西城学探诊高中数学 2.3.2随机变量的数字特征(三)导学案(无答案)新人教B版选修2-3

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随机变量的数字特征教案

129第四章随机变量的数字特征确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.§1 数学期望1.1 数学期望的概念在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即平均抗拉强度1(110120212531302135140)10=+⨯+⨯+⨯++⨯123211110120125130135140101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 126=.从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X ，其可能取值为12,,,n x x x ，如果将这n 个数相加后除n 作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.经以上分析，我们可以给出离散型随机变量数学期望的一般定义.1.离散型随机变量的数学期望130定义 1.1 设X 为一离散型随机变量，其分布律为{}k kP X x p ==（1,2,k = ），若级数1kk k xp ∞=∑绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值.记为()E X ，即1()kk k E X xp ∞==∑ （1.1）例 1.2. 某人从n 把钥匙中任取一把去试房门，打不开则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中只有一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望.解设试开次数为X ，则分布律为1{},1,2,,P X k k n n=== ，从而111(1)1()22nk n n n E X k n n =++=⋅=⋅=∑. 例1.3 设随机变量(,)X B n p ，求()E X .解因为{}C (1)k kn k k n p P X k p p -===- (0,1,,)k n = ，11!()C (1)(1)(1)!()!nnnkkn kk n k k nk k k n E X kp k p p p p k n k --=====-=---∑∑∑11(1)11(1)!(1)(1)![1(1)]![(1)]nk n k k n n np p p k n k np p p np----=--=-----=+-=∑例1.4 设随机变量()X P λ ，求()E X . 解因为()X P λ ，有131{}!kP X k e k λλ-==0,1,2,,k = （）因此11()!(1)!kk k k E X eee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---=====⋅=-∑∑.我们可以类似地给出连续型随机变量数学期望的定义，只要把分布律中的概率k p 改为概率密度()f x ，将求和改为求积分即可.因此，我们有下面的定义.2 . 连续型随机变量的数学期望定义1.2 设X 为一连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若广义积分()d xf x x +∞-∞⎰绝对收敛，则称广义积分()d xf x x +∞-∞⎰的值为连续型随机变量X 的数学期望或均值，记为()E X ，即 ()()d E X xf x x +∞-∞=⎰. （1.2）例1.5 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩，其他，求()E X .解依题意，得，12()()d 2d 3E X xf x x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰. 例1.6 设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，求()E X . 解依题意，X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其他，因此1321()()d d 2baa b E X xf x x x x b a +∞-∞+==⋅=-⎰⎰. 例1.7 设随机变量X 服从λ为参数的指数分布，求()E X . 解依题意， X 的概率密度为e ,0,()0,0x x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，因此1()()d e d x E X xf x x x x λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰.例1.8 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，求()E X .解由于22()2()x f x m s --= ()x -?<+?因此()()d E X xf x x x+∞+∞-∞-∞==⎰⎰2()2d x x m s --22()()ed t x t t t 令m s m s+?--?-==+22e d t t m +?--?==.例1.9 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)12e ,0,0,(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求()E X .解由第三章例3.2的结果关于X 的边缘概率密度为33e ,0,()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，133即(3)X E ,因此1()3E X =. 1.2 随机变量函数的数学期望定理1.1 设随机变量Y 是随机变量X 的函数， ()Y g X =（其中g 为一元连续函数）.（1）X 是离散型随机变量，概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k = ，则当无穷级数1()kkk g x p∞=∑绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑; （1.3）（2）X 是连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则当广义积分()()d g x f x x +?-?ò绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为()[()]()()d E Y E g X g x f x x +∞-∞==⎰.（1.4）这一定理的重要意义在于，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，无需求Y 的分布，这给我们计算随机变量函数的数学期望提供了极大的方便.定理的证明超出了本书的范围，下面我们仅就连续型随机变量，且()Y g X =单调的情形给出证明.