4-1特征值与特征向量
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程等领域有着广泛的应用。
本文将对特征值与特征向量进行详细讲解，并介绍它们的一些重要性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，非零向量x若满足Ax=kx，其中k为一个标量，那么我们称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性。
二、求解特征值与特征向量要求解一个矩阵的特征值与特征向量，我们可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，形式为|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值代入到(A-kI)x=0中，求解线性方程组即可得到特征向量。
特征值与特征向量是成对存在的，对于矩阵A的每一个特征值k，都对应着一个特征向量。
一个矩阵最多有n个特征值，但是可能有重复的特征值。
三、特征值与特征向量的重要性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 特征向量与特征值的个数相等，一一对应。
2. 特征值可以为实数或复数，特征向量可以为实向量或复向量。
3. 若特征值为k，则对应的特征向量不唯一，可乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 矩阵的迹等于特征值的和，行列式等于特征值的积。
特征值与特征向量的这些性质在实际问题中有着重要的应用，可以用于矩阵的对角化、求解线性方程组、图像处理、物理模型的求解等领域。
四、特征值与特征向量的应用1. 数据降维在数据处理中，我们经常会遇到维度灾难，即特征维度非常高，而样本量较小。
利用特征值与特征向量，我们可以将高维度的数据降低到低维度，从而简化计算和数据处理过程，提高算法效率。
2. 图像处理图像可以用矩阵来表示，而图像的特性往往由矩阵的特征值与特征向量来描述。
利用特征值与特征向量，我们可以进行图像的压缩、图像的特征提取、图像的增强等图像处理操作。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量的求解方式
特征值与特征向量的求解方式在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
它们的求解在机器学习、图像处理、物理学等诸多领域中具有重要的应用。
本文将介绍特征值与特征向量的概念和求解方式。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么 k 称为矩阵A的特征值，x称为特征值k对应的特征向量。
特别的，当 k=0 时，x称为矩阵A的零向量。
特征值与特征向量有以下重要性质：1. 一个n阶方阵最多有n个不同的特征值。
2. 若A为实对称矩阵，则其特征向量对应的特征值均为实数。
3. 若A为正定矩阵，则其特征值均为正数。
4. 若A可逆，则其特征值均非零。
特征向量的长度一般不为1，我们可以将其归一化得到单位向量，使得 Ax=kx 中的特征向量x满足 ||x||=1。
二、1.利用特征多项式对 n 阶矩阵 A，设λ 为其特征值，用 |A-λI| =0 表示，其中 I 为n 阶单位矩阵。
化简方程，即得到 A 的特征值λ 的解析式。
求得λ 后，代入 (A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量 x。
举个例子，对于矩阵 A=[1 2;2 1]，我们有| A-λI |= | 1-λ 2; 2 1-λ| = (1-λ)^2 -4 = 0解得λ1=3, λ2=-1。
将λ1,λ2 代入 (A-λI)x=0 中分别求解，即可得到 A 的两个特征向量。
该方法简单易懂，但对于高阶矩阵，求解特征多项式需要高代数计算，计算复杂度较高。
2.利用幂法幂法是求最大特征值与对应特征向量的较为有效的方法。
该方法基于一下简单事实：给定一个向量 x，令 A 去作用若干次，Ax,A^2x,A^3x,...,A^nx，它们的向量长度将快速增长或快速衰减，且它们的比值趋于最大特征对应的幂指数。
假设 A 有一个不为零的特征向量 x，它对应的特征值为λ1，即Ax=λ1x。
那么，A^mx = A^mx/λ1^m λ1x当 m 充分大时， A^mx 与λ1^mx 相比变化就很小了。
特征值和特征向量理解
特征值和特征向量理解特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及应用，帮助读者更好地理解这些概念。
一、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，可以用来表示线性变换、线性方程组等。
在矩阵中，特征值是指矩阵在乘以某个向量后仅改变该向量的伸缩因子的数值，而特征向量则是满足这个条件的向量。
具体来说，对于一个矩阵 A，如果存在一个非零向量 x，使得 Ax = λx，其中λ是常数，那么这个向量 x 就是矩阵 A 的特征向量，λ就是对应的特征值。
如果特征值λ为非零常数，则称这个特征向量为正常特征向量，否则称为退化特征向量。
二、特征值和特征向量的性质特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值是矩阵的固有属性，与输入向量无关。
同一个矩阵的特征值是固定的，不同矩阵的特征值一般不同。
2. 特征向量是与特征值相对应的向量，也是矩阵的固有属性。
同一个矩阵的特征向量是唯一的，不同矩阵的特征向量一般不同。
3. 特征值和特征向量的数量关系为：矩阵的特征值个数等于其特征向量的个数，也等于其秩。
4. 特征向量可以组成特征向量空间，特征向量空间是相同特征值的特征向量的集合。
5. 特征值和特征向量在计算上具有重要意义。
例如，在求解线性方程组时，可以通过特征值和特征向量来求解方程组的解向量。
三、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 机器学习：在机器学习中，特征向量可以用来表示数据的内在结构，特征值则可以用来表示数据的分布情况。
通过特征值和特征向量，可以对数据进行降维、分类、回归等处理。
2. 信号处理：在信号处理中，特征值和特征向量可以用来表示信号的频率和方向，从而进行信号的滤波、压缩、识别等处理。
3. 控制系统：在控制系统中，特征值和特征向量可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标，从而进行系统的优化和设计。
