随机过程(平稳过程)第六章PPT课件
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定义平稳过程课件
该模型是自回归模型和移动平均模型的结合，可以更好地捕捉时间序列数据的短期和长期 依赖性。
自动回归整合移动平均模型（ARIMA）
该模型在ARMA模型的基础上引入了差分项，以处理非平稳时间序列数据。
季节性自动回归整合移动平均模型（SARIMA）
该模型在ARIMA模型的基础上引入了季节性因素，以处理具有季节性影响的时间序列数 据。
气候变化数据
01
气候变化数据也是一种常见的平 稳时间序列数据。这等。
02
通过对气候变化数据的分析，可 以了解气候变化的趋势和模式， 进而做出更明智的环境保护决策 和气候应对措施。
其他时间序列数据
其他常见的时间序列数据包括电力消耗数据 、交通流量数据、销售数据等。
平稳过程的判断方法
方法一
观察均值和方差是否随时间变化。如果均值和方差在任何时间点上都保持恒定 ，那么该过程是平稳的。
方法二
使用样本均值和方差。计算样本均值和方差，并观察它们是否随时间变化。如 果样本均值和方差在任何时间点上都保持恒定，那么该过程是平稳的。
平稳过程的实际应用
应用一
在金融领域，平稳过程被用于建模股 票价格的波动。通过使用平稳过程， 可以更好地理解股票价格的波动性和 风险。
计系统状态的目的。
小波变换滤波方法
利用小波变换的方法，将信号分 解成不同的频率成分，并对不同 频率成分进行滤波处理，以达到
信号处理的目的。
05
平稳过程的实例分析
股票价格数据
股票价格数据是一种常见的平稳时间 序列数据。这些数据通常记录了股票 价格的变动，例如每天的收盘价、最 高价、最低价等。
VS
平稳时间序列数据的分析对于股票市 场分析和预测非常重要。通过对股票 价格数据的分析，可以了解股票市场 的趋势和波动性，进而做出更明智的 投资决策。
自动回归整合移动平均模型（ARIMA）
该模型在ARMA模型的基础上引入了差分项，以处理非平稳时间序列数据。
季节性自动回归整合移动平均模型（SARIMA）
该模型在ARIMA模型的基础上引入了季节性因素，以处理具有季节性影响的时间序列数 据。
气候变化数据
01
气候变化数据也是一种常见的平 稳时间序列数据。这等。
02
通过对气候变化数据的分析，可 以了解气候变化的趋势和模式， 进而做出更明智的环境保护决策 和气候应对措施。
其他时间序列数据
其他常见的时间序列数据包括电力消耗数据 、交通流量数据、销售数据等。
平稳过程的判断方法
方法一
观察均值和方差是否随时间变化。如果均值和方差在任何时间点上都保持恒定 ，那么该过程是平稳的。
方法二
使用样本均值和方差。计算样本均值和方差，并观察它们是否随时间变化。如 果样本均值和方差在任何时间点上都保持恒定，那么该过程是平稳的。
平稳过程的实际应用
应用一
在金融领域，平稳过程被用于建模股 票价格的波动。通过使用平稳过程， 可以更好地理解股票价格的波动性和 风险。
计系统状态的目的。
小波变换滤波方法
利用小波变换的方法，将信号分 解成不同的频率成分，并对不同 频率成分进行滤波处理，以达到
信号处理的目的。
05
平稳过程的实例分析
股票价格数据
股票价格数据是一种常见的平稳时间 序列数据。这些数据通常记录了股票 价格的变动，例如每天的收盘价、最 高价、最低价等。
VS
平稳时间序列数据的分析对于股票市 场分析和预测非常重要。通过对股票 价格数据的分析，可以了解股票市场 的趋势和波动性，进而做出更明智的 投资决策。
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
随机过程及其平稳性PPT课件
coefficient）。
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
.|. |
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-0.159
-0.025
55.674
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•
.**| . |
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
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感谢您的观看！
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800 600 400 200
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
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随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
大连海事大学 平稳随机过程
平稳随机过程
• 严平稳随机过程
– 性质1： X(t)的均值，均方值和方差也都是 常数，不再是时间的函数
E ( X (t )) x1 p X ( x1 )dx1 m X
E[ X (t )] x12 p X ( x1 )dx1
2 2 2 D[ X (t )] （x1 mX）p X ( x1 )dx1 X
证： RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X (t ) X (t )] RX ( )
平稳随机过程
• 平稳过程的自相关函数性质
– 3.自相关函数在 0具有最大值 – 物理意义：同一时刻随机过程自身的相关性最强 – 注意：不排除 0 时，也有可能出现同样的最大 值，如周期平稳过程 RX (0) RX ( )
1
所以，X(t)是宽平稳的 • (2)讨论X(t)是否是严平稳的 令 t t1 过程的状态为
平稳随机过程
x sin 2t1a1 sin( 2t1a1 )
这表明，过程的一维变量x与a是双值关系，于 是求得过程的一维概率密度为