证明第二章定理4.2给出了随机变量Y 的概率密度[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ⎧⎪⎨⎪⎩'<<=，其他.其中)(x f X 为随机变量X 概率密度，函数)(x g y =是处处可导的严格单134调函数，它的反函数为)(y h x =，则有()()d Y E Y yf y y +∞-∞=⎰[()]|()|d X yf f y h y y βα'=⎰.当()0h y '>时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα+∞-∞'==⎰⎰，当()0h y '<时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα-∞+∞'=-=-⎰⎰()()d X g x f x x +∞-∞=⎰.例1.10 设离散型随机变量X 的分布律为求随机变量232Y X =-的数学期望.解依题意，可得，22()[3(1)2]0.1(302)0.3E Y =⨯--⨯+⨯-⨯2(312)0.4+⨯-⨯2(322)0.2+⨯-⨯1.9=.例1.11 随机变量X (0,1)N ，求2Y X =的数学期望. 解依题意，可得22()()()d E Y E X x f x x +∞-∞==⎰222d x x x +∞--∞=⎰22dexx+∞--∞=2222e e dx xx x+∞+∞---∞-∞⎛⎫⎪=-⎪⎭⎰22e d1xx+∞--∞==例 1.12 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布，已知每售出1吨商品，可挣得外汇3万元;若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共1万元，问需要组织多少货源，才能使国家受益期望最大？解设组织货源t吨，[2000,4000]tÎ，受益为随机变量Y（单位：万元），按照题意Y是需求X的函数3(),,()3,,X t X X tY g Xt X t当当ì--<ïï==íï³ïîX的概率密度为1,20004000()20000,xf xìïï＃ï=íïïïî其它.由（1.4），得()[()]()()dE Y E g X g x f x x+?-?==ò400020001{[3()]d3d}2000ttx t x x t x=--+蝌21[2140008000000]2000t t=-+-当3500t=时()E Y达到最大值，也就是说组织货源3500吨时国家的期望受益最大.135136例1.13 柯西分布211()1f x x π=+()x -∞<<+∞的数学期望由于21||d (1)x x x π+∞-∞=+∞+⎰，所以不存在.上述的定理可以推广到两个或两个以上随机变量的函数上去，我们有下面的定理.定理 1.2 设随机变量Z 是随机变量(,)X Y 的函数，(,)Z g X Y =,其中g 为二元连续函数，则（1）如果(,)X Y 为二维离散型随机变量,其分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ,1,2,i j = ,且11(,)ijijj i g x y p∞∞==∑∑绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为11()[(,)](,)i j ij j i E Z E g X Y g x y p ∞∞====∑∑；（1.5）（2）如果(,)X Y 为二维连续型随机变量时，概率密度为(,)f x y ,且(,)(,)d d g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为()[(,)](,)(,)d d E Z E g X Y g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞==⎰⎰. （1.6）例1.14 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为137求()E XY 和()E Z ，其中max(,)Z X Y =.解依题意，可得()000.1010.3100.4110.20.2E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=; ()00.110.90.9E Z =⨯+⨯=.例1.15 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他，求（1）()E XY ；（2）2()E X .解（1）由公式（1.6）得，1201()(,)d d d (12)d 2xE XY xy f x y x y x x y y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰, （2）将2X 看成是函数(,)Z g X Y =的特殊情况，从而利用公式（1.6）进行求解，即12222002()(,)d d d 12d 3xE X x f x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.需要说明的是：本题在求解2()E X 时，也可以先求出(,)X Y 关于X 的边缘概率密度，再利用公式22()()d X E X x f x x +∞-∞=⎰，求解2()E X （请读者自行完成）.例 1.16 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，计算经销此商品每周所获得平均利润.解设Z 表示商店每周所获利润，依题意1000,,(,)1000500(),,Y Y X Z g X Y X Y X Y X ì£ïï==íï+->ïî138由于(,)X Y 的概率密度为1,1020,1020(,)1000,xy f x y ，其他，ìïï＃＃ï=íïïïî所以20201010()(,)(,)d d E Z g x y f x y x y =蝌20202010101011d 1000d d 500()d 100100yyyy xyx y x =?+?蝌蝌 202021010310(20)d 5(1050)d 2y y y y y y =-+--蝌 200005150014166.673=+椿（元）. 1.3 数学期望的性质设C 为常数，随机变量X ,Y 的数学期望都存在.关于数学期望有如下性质成立：性质1.则()E X C =；性质2.()()E CX CE X =；性质3.()()()E X Y E X E Y +=+;性质4. 如果随机变量X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 这里只就连续型随机变量的情形对性质3和性质4给出证明，对于离散型随机变量情况，请读者自行完成.证明：设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度为()X f x 和()Y f y ，则有()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰139(,)d d x f x y y x +∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)d d y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.