线性代数课件4-1矩阵的对角化
对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$，解方程 组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$，解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换，将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩 阵，从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式，可以直接求解各 个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化，可以避免对原始系数矩阵 进行复杂的运算，从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计 算，进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性：$A sim A$（任何矩阵都与自身相似）。
04
对称性：若$A sim B$，则$B sim A$。
05
传递性：若$A sim B$且$B sim C$，则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性 无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义：对于n阶方阵A，如果存在一个可逆 矩阵P，使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵，则称A为 Jordan可约的，对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准 型。 性质
特征值和特征向量的基本定义及运算
特征值和特征向量的基本定义及运算特征值和特征向量是线性代数中的两个重要概念，广泛应用于机器学习、图像处理、信号处理等领域中。
本文旨在介绍特征值和特征向量的基本定义及运算，并探讨其在实际中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
一个 n × n 的矩阵 A 是由 n 行 n 列的元素组成的，并且可以用列向量的形式表示为 A = [a1, a2, ..., an]。
其中，ai 表示矩阵 A 的第 i 列的列向量。
矩阵 A 的特征向量是指一个非零向量 v，满足Av = λv，其中λ 是一个常数，称作该矩阵的特征值。
通常情况下，特征向量 v 与特征值λ 是成对出现的，即一个特征向量对应一个特征值。
二、特征值与特征向量的求解特征值和特征向量的求解是线性代数中的一个经典问题。
一般情况下，可以通过求解矩阵 A 的特征多项式来求解其特征值。
设矩阵 A 的特征多项式为f(λ) = |A - λI|，其中 I 表示单位矩阵。
则 A 的特征值即为方程f(λ) = 0 的根。
对于每个特征值λ，可通过解如下方程组来求解对应的特征向量：(A - λI)v = 0其中，v 表示特征向量，0 表示零向量。
上述方程组的解空间为 A - λI 的零空间，也称为矩阵 A 的特征子空间。
如果矩阵 A 的特征值λ 是重根，则λ 对应的特征向量有多个线性无关的向量。
此时，可求解齐次线性方程组 (A - λI)v = 0 的基础解系，从中选取线性无关的向量作为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有一些重要的性质，其中较为常见的包括：1. 特征值的和等于矩阵的迹设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A) 表示矩阵 A 的迹，即主对角线上元素的和。
2. 特征值的积等于矩阵的行列式设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 λ2 ... λn = |A|其中，|A| 表示矩阵 A 的行列式。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。
特征值λ 是使得上述等式成立的实数。
特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。
而特征值也最多有n 个。
一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。
2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。
3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。
三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。
1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。
这样可以得到 A 的特征值。
2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。
解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。
对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。
2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。
4-1 特征值与特征向量
kI A k A
k k -
A ③ 若Ａ可逆，则 是 A*的一个特征值； l
A A A A
A A A I
A I＝ A
A A A
A
Ａ可逆 0. 假设 ＝0， I - A =0 - A =0， 与Ａ可逆矛盾. 0 A \ 是 A* 的一个特征值； l
一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义11a为n阶方阵如果存在数和n维非零向量使得则称为a的特征值称为a的对应于特征值的特征向量
一、特征值与特征向量的概念 定义1 Ａ为ｎ阶方阵，如果存在数λ和ｎ维非零 向量α，使得 A
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的对应于特征值 λ的特征向量． Ax y 线性变换 A
0， 是方程的非零解, I A 0.
