二元一次方程组复习讲义
第八章二元一次方程组的复习课件
在代入时，要确保代入的表达式正确，且代入后的方程能够简化为一元一次方程。
消元法应用举例
例题1
解法
例题2
解法
解方程组 {x + y = 5, 2x - y = 1}。
采用加减消元法，将两个方 程相加得到 3x = 6，解得 x = 2，然后将 x = 2 代入原 方程 x + y = 5 中解得 y = 3。所以方程组的解为 {x = 2, y = 3}。
第八章二元一次方程 组的复习课件
汇报人：XX
目 录
• 二元一次方程组基本概念 • 消元法求解二元一次方程组 • 图像法求解二元一次方程组 • 实际问题中的二元一次方程组 • 方程组解的讨论与性质 • 复习总结与提高
01
二元一次方程组基本概念
定义与性质
二元一次方程组的定义
含有两个未知数，且未知数的次数都 是1的方程组。
忽视方程组的解的定义
在解二元一次方程组时，需要注意方程组的解必须满足方程组中的所有
方程。如果忽视这一点，可能会导致求解错误。
02
消元方法使用不当
在解二元一次方程组时，需要根据方程组的特点选择合适的消元方法。
如果方法使用不当，可能会导致计算过程繁琐或结果错误。
03
忽视实际问题的限制条件
在应用二元一次方程组解决实际问题时，需要注意问题中的限制条件。
• 解：分别画出两个方程对应的直线图像，观察两条直线的位置关系。通 过图像可以看出，两条直线相交于一点，因此方程组有唯一解。
04
实际问题中的二元一次方程组
利润与成本问题
利润公式
利润 = 售价 - 进价
利润率公式
利润率 = 利润 / 进价 × 100%
第八章二元一次方程组解法复习课课件
k 3 解得： b 3
2.在y= ax bx c 中,当 x 0 时y的值是-7, x 1 时y的值是-9, x 1 时y的值是-3,求 a、b、c 的 值 当x=0 y=7 -7= c
2
当x=1 y=-9
x 1 x 2 x 3 y 16 y 12 y 8
x 4 y 4
1、方程x+2y=7在正整数范围内的解有（ C ） A 1个 B 2个 C 3个 D 无数个
解后语：二元一次方程一般有无数个解，但它的解 若受到限制往往是有限个解。
y 1 z 17 y 2 z 14 y 3 z 11 y 4 z 8 y 5 z 5 y 6 z 2 y 1 z 7 y 2 z 1
三
3（０９黑）13题一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住， 某旅行团２０人准备同时租用这三种客房共７间，如果每个房间都住满， x 2 x 3 C 租房方案有（ ） x y z 7 y 4 y 2 z 2 Ａ４种 Ｂ３种 Ｃ２种Ｄ１种 z 1 2 x 3 y 4 z 20
解:设新建1个地上停车位为x元，一个个地下停车位为y元
x y 0.5 3 x 2 y 1.1
x 0.1 解得： y 0.4
练习：
2 不是 1、 -1=3y 是不是二元一次方程？答： x
4、当方程组中两个方程的某个未知数 的系数相等或互为相反数时， 把方程的两边分别相减或相加来消去这个 未知数，得到一个一元一次方程。 当方程组中两个未知数系数的绝对值均不相 等，可以把两个方程的两边各自乘以一个适 当的数，使某一个未知数的绝对值相等。
二元一次方程组复习(带解析)
二元一次方程组复习一、知识要点 1、二元一次方程组的有关概念I ．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．II ．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．2、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要__________消元法．不要漏掉括号x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．不要漏乘在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．二、典型例题考点一 ：二元一次方程概念与解法例1．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则2m －n= .例2．小明和小佳同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x ，小华看错了n ，解得⎩⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗总结分析：灵活学会“方程解”概念解题.【巩固】已知方程组⎩⎨⎧-=--=+4652by ax y x 和方程组⎩⎨⎧-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求2017)2(b a +的值.【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+f by ex c by ax 的解为⎩⎨⎧==13y x ，你能求得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=++-f y x b y x e c y x b y x a )()()()(的解吗★剖析总结★：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.考点二：解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程(组)；6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．7、答：完整写出答案(包括单位)．列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程----解决实际问题类型：（1）方案问题：（2）行程问题;（3）工程问题;（4）数字问题;（5）年龄问题;（6）分配问题;（7）销售利润问题;（8）和差倍分问题; （9）几何问题; （10）表格或图示问题; （11）古代问题;（12）优化方案问题. 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。
第八章 二元一次方程组》复习课件常用课件
y
y 2x 1
2x y 1
x y 5
的解
(3)交点的坐标与方程组的 解有什么关系?
