第10讲 光学谐振腔-纵模、横模要点

10.1.1 自由空间中的驻波
沿z方向传播的平面波可以表示为：
e1( z, t ) E 0 cos 2 ( t z / ) 发生重叠时的电磁场分布为：
沿-z方向传播的平面波为：
e2( z, t ) E 0 cos 2 ( t z / )
e e1 e2 2E0 cos 2 z / cos 2 t
• 腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面 传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到 衍射效应的影响，但是这些光波长在两个 腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不 变。
10.3 开腔衍射理论分析
• 以E(x,y)表示开腔中的稳定光场分布函数u， 则上式可以简化为：
E ( x, y ) K ( x, y, x ', y ') E ( x ', y ')ds ' S i ik ( x , y , x ', y ') e K ( x, y, x ', y ') L
该叠加的场分布的振幅在沿z方向上有一个余弦分布。 – 在z点处的振幅为 e( x) 2 E 0 cos 2 z / z q, q 0,1, 2, 时，振幅有最大值 e max 2 E 0 ，称此 – 当 位置为波腹； – 当 z (2q 1), q 0,1, 2, 时，振幅有最大值 e min 0 ，称此位 置为波节； – 驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。
4 2
10.1.1平平腔的驻波
• 平行平面腔中的驻波
– 当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复 反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干 涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时， 相位应与初始出发时相差2π的整数倍。 2 4 2 L ' L q 2 – 以Δφ表示往返一周后的相位差： – 其中的q为任意正整数，将满足上式的波长以 0 q 来标记，则有：
10.2 开腔模式的物理概念
• 将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电 磁场分布称为开腔的自再现模； • 自再现模经一次往返所发生的能量损耗定 义为模的往返损耗，它等于衍射损耗； • 自再现模经一次往返所产生的相位差定义 为往返相移，往返相移应为2π的整数倍， 这是由腔内模的谐振条件决定的。
10.2 开腔模式的物理概念
10.1.3 腔内的多纵模振荡
• 某个纵模νq能够在腔内存在必须满足以下条件： c
q q –满足腔内谐振频率条件：
质才能对该纵模提供增益；
0 –满足振荡阈值条件 G
2 L –Νq必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介
； L
• 在光学谐振腔中能够存在的
T 纵模数最多只能有： N 1 q
–频率漂移现象都是有害的吗？
q q
c
G

T
q1 q 2
t1
t
10.2.0 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法
• 我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射 镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存 在不随时间变化的稳定的电磁场分布？ • 如何求出这个分布的具体形式？ • 在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我 们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面 一般作为激光输出窗口，而输出激光的场 分布就直接与镜面上的场分布有关。
– 设已知空间某一曲面S上光波长的振幅和相位分布函数为 u(x’,y’)，则空间任一点P处的光场分布，可以看作曲面S上每 点作为次级子波源发出的非均匀球面波在P点的叠加，由菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式来描述：
– 为什么用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式？
– 其中k=2π/λ为波矢的模，也称为波数； – dS’是S面上的面积元； – ρ为源点与P点之间连线的长度； – θ为源点处S面法线与P点连线之间的夹角； –
10.1.3 腔内的多纵模振荡
• 频率漂移
2 L – 对某个腔内纵模q： – 由此可知，当腔长L或者折射率η发生 变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。 q 这种振荡频率随外界环境变化而发生缓 慢变化的现象称为频率漂移。 T 0 – 假设腔内纵模频率会随温度发生变化， 如图所示，当温度为T0时，只有νq能 t0 够振荡；当温度为T2时，νq漂出ΔνT 的范围，而νq+1漂进ΔνT ，则腔内模 式发生了变化，称为跳模现象
u 2 ( x, y )


S2 L
10.3 开腔衍射理论分析
• 经过q次传播后： • 将第一个假设带入其中有：
ik uq 1( x, y) 4

S1
uq( x ', y ')
e ik

(1 cos )ds '
• 由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定 传输的光波模式应满足关系： 1 u • 在稳定情况下，uq从镜面S1传播到S2时，除 q 1 uq 了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标 1 uq 2 uq 1 无关的复常数因子γ外， 其分布能够被 uq+1再现。
uq 1
1

uq (e

uq )e
i
• 由此可见，e-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减， a越大损耗越大，a=0表示无损耗传输； • β表示渡越一次后自再现模的相位滞后，β越大相位滞后 越多。
10.3 开腔衍射理论分析
• 从镜面S1出射的光功率为： W • 被镜面S2反射后的自再现模的功率为：
i ik uq 1( x, y ) uq ( x ', y ')e ds ' L S1
10.3 开腔衍射理论分析
i ik uq ( x, y ) uq ( x ', y ')e ds ' L S ik uq 1( x, y ) i uq 1( x ', y ')e ds ' L S
ik u ( x, y ) 4
u( x ', y ')
S
e ik