da1 da2 1 p X ( x, t ) p(a1 ) p( a 2 ) dx dx t 1 x 2
E[ X (t ) X (t )] R X ( )
平稳随机过程
• 例：设随机过程为
X (t ) a cos(0t ) N (t ) 式中，a, 0为常数，Φ 为 (0,2 ) 上均匀分布的随机
变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t而言， Φ 与N(t)皆统计独立，求得其相关函数为
a2 R X ( ) E[ X (t ) X (t )] cos 0 RN ( ) 2
随机数学 第10讲 第六章平稳过程(2)
若对T中一切点都连续,称X(t) 为均方连续过程
)
⎯⎯⎯ 0 → n , m→0
由柯西均方收敛准则知{Xn}均方收敛. 证毕
E X ( t + h ) − X ( t ) = E ⎡ X ( t + h ) − X ( t )⎤ ⎡ X ( t + h ) − X ( t )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2
= R ( t + h, t + h ) − R ( t + h, h ) − R ( h, t + h ) + R ( t , t )
= lim E[
Δs →0
= lim[
Δt → 0
mX (t + Δt ) − mX (t ) ] = m′ ( t ) X Δt
= lim
Δs →0
R( s + Δs, t ) − R( s, t )] ∂R( s, t ) = Δt ∂s
注：本结论表明，求导和求极限可交换次序。
(3) E[ X ′( s) X ′(t )]
t1 → s t2 →t
l.i.m X ( s ) = X ( t )
s →t
t 2 →t
则：tlim R ( t1 , t2 ) = lim E ⎡ X ( t1 ) X ( t2 ) ⎤ ⎣ ⎦ t1 →t 1 →t
= E ⎡ X ( t ) X ( t ) ⎤ (求极限与求期望交换次序) ⎣ ⎦
RY ( t1 , t2 ) =
2 ∂ 2 RX ( t1 , t2 ) 2 = 3e−0.5( t2 −t1 ) ⎡1 − ( t2 − t1 ) ⎤ ⎣ ⎦ ∂t1∂t2
∂s∂t 其中，RX ( s, t ) 是由RX ( s, t ) = RX (τ ) ,τ = s − t复合成
随机过程课件PPT资料(正式版)
应怎样分才合理呢➢？」
☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
排队和服务系统 ◙A∩勤B 奋⇔、A刻B ：苦A、与合➢B作的、积探事索件；； 更新过程 为从事科学研究打下坚实的基础；
☞抽取的是精装中➢文版数学书 ⇒
➢ 时间序列分析
➢ 鞅过程
绪论
《随机过程》基础
概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能 性的量度；
概率论其起源与博弈、 、天气预报等问题有 关
⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；
⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)， 而赌徒B赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎 样分才合理呢？」
随机过程课件
《随机过程》
➢ 教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003.
➢ 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. ◙ 林元纟金烈 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002.
……
➢ 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计， 学、经 济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。
➢ 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪论
教学目标
➢ 充分理解、熟练掌握教材的内容 ◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理；
◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
Hale Waihona Puke ➢ 通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。
☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
排队和服务系统 ◙A∩勤B 奋⇔、A刻B ：苦A、与合➢B作的、积探事索件；； 更新过程 为从事科学研究打下坚实的基础；
☞抽取的是精装中➢文版数学书 ⇒
➢ 时间序列分析
➢ 鞅过程
绪论
《随机过程》基础
概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能 性的量度；
概率论其起源与博弈、 、天气预报等问题有 关
⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；
⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)， 而赌徒B赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎 样分才合理呢？」
随机过程课件
《随机过程》
➢ 教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003.
