弹性力学--纳维解法(板壳理论)
板壳理论-14章
z
z
dz
z
zt 2 zt 2
0
q
q
郑州大学
板壳理论
§ 14.7伽辽金法
zx
2
E
1 m2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 m2
z2
t2 4
y
2w
t t
2 2
zx
x
zy
y
dz
t2
E
t 2 2 1 m 2
z2
t2 4
4
wdz
E
2 1 m2
b
1
cos
x
a
dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
D 4wwmdxdy
C11
L
1
cos
y
b
1
cos
x
a
dxdy
4DC11
a 0
b 0
a
4
cos
x
a
1
cos
y
b
2
1
cos
x
a
b
4
cos
y
b
1
cos
y
b
1
cos
x
2
y2 b2 dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
进一步得到挠度为
w 7q0 x2 a2 2 y2 b2 2
128
a4
b4
4 7
a2b2
D
如果b=a，则
w
49q0a4 2304D
1
x2 a2
2
1
y2 a2
2
精确解
文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k qD w wD D∇+=此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即（2）将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w wD D∇+=中，即得002242224sin sin()a bmnm x n yq dxdyab a bAm nD ka bπππ=++⎰⎰（3）当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于Fdxdy以外，在其余各处都等于零。
22421122sin sin4sin sin()m nm nF m x n ya bwm nab a bD ka bπξπηπππ∞∞===++∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示00114sin sin sin sina bm nm x n y m x n yq q dxdyab a b a bππππ∞∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰解得max 3.092e w =-方法2——差分法2.1网格（4*4）差分法用4*4网格求解4a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
第二章板壳理论
第二章 薄板小挠度弯曲的变分方程及近似 解法
薄板小挠度弯曲的变分方程
Ritz法
Ritz法的应用举例 Galerkin法 Galerkin法的应用举例
§2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程
建立薄板小挠度弯曲问题的变分方程，用变分法推导弹性力学问题的基本 方程和边界条件，并在此基础上发展一系列的近似解法，是解决弹性力学 问题的一个重要途径。 薄板小挠度弯曲问题的变形能与余变形能 – 弹性体每单位体积变形能增量为：
W W M x x M y y 2M xy xy
板的余变形能密度增量为：
dW e x dM x y dM y 2 xy dM xy
§ 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程
板的余应变能密度应满足：
W e W e W e dW e dM x dM y dM xy M x M y M xy 所以有： W e W e 1 W e x , y , xy M x M y 2 M xy
o k o l
Sf Vn Vn w ds Rl Rl w l 1 wo 的任意性，真 真实解应使： 0，由于变分 wo , n 实解w应满足： Qx Qy q 0 在A域内 x y M n M n， Vn Vn 在S f 上
2
2 w 2 2 w 2 w 2 D 2 D (w)2 2(1 ) W x y 2 1 xy x y 2 2 2 2 xy x y 把内力分量 M x、 y 和 M xy看成是自变量，板的余变形能密度 M 满足： e
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
弹性力学--纳维解法(板壳理论)
板壳理论课程设计对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
然而，它们之间还存在着一些不同。
材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。
而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。
至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。
在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的从8主要是研0.1m均布载荷为q=得到结果如下：纳维解法四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为把挠度表示为如下的重三角级数：代入弹性曲面的微分方程，得A，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即为求出系数mn得到与(b)式对比，得当薄板受到均布载荷时，q 成为0q ，则式(d)积分成为则得到：对挠度表达式的后部运用Matlab 进行编程迭代，在确定收敛之后，可以得到：厚度为0.2m 时：● 其中，◆ 差分方程： 化简后得：改为矩阵形式，为： 得到：厚度为0.2m 时： 厚度为0.1m 时： 厚度为0.05m 时： 厚度为0.01m 时：● 有限元法厚度为0.2m时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移创建3D实体，得到在中心点有最大位移：厚度为0.1m时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 厚度为0.05m时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移创建3D实体，得到在中心点有最大位移：厚度为0.01m时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移创建3D实体，得到在中心点有最大位移：●。
板壳理论
A 型 无过渡圆弧
B 型
有过渡圆弧
11
2.3
与圆柱壳相连接的平封头的设计方法简介
2.3.1 平封头的结构形式与通常采用的设计公式
平封头厚度设计公式： K－ 结构特征系数
t =D(Kp/[])1/2，
[] =Kp (D/t)2
K (无过渡圆弧) ASME VIII-1 GB 150 BS AD 法 0.5 s0/s 且 0.3 0.44 s0/s 且 0.2 0.17~1.2 (与s0/s有关) 0.1225~0.2025 0.25
=
p
M0 Q0
p
弹性分析准则
Pm Sm
校核点 壳体常规设计控制
平封头厚度设计公式： t =D(Kp/[])1/2
Pm+ Pb 1.5 Sm
P + Q 3.0 Sm
板中心
与板相联的壳内壁
= Kp (D/t)2 []
K－ 结构特征系数
0.155< K < 0.309 (0.125)<K <(0.206) K < 0.5 s0/s (壳上)
相关联的流动法则；(3)几何关系与破损机构条件
平衡条件
d dMr d (r ) ( M r M ) pr 0 dr dr dr
Tresca 屈服条件
屈服条件与相关联的流动法则
弹性极限弯矩 Me= sh2/6
塑性极限弯矩 Ms= sh2/4 = 1.5Me - s
s
- s
M
Ty i Mxy
Ny n Txy My
Nx Tx
j
Mxy
弯矩
Nm/m
Mx
h / 2
h/ 2
板壳理论讲义第13章2