o
x
y 5 x
以下为备选练习题
例1.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行 到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出 发,4小时相遇,6小时后 ,甲所余路程为乙所 余路程的2倍,求两人的速度.
2
yx
1 ,2 2
点，则P的值分别为（ ）． (A) 2，3 (B) 3，2 (C) 3．已知：一次函数
正比例函数的图象交于点A，并且与轴交于点B
1 (D) ,3 2 1 y kx b 的图象与 y x 3
（0，－4），△AOB的面积为6，求一次函数的表达 式．
4.在同一直角坐标系内分别作出 一次函数y 5 x 和 y 2 x 1 的图象, 观察图象并回答问题: (1)这两个图象有交点吗?交点 坐标是什么? (2)方程组 是什么?
8.若两个多边形的边数之比是2:3,两个多
边形的内角和是1980°,求这两个多边形 的边数. 6和9
2 x 3 y k 9.方程组 中,x与y的和12, 3 x 5 y k 2
求k的值.
x 2k 6 解法1：解这个方程组，得 y 4 k
依题意：x＋y=12 所以(2k－6) ＋(4－k)=12
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据 题意得方程组 35 y x 10 40( y 0.5) x
x 220 解这个方程组，得 y 6
答：订单要220辆汽车，规定日期是6天
4.销售问题:
标价×折扣=售价
售价-进价=利润
利润 售价 进价 利润率= 进价 进价
二元一次方程组复习课件
本课件将重点介绍二元一次方程组的定义、解法、应用、图解方法以及练习 题，让你轻松学会解决二元一次方程组。
二元一次方程组的定义
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个二元一次方程所构成的一个方程组。
方程组的解是什么？
方程组的解是使所有方程都成立的变量值。
为什么要学习二元一次方程组？
经济问题
例如，在经济学领域，需 要通过二元一次方程组计 算投入产出比率，来进行 经济决策和分析。
二元一次方程组的图解方法
解的几何意义
二元一次方程组的解是两条直线的交点。
图形解法的步骤
1.将两个方程转换成斜截式或截距式。 2.用直线来表示每个方程。 3.找到它们的交点。 4.标注解。
二元一次方程组的题目练习
1 练习1
2 练习2
3 练习3
某公司生产A、B两种 产品，已知每100个产 品A可获利23元，每 100个产品B可获利30 元。设该公司已生产 1000个产品，并获得 总利润255元，则该公 司生产A、B两种产品 各多少？
小明和小刚两人总共 有15个糖果和5元钱。 如果小明每个糖果卖1 毛钱，小刚每个糖果 卖5角钱，问两人各卖 出了几个糖果？
二元一次方程组在数学及相关领域中具有广泛应用。
二元一次方程组的解法
1
直接代入法
将一个方程的一元表达式直接代入另一个方程即可得到另一个未知数的值，进 而求得整个方程组的解。
2
消元法
通过将方程分别相加或相减，消去一个未知数的系数，然后求出另一个未知数 的值，最终得到整个方程组的解。
3
Cramer法则
利用行列式的性质和比例关系直接求解二元一次方程组。
4
二元一次方程组复习课件!说课材料
方程组的解是对应的两条直 线的交点坐标
两条线的交点坐标是对应 的方程组的解
二元一次方程和一次 函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都 在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都适合 对应的二元一次方程.
