B'
授 在等圆⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB=∠A'O'B'时，
它们所对的弦A⌒B=A⌒’B’吗？AB=A’B’吗？它们所对的
弦心距OC=O’C’吗？.
教学过程
9
记一记
通过上面的探究，我们可以得出同圆或等圆中圆心
新 角、弧、弦、弦心距之间关系. 知 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
新 注意：两个圆心角、两条弧、两条弦、两 授 个弦心距相等的前提是“在同圆或等圆中”。
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两 条弧、两条弦、两个弦心距中任意一组量 相等，其余的各组量也相等吗？
C. BC+BD> AB D. S△ABC＞S△DBC
D O
A
B C
教学过程
初中数学北师版九年级下册3.2圆的对称性公开课优质课课件.ppt
抢答题
1.等弦所对的弧相等.
（× ）
2.等弧所对的弦相等.
（√ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( × )
三 关系定理及推论的运用
典例精析
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点， 且⌒AD=C⌒E.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE， ∴A⌒D=B⌒E. 又∵A⌒D=C⌒E， ∴⌒BE=C⌒E.
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第三章 圆
3.2 圆的对称性
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不 变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决 相关问题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆 或等圆”条件的意义.（难点）
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
的关系是（ A）
A. A⌒B=2⌒CD
⌒⌒ B. AB>CD
C. A⌒B<C⌒D
D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
能力提升：
我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则 C⌒D=2A⌒B，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明理由；
若不成立，那它们之间的关系又是什么？
解：CD=2AB不成立.理由如下： 取 CD的中点E,连接OE，CE，DE. 那么∠AOB=∠COE=∠DOE, 所以弦AB=CE=DE, 在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
3.2 圆的对称性 课件(共14张PPT) 北师大版九年级下册数学
合作探究
如图，弦DC、FE的延长线交于☉O外一点P，直线
PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件:
DC＝FE(答案不唯一，符合要求即可) ，使∠1＝∠2.
合作探究
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，在☉O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为
的中点，AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说
明理由.
A.①和②
B.① 和③
C.①和④
D.①、②、③、④
合作探究
如图，AB、CD、EF都是☉O的直径，且∠1＝∠2＝
∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
合作探究
解:弦AC、EB、DF相等.理由如下:因为∠AOC＝∠1，
∠BOE＝∠2，∠DOF＝∠3，而∠1＝∠2＝∠3，所以∠AOC＝
∠BOE＝∠DOF.即弦AC、EB、DF相等.
预习导学
圆心角、弧、弦之间的相等关系定理
阅读教材本课时“做一做”及后面的内容，思考下列问题.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 .
预习导学
·导学建议·
1.对知识点一中圆的制作让学生在上课前制作好，教师也可
提前做好相应的准备.有条件的话还可以制作一个微课.
B.圆不仅是特殊的轴对称图形，也是特殊的中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57'时，不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
合作探究
下列命题中，正确的是( C )
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧
也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，
北师大版九年级数学下册：3.2 圆的对称性 课件(共13张PPT)
径.
CB
.O
D
1.在两张透明的硬塑料纸上分别作两个半径相等的⊙O与 ⊙ O1,使两圆重合，将圆心固定，将上面的圆任意旋转一 个角度，这两个圆还重合吗？说明什么问题？
关于点O对称，是中心对称图形 2.在两张透明的硬塑料纸上分别作两个半径相等的⊙O与 ⊙ O1,在两圆上(同方向）分别做相等的圆心角∠AOB与 ∠COD，转动一圆使OA与OC重合，观察OB与OD的关系？你 能发现哪些等量关系?说明什么问题？
1.什么是轴对称图形？举例说说我们学过哪些轴对称图 形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互 相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等 腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2.我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的 对称轴。
3. 什么是弦？什么是弧？什么是直径？
2圆.于如C图，，D已，知E,⊙F,且o1C和F交⊙oo12o是2 等于圆点，M直，线CDC=FE顺F,次O1交M与这O两2M个
相等吗？为什么？
C
D
O1
ME
O2
F
3.如图，已知⊙O中的半径OA=15cm，弦BC∥OA,BC=24cm, 求AC的长.
O A
B C
4.如图，已知AB,AC,BC都是⊙O的弦，且∠AOB= ∠ BOC, 求证:(1) ∠BAC= ∠BCA,(2) ∠ABO= ∠CBO.
