固体物理第二章第四节 倒格子讲课教案
固体高中二年级教案(1)
固体高中二年级教案一、教学内容本节课选自高中物理教材第二章《力学》第四节“固体”，内容包括固体的基本概念、固体的分类、固体的性质以及固体在实际应用中的例子。
具体涉及教材第23页至第27页。
二、教学目标1. 让学生理解固体的基本概念，掌握固体的分类及性质。
2. 培养学生运用固体知识解决实际问题的能力。
3. 激发学生对固体物理现象的好奇心，提高学生的科学素养。
三、教学难点与重点教学难点：固体的性质及其应用。
教学重点：固体分类、性质的理解和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：固体样品（如金属、塑料、橡胶等）、实验器材（如弹簧秤、天平等）。
2. 学具：固体物理教材、笔记本、铅笔。
五、教学过程1. 导入：通过展示固体样品，引导学生思考生活中常见的固体及其特点。
2. 新课内容：a. 固体的定义及分类b. 固体的性质（如弹性、塑性、硬度等）c. 固体在实际应用中的例子3. 例题讲解：讲解教材第26页例题，引导学生运用固体知识解决问题。
4. 随堂练习：布置教材第27页练习题，学生独立完成，教师巡回指导。
六、板书设计1. 板书固体2. 主要内容：a. 固体的定义及分类b. 固体的性质c. 固体在实际应用中的例子七、作业设计1. 作业题目：a. 解释下列固体现象：金属弯曲后能恢复原状，塑料变形后不能恢复原状。
b. 举例说明固体的硬度、弹性、塑性的应用。
2. 答案：a. 金属具有弹性，塑料具有塑性。
b. 举例：钻头硬度大，可以用来加工金属；弹簧弹性好，可用于减震等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对固体性质的理解程度，以及对固体在实际应用中例子的掌握情况。
2. 拓展延伸：引导学生研究生活中其他固体物理现象，提高学生运用物理知识解决实际问题的能力。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 教学难点与重点的明确；2. 教具与学具的准备；3. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习；4. 板书设计；5. 作业设计；6. 课后反思及拓展延伸。
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
2.4+固体+教学设计高二下学期物理人教版(2019)选择性必修第三册
《固体》教学设计【授课对象】高三学生【教材】人教版高中物理选修3第二章第4节【课时安排】15分钟一、教材分析1.高中物理课程标准（2017版）要求了解固体的微观结构。
知道晶体和非晶体的特点。
能举例生活中的晶体和非晶体。
通过实例，了解液晶的主要性质及其在显示技术中的应用。
2.本节内容在物理知识体系中的地位学生在初中时已经学过物体的三态变化，并对固体中的晶体和非晶体有了一定的了解，为晶体和非晶体性质的学习奠定了基础。
本节通过讲解和实验探究不同物质的各向同性和各向异性的性质，熟悉单晶体，多晶体以及非晶体的相同之处与不同之处，为后续液体的分子状态内容学习奠定基础，帮助学生牢固树立固体分为晶体和非晶体观念。
本节通过微观结构研究固体的特性，在整个高中物理力学知识体系中起着至关重要的作用。
3.教材内容与体系安排首先由初中知识引出固体分为晶体和非晶体的概念。
接着通过实验探究晶体与非晶体的各向同性与各向异性性质，得出单晶体与多晶体的性质。
随后将单晶体、多晶体以及非晶体进行对比。
最后留下悬念，让学生思考解决问题，培养能力。
二、学情分析1.知识层面学生初中学习过固体分为晶体和非晶体，并且清楚如何分辨晶体与非晶体，且在前两章学习过分子的相关知识，为理解晶体和非晶体打下基础。
2.思维方面学生在生活当中对晶体与非晶体具有初步的感性认识，对于晶体和非晶体的分辨具有一定初步的了解，但是并不了解晶体与非晶体更加具体的性质与特点。
3.能力方面学生具有一定的实验探究能力和知识迁移能力，初步掌握了物理研究的基本方法，但自主探究能力、推理能力及迁移能力不强，需在老师的启发引导下进行实验，进一步探究规律、应用知识。
三、教学目标1.物理观念（1）能够通过熔点的不同区分晶体和非晶体，掌握晶体具有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点。
（2）能够区分单晶体与多晶体，明确各向同性和各向异性的特点，理解单晶体表现为各向异性，多晶体和非晶体表现为各向同性。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
1-4(黄昆-固体物理)-教案
§1.4 倒格子1. 教学目的和要求: 通过讲授，使学生理解倒格子的定义。
熟练掌握倒格子的基本性质和正格子与倒格子之间的相互关系。
2．教学重点：倒格子的基本性质。
3．教学难点：正格子与倒格子之间的相互关系。
4．讲授时间：50分钟。
5．讲授方式：PPT 文档。
6．作业：1.3，1.5，1.6。
一. 意义：A. 能更加简化地从理论上分析晶格的问题，特别是解决固体的能带问题。
B. 便于将周期函数展开成缚里叶级数。
