弹性力学--纳维解法(板壳理论)

板壳理论课程设计
对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。

然而，它们之间还存在着一些不同。

材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。

而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。

结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。

至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。

在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。

从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。

到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。

求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。

另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。

差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。

在课程设计的过程中，在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。

除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。

尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。

在计算过程中，先是采用厚度0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。

两种厚度的薄板都进行了同样的计算。

四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：
110.1⨯⨯ ，均布载荷为2
1000/q N m = ，弹性模量E=205GPa ，
泊松比=0.3μ， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。

得到结果如下：
纳维解法
四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为
()()()()000,0,0,0,
x x a y y b w w w w ======== 220222
20220,0,0,0.x x a y y b
w x w x w y w y ====⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫
∂= ⎪∂⎝⎭
把挠度表示为如下的重三角级数：
11sin
sin mn m n m x n y
w A a b
ππ∞
∞
===∑∑
()a
代入弹性曲面的微分方程，得
2
224
2211sin sin mn m n m n m x n y D A q a b a b πππ∞
∞
==⎛⎫+= ⎪⎝⎭
∑∑ ()b
为求出系数mn A ，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即
11sin
sin mn m n m x n y
q C a b
ππ∞
∞
===∑∑ ()c 得到
1sin d sin 2a
in n m x a n y
q x C a b
ππ∞==∑⎰
sin
sin d d 4
a b
ij m x n y ab
q x y C a b ππ=⎰⎰
与(b)式对比，得
2224224sin
sin d d a
b
mn m x n y
q x y a b A m n abD a
b πππ=
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭⎰
⎰ ()d 当薄板受到均布载荷时，q 成为0q ，则式(d)积分成为
()()000
00002sin
sin d d sin d sin d 1cos 1cos a
b
a b m x n y
q x y a b m x n y q x y a b q ab m n mn
πππππππ==--⎰⎰⎰⎰
则得到：
2
6221,3,5,
1,3,5,
22sin
sin 16m n m x n y
q a b w D m n mn a
b πππ∞
∞
===
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭∑∑
对挠度表达式的后部运用Matlab 进行编程迭代，在确定收敛之后，可以得
到：
厚度为0.2m 时： 2.7053e-08w =
厚度为0.1m 时： 2.1642e-07w =
厚度为0.05m 时：
1.73106w e =- 厚度为0.01m 时：
2.1638e-04w =
● 差分法
4*4网格划分：
差分方程：
000123231222321333344
4
4
4
4
208(4)2(4)0208(2)2(2)()208(2)2()()()
()
()
q a D q a D q a D w w w w w w w w w w w w w w w w -++=
-+++-=
-++-+-= 化简后得：
00
123123123444444
203288241621620()()()q a D q a D
q a D
w w w w w w w w w -+=
-+-=-+=
其中，
()
3
2
121E D δμ=- 化为矩阵形式：
140232032818241614216201w q a w D w -⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎢⎥
--=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎣
⎦ 得到结果：
厚度为0.2m 时：
1230.26821.0e-070.19510.1422w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣
⎦
厚度为0.1m 时：
1230.21461.0e-060.15610.1138w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣
⎦ 厚度为0.05m 时：
123 0.17171.0e-05 0.1248 0.0910w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣
⎦ 厚度为0.01m 时：
1230.21461.0e-030.15610.1138w w w ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣
⎦
◆ 8*8网格划分： 差分方程：
4
012344
023********
0325164384
04527381653208(4)2(4)48208(2)2(22)(2)8208(22)2(2)(22)8208(2)2(22)(20)8208(q a w w w w D q a w w w w w w w w w D q a w w w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w ⎛⎫
-++= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-+++++++= ⎪
⎝⎭⎛⎫
-++++++= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-+++++++= ⎪
⎝⎭
-4
048625792594
0659381044
078452974
0859********)2()(0)8208(22)2(2)(2)08208(2)2(2)(2)8208()2()()8q a w w w w w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w w w w D ⎛⎫
+++++++++++= ⎪
⎝⎭⎛⎫
-++++++= ⎪
⎝⎭⎛⎫
-++++-= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-+++++++-= ⎪
⎝⎭4
096810595794
010********(0)2()()8208(2)2()(22)8q a w w w w w w w w w D q a w w w w w D ⎛⎫
-+++++++-= ⎪
⎝⎭⎛⎫
-++-= ⎪
⎝⎭
化简后得：
4
012344
01234574
012345684
0123456782342032840000008825168600008216224162020088420162840080388q a w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w w ⎛⎫
-++++++++= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-+--++++++= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-++-+++++= ⎪
⎝⎭⎛⎫
-++-+-+++= ⎪
⎝⎭+--+4
0567894
03456894
02457894
0345678910567823828308002216200416080084019162080028282088000038819q a w w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w D q a w w w w w w w w D w w w w ⎛⎫
-+-++= ⎪
⎝⎭⎛⎫
+++-+++-+= ⎪
⎝⎭⎛⎫
++-+++-++= ⎪
⎝⎭
⎛⎫
+++-+-+-+= ⎪
⎝⎭++++-+-+4
09104
068910880000020216188q a w w D q a w w w w D ⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭⎛⎫
+++++++--= ⎪
⎝⎭
改为矩阵形式，为：
20 -32 8 4 0 0 0 0 0 0 -8 25 -16 -8 6 0 1 0 0 0 2 -16 22 4 -16 2 0 2 0 0 1 -8 4 20 -16 2 -8 4 0 0 0 3 -8 -8 23 -8 2 -8 3 0 0 0 2 2 -16 20 0 4 -16 2 0 1 0 -8 4 0 19 -16 2 0 0 0 1 2 -8 2 -8 20 -8 1 0 0 0 0 3 -8 1 -8 21 -8 0 0 0 0 0 2 0 2 -16 18⎡123445067
89
1011111181111w w w w w q a w D w w w w ⎧⎫⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎛⎫=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦
⎩⎭ 得到：
厚度为0.2m 时：
12345678910 0.2700 0.2511 0.2335 0.1956 0.1820 1.0e-07 0.1421 0.1083 0.1009 0.0790 0.0441w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
厚度为0.1m 时：
12345678910 0.2160 0.2008 0.1868 0.1565 0.1456 1.0e-06 0.1137 0.0867 0.0807 0.0632 0.0353w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
厚度为0.05m 时：
123456789100.17280.16070.14940.12520.1165 1.0e-050.09100.06930.06460.05060.0282w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
厚度为0.01m 时：
123456789100.21600.20080.18680.15650.1456 1.0e-030.11370.08670.08070.06320.0353w w w w w w w w w w ⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩
⎭ ● 有限元法
厚度为0.2m 时：
创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移
max 3.6788w e =-
创建3D 实体，得到在中心点有最大位移：
max 5.4628w e =-
厚度为0.1m 时：
创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移
max 2.4437w e =-
厚度为0.05m 时：
创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移
max 2.4054w e =-
创建3D 实体，得到在中心点有最大位移：
max 2.1664w e =-
厚度为0.01m时：
创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移
max 2.4054
w e
=-创建3D实体，得到在中心点有最大位移：
max 2.1664
w e
=-
●结果对比
厚度为0.2m时：
厚度为0.1m时：
厚度为0.05m时：
厚度为0.01m时：。