如果X 和Y 相互独立，则(,)f x y =()X f x ()Y f y ，有()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞-∞=⎰()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⋅⎰⎰()E XY =例1.17 设两个随机变量X 和Y ，设2()E X 和2()E Y 都存在，证明： 222[()]()()E XY E X E Y ≤ （1.7）这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy Schwarz -）不等式证明对于任意实数t ，令2()[()]g t E X tY =+ 由数学期望的性质，有2222[()](2)E X tY E X tXY t Y +=++ 222()2()()E X tE XY t E Y =++ 因此 222()()2()()g t E X tE XY t E Y =++由于()0g t ≥，上述关于t 的二次函数的判别式小于或等于0.即 2224[()]4()()0E XY E X E Y ∆=-≤140因此 222[()]()()E XY E X E Y ≤例1.18 设随机变量X 和Y 相互独立，且各自的概率密度为33,0,()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其他， 44,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他，求()E XY .解由性质3得()()()E XY E X E Y =()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⨯⎰⎰3403d 4d xy xe x ye y +∞+∞--=⨯⎰⎰1113412=⨯=. 例1.19 将n 个球随机放入M 个盒子中去，设每个球放入各盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望.解令随机变量1,1,2,,0,i i X i M i ⎧==⎨⎩第个盒子有球，第个盒子无球，显然有 1Mii X X==∑.对于第i 个盒子而言，每只球不放入其中的概率为11M⎛⎫-⎪⎝⎭，n 个球都不放入的概率为11nM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此1{0}1ni P X M ⎛⎫==- ⎪⎝⎭1{1}11n i P X M ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭141由于 1()1{1}0{0}11ni i i E X P X P X M ⎛⎫=⨯=+⨯==-- ⎪⎝⎭由数学期望的性质，可以得到11()()11nMi i E X E X M M =⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.§2 方差2.1 方差及其计算公式数学期望体现了随机变量所有可能取值的平均值，是随机变量最重要的数字特征之一.但在许多问题中只知道这一点是不够的，还需要知道与其数学期望之间的偏离程度.在概率论中，这个偏离程度通常用2{[()]}E X E X -来表示，我们有下面关于方差的定义．定义2.1 设X 为一随机变量，如果随机变量2[()]X E X -的数学期望存在，则称之为X 的方差，记为()D X ，即2{[()]}D X E X E X =-（）（2.1）为随机变量X 的标准差或均方差，记作()X σ . 由定义2.1可知，随机变量X 的方差反应了X 与其数学期望()E X 的偏离程度，如果X 取值集中在()E X 附近，则方差()D X 较小；如果X 取值比较分散，方差()D X 较大.不难看出，方差()D X 实质上是随机变量X 函数2[()]X E X -的数学期望．如果X 是离散型随机变量，其概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k = ，142则有 221{[()]}[()].kk k D X E X E X xE X p ∞==-=-∑（）如果X 连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则有22{[()]}[()]()d .D X E X E X x E X f x x +∞-∞=-=-⎰（）根据数学期望的性质，可得2{[()]}D X E X E X （）=-22{2()[()]}E X X E X E X =-?22()2()()[()]E X E X E X E X =-?22()[()]E X E X =- ．即 22()()[()]D X E X E X =- （2.2）这是计算随机变量方差常用的公式例2.1X 求D X （）.解因为(1)0.100.310.420.20.7EX =-⨯+⨯+⨯+⨯=（）， 22222()(1)0.100.310.420.2 1.3E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=，222()[()] 1.30.70.81D X E X E X =-=-=（）．例2.2 设(,)X B n p ，求D X （）.解 ()E X np =，令1q p =-，143220()C nk k n knk E X k p q -==å 1![(1)]!()!nk n k k n k k k p q k n k -==-+-å22(2)(2)1(1)(2)!(1)(1)!()!nk n k k n n n k p p qk n k ----=--=---å1!(1)!()!nk n k k n p q k n k -=+--å 22(2)(2)2(2)!(1)()(2)!()!nk n k k n n n pp q E X k n k ----=-=-+--å 2(1)n n p np =-+，所以 22222()[()](1)D X E X E X n n p np n p npq （）=-=-+-=．例2.3 设()X P λ ，求D X （）.解 ()E X l =2201e e ()[(1)1]!(1)!k k k k E X k k k k lll l --ゥ====-+-邋 2221ee (2)!(1)!k kk k k k ll l l l -ゥ--==×=??--邋2ll =+所以 22().D X （）ll l l =+-=例2.4 设随机变量X 服从几何分布()X G p ，即 1{},1,2,k P X k pqk -===144其中01,1p q p <<=-，求(),().E X D X解 1111()k k k k E X kpqp kq ∞∞--====∑∑由于1,011k k q q q∞==<<-∑，对此级数逐项求导，得1001d d d d k k k k k k q q kq q q ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑，因此121d 11d 1(1)k k kq q q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑，从而211()(1)E X p q p=⋅=-。

