中点四大模型

中点四大模型

模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

②图①

图构造全等

倍长类中线

倍长中线D

C B

A

F

F A

B

C

A

B

C

D

C

B

A

模型分析

如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 模型实例

如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．

F

E

C

A

1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．

B

A

解：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，

在△ADC 与△EDB 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴EB ＝AC ＝20，

根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，

故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．

E

A

B

C

D

2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2． 求证：AD 2＝

4

1

(AB 2＋AC 2)．

N

M

A

证明：如图，过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于E ，连ME ． ∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．

在△BED 与△CND 中，

∵⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，

∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．

∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(

21BC )2＝4

1

（AB 2＋AC 2）． A

B

C

D M

N

模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．

连接中线

A

B

C

D

D

C

B

A

模型分析

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．

N

M C

B A

A

N

解答： 连接AM ．

∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝2

1

BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝

4352222=-=-BM AB ．

∵MN ⊥AC ，

∴S △ANC ＝

21MC ·AM ＝21

AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．

∴MN ＝5

12

小猿热搜

1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．

F

C

A

证明：连结AD ，

∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，

⎩⎨

⎧==AD

AD AF

AB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．

A

B C

2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝

2

1

S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．

③

图②

图①

图A

B

D

E

F

A

C

D

F D

C

A

解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝

21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝2

1

AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，

∵∠EDF ＝90°， ∴∠1＝∠2，

在△CDE 和△BDF 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），

∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝

21

S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝2

1

S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：

同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，

＝S △CFE ＋

2

1

S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝2

1

S △ABC ．

∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝

2

1

S △ABC ． 2

1

A

C

D

E

A

B

C

D

E

F