C3 a C4 0 2 1 DC3 M
2
M C3 2 1 D Ma 2 C 4 2 1 D
边界条件绕 z 轴对称 载荷绕 z 轴对称 几何上对称
q r
w w r ：说明弹性曲面是绕 z 轴对称的
2．轴对称弹性曲面微分方程：
第十三章
经典薄板小挠度理论
D 2 2 w q r
设 w w w* r 求通解 w ：
2 1 2 2 r r r
w
3 q0a2 r 2 q0a4 5 q0r 4 q0a4 1 r 2 5 r 2 32 1 D 64D 1 64D 64D a2 1 a2
2 2 qa r M 0 3 1 3 2 16 a
第十三章
经典薄板小挠度理论
§13－8 圆形薄板的弯曲 1．坐标变换（本节自修，与学生互动） ： w w r w w sin w cos x r x x r r w w r w w cos w sin y r y y r r
w1 w2
问题补充：对于方板受不连续载荷的提法
第十三章
经典薄板小挠度理论
§13－10 轴对称弯曲问题的实例 1．无孔圆板受均布载荷： 对均布荷载 q0 ，取特解为 w1 B0 r 4
B0 q0 64 D q0 r 4 64 D
w C1 ln r C2 r 2 ln r C3r 2 C4
y x=rcos , y=rsin , r 2 x 2 y 2 , tg x r x sin cos cos , r y sin , y , 2 y r x r r y r x r
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
(1.4.11)
Vx Qx
[练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但 是集中反力是存在的，其大小为
2w 2 D(1 )x RB 2 D(1 ) xy ab B
(1.4.12)
可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难 看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A 和C点则受有同样大小的向上的反力。 [练习]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
弹性力学--纳维解法板壳理论)
板壳理论课程设计对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
然而，它们之间还存在着一些不同。
材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。
而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。
至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。
在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。
从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。
到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。
求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。
另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。
差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。
在课程设计的过程中，在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。
除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。
尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。
在计算过程中，先是采用厚度0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。
两种厚度的薄板都进行了同样的计算。
四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：110.1⨯⨯ ，均布载荷为21000/q N m = ，弹性模量E=205GPa ，泊松比=0.3μ， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论
结构分析方法：研究更精确、高效的数值模拟方法，对板壳结构进行应力分析、振动分析和稳定性分析。
实验研究：通过实验手段，对板壳结构进行加载测试、疲劳测试和耐久性测试，验证理论分析的准确性。
汇报人：
安全可靠：实验设计应确保实验过程的安全性和可靠性，避免意外事故的发生
重复性：实验设计应具有重复性，以便验证实验结果的可靠性和可重复性
实验数据的处理与分析
实验数据的收集与整理
实验数据的分析技巧
实验结果的可视化展示
实验数据的处理方法
实验结果与理论预测的比较
实验结果：通过实验测量板壳理论的各项参数，如弹性模量、泊松比等，并记录实验数据。
核工程领域
电子工程领域
建筑与桥梁领域
机械工程领域
航空航天领域
船舶与海洋工程领域
弹性薄板的基本假设
弹性薄板在弯曲时，其材料性质不变
弹性薄板在弯曲时，其边界条件不变
弹性薄板在弯曲时，其厚度不变
弹性薄板在弯曲时，其长度和宽度不变
弹性薄板的弯曲方程
弹性薄板的基本假设
弹性薄板的弯曲方程推导
弹性薄板弯曲方程的意义和应用
是工程结构分析中的重要理论之一
适用于分析细长比大于10的薄板结构
主要研究板和壳的变形及内力分布规律
பைடு நூலகம்
板壳理论是弹性力学的一个分支
板壳理论的发展历程
早期发展：板壳理论的起源和基本概念
中期发展：板壳理论的完善和应用
近期发展：板壳理论的现代研究和应用
未来展望：板壳理论的未来发展趋势和挑战
板壳理论的应用领域
理论预测：根据板壳理论建立数学模型，对实验结果进行预测，并与实验结果进行比较。
文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论
板壳理论课程设计第一部分 学习心得第二部分文克勒地基上的基础板解题法题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。
取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k =，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法当并无支座沉陷时，其边界条件为200222200222()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0,()0.x x x a x a y y y by b w w x w w xww y w w y========∂==∂∂==∂∂==∂∂==∂ 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：11sin sin mn m n m x n yw A a b ππ∞∞===∑∑（1）其中的m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。
在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程oX须改变成为4k q D w w D D∇+= 此时，将荷载q 也展为同一形式的级数，即（2） 将式（1）和式（2）代入微分方程4k qD w w D D∇+=中，即得 002242224sin sin ()a b mnm x n yq dxdy ab a b A m nD ka bπππ=++⎰⎰（3） 当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以得到当薄板在任意一点(),ξη受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q ，于是除了在(),ξη处的微分面积上等于F dxdy以外，在其余各处都等于零。