2.3随机变量的数学特征

2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望（缺）教学目标：理解取有限个值的离散型随机变量的数学期望的概念，会求简单离散型随机变量的数学期望，并能根据概念解决一些一些简单问题.教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量的概率分布如下：称这样的随机变量服从二项分布，记作～(，)，其中，为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分在次射击之前，可以根据这个分布列估计次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ k n k k n kn kkn q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 0＋1×111-n n qp C ＋2×222-n n qp C ＋…＋k ×kn k k n qp C -＋…＋n ×q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 011n n C p q --＋2111--n n qp C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q pC ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：根据以上的概率分布，可得ξ的期望.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶的概率分布为所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求Eξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 Eξ =n ×m 1=mn五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×10+1×5+2×10=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=9143.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3)=p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，（1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E2.3.2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

西城学探诊高中数学第二章概率综合导学案3(无答案)新人教B版选修2-3

§2.5.3概率综合——超几何分布学习目标1.根据题意能够识别概率模型。

学习过程【任务一】分析典型例题，总结解题思路例：（2020丰台一模理17）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望．小结：1.模型特点：总数为N的几类元素，其中含某一类元素M个，从中随机选取n个元素，观察这类元素个数情况；2.解题思路：A.根据题意识别超几何分布模型；B.利用超几何分布概率特点计算问题中描述的某个事件的概率。

【任务二】跟踪练习10 15 20 25 30 35 产品数量 0 甲口袋中有大小相同的白球3个，红球5个；乙口袋中有大小相同的白球4个，黑球8个，从两个口袋中各摸出2个球，求：(1)甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率；(2)两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率.【任务三】课后作业（2020崇文一模文16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位．（Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？。

高中数学随机变量的数字特征导学案

2.3学习目标：1. 根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望.2. 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义.3. 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.预习案阅读理解：1.一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是,,......,,21n x x x 这些值对应的概率是,,........,,21n p p p 则_________________________________，叫做这个________ ___________ 或__________________（简称__________）.2. 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的________________________.3. X 服从参数为p 的二点分布:_______________________________)(=X E .X 服从参数为n 和p 的二项分布:_______________________________)(=X E .X 服从服从参数为N,M,n 的超几何分布:___________________________)(=X E .即时练习1：设离散型随机变量X 的分布列为, 求E(X).即时练习2：一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.即时练习3：已知某彩票中心发行彩票，每100 000张设一个奖，奖金为10 000元。

某人购买一张彩票，问这个人能期望得到多少奖金？4.方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S ______________________________ _____ __叫做这组数据的方差5.对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________ 称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 6.标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________.7.若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，_____________________)(=X DX 服从参数为p 的二点分布:_______________________________)(=X D .即时练习4：根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分试比较甲、乙两射手射击水平的高低?谁的射击水平比较稳定？即时练习5：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ探究案1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则()ξE （）A ．4B ．5C ．4.5D ．4.752. 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：kk k C k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X) 和 D(X).3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E(ξ)，D(ξ4.已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差 .A篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．A 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？课堂总结。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3 随机变量的数字特征》

《概率分布列专题》复习课【教学背景分析】1．学情分析学生已基本对选修2-3第二章《随机变量及其分布》中的离散型随机变量的概念，如何求离散型随机变量分布列，二项分布列的概念及其应用、离散型随机变量的均值的概念都有了一定程度的掌握，但对分布列的性质还不能很好的理解和应用，故拟定通过本课加强学生对分布列性质的掌握和应用。

2．教学重点通过分布列计算随机事件的概率； 3．教学难点分析清楚题意，注意和实际生活间的联系。

4．教学方式以学生为主体研究学习模式 5．教学手段多媒体辅助教学手段 6．技术设备事物投影，=)(A P =)(A P =)(B A P =)/(A B P n k =)(X E =)(X D 件，从所有物品中任取n 件（N n ≤），这n 件中所含这类物品件数x 是一个离散型随机变量，当m x =时的概率为==)(m x p （ ,0≤≤m 为n 和M 中较小的一个），称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称x 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布。

期望：=)(X E 4、离散型随机变量分布列：性质：① ② 期望：=)(X E 方差：=)(X D设计意图：让学生回忆及熟练掌握和概率分布列相关的知识点，为接下来做题打好基础。

二、典型例题：例1：一、概率1袋中有标号为1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A B CD2已知一个正方形棱长为1，点A为这个正方形的一个顶点，在这个正方形内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A B C D3掷一颗骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现“，事件B表示”小于5）A B C D4一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 A5同时抛掷5颗骰子重复6次，至少有一次正面全是1点的概率______设计意图：区分古典概型、几何概型、独立重复事件、对立事件、条件概率，分布列前热身二、概率分布列与期望例2．1．投掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是________．2．已知随机变量X 的分布列如右图所示，则(68)E X +=（A ．13.2B ．21.2C 20.2D 22.2设计意图：应用二项分布和分布列性质解题例3．是衡量空气质量的一项指标。

高中数学第2章随机变量及其分布 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差(教师用书)教案新人教