每个二元一次方程都可转化为一次函数
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
3、方程组有无数多个解，由此一次 函数y= 3－x与2y=6-2x的图象必定 （） A
A 重合 B．平行 C．相交 D．无法判 断
4、一次函数y=2x+4与一次函数y=1－x的交点为
____(_-1__,2__)_，所以两个一次函数组成的方程组 （ 有）解（填 有或没有）解是 x=-1
相加，从而消去y。
大显身手
ax + by = 2
2x + 3y = 10
8.关于x、y的二元一次方程组ax - by = 4的解与 4x - 5y = -2
的解相同，求a、b的值
4x 3 y 1
9、二元一次方程组 kx (k 1) y 3 的解中，
x、y的值相等，则k= 11
.
10、先阅读材料，后解方程组.
解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是 x，个位的数字是y，那么
x+y=7
(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)
解之:
x=1 y=6
答:小明在12:00时看到的数字是16.
二元一次方程和一次 函数的图象的关系
二元一次方程组和一 次函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都 在对应的函数图象上.
二元一次方程组复习通用课件
方程组的解集
解集总结
二元一次方程组的解集是所有满 足方程组条件的 $(x, y)$ 的集合。
具体描述
解集可以是一个点、一条直线或 一个平面区域。解集的具体形式 取决于方程组的系数和常数项。
PART 02
二元一次方程组的解法
代入法
总结词
通过将一个方程中的一个变量表示为另一个变量的函数，将二元一次方程组转化 为一元一次方程进行求解。
详细描述
代入法的基本步骤是先从二元一次方程组中消去一个变量，将其表示为另一个变 量的函数，然后将这个函数代入另一个方程中，得到一个关于一个变量的方程， 最后解这个一元一次方程得到解。
消元法
总结词
通过对方程组中的两个方程进行加减 或乘除运算，消去其中一个变量，将 二元一次方程组转化为一元一次方程 进行求解。
PART 04
二元一次方程组的变式与 拓展
方程组中未知数的增减
总结词
未知数的增减会影响方程组的解的数量和性质。
详细描述
当方程组中未知数的数量增加或减少时，方程组的解的数量和性质可能会发生变化。例如，二元一次方程组有唯 一解，当加入一个新的未知数后，可能变为无穷多解或无解。
方程组中系数的变化
总结词
2023 WORK SUMMARY
二元一次方程组复习 通用课件
REPORTING
CATALOGUE
• 二元一次方程组的定义与性质 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的应用 • 二元一次方程组的变式与拓展 • 二元一次方程组的解题技巧与注意事项
PART 01
二元一次方程组的定义与 性质
定 运算消去二元一次方程组中的一个变 量，将其转化为一个一元一次方程， 然后解这个一元一次方程得到解。
二元一次方程组复习课件ppt
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近的方式来求解二元一次方程组的近似 解
详细描述
迭代法是一种求解二元一次方程组的近似解的方法，其 基本思路是通过不断迭代逼近的方式来求解二元一次方 程组的近似解。这种方法的关键是选择合适的迭代公式 和迭代初始值，同时要注意迭代过程中的收敛性问题。 迭代法在一些特定情况下可以求解非线性方程组，但在 一般情况下，其求解效率和准确度不如前三种方法。
05
解二元一次方程组的软件工具
MathWorks MATLAB
MATLAB是一款由MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据 可视化、数据分析以及数值计算。
MATLAB可以用来求解线性方程组，其中包括二元一次方程组，同时它也提供了 丰富的工具箱用于高效地解决特定问题。
Apache POI
2
方程组中每个方程至少包含两个未知数，且每 个方程都是一次方程，即未知数的次数为1。
3
二元一次方程组常常用于解决各种实际问题中 的数量关系问题。
二元一次方程组解法的发展历程
01
二元一次方程组解法的发展历程：解二元一次方程组可以追溯到古代数学，其 发展历程非常悠久。
02
古代数学家们通过各种方法和技巧来求解二元一次方程组，如唐代数学家李冶 的“天元术”和元代数学家朱世杰的“四元术”等。
加减消元法
总结词
通过两个方程式之间的加减运算，消去其 中一个未知数，从而将二元一次方程组转 化为一元一次方程组
详细描述
加减消元法是求解二元一次方程组的另一 种常用方法，其基本思路是通过两个方程 式之间的加减运算，消去其中一个未知数 ，从而将二元一次方程组转化为一元一次 方程组。这种方法的关键是选择合适的两 个方程式进行加减运算，同时要注意加减 过程中不要出现增解或漏解的情况。
第8讲 《二元一次方程组》复习讲义
《二元一次方程组》复习讲义知识导航知识点1 二元一次方程组的概念概念：含有个未知数，且且含有的次数都是1方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.知识点2 解二元一次方程组（1）二元一次方程的解：一般的，使二元一次方程两边的两个未知数的值，就是二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.（2）二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解.（3）解二元一次方程组的思想是.知识点3 解二元一次方程组的基本方法是：（1）消元法：把二元一次方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）消元法：当二元一次方组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程..知识点4 三元一次方程组及解法（1）三元一次方程组的概念：一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是，并且一共有，像这样的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.方法总结①方程思想:方程思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想方法,是指在求指数学问题时,从已知和未知量之间的数学量关系入手,得出相等关系.把方字语言转化为符号语言即转化为方程(组),再通过解方程(组)使数学问题获得解决.