图论习题

第三章 平面图
8.S = {x1 , x2 ,..., xn }是平面上点组成的集合，n ≥ 3， S中任两点距离至少为 1， 则距离恰为1的顶对在S中至多3n − 6对。 证：以S为顶点集构造一个单图Ｇ， xi与x j 在G中相连以边当且仅当xi，x j间 距离为1. 下证Ｇ为平面图。 而ε (G) ≤ 3n - 6. 按G的边的定义知，结论成立。
第四章 匹配理论及其应用
• 2.树上是否可能有两个不同的完备匹配？为什么？ • 解：不可能。
设M1，M 2为两个不同的完备匹配，则M1 ⊕ M 2 ≠ φ 且T[M1 ⊕ M 2 ]中的每个顶点的度为2. 由例1.9可知，T中包含圈。这与T为树矛盾。
第五章 着色理论
• 1.求n顶轮的边色数 • hints：n-1
到达城市 v2 v3 v4 v5 v6 最便宜路线 v1--v6--v2 v1--v5--v3 or v1-v6-v4-v3 v1-v5-v4 or v1-v6-v4 v1-v5 v1-v6 票价 35 45 35 25 10
第一章 图
• 59.船工把狼、羊、菜运过河，每次只能运走一宗， 为了安全，不能狼与羊、羊与菜在无人看管时在 一起，如何运送最为省时。 • hints：岸上不可能出现 狼羊菜、羊菜、狼羊；他 hints 们的余：人、人狼、人菜 也不会出现 • 从“人狼羊菜”到“空”的最短路。
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第五章 着色理论
第一条边颜色不变，其余边两色互换。 直至vl −1处无i h 色，多i l -1色； 得出矛盾：v l -1v l 着i h 色; vl 处i h = i l 色出现至少三次； 从而G中i h 和i l -1色边的导出子图中含v l的分支不可能是奇圈， 从而得出矛盾。
i =1 i i i
w
而 φ (G ) = ∑ φ (Gi ) − ω + 1
i =1
w
ν (G ) − ε (G ) + φ (G ) = 2ω − ω + 1 = ω + 1
第四章 匹配理论及其应用
1.求K 2 n 和K n ,n中不同完备匹配的数目。 解：K 2 n 有(2n − 1)!!个不同的完备匹配 K n ,n有n！ 个不同的完备匹配。
第二章 树
• 5.证明：树有一个中心或者两个中心，但有两个 中心时，此二中心是邻顶。 • 证明：结论对于树K1，K2显然成立。 • 下证，对于任何一个其它的树T，与除去T的所有 度为1的顶点得到的树T' 有同样的中心。 • 因为T有限，经过有限步后，得到树K1或K2。 • 且K1，K2的中心即为T的中心。 • 得证。
第五章 着色理论
• 8. 4名老师4个班级上课问题。 • 计算，一天应分几节课？若每天8节课，需几 间教室？ • hints： ∆(G ) = 16, ε (G ) = 48
16 = 4 一天分4节课 5 48 = 2 需2间教室 5*8
若 13. δ是单图G顶的最小次数，证明；若δ > 1则存在δ − 1边着色， 使与每顶关联的边种有δ − 1种颜色。 h int s : 反证法：设C = (E1 , E 2 ,..., E δ −1 )为G的(δ − 1) − 最佳边着色 构造点列：v1 , v2 ,..., vh , vh +1 ,....., vl ,.... v1处无i 0色，v j v j +1着i j色，且在v j点处i j 色重复出现，仅一个i j-1色；h = i l i 着色调整：v j v j +1着i j-1色( j = 1,2,..., h) 奇圈，颜色互换：E( Eih ∪ Eik )(k = h + 1, h + 2,..., l − 2),
第一章 图
• 47.证明：连通图若有两条最长轨，则二最 长轨有公共顶点。 • hints：设两最长轨无公共顶点，由于连通 性，找出一条更长轨，得出矛盾。 • 讲解下更长轨的构造。
第一章 图
58.为旅行者制作一张由v1到各城的最便宜的航行路线图。