特征值：方程 I A 0 的根. 特征向量： 齐次线性方程组 I A x 0 非零解向量.
定义2 称 I A 为Ａ的特征矩阵． a11 a12 a1n a21 a22 a2 n I A
1 例3 设矩阵 轾 - 1 0 犏 已知矩阵A有特征值1 1, 2 2, A= 犏 x 0 2 犏 犏 2 1 求x，及A的另一个特征值. 4 臌 3 3 x 2 解：1 2 3 1 x 1 1 - 1 0 123 A 2 x 0 = x + 2 23 x 2 4
1 2 n
n
I A 1 2 n
n 1
1 12 n
n
令 0, 0I A = A (-1)n A 1 12 n
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
4_1方阵的特征值与特征向量
(l+2)2(l-4)0， 矩阵A的特征值为 l1l2-2, l34 .
对于特征值l1l2-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo, 1 -1 得其基础解系 1 及 0 ， 0 1 于是，A的对应于l1l2-2 的全部特征向量为 1 -1 c1 1 +c2 0 (c1,c2不全为0) . 0 1
A 2Ｘ ＝ l A Ｘ ,
把AＸ＝lＸ代入上式得
A2Ｘ＝l(lＸ) l2Ｘ，
依次类推可得
AmＸ＝lmＸ，
即lm是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．
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性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是
一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
推论 设l是方阵A的一个特征值，则
1 c1 1
矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .
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(c1不为0) .
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方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A 3 1 5 -1 的特征值与特征向量.
| lE-AT | | (lE-A)T | | (lE-A) |， 所以它们的特征值相同． 即A与AT 有相同的特征多项式，
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例6. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.
证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质
4之推论可得l 2- l =0，解得，l 1＝0， l 2＝1. 证毕.
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线性代数特征值与特征向量
线性代数特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质以及应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得满足以下等式：Av = λv其中，v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征值与特征向量始终成对出现，不同特征向量对应的特征值可以相同，也可以不同。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量的性质（1）特征向量可以进行线性组合。
即若v1和v2是矩阵A相应于特征值λ的特征向量，那么c1v1 + c2v2也是矩阵A相应于λ的特征向量（其中c1和c2为常数）。
（2）特征向量的数量最多为n。
对于一个n阶方阵A，它最多有n个线性无关的特征向量。
2. 特征值的性质（1）特征值具有可加性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A+B的特征值为λ1+μ1。
（2）特征值具有可乘性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A·B的特征值为λ1·μ1。
三、特征值与特征向量的求解方法特征值与特征向量的求解是通过解方程Av = λv来实现的。
常见的求解方法有以下两种：1. 特征方程法将Av = λv转化为(A-λI)v = 0，求解矩阵(A-λI)的零空间，即可得到特征向量v，然后代入Av = λv中求解λ。
2. 列主元法通过高斯消元法将矩阵A转化为上三角矩阵U，求解Ux = 0的基础解系，其中x即为特征向量，对应的主对角线元素即为特征值。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，以下是其中几个典型的应用案例：1. 矩阵对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
矩阵对角化可以简化矩阵的运算，提高计算效率。
2. 矩阵压缩在图像处理和数据压缩中，特征值与特征向量可以用来进行矩阵的压缩。
4-1_矩阵的特征值与特征向量
= − x3 = x3
0 1 0 1 0 → 0 1 − 1 − 1 0 0 0
= x3
得(λ1 I − A) x
的全部特征向量为： 所以 A的对应于 λ1 = −2的全部特征向量为： cη1(c ≠ 0),
− 1 = 0的一个基础解系 : η1 = 1 , 1
当λ 2 = 1时, 解方程(λ 2 I − A) x = 0.