②消元的数学思想消元是解方程的基本思想,消元的目的是将多元方程逐步转化为一元方程,本章中消元的两个基本策略是代入消元和加减消元.第三部分：考点突破考点1 二元一次方程组的概念 1.下列是二元一次方程的是.（1）2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0 (4) x 2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=1 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a .考点2 方程组的解法及解的应用 3.解二元一次方程组 （1）⎩⎨⎧-=-=+13y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=22332y x yx （3）（5）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=-+725222z y x z y x z y x （4）4.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.求m ，n 的值．考点3 方程组的应用5..小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买)，中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买__支．6.小明在某商店购买商品A 、B 共两次，这两次购买商品A 、B 的数量和费用如表：若小丽要购买3个商品A 和2个商品B ，则她要花费多少元钱？4 393 6 6 1627.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，甲矿泉水的成本是24元/箱，销售价是36元/箱；乙矿泉水的成本价是33元/箱，销售价是48元/箱. （1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？8.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9.由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电，规定：在每天7：00至24：00为用电高峰期，电价为a 元/度，每天0：00至7：00为用电平稳期，电价为b 元/度，若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的31，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的41，已知4月份用电12万度，交电费6.4万元，5月份用电16万度，交电费8.8万元.（1）求a 、b 的值；（2）若平稳期用电为x 万度，电费为y 元，已知6月份用电20万度． ①求出y 与x 之间的函数关系式；②为将电费控制在10万元至10.6万元之间，那么该厂6月份在平稳期用电量占当月总用电量比例应在什么范围？《二元一次方程组》过关测试卷（总分：100分 时间：60分钟 命题人：任艳霞）一、选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩2.方程组⎩⎨⎧=-=-82352y x y x ，消去y 后得到的方程是（ ）A 、01043=--x xB 、8543=+-x xC 、8)25(23=--x xD 、81043=+-x x3.已知b a 、满足方程组⎩⎨⎧=-=+43125b a b a ，则b a +的值为（ ）A.－4B.4C.－2D.24.一等腰三角形的两边长为x ，y ，满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ，则此等腰三角形的周长为（ ）A.4B.5C.3 D5或45.若二元一次方程，，有公共解，则的取值（ ） A 、3 B 、－3 C 、－4 D 、46.若0125=+-+++b a b a ，则=-2015）（a b （ ）A.－1B.1C.20155D.－20155二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 7.方程52=+y x 的正整数解是_.8.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是____．9.若⎩⎨⎧==12y x 是方程⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx m x 的解，则()=+2012n m 的值是__________.10.若，则＝ ，＝ .三、解答题（共56分） 11.（10分）解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-632223y x y x12.（12分）已知方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解是多少？13.（12分）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？14.（14）某服装店用6 000元购进A ，B 两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？15.某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． (1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．。
二元一次方程组--辅导讲义(学)
二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1.方程41ax yx -=-是二元一次方程，则a 的取值为（ ）A 、0a ≠B 、1a ≠-C 1a ≠D 、2a ≠ 例2.若二元一次方程321x y-=有正整数解，则x 的取值应为（ ）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为 。
2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
八年级数学下册第五章二元一次方程组(同步+复习)精品讲义课件
【例1】
1. 解决上面提出的鸡兔同笼问题。 2. 古代问题：以绳测井。若将绳三折测之，绳 多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、 井深各几何？
【典例2】
【典例3】
【典例4】
第二单元：求解二元一次方程组
一．代入消元
代入法的基本思路：通过“代入”达到“消 元” 代入 提前 整理 二元 一元 2. 代入法的一般步骤（举例说明）： 1.