• 典型错误：求的是从 v1 到其它所有点价格总和最小 • hints：Dijkstra算法
第二章 树
3. 证明：若T为树，且∆(T) ≥ n, 则T至少有n个叶。 反证法：若G中顶点度为1的顶点个数s小于k。 2ε (G ) =
v∈V ( G )
∑ d (v ) ≥
2[v(G ) − ( s + 1)] + k + s ≥ 2v − 1
故ε (G ) ≥ v − 1 > v − 1.这与 G为树，ε (G ) = v − 1 矛盾。 2 故命题成立。
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第三章 平面图
11.设ω是平面图Ｇ的连通片个数，则 ν (G ) − ε (G ) + φ (G ) = ω + 1 1 证：对于每个连通片G i， ≤ i ≤ ω，运用欧拉定理：
ν (Gi ) − ε (Gi ) + φ (Gi ) = 2
∑ [ν (G ) − ε (G ) + φ (G )] = 2ω
第三章 平面图
1.证明K 5与K 3,3删去一条边皆是平面图。 hints：画出即可 另，注意，这些边完全是等价的，没有必要分情况讨论。
第三章 平面图
• 5.对偶图的概念。自对偶图：平面图G与其对偶 图同构。证明：
(1)若G为自对偶图，则ε (G ) = 2v(G ) − 2 (2)∀n ∈ N , n ≥ 4, 构作一个n顶自对偶图。 证明： (1)由于G为自对偶图，则顶点数ν = 面数φ 又由欧拉定理，ν − ε + φ = 2 从而ε (G ) = 2v(G ) − 2 （2）n ≥ 4时，n − 1条幅的轮Wn -1是一个自对偶平面图。
第五章 着色理论
2.给出求二分图正常∆边着色的算法。 hints：设G为二分图，其中 | X |≥| Y | ，首先加点扩充Y ，使 | X |=| Y | ，添加边使G变成∆ − 正则二分图(可能有重边)，记为G *， 利用匈牙利算法逐次求其完备匹配，直至求出G *的∆个边不重的完备匹配 每一个完备匹配着一种颜色即可。
第三章 平面图
7.若G的顶点数不少于11个，则G c 不是平面图 证明：ε (G ) + ε (G c ) = v(v − 1) 2 , 又ε (G ) ≤ 3v(G ) − 6 则ε (G c ) ≥ 1 （v 2 − 7v + 12） 2 当v ≥ 11时，ε (G c ) > 3v(G c ) − 6, 从而G c 不是平面图
图论习题课一
第一章 图
40. 证明： 是单图， δ ≥ k , 则G有长k的轨。 G 证： P为Ｇ的一条最长轨，它的长度l＜k，设Ｐ为v1v2 v3 ...vl +1 , 若 而d (v1 ) ≥ δ ≥ k > l , 从而P外恒存在一点v0与v1邻接， 于是v0 v1v2 v3 ...vl +1是G中长于P的一条轨， 这与P是最长轨矛盾，故l ≥ k . 故 G中有长k的轨。
第五章 着色理论
7. 图G的任何两个k边正常着色对边集合的色划分( E1 , E2 ,..., Ek )是一样的， 则称G是唯一正常k边可着色。 求证唯一正常3边可着色的3次正则图中有一个含该图一切顶的圈。 证：由于Ｇ是唯一的３边可着色的３次正则图，Ｇ有正常的３边着色， 从而G上每一顶点三种颜色各出现一次。每一色恰为Ｇ的一个匹配。 取Ｇ中 1, 2 两色的边所构成子图Ｇ ，可证得Ｇ 连通。 １ １ 否则G1不连通，则可分成两个互不相交的子图，交换其中某一子图中的 1,2两色，则构成和原来不同的Ｅ(G )的划分。这与G是唯一正常3边着色矛盾。 从而G1即为G中含有一切顶的圈。
人狼羊菜 → 狼菜 → 人狼菜 → 狼 → 人狼羊 → 羊 → 人羊 → 空 → 菜 → 人羊菜
第二章 树
• 1.至少两个顶的树其最长轨的起止顶皆是叶，试证明 之。 • hints：
设最长轨P 为 v 0 v1...vn .若d (v0 ) ≥ 2 1.v0与除 P上的顶相连，则 P可继续延长，与P为最长轨矛盾。 2.v0与P上的某顶相连，则构成圈，与树矛盾。 从而，起止顶皆为叶。