➢ 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. ◙ 林元纟金烈 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002.
……
➢ 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计， 学、经 济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。
➢ 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪论
教学目标
➢ 充分理解、熟练掌握教材的内容 ◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理；
◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
Hale Waihona Puke ➢ 通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。
☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
随机过程平稳过程第六
• 宽平稳过程 • 严平稳过程 二阶矩存在 • 严平稳过程
正态过程
严平稳过程 宽平稳过程 宽平稳过程
4.严平稳与宽平稳的关系 严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳 定义只涉及有限维分布 ，而并不要求一、二阶 矩 存在，但对二阶矩过程 ，严平稳必是宽平稳。 反过来，宽平稳也不一 定是严平稳，因为宽 平稳只要求均值函数与 t无关，导不出一维分布 与 t无关，又相关函数 Rt , t 与t无关，导不出二维 分布F x1 , x2 ; t , t 与t无关。 但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程 的概率密度是由均值和 相关函数完全确定，另 外正 态过程的二阶矩总是存 在的。
x(t) 1 o -1
t
9
平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在 [0,t]内随机点出现k次的概率 k ( t ) P (t)=e-λt ,k=0,10(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
解 m X (t ) EX (t ) E[Y cos(t ) Z sin(t )] cos(t ) EY sin(t ) EZ 0 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
随机过程课件
随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。
在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。
在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。
连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。
二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。
常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。
2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。
它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。
布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。
三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域。
1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。
通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。
2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。
通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。
6平稳过程1
E[ X (ti ) X (t j )]g(ti )g(t j )
i1 j 1
i1 j 1
n
E[
i 1
n j 1
X (ti ) X (t j )g(ti )g(t j )]
E
n i 1
X
(ti
)
g
(ti
)
2
0
可以证明，任一连续函数，只要是非负定的，则必是某一平稳 过程的自相关函数。
6.2 平稳过程及其相关函数性质 一、平稳过程相关函数性质
当t1 > t2时， RX (t1, t2 ) e2 (t1t2 ) e2| |
对于任意t1, t2,
RX (t1, t2 ) e2|t2 t1| e2| |
半随机电报信号是非平稳随机过程
6.1 平稳过程的概念 例4 随机电报信号。
（2）随机电报信号。给定一个随机变量A，它以等概 率取+1和-1，即
3!
] et ch t ] et sh t
E[ X (t)] et (ch t sh t) e2t
6.1 平稳过程的概念 例4 随机电报信号。
求自相关函数：假定t2>t1, τ= t2 - t1
RX (t1,t2 ) E[ X (t1)X (t2 )] 1 P{X (t1)X (t2) 1} (1) P{X (t1)X (t2) 1}
3、对于正态随机过程来说，严平稳与宽平稳是等价 的。 (Gussian)
6.1 平稳过程的概念
例1
6.1 平稳过程的概念
例2 白噪声。白噪声随机过程{X(t), -∞<t<+ ∞}的均值为0，