− 3 − 6 1 3 6 0 x1 = − 2 x 2 r ( λ 2 I − A) = 1， x2 = x2 x = x 3 3
4 A= −3 4 6 0 − 3 − 6 0 1 2 0 − 3 λ2 I − A = I − − 3 − 5 0 = 3 6 0 → 0 0 0 ,
λ 故 λ −1是矩阵 A −1的特征值 , 且 x是 A −1对应于 λ −1
的特征向量 .
A x=
−1
1
x.
A Ax = A λx ⇒ A Ix = λ( A x) , | A| ∗ AA∗ = A∗ A =| A | I x. ⇒A x=
∗ ∗
∗
故 故 | A|
| A|
λ
λ
是矩阵 A∗的特征值 , 且 x是 A ∗的属于
λ
的特征向量 .
例3
填空
A的一个特征值， 设λ0是n阶方阵 的一个特征值，则
2 的一个特征值， _____________ 是A2的一个特征值， 0
λ
__________ 的一个特征值， k − λ0 ___ 是kI − A的一个特征值， __________ 的一个特征值， 如果A可逆, | A | λ 0 _ 是A∗的一 0 − 6 1 6
概率论与数理统计4-1矩阵的特征值与特征向量
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 ). 0
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 | A E | 或 | E A | ;
2. 求特征方程 | A E | 0 或 | E A | 0 的全部根
1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
1 0 1 ~ 0 1 0 , 0 0 0
故对应于1 1的全体特征向量为 k p1 ( k 0).
当2 3 2时, 解方程 A 2 E x 0.由
4 1 1 4 1 1 A 2 E 0 0 0 ~ 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0 得基础解系为： 0 1 p2 1 , p3 0 , 1 4 所以对应于 2 3 2的全部特征向量为:
推广
. 是A 的特征值
m
m
例3 设λ是方阵A的特征值, 证明
2 是 A 2 的特征值; (1) 1 是A 1的特征值. (2) 当A可逆时,
m m . 是A 的特征值
2 当A可逆时, 0,
1
1
由Ax x可得
1
A Ax A x A x
A x x
解
2 A E 0 4
1 2 1
2
1 0 3
( 1) 2 , 2 令 ( 1) 2 0
得A的特征值为1 1, 2 3 2.
当1 1时, 解方程 A E x 0.由
1 1 1 A E 0 3 0 4 1 4 1 得基础解系 p1 0 , 1
一、特征值与特征向量的概念
判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
第四章 特征值与特征向量(研究生矩阵论)
A( A x 3Ax 4x) 0, ( A 4E)(A x Ax) 0, ( A E)(A x 4 Ax) 0.
线性无关，所以
2
由于
x, Ax, A x
2
A x 3 Ax 4 x 0，
A x Ax 0， A x 4 Ax 0. 据此立得： A 0, A 4E 0, A E 0. 故 A 的三个特征值为0，-1，4. 于是
A
有特征值
1
以及相应的特征向量 的一组基，设为
n
1. 将 1 扩充成 C n 1, 2 ,, n . 令
则因 A1 11 , A i b ji j (2 i n)，
j 1
1 b12 b1n 0 b22 b2 n A1 , A 2 ,, A n 1 , 2 ,, n 0 b b n2 nn 若令 P 1 , 2 ,, n ,
【命题4.2.3】设
n 阶矩阵
A 相似于对角矩阵
f ( x)
n 个特征值为 1, 2 ,, n， 是一多项式，则 f ( A) 的 n 个特征值为
A
的
f (1 ), f (2 ),, f (n ).
【推论4.2.1】设 则对
f ( x)
是一多项式，若
f ( A) 0,
A
的任一特征值
a11 0 0 a11 0 a13 a11 a12 0 a12 0 a21 a23 a21 a22 0 a13 0 a31 0 a33 a31 a32
a12 a13 a11 a12 a13 0 a22 a23 a21 a22 a23 0 a23 a33 a31 a32 a33
4.3.14.2.1特征值与特征向量的定义和求法学习资料
定义 设A 是一个n 阶方阵，如果存在一个数 ，以及一个
非零 n 维列向量 ，使得
A 则称 为矩阵A的特征值，而 称为矩阵A的属于特征值
的特征向量.