2.3.2 离散型随机变量的方差学习目标核心素养 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1．通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n那么(x i －E (X ))2描述了i (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，那么随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差那么是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)假设X服从两点分布，那么D(X)＝p(1－p)；(2)假设X～B(n，p)，那么D(X)＝np(1－p)．3．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，那么D(aX＋b)＝a2D(X)．1．假设随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，那么E(X)和D(X)分别为()A．0.25；0.5B．0.5；0.75C．0.5；0.25 D．1；0.75C[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．随机变量ξ，D(ξ)＝19，那么ξ的标准差为________．13[ξ的标准差D(ξ)＝19＝13.]3．随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P 121316那么ξ的均值为________，方差为________．－1359[均值E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59.]求随机变量的方差与标准差X －101P 1214a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)假设Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解](1)由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为X201P1434(2)法一：(直接法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差D(X)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝1116.法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．[跟进训练]1．η的分布列为：η010205060P 13 25 115 215 115(1)求η的方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．[解] (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384， ∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.两点分布与二项分布的方差 [例2] 设X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23(k ＝0,1,2,3,4,5)，那么D (3X )＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5 A [由P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以D (X )＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109， D (3X )＝9D (X )＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，求二项分布的参数n ，p 的值．[解] 由E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96及X ～B (n ，p )知⎩⎪⎨⎪⎧ E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝6，p ＝0.4，所以二项分布的参数n ＝6，p ＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E (3X ＋2)．[解] 由例题可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以E (X )＝5×13＝53.故E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用1．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示]不能．因为E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量．2．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．[例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨](1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[跟进训练]2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X 8090100概率P 0.20.60.2乙：分数Y 8090100概率P 0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平．[解]因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．对随机变量X的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i展开得到)．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( ) (2)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平．( ) (3)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．( ) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．X 的分布列为 X －10 1 P 0.50.3 0.2那么D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 B [E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，那么自动包装机________的质量较好．乙 [因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．]4．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，E(X)＝4，D(X)＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝4 3，得1－p＝1 3，∴p＝23，n＝6.。

高中数学 2.3.2随机变量的数字特征(三)导学案(无答案)新人教B版选修2-3

§2.3.2随机变量的数字特征（三）学习目标1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．学习过程【任务一】知识要点1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根D X 为随机变量X的2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝【任务二】问题探究探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5 我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2.离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列为ξ0 1 xP1213p若E (ξ)＝23.（1）求D (ξ)的值；（2）若η＝3ξ－2，求D η 的值．探究点二两点分布与二项分布的方差问题若随机变量X ～B (n ，p )，怎样计算D (X )？两点分布呢？例2 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．小结解决本题的关键是建立二项分布模型，搞清随机变量的含义，利用公式简化解题过程．跟踪训练2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．探究点三均值、方差的综合应用问题实际问题中，均值和方差对我们的一些决策有何作用？例3有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？小结实际问题中，决策方案的最佳选择是将数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施；如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的方差来选择决策方案，至于选择哪一方案由实际情况而定．跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为ξ012 3P 0.30.30.20.2η01 2P 0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．【任务三】课后作业1．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A ．158B ．154C ．52D ．52．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 4．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316（1）求E (X )，D (X )；（2）设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 6.将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________.7.在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，针尖向上0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的分布列为___________8.考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)9.有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为______，问题得到解决的概率为________10.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）设C 表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P (C )．。

高中数学 2.3.1随机变量的数字特征(一)导学案(无答案)新人教B版选修2-3

§2.3.1随机变量的数字特征（一）学习目标1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．3．掌握两点分布、二项分布的均值．4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．学习过程【任务一】知识要点通过阅读课本P59页内容完成知识要点1．离散型随机变量的均值或数学期望，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的2．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝,i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝＝【任务二】问题探究探究点一离散型随机变量的均值公式及性质问题1 某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2 离散型随机变量的均值有什么作用？例1 已知随机变量X的分布列如下：X －2－101 2P 141315m120（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)．跟踪训练1 已知随机变量X的分布列为X 12 3P 121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值．探究点二超几何分布的均值例2 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．小结随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算．跟踪训练2 在本例中，求取出的3件产品中二等品件数ξ的均值．探究点三二项分布的均值问题1 若随机变量X ～B (n ，p )，怎样证明E (X )＝np?问题2 若随机变量X 服从两点分布，怎样计算E (X )? 例3 某运动员投篮命中率为p ＝0.6.（1）求投篮1次时命中次数ξ的期望；（2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望．小结 (1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．(2)如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．跟踪训练3 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ和η的数学期望．【任务四】课后作业1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为 ( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．22．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( )A ．2×0.44B ．2×0.45C ．3×0.44D ．3×0.643．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k300·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23300－k (k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________ 4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（1）求ξ的分布列，均值；（2）若η＝aξ＋4，E (η)＝1，求a 的值． 5．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得 3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________ 6．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于 ( ) A ．18B ．14C ．25D ．127．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2) 8.每次试验的成功率为p (0<p <1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为( )A ．C 310p 3(1－p )7B ．C 310p 3(1－p )3 C ．p 3(1－p )7D ．p 7(1－p )39.已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 10.已知函数() 1.xxf x e xe =--（I ）求函数)(x f 的单调区间（Ⅱ）求函数()f x 的最大值；。