方差为 ，2相关函数满足
R(t1,
t2
第六章平稳随机过程.ppt
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
RX (t, t h) RX (t h, t) RX (t, t)
定理6.4（均方连续准则） 二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方连续的 充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处 连续。
推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT} 上连续，则它在TT上连续。
6.3 随机分析简介
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
E[W (t)W (t )] E[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )] E[ X (t) X (t ) X (t)Y (t )
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}
在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。
推论 设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，
则
t
X (t) X (a) a X ( )d
特别地有X (b) X (a)
b
X ( )d
a
6.3 随机分析简介
• 例6.5 设 {X(t), tT} 是实均方可微过程，
所以{Xn,n=0, 1, 2,}是平稳随机序列。
平稳随机过程的相关性分析 .ppt
2
帕塞瓦尔定理 : [x(t)]2dt 1 X () 2 d
2
信号时域的总能量等于信号频域的总能量， 该定理也称为信号的能量守恒定律。
9
绝对可积 信号的能量有限
x(t) 2 dt
随机信号的能量一般是无限的， 但是它的平均功率却是有限的。
lim 1 T E[ X 2 (t)] dt T 2T T
如果X (t)为平稳过程,则有:
E[w]
E[
X
2
(t)]
RX
(0) 13
E[w] 1
2
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ] d
1
2
S X () d
随机过程的功率谱密 度是幅度谱，不包括 任何相位信息。
证明: RXY ( ) E[X (t)Y (t )] RYX ( ) E[Y (t ) X (t)]
RXY ( ) RYX ( )
求证 : RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
书后习题2.16（P91）
证明 : E[{Y (t ) X (t)}2 ] 0 为任意实数 E[Y 2 (t ) 2Y (t ) X (t) 2 X 2 (t)] 0
RY (00))22RRYXXY(())2RX (0) 00
[2RXY ( )]2 4RX (0)RY (0) 0
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
RXY ( ) RYX ( )
19
求证 :
RXY
( )
1 2
[RX
(0)
RY
帕塞瓦尔定理 : [x(t)]2dt 1 X () 2 d
2
信号时域的总能量等于信号频域的总能量， 该定理也称为信号的能量守恒定律。
9
绝对可积 信号的能量有限
x(t) 2 dt
随机信号的能量一般是无限的， 但是它的平均功率却是有限的。
lim 1 T E[ X 2 (t)] dt T 2T T
如果X (t)为平稳过程,则有:
E[w]
E[
X
2
(t)]
RX
(0) 13
E[w] 1
2
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ] d
1
2
S X () d
随机过程的功率谱密 度是幅度谱，不包括 任何相位信息。
证明: RXY ( ) E[X (t)Y (t )] RYX ( ) E[Y (t ) X (t)]
RXY ( ) RYX ( )
求证 : RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
书后习题2.16（P91）
证明 : E[{Y (t ) X (t)}2 ] 0 为任意实数 E[Y 2 (t ) 2Y (t ) X (t) 2 X 2 (t)] 0
RY (00))22RRYXXY(())2RX (0) 00
[2RXY ( )]2 4RX (0)RY (0) 0
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
RXY ( ) RYX ( )
19
求证 :
RXY
( )
1 2
[RX
(0)
RY
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
第13讲 随机过程及其应用(第三版) 刘次华 第六章平稳过程(2)简
dX (t ) dt 或 X ′(t ) .
即
h1 →0 h2 →0
lim
RX (t + h1 , t + h2 ) − RX (t + h1 , t ) − RX (t , t + h2 ) + RX (t , t ) h1h2
存在。
7
所以有如下定理：
8
定理 (均方可微准则) 二阶矩过程{X( t ),t∈T}在t∈T处均方可微的充要 条件是极限
不加证明，给出均方导数如下的性质： （假定涉及到的各函数和随机过程都可导） 性质1 性质2 均方可导必均方连续 均方导数具有线性性
= E[l ⋅ i ⋅ m
Δs →0
X ( s + Δs) − X ( s) ⋅ X ′(t )] Δs
X (s + Δs) − X (s) = lim E[ ⋅ X ′(t )] Δs →0 Δs