(1 cos )ds '
S
n

P
( x ', y ')
dS’

u ( x ', y ')
eik / 表示球面波，(1+cosθ)为倾斜因
子，表示非均匀球面波；
10.3 开腔衍射理论分析
• 将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S1上光场 u1(x’,y’)经过衍射后在镜面S2上面形成光场分布u2; • 要做出如下假设：
• 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
– 惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成 是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一 点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果； – 该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必 然是开腔模式的物理基础； – 该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；
10.3 开腔衍射理论分析
• 当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小； • 对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激 发低阶本征模式，而在光学谐振腔中， L ，它工作在 极高的谐波上，既q是一个很大的整数。 例如L=100cm，λ=632.8nm的He-Ne激光器：
6
q 2 L / 3.16 106
激光原理与技术·原理部分
第10讲 光学谐振腔：纵模、横模
10.1 光学谐振腔的纵模
• 平平腔的驻波
– 均匀平面波近似
a , L 一般的开放式光学谐振腔都满足条件：
在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在 的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提 供一个粗略但是形象的描述； 严格的理论证明，只要满足条件 a 2 / L 1 ，则腔 内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而 a 2 / L 是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。
2L '
10.1.2 光学谐振腔中的纵模
• 例：
– 对于L=10cm的气体激光器，η=1，则有 q 1.5 10
9
Hz ；
q 150 10 – 对于L=100cm的气体激光器，
Hz ； – 对于L=10cm，η=1.76的固体激光器， q 850 106 Hz ；
• 孔阑传输线
• 开腔物理模型中衍射的作用
– 腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自 再现的模式选择出来； – 由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面 上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之 间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；
10.3 开腔衍射理论分析


L ' L q
0q
2
或 0 q q
c 2 L
– 上式意味着一定长度的谐振腔只能对一定频率的光波形成正反馈， 为腔的谐振频率，同时表明腔内的谐振频率是分立的。 0q
10.1.1平平腔的驻波
• 当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍， 这是腔内驻波的特征。 L ' L • 当腔内为均匀的折射率为 的物质时有： c q q 2 L 其中L为腔的几何长度，则 L q q / 2 ， 其中的 q 0 q / 是物质中的谐振波长。 • 当腔内物质为分段均匀，则有： L ' iLi
• 假设初始时在镜面1上有分布为u1的电磁场从镜面1向镜面 2传输，经过一次渡越，在镜面2上有分布为u2的场，在经 过反射后再次渡越回到镜面1时场的分布为u3，如此反复。 • 受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减， 而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变； • 由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大， 边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经 过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分 布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“再现” 出发时的振幅分布。
L a 在小角度近似下有：u ( x ', y ') – 1、 1 (1 cos ) / 2 / L 并且在此 情况下可以将光场的两种偏 振状态作为独立变量分别求解； a ，被积函数中的指 – 2、 ik 数因子e 不能简单将ρ用L代 替，只能根据不同谐振腔情况 S1 来简化； – 3、腔内振幅衰减是缓慢的；
uq
2
W ' uq 1 2
1ห้องสมุดไป่ตู้
2

W
• 自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单 程损耗： 2 2
i
• 当物质沿轴线分布不均匀时有：
L ' dL ' ( z )dz
0 L
工作物质 L1 L2 L3
10.1.2 光学谐振腔中的纵模
• 将腔内稳定存在的、由整数q表征的光波纵向分 布称为腔的纵模(Longitudinal mode)。在简化 模型中，q单值的决定模的谐振频率。 • 腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔： c q q 1 q • 对于腔内是均匀介质的谐振腔 L ' L 则有： c q 2 L
10.2 开腔模式的物理概念
• 开腔中有多种损耗：
– 由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的 衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模 式的横向分布； – 反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损 耗不影响模式的横向分布；
• 开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀 的各向同性介质中；
10.2 开腔模式的物理概念
• 该式是开腔自再现模满足的积分方程，满 足以上方程的函数E称为本征函数，γ为本 征值，而K为积分方程的核； • 对于对称腔：K ( x, y, x ', y,') K ( x ', y ', x, y)
10.3 开腔衍射理论分析
• 满足上式的本征函数E就是腔的自再现模，也称为腔的横 模，E一般是复函数，其模|E(x,y)|描述的是镜面上的振幅 分布，其幅角arg[E(x,y)]表示镜面上的相位分布； i e • γ为复常数，不妨设为： 其中的a、β为与坐标 无关的实常数，则自再现模可以表示为：