① 一选：选一个未知数系数相对简单的方程（整理） ② 二变：把选中的方程变为用含有一个未知数的代 数式表示另一个未知数的形式。如 y=f(x)的形式 ③ 三代：把变化后的方程代入另一个方程，消去一 个未知数。化为一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入其中一个简单的 二元方程，求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。
第四单元：二元一次方程 组的实际应用
列方程解应用题
• 思路：试设元-回头看-找关系-列方程。 • 步骤：审-设-列-解-验-答。 • 记住：未知数也是数，别把未知数不当数。
今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
鸡兔同笼
一．和、差、倍、分问题
1.
2.
复习小学解决这类问题的思路：砍腿法和安 脚法。 仔细审题：抓住“大、小、多、少、和、差、 倍、分等关键词找准等量关系。
（加减） 思路：二元 一元 依据：等量加（减）等量，和（差）相等。 一般步骤：
① 一选：选择两方程中系数简单的一个未知数。 ② 二变：利用等式性质二，把选中的未知数的系数 变为相等或相反的数（两边同乘一个数变公倍数） ③ 三加减：变化后符合条件的方程相加（减）消去 一个未知数，得到一个一元一次方程。 ④ 四解：解一元一次方程得到一个未知数的值。 ⑤ 五求：把得到的未知数的值代入一个较简单的二 元方程求出另一个未知数的值。 ⑥ 六写：用大括号的形式写出方程组的解。
二元一次方程组复习ppt课件ppt
02
利用数学方法和计算工具，我们可以求解二元一次方程组并找
到问题的答案。
验证答案
03
最后，我们需要验证求解结果是否符合实际情况，并作出必要
的调整。
问题建模的方法和步骤
分析问题
建立模型
了解问题的背景、目的和条件。
使用数学符号和公式来表示问题。
执行计算
整合答案
利用数学软件或手算来求解模型中的方程。
将计算结果与实际问题相结合，给出最终答 案。
二元一次方程组复习ppt课件
xx年xx月xx日
目录
• 复习基础知识 • 解题方法和技巧 • 实际应用和问题建模 • 综合练习和巩固 • 总结和归纳
01
复习基础知识
二元一次方程组的定义
总结词
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的数学方程组
详细描述
在数学中，二元一次方程组是由两个二元一次方程（即包含 两个未知数且未知数的最高次数为一次的方程）组成的数学 表达式。
04
综合练习和巩固
基础练习题
总结词
强化基础，查漏补缺
详细描述
通过解答基础题型，回顾和强化二元一次方程组的基本概念、解题步骤和易 错点，帮助学生们建立扎实的基础知识体系。
提高练习题
总结词
提高解题速度，提升解题技巧
详细描述
通过一些稍有难度和复杂度的题目，训练学生对二元一次方程组的理解和应用能 力，提高解题速度和技巧，进一步加深对知识点的理解和掌握。
难点
正确应用二元一次方程组的解法，解决实际应用问题。
学习方法和策略总结
学习方法
通过讲解、示范、练习等方式，加深对二元一次方程组的理 解和应用。
策略总结
多做练习，加强解题思路和步骤的训练，提高解题效率。
《二元一次方程组》复习课件
合作交流
要求：各小组长组织好本组成 员对合作探究部分先进行讨论
合作流
展示内容 合作交流1 合作交流2 合作交流3 展示小组 点评小组 3组 4组 6组 1组 2组 5组
要求： ⑴展示的同学要注意解题格式，书写要认真、 规范；点评的同学要分析题意，条理清晰。 ⑵非展示、点评同学继续讨论解决组内疑惑。
3.如果一个方程中含有三个未知数，并且未知项的次数 是1.那么这样的方程叫做三元一次方程. 下列方程中，哪些是三元一次方程？
4 x y z 12 3m 4n 6 , 3 x 2 y 3 z 5 , n 3 x y 5z 1 m 6n 7
合作交流
要求：各小组长组织好本组成 员对合作探究部分先进行讨论
合作交流
展示内容 合作交流1 合作交流2 合作交流3 展示小组 点评小组 3组 4组 6组 1组 2组 5组
要求： ⑴展示的同学要注意解题格式，书写要认真、 规范；点评的同学要分析题意，条理清晰。 ⑵非展示、点评同学继续讨论解决组内疑惑。
第二章 二元一次方程组
复习课件
1.含有两个未知数，并且未知项的次数是１的方程，叫 下列方程中，哪些是二元一次方程？ 做二元一次方程．
x3 x y x 3 y 3z , 3xy x 6, 1 2 y, x y, 0, y 3 2.如果方程组中含有两个未知数，并且未知项的次数是１,那 哪些是二元一次方程组？ 么此方程组叫做二元一次方程组．
与
用一次方程(组)解实际应用题:
关键是审题.
1、审题，设未知数.
直接未知数 间接未知数 辅助未知数
2、找出等量关系,列出方程(组). 3、解一次方程(组). 检验求得的值是否正确, 检验是否符合实际情形. 4、答.
二元一次方程组讲义
二元一次方程组的解法一、知识点睛1. 二元一次方程含有____个未知数，并且所含未知数的项的次数都是____；2. 含有____个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做__________；3. 适合一个二元一次方程的________________，叫做这个二元一次方程的________；4. 二元一次方程组中各个方程的________，叫做这个二元一次方程组的解；5. 解方程组的基本思路是________，主要方法有________法和________法．二、专项训练【板块一】二元一次方程（组）及其解 1. 下列方程： ①213yx -=； ②332x y +=； ③224x y -=；④5()7()x y x y +=+；⑤223x =；⑥14x y+=． 其中是二元一次方程的是 ． 2. 如果14(2)3m n m xy ---+=是关于x 和y 的二元一次方程，则m -n =________．3. 