OE⊥AB,OF⊥
CD，垂足分别为E、F
（1）如果∠AOB= ∠ COD,那么OE与OF
大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF,那么AB与CD的大小有
什么关系？AB与CD的大小有什么关系？
为什么？ ∠AOB与∠ COD呢？
北师大版九年级数学下册圆的对称性课件(共18张PPT)
用旋转的方法即可解决这个问题.
读一读
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作A⌒B ,读作“弧 A连B”接. 圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
B
做半圆(如弧ABC). ⌒
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
E B
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
●O
如果是,它的对称中心是什么?你 能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个问题的?
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
●O
它的对称中心就是圆心.
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
北师大版九年级数学下册第三章《 圆的对称性》优课件(共8张PPT)
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏
⌒ ⌒A′ D′ B′
②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
5
拓展与深化
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
随堂练习
7
化心动为行动
• 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点⌒AB,
试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
第三章 圆
• 2 圆的对称性
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B
●O
D
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
┗●
B
M
●O
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
●O
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
5.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
8cm，那么OM长为（ ）A．3 B．6cm C．41 cm D．9cm
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
例1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，
已知CD = 20，CM = 4，求AB。
C
A
M └
B
O
D
注意： 在解决类似问题时常常先作出ＯM，AO， 再用到垂径定理和勾股定理
垂径定理三角形
的动点，则OM的长的取值范围是（ A ）
A．3≤OM≤5 C．3<OM<5
B．4≤OM≤5 D．4<OM<5
．O
AM
B
5、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，
则AB和CD的距离为
2．或14
A
6、如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，
ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
求证：PO平分∠BPD
若把上题改为：P
B
C 是⊙O内一点，
E
直线APB，CPD
A 分别交⊙O于A、
P O
F
B和C、D，已知 AB=CD，
结论还成立吗？
D
平分弦所对的弧 已知AB如图⌒，用直尺和圆规求作这条弧的中点。
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦
E
A AB的直径.而这条直径应在弦AB
的垂直平分线上.因此画AB的垂直
在这里的运用.
九年级下册
第三章
2.圆的对称性
2.圆的对c称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？
12，CD＝16，且AB∥CD．求 AB与CD之间的距离．
分析：本题目属于 “图形不明确型” 题 目，应分类求 解． (如右图)
B
E O
A
在同圆或等圆中
两个圆心角 两条弧 D 两条弦
F 两条弦的弦 心距
有一组量相等
C 它们所对应的 其余各组量都 分别相等
A E
P
B
O F
D
C 例3：如图，P是 ⊙O外一点，射 线PAB，PCD分 别交⊙O于A、B 和C、D，已知 AB=CD，
，ACB=6cm
，CD=1cm.
求⊙O的半径. O
10
A
D1
33
B
A
C 16
B
O
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键;
●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
M ．N O
B
C
课堂练习：
1、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
O
OA = 5，则AC = 4 ，OC = 3 。
┏
A 5C
B
2、在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
8
OA = 10，则∠OCA = 90 °，OC = 6 。
7、已知：如图，⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，OC
交AB于D
圆的对称性
-----垂径定理的应用
垂径定理三种语言
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B ∴AM=BM,
●O
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径（过圆心）,② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
C
m
E
F
A
n
G
B
D
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？
方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
条弦的垂直平分线，A
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
圆 破镜重mn NhomakorabeaC
A
B
·O
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
例4、如图，已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC， D为求垂证足：，⌒CEA=EB⌒平E 分∠OAD交⊙O于E，
B
平分线就能把⌒AB平分.
作法:
1.连结AB;
2.作AB的垂直平分线CD,交⌒AB与点E; ∴点E就是所求A⌒B的中点.
变式一： 求弧AB的四等分点．
Ｅ
C
G
错在哪里？
Ｍ
Ｎ
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD
A
2．作AT、BT的垂直平分线 EF、GH
F
Ｔ
B
DＨ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂
直平分线．
变式一： 求弧AB的四等分点．
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6.
DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
3.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为
直径，则下列结论不正确的是（ ）
A、A⌒C=A⌒D B、⌒BC=⌒BD
C
C、AM=OM D、CM=DM
A
C M└
D
4.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B23的,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
O
E
A
B
D
推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
C A
M
D
B O
N
例2在 ⊙O半径为10，弦AB＝
A
A
O
B
O D
C
B
DC
E
E
拓展延伸：船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高 出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高 出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座 拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根