二阶系统的阶跃响应
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第三章 时域分析法
第二节 二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的动态性能分析
（动态指标求取） 二阶系统的其他输入响应
一、二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统的结构图
闭环传递函数为
一、二阶系统的阶跃响应
特征方程
特征根
显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响 应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时， 对系统的影响作出讨论。
当
1
系统有两个不相等的负实根
2
s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
e e c(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
t / T1
t / T2
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周 期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此 时系统为 过阻尼 情况。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
c(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成: 稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差； 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频 率为 d ，称为阻尼振荡频率，瞬态分量 的衰减速度取决于指数函数的幂，称 为 衰减系数。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1 0系统有两个正实部虚根 单位阶跃响应为
h(t ) 1
e
n t 2
2 1
sin( n 1 t )
2
arctan( 1 2 )
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态 过程为发散正弦振荡的形式 总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
源自文库
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
e ntr sin( d t r ) 0
解之得 t r d
arccos
二、二阶系统的动态过程分析
n t 2 d
3、峰值时间tp的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将 c(t )求一阶导并另其为零。 1 整理得 1 2 tan( d t p ) 解之得
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
单位阶跃响应时
1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s s n
2 n
可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
当
0 1系统有一对具有负实部的共轭复数根
s 2 n 1 1 s 2 2 2 2 2 s s 2 s s ( s ) d ( s ) 2 d
n n
拉氏反变换得
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin( d t )
其中 arccos
s1, 2 n jn 1
2
对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为 衰减振荡过程，此时系统为 欠阻尼 情况。（后面将继 续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）
一、二阶系统的阶跃响应
当
特征方程有两个相等的实根 1 2 s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
2
2 若令 n , d n 1
s1, 2 jd
称
d 为有阻尼振荡频率 为衰减系数，
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当
R( s) 1 / s 时，由传递函数性质有
2 n 1 C ( s ) R( s )G ( s ) 2 2 s 2 n s n s
第二节 二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的动态性能分析
（动态指标求取） 二阶系统的其他输入响应
一、二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统的结构图
闭环传递函数为
一、二阶系统的阶跃响应
特征方程
特征根
显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响 应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时， 对系统的影响作出讨论。
当
1
系统有两个不相等的负实根
2
s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
e e c(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
t / T1
t / T2
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周 期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此 时系统为 过阻尼 情况。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
c(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成: 稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差； 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频 率为 d ，称为阻尼振荡频率，瞬态分量 的衰减速度取决于指数函数的幂，称 为 衰减系数。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1 0系统有两个正实部虚根 单位阶跃响应为
h(t ) 1
e
n t 2
2 1
sin( n 1 t )
2
arctan( 1 2 )
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态 过程为发散正弦振荡的形式 总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
源自文库
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
e ntr sin( d t r ) 0
解之得 t r d
arccos
二、二阶系统的动态过程分析
n t 2 d
3、峰值时间tp的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将 c(t )求一阶导并另其为零。 1 整理得 1 2 tan( d t p ) 解之得
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
单位阶跃响应时
1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s s n
2 n
可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
当
0 1系统有一对具有负实部的共轭复数根
s 2 n 1 1 s 2 2 2 2 2 s s 2 s s ( s ) d ( s ) 2 d
n n
拉氏反变换得
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin( d t )
其中 arccos
s1, 2 n jn 1
2
对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为 衰减振荡过程，此时系统为 欠阻尼 情况。（后面将继 续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）
一、二阶系统的阶跃响应
当
特征方程有两个相等的实根 1 2 s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
2
2 若令 n , d n 1
s1, 2 jd
称
d 为有阻尼振荡频率 为衰减系数，
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当
R( s) 1 / s 时，由传递函数性质有
2 n 1 C ( s ) R( s )G ( s ) 2 2 s 2 n s n s