注意：1. 特征值问题是针对方阵而言的； 2. 特征向量必须是非零向量； 3. 特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ.
4.2.1 特征值、特征向量的定义和求法 02 特 征 值 、 特 征 向 量 的 求 法
设 为矩阵A的特征值， 为A的属于特征值 的特征向量,则
A ( 0) ( E A) 0 ( 0)
( E A) X 0 有非零解
| E A| 0.
即方程 | E A | 0 的根就是矩阵A的特征值，( E A) X 0 的非零解即为A的属于特征值 的特值征向量.
例1 设
A
4
3
0
,
求A的特征值与特征向量.
1 0 2
+1 1 0
解 f ( )= | E A | 4 3 0
1 0 2
( 2)( 1)2 0 ,
所以A的特征值为 1 2, 2 = 3 1.
4.2.1 特征值、特征向量的定义和求法 02 特 征 值 、 特 征 向 量 的 求 法
它们的特征值即为主对角元.
感谢您的观看
对 2 1， 相应的齐次线性方程组为 (E A)X 0,
2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
E
A
4
2
0
4
2
0
0
2
4
0
1
2
,
1 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0
不同特征值的特征向量一定正交吗
不同特征值的特征向量一定正交吗不一定正交特征值与特征向量，如矩阵A=[2 3][2 1]，它的特征值为-1、4，对应的特征向量为（-1，1）^T，（3，2）^T，显然这两个向量是不正交的但一般来说，对于任何矩阵，不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的；特别地，对于实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量必须是正交的。
·每一个线性空间都有一个基。
·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
矩阵是非奇异的(可逆的)当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它所表示的线性变换是自同构。
一个矩阵是半正定的当且仅当它的每个特征值都大于或等于零。
矩阵是正定的当且仅当它的每个特征值都大于零。
·解线性方程组的克拉默法则。
判断具有非零实根的线性方程组的增广矩阵和系数矩阵之间的关系。
线性代数，求特征值和特征向量特征值λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
解：|λE-A| =|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ||λE-A| = (λ-3)*|λ-1 -3||-2 λ||λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2特征值λ = -2， 3， 3对于λ = -2，λE-A =[-3 -1 -3][ 0 -5 0][-2 -2 -2]行初等变换为[ 1 1 1] [ 0 1 0] [ 0 2 0]行初等变换为[ 1 0 1] [ 0 1 0] [ 0 0 0]得特征向量 (1 0 -1)^T。
对于重特征值λ = 3，λE-A = [ 2 -1 -3][ 0 0 0][-2 -2 3]行初等变换为[ 2 -1 -3][ 0 -3 0][ 0 0 0]行初等变换为[ 2 0 -3][ 0 1 0][ 0 0 0]得特征向量 (3 0 2)^T。
4-1方阵的特征值与特征向量
−2 1 1 例3 求矩阵 A= 0 2 0的特征值和特征向量. −4 1 3 解 A的特征多项式为
λ+2 λE − A =
0 4 −1 −1 0 = (λ + 1)(λ − 2) 2 λ −2 −1 λ − 3
所以A的特征值为λ1=−1, λ2=λ3=2. 对于λ1=−1, 解方程(−E−A)x=0,得基础解系p1=(1, 0, 1)T, 所以对应于λ1=−1的全部特征向量为k1p1(k1≠0). 对于λ2=λ3=2, 解方程(2E−A)x=0, 得基础解系 p2=(0, 1, −1)T, p3=(1, 0, 4)T, 所以对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为k2 p2+k3 p3 (k2,k3不全为0).
把上列各式合写成矩阵形式, 得
1 (x1 p , x2 p2, ⋅⋅⋅, xm pm) 1 1 ⋅⋅⋅ 1
Henan Agricultural University
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ λm ⋅⋅⋅ λm−1 m
m λ1 ⋅⋅⋅ λ1 1 m−1 λ2 ⋅⋅⋅ λ2 =(0, 0, ⋅⋅⋅, 0) .
λ(p1+p2)=λ1p1+λ2p2, 即(λ1−λ)p1+(λ2−λ)p2=0.