若方程23786n mxy x y-+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值为_______，n 的值为_______．4. 已知方程22(4)(2)(3)1k x k x k y k -+++-=+，若k =______，则方程为二元一次方程；若k =_______，则方程为一元一次方程，且这个方程的解为_______． 已知方程22(4)(2)(3)1k x k x k y k -+++-=+，若k =______，则方程为二元一次方程；若k =_______，则方程为一元一次方程，且这个方程的解为_______． 5. 求方程92=+y x 在正整数范围内的解是 ．6. 要使方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解，则整数a 的值是 ．7. 方程27x y +=在自然数范围内的解( )有无数对 B ．只有1对 C ．只有3对 D ．只有4对 8. 判断下列方程组是否是二元一次方程组，并说明理由．（1）234232x y x z +=⎧⎨-=⎩ （2）232x y y x +=⎧⎨=+⎩ （3）00x y y +=⎧⎨=⎩（4）56a b ab +=⎧⎨=⎩ （5）224251x yx y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（6）x y z x y z -=⎧⎨+=-⎩ 9. 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解与两直线1111:l a x b y c +=与2222:l a x b y c +=位置关系的联系．（其中6个常数均不为零．）（每小题前一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”；后一个空选填“相交”、“平行”或“重合”）． （1）当2121b b a a ≠时，从“数”看：方程组有_______解；从“形”看，1l 与2l _______． （2）当212121c c b b a a ≠=时，从“数”看：方程组_______解；从“形”看，1l 与2l _______．（3）当212121c c b b a a ==时，从“数”看：方程组有_______解；从“形”看， 1l 与2l ______．【板块二】巧解方程组 10. 解下列方程组：（1）22(1)2(2)15-=-⎧⎨-+-=⎩x y x y （2）2(1)272(1)3(2)1++-=⎧⎨+--=-⎩x y x y（3） 212319182016+=⎧⎨+=⎩x y x y （4）201120122013201020112012+=⎧⎨+=⎩x y x y（5）361463102463361102+=-⎧⎨+=⎩x y x y （6）246+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩a b b c c a（7）5115--=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩x y z y x z z x y【板块三】同解方程问题11. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-21124y kx y x 的解也是x y =的解，则k =______.12. 若方程组456234x y x y -=-⎧⎨+=⎩与24ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同,则a,b 值为 （ ）A. a =33, b =1411B. a =33, b =1114- C. a =-33, b =1411D. a =-33, b =1114-13. 若方程组2456ax by x y +=⎧⎨-=-⎩与2344x y ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同,则a,b 值为 （ ）A. a =33, b =1411B. a =33, b =1114- C. a =-33, b =1411D. a =-33, b =1114-14. 某一天，小明和小华同解二元一次方程组161ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩①②，小明把方程①抄错，求得的解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小华把方程②抄错，求得的解为⎩⎨⎧==23y x ，求原方程组的解.【板块四】“整体叠加”巧解二元一次方程组1．两种方法解二元一次方程组. 【类型一】“整体”捆绑（1）2(2)422①②x x yx y++=⎧⎨+=⎩（2）2(1)272(1)3(2)1x yx y++-=⎧⎨+--=-⎩【类型二】“阶梯”系数——相减（1）191817171615x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）201020112012200920102011x yx y+=⎧⎨+=⎩【类型三】轮换对称——相加（1）361463102463361102x yx y+=-⎧⎨+=⎩（2）21129220a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩347111035x yx y+=⎧⎨+=⎩作业：1． 若245137a x abxy y -++=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =____，b =_____． 2． 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A .27349a b c d +=⎧⎨+=⎩B .21146xy x⎧+=⎪⎨⎪=⎩ C .31419592x y xyx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D .27210242y x x x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3． 