周期信号的傅里叶变换ppt课件

冲激序列在频域中抽样，则在时域 中等效于f(t)以抽样间隔为周期而 平移。从而也就说明了“周期信号 的频谱是离散的”这一规律。
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3.11 抽样定理
时域抽样定理 频域抽样定理
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时域抽样定理
一个带限信号f(t),如果频谱|ω|≤ωm,则信 号f(t)可以唯一地由其均匀时间间隔 Ts≤1/(2fm)上的抽样值f(nTs)确定. 且抽样频率fs≥2fm(ωs≥2ωm). 而fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率; Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔.
(2) f (t)为奇函数 : f (t) bn sin( n1t) n 1
f(t) Ts F(ω) 以ωs为周期重复 F(ω) ωs f(t) 以Ts为周期重复
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✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
-ωm ωm
ω
ωm
ωs
ω
冲激抽样-理想抽样
1
Pn Ts
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnst dt
1
Ts
Fs ()
1 Ts
F (
n
ns )
14
上式表明:
Fs ()
1 Ts
F (
n
ns )
由于冲激序列的傅里叶系数Pn为 常数,所以F(ω)是以ωs为周期等 幅地重复,如下图所示：
n1
7
周期单位序列的傅里叶变换：
T1 (t) (t nT1) 1 ( n1)
n
n
p147 例3 10
3.10 抽样信号的傅里 叶变换
时域抽样 频域抽样
9
连续 信号
f(t)
抽样
抽样
信号 fs(t)
数字 量化编码 信号
抽样脉冲p(t)
问题：
1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未 被抽样的连续信号的频谱有什么关系？
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1
T1来自百度文库
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
令f0 (t) f (t) GT1 (t)
T1
F0 ()
2 T1
f (t)e jt dt
2
则Fn与F0 ()之间关系为:
Fn
1 T1
F0 ()
n1
1 [
T1
T1
2 T1
2
f (t)e jt dt]
作业: 3-41
改 f2 (t) Sa(1000 t)
下次课包括4.1-4.5节的内容， 请预先做好听课准备。
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第三章总结 及习题课
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知识点回顾:
周期信号傅里叶级数分析 非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
典型周期信号的FS
典型非周期信号的FT 傅里叶变换基本性质 抽样信号的FT 抽样定理
3.9 周期信号的傅里叶 变换
正弦/余弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换
1
正弦/余弦信号的傅里叶变换
1 2() cos(1t) [ ( 1) ( 1)]
sin( 1t) j[ ( 1) ( 1)]
2
一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号周期为T1,
角频率为1.其傅里叶级数为
1.周期信号不满足绝对可积条件. 2.引入冲激信号后,冲激的积分是有意义
的. 3.在以上意义下,周期信号的傅立叶变换
是存在的. 4.周期信号的频谱是离散的,其频谱密度,
即傅立叶变换是一系列冲激.
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周期信号f (t)的FS与取其一个周期f (t) GT1 (t) 形成的非周期信号的FT之间的关系:
F(ω) 抽样前
Fs(ω)
抽样后
1/Ts
- ωm ωm
ω
- ωs
ωs ω
*频域抽样
f (t) F () F1() F () ()
其中 () ( n1) n 1 f1(t) 1 n f (t nT1) 16
f1(t)
1
1
n
f
(t
nT1)
上式表明： 若f(t)的频谱F(ω)被间隔为ω1的
2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所 有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号 无失真的还原原始信号？
*时域抽样
fs (t) f (t) p(t)
1
Pn Ts
Ts
2 Ts
p(t)e jnst dt
2
P() 2 Pn ( ns )
n
Fs ()
1
2
F()* P()
Fs () PnF ( ns ) n
矩形脉冲抽样-自然抽样
Pn
1 Ts
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnst dt
E
Ts
Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
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上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
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fs(t)
Ts h(t)
Ts f(t)
Ts
Fs(ω)
t
H(ω) ωm ωs 1
卷积
F(ω)
ωc
相 乘
ωm
频域抽样定理
一个时限信号f(t),如果集中于 |t|≤tm,则其频谱F(ω)可以唯一由其 均匀频率间隔fs (fs≤1/(2tm))上的 抽样值F(nωs)确定.
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时域抽样与频域抽样的对称性
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傅里叶级数(FS)
三角形式 :
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin
n1t )
余弦分量幅度 : an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt(n 0,1,...)
正弦分量幅度 : bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt(n 1,2,...)
指数形式 : f (t)
F (n1 )e jn1t
n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t )e jn1t dt
其中n为所有的整数
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函数f(t)的对称性与FS系数关系
(1)
f
(t )为偶函数
:
f
(t )
a0 2
an
n1
cos n1t
an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
f (t) Fne jn1t n
3
FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n
2 Fn ( n1) n
小 1.由结一F:n些冲T1激1 组T2T121成f (离t)散e频jn谱1t d.t
2.位于信号的谐频处.
3.大小不是有限值,而是无穷小频带内 有无穷大的频谱值.
4
周期信号的傅立叶变换存在条件