第7讲--命题及充分与必要条件

第一章 常用逻辑用语

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第1讲 命题、充分条件与必要条件

考点1：命题1. 定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题

（3）命题“

”的真假判定方式： ① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助

判断。如：一定推出.② 若要判断命题“

”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

例1已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:（ ）

A ．p q ∧

B ．p q ⌝∧

C ．p q ∧⌝

D ．p q ⌝∧⌝

例2.下列命题中的假命题．．．

是 A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈=

C. 3,0x R x ∀∈>

D. ,20x x R ∀∈>

【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C

变式1.下列命题是真命题的为

A ．若11x y

=,则x y =B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,x y = D ．若x y <,则 22x y <

解析 由11x y

=得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,x y ,而 x y <得不到22x y < 故选A.

例3.下列4个命题11

1

:(0,),()()23x x

p x ∃∈+∞<

2:(0,1),p x ∃∈㏒1/2x>㏒1/3x

31p :(0,),()2

x x ∀∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32

x p x ∀∈<㏒1/3x 其中的真命题是 （ ） A. 13,p p B .14,p p C. 23,p p D. 24,p p

解析 取x ＝12,则㏒1/2x ＝1,㏒1/3x ＝log 32＜1,p 2正确

当x ∈(0,31

)时,(1

2)x

＜1,而㏒1/3x ＞1.p 4正确 答案 D 考点2：四种命题1. 四种命题的形式：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ； 逆否命题：若q 则p.2. 四种命题的关系

①原命题逆否命题.它们具有相同的真假

性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

例4.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；

(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；

(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.

解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．

否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．

逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．

(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．

否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．

逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．

(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．

否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．

逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．

例5.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 都是锐角”的否命题为:

_______________，否定形式是_____________-

解：否定形式：△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 不都是锐角”

否命题：△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A.∠B 不都是锐角”

例3.下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x +y =0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“两个

全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2+x +q =0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个

内角相等”的逆否命题。

解：①显然正确；②不正确；③不正确，因△=1-4q 未必大于0；④不对。

变式2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.

解：如果两条直线平行，那么它们同时与另一条直线垂直。

例6.已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．

分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．

解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．

⎪⎩

⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．

⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．

(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨

⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或； (ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤213

12m m m ．

综合，得m 的取值范围是{21≤

例7.命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是

变式3命题“存在0x ∈R ，02

x ≤0”的否定是 A. 不存在0x ∈R, 02x >0 B. 存在0x ∈R, 02x ≥0

C. 对任意的x ∈R,2x ≤0

D. 对任意的x ∈R, 2x >0

解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。

变式4 .命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）

A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案 B

解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。考点3：充分条件与必要条件1. 定义： 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p

q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；③若既有p q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论 推条件，最后进行判断.