《板壳理论》课程教学大纲
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
力学
（教研组）
程昌钧（签名）
2000年10月22日
系
审核
意见
力学
（系）
徐凯宇（签名）
2001年07月06日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
（四）薄板的自由振动，简支矩形板的自由振动，圆薄板的自由振动（4学时）
（五）能量法术自振频率及例，薄板的受迫振动，小结（4学时）
（六）薄板的压曲问题，简支矩形板在均匀压力作用下的压曲（4学时）
（七）圆板的压曲，能量法求压曲问题的临界载荷，小结（4学时）
（八）薄板大绕度问题的基本假设及边值问题的建立，变分原理及应用（4学时）
教学要求：
本课程可增加一些课堂讨论，提高学生的自学能力。
课
程
内
容及Biblioteka 学时分配
（一）薄板小绕度问题的基本假设,绕曲微分方程的建立,边界条件的提法(3学时)
（二）简支矩形板的纳维解法，矩形薄板的李维解法及一般解法（包括广义简支边的概念）（3学时）
（二）圆薄板的弯曲问题及求解，薄板小绕度问题的变分方法及伽辽金方法、小结（4学时）
5.首选教材：《弹性力学（下）》徐芝纶高教出版社1994（第三版）
二选教材：
参考书目：
6.考核形式：考试与读报告相结合（70%+30%=100%）
7.教学环境：课堂
课
程
教
学
目
的
及
要
求
教学目的：
本课程属于应用力学的范围，目的是使学生在连续介质力学（一）和弹性力学的基础上，用所学过的知识解决工程实际中的某些问题，着重于建模与方法的介绍。要求学生掌握工程中几类重要问题的建模和求解，包括薄板的小绕度理论及应用、薄板的自由振动、薄板的压曲、薄板的大绕度理论及应用、变分法在薄板中的应用、求解薄板问题的若干近代方法等。同时，了解薄壳小绕理论的有关基本内容。
弹性力学发展史及实际中的解题方法
弹性力学弹性力学简介elasticity弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。
英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。
牛顿于1687年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。
在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。
这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。
到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。
这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。
同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。
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板壳理论课程设计对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
然而，它们之间还存在着一些不同。
材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。
而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。
至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。
在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。
从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。
到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。
求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。
另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。
差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。
在课程设计的过程中，在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。
除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。
尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。
在计算过程中，先是采用厚度0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。
两种厚度的薄板都进行了同样的计算。
四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：110.1⨯⨯ ，均布载荷为21000/q N m = ，弹性模量E=205GPa ，泊松比=0.3μ， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。
得到结果如下：纳维解法四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为()()()()000,0,0,0,x x a y y b w w w w ======== 22022220220,0,0,0.x x a y y bw x w x w y w y ====⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭把挠度表示为如下的重三角级数：11sinsin mn m n m x n yw A a bππ∞∞===∑∑()a代入弹性曲面的微分方程，得22242211sin sin mn m n m n m x n y D A q a b a b πππ∞∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑ ()b为求出系数mn A ，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即11sinsin mn m n m x n yq C a bππ∞∞===∑∑ ()c 得到1sin d sin 2ain n m x a n yq x C a bππ∞==∑⎰sinsin d d 4a bij m x n y abq x y C a b ππ=⎰⎰与(b)式对比，得2224224sinsin d d abmn m x n yq x y a b A m n abD ab πππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()d 当薄板受到均布载荷时，q 成为0q ，则式(d)积分成为()()00000002sinsin d d sin d sin d 1cos 1cos aba b m x n yq x y a b m x n y q x y a b q ab m n mnπππππππ==--⎰⎰⎰⎰则得到：26221,3,5,1,3,5,22sinsin 16m n m x n yq a b w D m n mn ab πππ∞∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑对挠度表达式的后部运用Matlab 进行编程迭代，在确定收敛之后，可以得到：厚度为0.2m 时： 2.7053e-08w =厚度为0.1m 时： 2.1642e-07w =厚度为0.05m 时：1.73106w e =- 厚度为0.01m 时：2.1638e-04w =● 差分法4*4网格划分：差分方程：0001232312223213333444444208(4)2(4)0208(2)2(2)()208(2)2()()()()()q a D q a D q a D w w w w w w w w w w