随机变量导学案（无答案）-2020-2021学年人教A版高二数学选修2-3

2.1.1 离散型随机变量导学案编制：审核人：【教学目标】1.理解离散型随机变量的概念；认识随机变量对于刻画随机现象的重要性。

【教学重难点】1.教学重难点：理解离散型随机变量的概念，理解随机变量对于刻画随机现象的重要性．【知识梳理】1.随机试验一般地，一个试验如果满足下列条件:(1)试验可以在相同的情形下；(2)试验所有可能的结果是明确的，并且；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个，这种试验就是一个随机试验。

2.随机变量在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量。

3.离散型随机变量所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量。

例：下面给出四个随机变量:①高速公路上某收费站未来1小时内经过的车辆数N②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置③某网站未来一小时的点击量;④某一天之内的温度x其中是离放型随机变量的序号有。

2.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某地“行风热线”某天接到电话的个数;(2)新赛季，梅西在某场比赛中(90分钟)，上场比赛的时间(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积(4)在一次书法作品评比中，设一、二、三等奖，小刚的一件作品获奖的等次。

3.有一批产品共12件其中次品3件，每次从中仅取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能的取值是4.写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数，所含红粉笔的支数η;(3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ5.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为(1)列表说明可能出现的结果与对应的的值;(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定的随机变量类型。

高中数学第2章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教B版选修2_320181226365

2.3.2 离散型随机变量的方差课时目标1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．1．方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则D(X)＝______________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或离散程度)．2．标准差________________叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．二点分布的方差若离散型随机变量X服从二点分布，则D(X)＝____________.4．二项分布的方差若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝____________.一、选择题1．下列说法中正确的是( )A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平2．已知ξ的分布列为则D (ξ)的值为( ) A.2912B.121144C.179144D.17123．设随机变量X 服从二项分布B (4，13)，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D.194．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，D (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别为( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2D ．10和0.85．某事件在一次试验中发生的次数ξ的方差D (ξ)的最大值为( ) A ．1 B.12C.14D ．2二、填空题6．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床7．已知随机变量ξ的方差D (ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D (η)＝________. 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．三、解答题9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．能力提升11．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝________.12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．2．二点分布、二项分布的方差可以直接利用公式计算．3．随机变量的期望和方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义．2．3.2 离散型随机变量的方差答案知识梳理1．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n2．D(X)的算术平方根D(X)3．pq(q＝1－p)4．npq (q ＝1－p ) 作业设计1．D [由于离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A 错，而D (ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平，故选D.]2．C [∵E (ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴D (ξ)＝(1－2912)2×14＋(2－2912)2×13＋(3－2912)2×16＋(4－2912)2×14＝179144.]3．C [∵X ～B (4，13)，∴D (X )＝4×13×(1－13)＝4×13×23＝89.]4．D [因为ξ～B (n ，p )，所以⎩⎪⎨⎪⎧E (ξ)＝np ＝8，D (ξ)＝np (1－p )＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.故选D.]5．C [设某事件在一次试验中发生的概率为p (0≤p ≤1)，则该事件在一次试验中发生的次数ξ的分布列为所以D (ξ)＝p (1－p )＝－(p －2)2＋4≤4.]6．A解析 E (ξA )＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E (ξB )＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差．D (ξA )＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，D (ξB )＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.926 4.因为D (ξA )<D (ξB )，故A 机床加工质量较好． 7．16 8.125解析 D (X )＝100p (1－p )＝100[p (1－p )]2≤100⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝25，故标准差D (X )≤5，当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，等号成立．9．解 (1)ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.10．解 (1)X 的分布列为E (X )＝0×0.2＋1×0.8＝0.8D (X )＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (10,0.8)．∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝10×0.8×0.2＝1.6. 11.512 14解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2，则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，P (A ∪B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92.∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92，则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.(2)P(ξ＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.ξ的概率分布为：E(ξ)＝0.44＋0.96＝1.4，D(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第二章概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.2

(1)D(a)＝0(a为常数)
(2)D(aξ)＝a2D(ξ)
(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)(a，b为常数)
(4)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝npq(p＋q＝1)
数学
意义
E(ξ)是一个常数，它反映了随机变量取值的平均水平，亦称均值
D(ξ)是一个常数，它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度
提示：方差公式为D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，不满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b.
思考2若随机变量X服从二点分布，则其方差D(X)的值为多少，能否利用基p(1－p)，由式子可得p(1－p)≤ 2＝，故能用基本不等式求方差的最大值．
归纳总结离散型随机变量ξ的期望与方差
2.3.2离散型随机变量的方差
预习导航
课程目标
学习脉络
1.通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义．
2．会求离散型随机变量的方差、标准差．
3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
离散型随机变量的方差
思考1离散型随机变量的数学期望满足E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，方差是否也满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b?
名词
数学期望
方差
定义
E(ξ)＝ξ1p1＋ξ2p2＋…＋ξnpn
D(ξ)＝(ξ1－E(ξ))2p1＋(ξ2－E(ξ))2p2＋…＋(ξn－E(ξ))2pn
性质
(1)E(a)＝a(a为常数)
(2)E(aξ)＝aE(ξ)
(3)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b(a，b为常数)
(4)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np