下面4组数值中，是二元一次方程310x y +=的解的是（ ）A .26x y =-⎧⎨=⎩B .34x y =⎧⎨=⎩C .43x y =⎧⎨=⎩D .42x y =⎧⎨=-⎩ 4． 方程3x +4y =19在自然数范围内的解有（ ）组．A ．4B ．3C ．2D ．1 5． 在方程2578x y +=中，用含有y 的代数式表示x ，则x =_________． 6． 解下列方程组．73228x y x y -=⎧⎨+=⎩ 25438x y x y +=⎧⎨+=⎩ 7． 当x =_____，y =____时，代数式3x +8y +2和4x +y -7的值都和33x 相等．8． 若关于x 、y 的二元一次方程组31269x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解中，x 、y 的值相等，则m =______．9． 方程组⎩⎨⎧=-=+95732y x y x 的解是83=+my x 的一个解，则m =_______．10． 已知35323x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩且x 、y 之和为12，则m 等于（ ）A.10B.15C.20D.25 11． 已知252124x y x y ++==，则=+-++73212y x y x ________．12． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解，则整数a 为 ．13． 方程组2316413x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是___________，则直线216=+33y x ﹣与113=+44y x ﹣的交点 坐标是________．14． 如果关于x 、y 的方程组5616645x y x y m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩有无穷多解，则关于x 、y 的方程组45710711x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解为___________． 15． 若方程组⎩⎨⎧=+=+b ay x y x 21有唯一解，则a 、b 的值应当是（ ）A ．a ≠2，b 为任意实数B ．a ＝2，b ≠0C ．a ＝2，b ≠2D ．a ，b 为任意实数16． 若方程组⎩⎨⎧=+=-241my x y kx 有无数组解，则k 与m 分别为（ ）A ．k =1，m =1B ．k =2，m =1C ．k =2，m =﹣2D ．k =2，m =217． k 为_______时，方程组⎩⎨⎧=-=+25322y x y kx 无解．二元一次方程组解应用题一、知识提要1．二元一次方程组基础应用鸡兔同笼问题的关键：配套；增收节支问题的关键：列表；行程问题的关键：画线段图；数字问题的关键：画数位图.2．方案设计问题：找出不同情况下的等量关系，列出方程，求出最优解3．拓展拔高：三元一次方程组的应用二、专项训练【板块一】鸡兔同笼1.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分别分配名工人生产螺钉，工人生产螺母．（）A．12、10 B．11、11 C．10、12 D．9、132.晓东服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？【板块二】增收节支3.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，甲、乙两件服装成本分别是（）元.A．100、400 B．200、300 C．300、200 D．400、1004.小刚家去年种植芒果的收入扣除各项支出后结余5000元．今年他家芒果又喜获丰收，收入比去年增加了20%．由于实行了科学管理，今年的支出比去年减少了5%，因此今年结余比去年多1750元．小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？【板块四】行程问题5.一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度是（）千米/时．A．18 B．19 C．20 D．216.A、B两地相距360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车相距120千米时，甲车从出发一共用了（）分钟．A．275 B．250 C．225 D．200【板块五】数字问题7.小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数．小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9 ”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9” 那么新的两位数是（）A．54 B．45 C．36 D．638.一个三位数的数字之和等于12，它的个位数比十位数字小2．若将它的百位数字与个位数字互换，所得的数比原来的数小99，求原数．【板块六】方案设计问题9.某商场计划从厂家购进电视机,已知该厂生产三种不同型号的电视机,出厂价格分别是甲种每台1500元, 乙种每台2100元, 丙种每台2500元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.（2）已知商场销售一台甲型电视机可获利150元, 售一台乙型电视机可获利200元, 售一台丙型电视机可获利250元,在（1）的方案中为使销售时获利最多,应该选择哪种进货方案?三、课后作业1.A、B两城市航线长1200千米，一架飞机从A城顺风飞往B城需2小时30分钟，从B城返回A城逆风飞行需3小时20分，则飞机每小时飞行多少千米，风速是多少？