w w w w w w -++=-+++-=-++-+-= 化简后得：00123123123444444203288241621620()()()q a D q a Dq a Dw w w w w w w w w -+=-+-=-+=其中，()32121E D δμ=- 化为矩阵形式：140232032818241614216201w q a w D w -⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎢⎥--=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎣⎦ 得到结果：厚度为0.2m 时：1230.26821.0e-070.19510.1422w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦厚度为0.1m 时：1230.21461.0e-060.15610.1138w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 厚度为0.05m 时：123 0.17171.0e-05 0.1248 0.0910w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 厚度为0.01m 时：1230.21461.0e-030.15610.1138w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦◆ 8*8网格划分： 差分方程：4012344023********032516438404527381653208(4)2(4)48208(2)2(22)(2)8208(22)2(2)(22)8208(2)2(22)(20)8208(q a w w w w D q a w w w w w w w w w D q a w w w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-+++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-+++++++= ⎪⎝⎭-404862579259406593810440784529740859********)2()(0)8208(22)2(2)(2)08208(2)2(2)(2)8208()2()()8q a w w w w w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w w w w D ⎛⎫+++++++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++++-= ⎪⎝⎭⎛⎫-+++++++-= ⎪⎝⎭4096810595794010********(0)2()()8208(2)2()(22)8q a w w w w w w w w w D q a w w w w w D ⎛⎫-+++++++-= ⎪⎝⎭⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭化简后得：4012344012345740123456840123456782342032840000008825168600008216224162020088420162840080388q a w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w w ⎛⎫-++++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-+--++++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++-+++++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++-+-+++= ⎪⎝⎭+--+4056789403456894024578940345678910567823828308002216200416080084019162080028282088000038819q a w w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w w w ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭⎛⎫+++-+++-+= ⎪⎝⎭⎛⎫++-+++-++= ⎪⎝⎭⎛⎫+++-+-+-+= ⎪⎝⎭++++-+-+409104068910880000020216188q a w w D q a w w w w D ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫+++++++--= ⎪⎝⎭改为矩阵形式，为：20 -32 8 4 0 0 0 0 0 0 -8 25 -16 -8 6 0 1 0 0 0 2 -16 22 4 -16 2 0 2 0 0 1 -8 4 20 -16 2 -8 4 0 0 0 3 -8 -8 23 -8 2 -8 3 0 0 0 2 2 -16 20 0 4 -16 2 0 1 0 -8 4 0 19 -16 2 0 0 0 1 2 -8 2 -8 20 -8 1 0 0 0 0 3 -8 1 -8 21 -8 0 0 0 0 0 2 0 2 -16 18⎡123445067891011111181111w w w w w q a w D w w w w ⎧⎫⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎛⎫=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 得到：厚度为0.2m 时：12345678910 0.2700 0.2511 0.2335 0.1956 0.1820 1.0e-07 0.1421 0.1083 0.1009 0.0790 0.0441w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭厚度为0.1m 时：12345678910 0.2160 0.2008 0.1868 0.1565 0.1456 1.0e-06 0.1137 0.0867 0.0807 0.0632 0.0353w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭厚度为0.05m 时：123456789100.17280.16070.14940.12520.1165 1.0e-050.09100.06930.06460.05060.0282w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭厚度为0.01m 时：123456789100.21600.20080.18680.15650.1456 1.0e-030.11370.08670.08070.06320.0353w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭ ● 有限元法厚度为0.2m 时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移max 3.6788w e =-创建3D 实体，得到在中心点有最大位移：max 5.4628w e =-厚度为0.1m 时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移max 2.4437w e =-厚度为0.05m 时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移max 2.4054w e =-创建3D 实体，得到在中心点有最大位移：max 2.1664w e =-厚度为0.01m时：创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移max 2.4054w e=-创建3D实体，得到在中心点有最大位移：max 2.1664w e=-●结果对比厚度为0.2m时：厚度为0.1m时：厚度为0.05m时：厚度为0.01m时：。