称X(t)在t点均方连续； 若对T中一切点都连续,称X(t) 为均方连续过程
= R ( t + h, t + h ) − R ( t + h, t ) − R ( t , t + h ) + R ( t , t )
只需在上试中令 h → 0 即得 X(t),在t∈T 处均方连续。
1 2
必要性: 若
t 2 →t
存在
∫ ∫
a
b
a
R ( s , t ) dsdt
存在
19 20
所以有如下定理：
定理:（均方积分的数字特征） 设X(t)在[a,b]}均方可积, 则 b b （1） E ∫a X ( t ) dt = ∫a EX ( t ) dt （2）
即
h1 →0 h2 →0
lim
RX (t + h1 , t + h2 ) − RX (t + h1 , t ) − RX (t , t + h2 ) + RX (t , t ) h1h2
存在。
7
所以有如下定理：
8
定理 (均方可微准则) 二阶矩过程{X( t ),t∈T}在t∈T处均方可微的充要 条件是极限
不加证明，给出均方导数如下的性质： （假定涉及到的各函数和随机过程都可导） 性质1 性质2 均方可导必均方连续 均方导数具有线性性
= E[l ⋅ i ⋅ m
Δs →0
X ( s + Δs) − X ( s) ⋅ X ′(t )] Δs
X (s + Δs) − X (s) = lim E[ ⋅ X ′(t )] Δs →0 Δs
称X(t)在t点均方连续； 若对T中一切点都连续,称X(t) 为均方连续过程
= R ( t + h, t + h ) − R ( t + h, t ) − R ( t , t + h ) + R ( t , t )
只需在上试中令 h → 0 即得 X(t),在t∈T 处均方连续。
1 2
必要性: 若
t 2 →t
存在
∫ ∫
a
b
a
R ( s , t ) dsdt
存在
19 20
所以有如下定理：
定理:（均方积分的数字特征） 设X(t)在[a,b]}均方可积, 则 b b （1） E ∫a X ( t ) dt = ∫a EX ( t ) dt （2）
随机过程第26-27讲 第六章 高斯(Gauss)过程
第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。
记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。
0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。
即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。
由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。
由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。
平稳随机过程
2
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
chapter 6.5 平稳过程通过线性系统PPT课件
函数分别为H1()和H2 ()。若两个系统输入同一个均值为零
的平稳过程X (t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2 (t)。问如何设计
H1()和H2 ()才能使Y1(t)和Y2 (t)互不相干？
Y1(t)
H1(ω) X(t)
H2(ω)
Y2(t)
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
|
H
(w)
|2
2 w2
2
SY
(w)
|
H (w)
|2
SX
(w)
2 w2 2
N0
Ry ( )
1
2
w2
2 N0
2
e
jw
dw
N0
2
e| |
(已知be|| 2ab ) w2 a2
E[ Y 2 (t)] N0
2
例9：设如图的系统的激励力函数x(t )的谱密度
sx () s0，k为弹性系数，r为阻尼系数，试求输
解:
h(t) (u)e 2 (tu)du
e 2t
t>0
频率响应
❖ 脉冲响应的傅氏变换：
如果线性时不变系统的冲击响应函数h(t )绝对可积，即
h(t) dt
则系统的频率响应函数是冲击响应函数h(t )的傅氏变换，即
H () h(t)eit dt
而h(t)是H ()的傅氏反变换，即
线性时不变系统
❖ 系统：所谓系统是指相互依赖的、相互作用的若干 事物组成的具有特定功能的整体。 如放大器，滤波器, 无源网络等。
的平稳过程X (t)，它们的输出分别为Y1(t)和Y2 (t)。问如何设计
H1()和H2 ()才能使Y1(t)和Y2 (t)互不相干？
Y1(t)
H1(ω) X(t)
H2(ω)
Y2(t)
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
|
H
(w)
|2
2 w2
2
SY
(w)
|
H (w)
|2
SX
(w)
2 w2 2
N0
Ry ( )
1
2
w2
2 N0
2
e
jw
dw
N0
2
e| |
(已知be|| 2ab ) w2 a2
E[ Y 2 (t)] N0
2
例9：设如图的系统的激励力函数x(t )的谱密度
sx () s0，k为弹性系数，r为阻尼系数，试求输
解:
h(t) (u)e 2 (tu)du
e 2t
t>0
频率响应
❖ 脉冲响应的傅氏变换：
如果线性时不变系统的冲击响应函数h(t )绝对可积，即
h(t) dt
则系统的频率响应函数是冲击响应函数h(t )的傅氏变换，即
H () h(t)eit dt
而h(t)是H ()的傅氏反变换，即
线性时不变系统
❖ 系统：所谓系统是指相互依赖的、相互作用的若干 事物组成的具有特定功能的整体。 如放大器，滤波器, 无源网络等。
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由于 P{X(t1)=1}= echt1 (λt1),
所以 P{X(t1)=1,X(t2)=1}= ecth1 (λt1) ceh(λ τ).