【西城学探诊】高中数学 2.3.1随机变量的数字特征(二)导学案(无答案)新人教B版选修2-3

§2.3.1随机变量的数字特征（二）学习目标1．熟练掌握均值公式及性质．2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．学习过程【任务一】双基自测1．分布列为的期望值为 ( )A．0 B．－1 C．－13D．122．设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)等于( ) A．35 B．40 C．30 D．153．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( )A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________【任务二】题型与解法题型一二项分布的均值例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．跟踪训练1 英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．题型二超几何分布的均值例2 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；（2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？跟踪训练2 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．题型三综合应用问题例3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．跟踪训练3 在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A ，B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1 000元，答对问题B 可获奖金2 000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A ，B 的概率分别为12，14.（1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，则X 的取值分别是多少？（2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．【任务三】课后作业：1．某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是( )A ．np(1－p)nB ．npC ．nD ．np(1－p)2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A．20 B．25 C．30 D．40 3．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________元．4．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：（1）抽取次数X的分布列；（2）平均抽取多少次可取到好电池．5.一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A．13B．12C．16D．566.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为7.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( ) A ．160B ．25C ．35D ．59608.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为 ( )A ．C 310×0.72×0.3 B ．C 13×0.72×0.3 C ．310D ．3A 27·A 13A 3109.知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点．(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．。

高中数学第二章概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1

2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的数学期望【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列试比较甲、乙两射手射击水平的高低.解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X 1，X 2，则 E （X 1）=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3, E(X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大. 温馨提示离散型随机变量的分布列具有的性质p i ≥0,i=1,2,…,n 和∑=ni ip1=1.二、利用概率知识求随机变量的分布列【例2】（2006山东高考，理20）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量ξ的概率分布和数学期望; (3)计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=31012121235C C C C C =32. 方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为P(B)=310182215C C C C =31. 所以P(A)=1-P(B)=131-=32. (2)由题意,ξ所有可能的取值为2,3,4,5.P(ξ=2)=30131022121222=+C C C C C ;P(ξ=3)=15231022141224=+C C C C C ; P(ξ=4)= 10331022161226=+C C C C C ; P(ξ=5)=15831022181228=+C C C C C .因此ξ的数学期望为 Eξ=2×301+3×152+4×103+5×158=313.(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则 P （C ）＝P （ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3）＋P （ξ=4)=3013103152=+. 温馨提示求随机变量的分布列，首先弄清随机变量所有可能的取值，进而利用所学概率知识，求取每个值的概率，并列出表格即得分布列.三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率【例3】设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为43,遇到红灯（禁止通行）的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（1)ξ的概率分布列及期望Eξ；（2）停车时最多已通过3个路口的概率. 解析：（1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4,P （ξ=0）=41, P(ξ=1)=43·41=163,P(ξ=2)=(43)2·41=649,P(ξ=3)=(43)3·41=25627,P(ξ=4)=(43)4=25681,Eξ=0+1×163+2×649+3×25627+4×25681=256525. (2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=125681-=256175.温馨提示本题的关键是正确求出各随机变量的概率值.各个击破类题演练 1一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.解析：根据题目知所含白球数X 服从参数N=10，M=5，n=4的超几何分布，则 E （X ）=1054⨯=N nM =2,所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球. 变式提示 1根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下二种方案. 方案1：运走设备，此时需花费3 800元.方案2：建一保护围墙，需花费2 000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元. 试比较哪一种方案好.解析：对于方案1，花费为3 800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3 800元；期望损失为60 000×0.1+0×0.99=600(元)，所以花费与期望损失之和为2 000+600=2 600（元）；比较二种方案，方案2的花费与期望损失之和较小，故方案2好. 类题演练 2一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话.已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3，4. 解析：ξ可能取的值是0,1,2,3,4,P （ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P (ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3.P (ξ=2)=22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P (ξ=3)=22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2.P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04.所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.变式提示 2设Y=2X+3，则EY 的值为（）A.37B.4C.-1D.1 解析：EX=21-+61=31-,EY=E(2X+3)=2EX+3=32-+3=37.答案：A类题演练 3已知随机变量X 满足P （X=1）=0.3,P （X=2）=0.7,则EX 的值为（）A.0.6B.0.7C.0.3D.1.7 解析：EX=1×0.3+2×0.7=1.7. 答案：D变式提升 3袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数ξ的概率分布.解析：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，并且有P （ξ=1）=51=0.2, P(ξ=2)=54×41=0.2, P(ξ=3)=54×43×31=0.2,P (ξ=4)=54×43×32×21=0.2,P (ξ=5)=54×43×32×21×11=0.2,。