因为λ1≠λ2, 按定理2知p1, p2线性无关, 故由上式得
复习 第三章
1. 线性方程组解的高斯消元法； 线性方程组解的高斯消元法； 2. 向量组的极大线性无关组； 向量组的极大线性无关组； 3. 向量空间的基和维数 4. 齐次线性方程组解的结构
Henan Agricultural University
第四章 相似矩阵
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a1n a2n 0 (4 3) L
an1 an2 L ann
式（4-3）是以 为未知数的一元 n 次
方程，称为矩阵 A 的特征方程，其左端的 n 次多项式，称为 A 的特征多项式，矩阵
I A 称为 A 的特征矩阵.
a11 a12 L A E a21 a22 L
L LL
比较式(4-4)与(4-5)可得，
1 2 L n a11 a22 L ann 推论: n 阶方阵 A 可逆的充要条件是有
n 个非零特征值.
例2 设 是方阵 A 的特征值, 证明： (1) 2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆, 0 时， 1是 A1 的
特征值.
证明 :(1) 设 X是 A 的对应于 的特征
(2) (1) m 得
k1 1 m X1 k2 2 m X2 L km-1 m-1 m X m-1 0
因 X1，X 2，，X m1 线性无关，于是有
ki i m 0 (i 1, 2,L , m 1)
因 i m 0 ，所以
k1 k2 L km-1 0
于是式（1）变为 km X m 0 又因 X m 0 所以，km 0 根据数学归纳法，X1，X 2，L ，X m
k1 X1 k2 X 2 也是 A 对应于特征值 0 的特
征向量.
证明: 因
A k1X1 k2 X2 k1AX1 k2 AX2 k1 0 X1 k2 0 X2
0 k1 X1 k2 X 2
而 X1，X2 线性无关，k1，k2不全为零，故 k1 X1 k2 X 2 0
所以 k1 X1 k2 X 2 是 A 对应于特征值 0
x1
x2
0.
解得 x1 x2
1
所以对应的特征向量可取为
p1
1
当 2 4 时，由
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ，所以对应的特征向量可取
为
1
p2
1
1 1
例2
求矩阵
A
4
3
和特征向量.
1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
4 1 1 x3 0
即 4 x1 x2 x3 0
解之得， X c2 (1, 4, 0)T c3(1, 0, 4)T ，
其中 c2 , c3 为任意非零常数.
二、特征值与特征向量的性质
定理4.1 若线性无关的非零向量 X1，X2
都是矩阵 A 的对应于特征值 0 的特征向
量，则对任意不全为零的数 k1，k2 ,向量
a11 a22 L ann
由行列式定义， I A 展开式中，其余 项至多包含主对角线上的 n 2 个元素，
也就是说，A 的特征多项式 I A 中含 n 与 n1的项只在主对角线上元素的乘积
项中，故有
I A n a11 a22 L ann n1
L 1n A
第四章 特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量 §2 相似矩阵与矩阵的对角化 §3 实对称矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义
定义1 设 A为 n 阶方阵，若存在一个数
和一个非零 n 维列向量 X，使得
AX X (4 1) 则称 是 A 的特征值，X是 A 的对应于
的特征向量.
定理4.2 方阵 A与其转置 AT有相同的特征
值.
证明: 因 I AT I AT ,两边取
行列式，得
I AT （ I A）T I A
即 AT与 A 有相同的特征多项式，从而有相
同的特征值.
但应注意，A, AT 虽有相同的特征值，但不
一定有相同的特征向量. 例如
A
a1n a2n L
ann
1 2 L n n 1 2 L n n1
L 1n 12 L n (4 4)
（1） 当 0 时，式(4-4)变为
A 1n 12 L n
即
1n A 1n 12 L n
于是
A 12 L n
（2） I A 的主对角线上元素的乘积项为
对应的特征向量 X1，X 2，L ，X m1 线性无关
现证对 m 个互不相同的特征值
1，2，L ，m
对 应 的 特 征 向 量 X1，X 2，L ，X m 线 性 无
关.
设存在数 k1，k2，L ，km ，使 k1 X1 k2 X2 L km Xm 0(1)
成立，A(1) 得：
k11 X1 k22 X2 L kmm X m 0(2)
a1n a2n 0 (4 3) L
an1 an2 L ann
显然 A 的特征值 就是特征方程（4-3）
的根，特征向量 X 就是齐次线性方程组
I A X =0(4-2) 的非零解.