类似可得
P{X(t1)=-1,X(t2)=-1}= esht1(λt1) che(λτ ),
P{X(t1)=-1,X(t2)=1}= esht1(λt1) she(λτ ),
设t2＞t1,令τ=t2-t1,因为事件P{X(t1)=1,X(t2)=1}等 价于事件{X(t1)=1,且在(t1,t2]内随机点出现偶数次}.
12
由假设知,在X(t1)=1的条件下,在区间(t1,t2]内随机点 出现偶数次,与在区间(0,τ]内随机点出现偶数次的概
率相等,故
P{X(t2)=1|X(t1)=1}=e-λtch(λt).
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t T }是随机过程， 并满足： (1){X(t)，t T }是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t T ，
RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，
则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广 义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT } 为平稳序列。
以上随机序列称为白噪声。
平稳过程的概念与例
例6.4 设随机过程{N(t),t≥0}是具有参数λ的泊松过程, 随机过程{X(t),t≥0}定义为:若随机点在[0,t]内出现 偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则 X(t)=-1,如图所示. (1)讨论随机过程X(t)的平稳性; (2)设随机变量V具有概率分布: P(V=-1}=P{V=1)=1/2.
=e-λt[1+ + ( +t )…2 ] ( t ) 4
2!
4!
=e-λtch(λt),
P{X(t)=-1}=P1(t)+P3(t)+P5(t)+…
=e-λt[λt+ + +( …t )]3 ( t ) 5
11
3!
5!
=e-λtsh(λt), 于是 mX(t)=E[X(t)]=1·e-λtch(λt)-1·e-λtsh(λt)
解 m X(t)E(tX )E [Yco t)sZ (sin t)]( co t)s E ( Y sin t)E ( Z 0
R X (s, t ) E [ X (s) X (t )]
E [ Y c (s o ) Z s ss i ) (Y n ) c( ( t o ) Z s st i ) (n )
第六章 平稳随机过程
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程，对
任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T，
若(X(t1), X(t2), , X(tn))与
(X(t1+), X(t2+),, X(tn+))
有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存宽在 平稳过程
• 严平稳过程 正态宽过程平稳过程
4 .严平稳与宽平稳的关系
严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳
定义只涉及有限维分布
，而并不要求一、二阶
矩
存在，但对二阶矩过程
，严平稳必是宽平稳。
反过来，宽平稳也不一
定是严平稳，因为宽
平稳只要求均值函数与
P{X(t1)=1,X(t2)=-1}= echt1(λt1) she(λτ).
因此
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
解 因为E[Xn]=0，
RX( n,n ) E[ XnXn ] 2, 0
0 , 0 所以{Xn,n=0, 1, 2,}是平稳随机序列。
x(t) 1
o
t
-1
10
平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的
平稳性.
解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在
[0,t]内随机点出现k次的概率
Pk(t)=e-λt
,k(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1 平稳随机过程的概念
E [cos( s ) cos( t )Y 2 sin ( s ) cos( t )YZ cos( s ) sin ( t )YZ sin( s ) sin( t ) Z 2 ]
cos( s ) cos( t ) E (Y 2 ) sin ( s t ) E (YZ ) sin( s ) sin( t ) E ( Z 2 )
=e-λt[ch(λt)-sh(λt)] =e-λt·e-λt =e-2λt.
为了求X(t)的相关函数,先求X(t1),X(t2)的联合分布: P{X(t1)=x1,X(t2)=x2} = P{X(t2)=x2|X(t1)=x1}P{X(t1)=x1},
其中xi=-1或1(i=1,2). 由上式知,需求P{X(t1)=x1}和P{X(t2)=x2|X(t1)=x1}.
cos( s ) cos( t ) DY sin ( s t ) EYEZ sin( s ) sin( t ) DZ
cos( s ) cos( t ) 2 sin( s ) sin( t ) 2 2 cos[( t s ) ]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
t无关，导不出一维分布
与
t无关，又相关函数 R t , t 与 t无关，导不出二维
分布 F x1 , x 2 ; t , t 与 t无关。
但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程
的概率密度是由均值和
相关函数完全确定，另
外正
态过程的二阶矩总是存
在的。
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。