2.甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地的出发．相向而行，每隔2分相遇一次；如果同向而行，每隔6分相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲乙每分各跑多少圈？3.某车间每天能生产甲种零件125个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在22天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？4.用含糖分别为30%和75%的两种糖水混合，配制成含糖为50%糖水18kg．问每种糖水各需多少千克？5.某公司用200万元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润是5%，另一种货物的利润是45%，共获得利润为35%，问两种货物各进货多少元？6.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的个位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？7.有甲、乙、丙三个数字，甲的3倍与丙的4倍的差是7，甲数的2倍与乙数的3倍的和比丙数大9，甲数的5倍与丙数的7倍的差等于9与乙数的9倍的和．。
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第七章 二元一次方程组
一、基本概念
（一）二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0）
结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。
而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m
2=n 等都不是二元一次方程。
2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如：⎩⎨
⎧-=+=-8532y x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337b a b a 、⎩⎨⎧=-=+12n m n m 、⎩
⎨⎧-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。
而⎩⎨⎧-=+=-8532z x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337a a a a 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1
21n m n m 等都不是二元一次方程组。
注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。
如：⎩⎨⎧-==852y x 、⎩⎨⎧-==11
2t s 也是二元一次方程组。
3．二元一次方程和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的 两个方程 左右两边的值都相等的 两个 未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
（即是两个方程的公共解）
注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“⎩
⎨⎧
”把方程中两个未知数的值连接起来写。
二元方程解的写法的标准形式是：⎩⎨
⎧==b
y a x ，（其中a 、b 为常数） （二）二元一次方程组的解法 1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。
2．二元一次方程组的基本解法
（1）代入消元法（代入法）
定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。
步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。
②把③代人另一个方程，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
（2）加减消元法（加减法）
定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。
步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
注意：正确选用两种基本解二元一次方程组
（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。
（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。
（三）二元一次方程组的应用
1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。
2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）
面积问题等。
3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。
注意事项：
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。
一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
二、练习
1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。
2．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。
3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。