求解特征方程（4-3）就可以求出 A 的全
部特征值.求解齐次线性方程组（4-2）就可 求出对应的特征向量.
3 1
解 A 的特征多项式为
0
0
的特征值
2
1 1 0
A E 4 3 0
1
0 2
(2 )(1 )2
所以 A 的特征值为 1 2, 2 3 1 当 1 2 时，对应的特征向量 X 满足
3
4
1 1
0
0
x1 x2
0 0
,
即
3 4
x1 x1
x2 x2
0 0
零常数.
2 1 1
例3
求矩阵
A
0
2
0
的特征
值和特征向量. 4 1 3
解: A 的特征多项式为
2 1 1
I A 0 2 0
4 1 3
( 1)( 2)2 0
故 A 的特征值为 1 1, 2 3 2
当 1 1 时，对应的特征向量 X 满足
1 1 1 x1 0
的特征向量，式（4-1）也可写成
I A X =0(4-2)
这是一个有 n 个未知数 n个方程的齐次线
性方程组. 它有非零解的充要条件是系数行 列式等于零，即
a11 a12 L A E a21 a22 L
L LL
a1n a2n 0(4 3) L
an1 an2 L ann
a11 a12 L A E a21 a22 L
征值.
例3 设三阶方阵 A 的三个特征值为1，2
-1，求
（1） B A A2 3A 2I 的特征值； （2） C A A1 2I 的特征值.
解（1） 1 12 31 2 6
2 22 3 2 2 12, 1 12 31 2 0,
即 B 的特征值为6，12，0.
0
3
0
x2
0
4 1 4 x3 0
即
x1 x2 x3 0 3x2 0
4 x1 x2 4 x3 0
解之得，X c1(1, 0,1)T ，其中 c1 为任意非
零常数.
当 2 3 2 时，对应的特征向量 X 满足
4 1 1 x1 0
0
0
0
x2
0
1 2
1
4
A, AT有相同的特征值2、3
但容易验证
1 1
A
1
2
1
但
AT
1 1
2
1
1
定理4.3 n 阶方阵 A 的互不相同的特征值 1，2，L ，m 对应的特征向量
线性无关. X1，X 2，L ，X m
证明: m 1 时，由于特征向量不为零，
定理显然成立.
假设对 m 1个互不相同的特征值 1，2，L ，m1
（2） 1 11 2 3
1 11 2 1,
2 21 2 5 ,
2
即 C 的特征值为3，52 ， 1.
1 0 0 x3 0
x1 0
解之得，X c1(0, 0,1)T，其中 c1 为任意非
零常数.
当 2 3 1 时，对应的特征向量 X 满足
2 1 0 x1 0
4
2
0
x2
0
1 0 1 x3 0
即
2
x1 x1
x2 x3
0 0
解之得，X c2 (1, 2, 1)T，其中c2 为任意非
线性无关.
推论: 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特 征值，则 A 有 n 个线性无关的特征向量.
定理4.4 设1，2，L ，m 是A 的 m 个
互不相同的特征值，i1,i2 ,L ,iki 是 A 的
对应于 i i 1, 2,L , m 的线性无关的特
征向量，则向量组
11 ,12 ,L ,1k1 ,21 ,22 ,L ,2k2
,L ,m1,m2 ,L ,mkm
线性无关.
定理4.5 设 1，2，L ，n 是 n 阶方阵
A aij 的 n个特征值，则
(1)12 L n A (2)1 2 L n a11 a22 L ann
证明： a11 a12 L
I A a21 a22 L
L
LL
an1 an2 L
向量，则有
AX X
A2X A AX
A X AX X 2X
所以 2是 A2 的特征值
(2) 因 AX X，两边乘以 A1得， X A1 X A1 X 1 X
所以 1是 A1 的特征值.
以此类推，不难证明， k 是 Ak 的特征值；
若 (x) 为多项式，则 是 A 的特
例1. 求矩阵 与特征向量.
A
1
3
的特征值
解 A 的特征方程为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以 A 的特征值为 1 2, 2 4