新教材高中数学第四章随机变量的数字特征学案含解析新人教B版选择性必修第二册

新教材高中数学学案含解析新人教B版选择性必修第二册：4.2.4 随机变量的数字特征3．会利用离散型随机变量的数学期望、方差解决一些相关问题．(难点)知识点一随机变量的数学期望的定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则E(X)＝____________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．知识点二随机变量的数学期望的意义刻画了离散型随机变量的____________．知识点三离散型随机变量的方差与标准差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________.知识点六随机变量的数字特征的性质如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝a2D(X)．[基础自测]1．下列说法正确的有________．(填序号)①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的波动水平． 2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 3．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________.4．已知随机变量X ，D (X )＝19，则X 的标准差为________．5．若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________． 6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________．题型一两点分布与二项分布的数学期望、方差例1 某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望、方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望、方差．状元随笔 (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解．方法归纳1．常见的两种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ；D (X )＝pq (2)二项分布E (X )＝np .D (X )＝npq熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验．跟踪训练1 (1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400(2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )A.19B.29C.13D.23题型二离散型随机变量的数学期望、方差的概念及应用例2 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X 和Y 分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X 的分布列、期望及方差； (2)求Y 的分布列、期望及方差．状元随笔 (1)可先求出X 分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y 分布列及其期望、方差公式求解，也可由期望、方差性质求解．方法归纳求离散型随机变量的数学期望、方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．4．对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解．跟踪训练2 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．题型三期望、方差的综合应用状元随笔 1.A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床试求E(X1)，E(X2[提示]E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示]不能．因为E(X1)＝E(X2)．3．在1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．例3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．状元随笔(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．方法归纳利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：教材反思4．2.4 随机变量的数字特征新知初探·自主学习知识点一x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝1ni i i x p =∑ 知识点二平均取值知识点三 [x 1－E (X )]2p1＋[x 2－E (X )]2p 2＋…＋[x n －E (X )]2p n ＝ni ＝1[x i －E (X )]2p i 平均波动大小知识点四 p np nMN知识点五(1)p (1－p ) (2)np (1－p ) [基础自测]1．解析：①错误．因为离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平． ②错误．因为离散型随机变量X 的方差D (X )反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的波动水平，而随机变量的期望E (X )反映了X 取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．答案：④2．解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：323．解析：E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 答案：354．解析：X 的标准差D (X )＝19＝13.答案：135．解析：E (X )＝np ＝4×13＝43.答案：436．解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以 E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：0.8课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E (X )＝0.6，D (X )＝0.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.D (X )＝npq ＝1.2.跟踪训练1 解析：(1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为 1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.(2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.答案：(1)B (2)D例2 【解析】 (1)X 的可能取值为0,1,2.若X ＝0，表示没有取出次品，其概率为P (X ＝0)＝C 310C 312＝611，同理，有P (X ＝1)＝C 12C 210C 312＝922，P (X ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－122×611＋⎝⎛⎭⎫1－122×922＋⎝⎛⎭⎫2－122×122＝322＋988＋988＝1544. (2)Y 的可能取值为1,2,3，显然X ＋Y ＝3.方法一：P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝122，P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝922，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝611，∴Y 的分布列为E (Y )＝1×122＋2×922＋3×611＝52，D (Y )＝⎝⎛⎭⎫1－522×122＋⎝⎛⎭⎫2－522×922＋⎝⎛⎭⎫3－522×611＝1544. 方法二：E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝52，D (Y )＝D (3－X )＝(－1)2D (X )＝1544.跟踪训练2 解析：这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.例3 【解析】 (1)由题意得：0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2； E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E (ξ)>E (η)，D (ξ)<D (η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．跟踪训练3 解析：甲保护区的违规次数X 的数学期望和方差分别为： E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差分别为：E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．。

随机变量的数字特征教案

第四章随机变量的数字特征一．教学目标及基本要求（1）理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；（2）掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。

（3）熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差；（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

二．教学内容数学期望离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质方差方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳协方差与相关系数矩和协方差矩阵三．本章教学内容的重点和难点a)数学期望、方差的具体含义；b)数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。

c)期望、方差的应用；四．本章教学内容的深化和拓宽将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。

五．教学过程中应注意的问题a)一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子；b)数学期望的一个具体的数字，不是函数；c) 由方差的定义知，方差是非负的；d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，X 与Y 独立，则X 与Y 不相关，反之则不然，但对于正态分布，两者却是等价的；六．思考题和习题思考题：1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？并比较其优劣。

2. 方差的定义为什么不是||E X EX -？3. 工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念？ 4．协方差与相关系数有什么本质上的区别？5．随机变量X 与Y 独立可以推导cov(,)0X Y =，反之呢？对正态分布又如何呢？§4.1数学期望一、数学期望的概念数学期望又称均值，是反映随机变量平均状况的数字特征。

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随机变量的数字特征 教案

2.3随机变量的数学特征

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