由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 如：势能函数：'112233()()A A V x V x l a l a l a =+++如图XCH_001_024所示，A 和A ’两点势能相同。
势能函数是以321,,a a a为周期的三维周期函数引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。
二. 倒格子的定义根据基矢定义三个新的矢量：倒格子基矢量3213212a a a aa b⨯⋅⨯=π，3211322a a a a a b ⨯⋅⨯=π，3212132a a a a a b ⨯⋅⨯=π以321,,b b b为基矢，可以构成一个倒格子倒格子每个格点的位置：332211321b n b n b n G n n n++=，倒格子矢量，或倒格矢。
容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足：⎩⎨⎧≠====⋅))(022j i j i b a ij j i ππδ3,2,1,=j i倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。
关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义时间周期函数f(t)=f(t+nT) 令 T=t τ，τ: 0~1可以将f(t)=f(τT+nT)看作是以τ为宗量、周期为1的周期函数。
将f (τ)展开为傅里叶级数：∑=mm i m e F f )(2)(τπτ， m 为整数傅里叶系数：⎰-=1)(2)(τττπf e d F m i m由T =2π/ω和t =τT 得到：τ=ωt/2π将τ=ωt/2π代入∑=mm i m eF f )(2)(τπτ ，∑=mmti m e F f ωτ)(傅里叶系数：⎰=Tt im m t f dte T F 0)(1ω， ωm 为的f (t)傅里叶展开中的各种频率时间，正格子：基矢：T ，正格矢：nT频率，倒格子：基矢：ω，倒格矢：ωm ，满足：ωT =2π三．具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开晶格原胞中任一点：332211a a a xξξξ++=，其中321,,ξξξ为宗量将)()(332211a l a l a l x V x V+++=可以看作是以321,,ξξξ为宗量，周期为1的周期函数傅里叶级数：∑++=321332211321,,)(2,,321),,(h h h h h h i h h h e V V ξξξπξξξ其中：321,,h h h 为整数。
固体物理倒格矢
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
b b b 倒格矢 Kn n1 1 n2 2 n3 3
2
a
[(n2
n3 )i
(n1
n3 )
j
(n1
n2
)k ]
体心立方的倒格子是面心立方;离原点最近的有十
二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
2
a
(n2
n3, n1
射后光程差为： A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
当X光为单色光;衍射加强的条件为： Rl•SS0=u •λ
令 k 2 S
k0
2
S0
，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• k -k0 = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
1 9 倒格子倒易点阵reciprocal
1 9 1 倒格子倒易点阵的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线;只有一些固定方向可 形成衍射
B AO
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3;Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量，
S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍
布里渊区示意图32
Γ：2 0,0,0
a
X：2 1,0,0
a
K：2 3 , 3 ,0
a 4 4
L： 2
a
1 2
,
1 2
,
1 2
简约布里渊区：十四面体
V
4
2
a
3
V倒易原胞
返回
面心立方晶格的第一布里渊区
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
固体01-04倒格子
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
06 固体物理 1.4.1 倒格子
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
固体物理教案第4次课
第 4 次 课教学目的：掌握晶向、晶列的基本概念；掌握密勒指数的意义及表示；掌握倒格矢的定义，掌握倒格子与正格子之间的关系；掌握倒格子与晶格的几何关系；了解具有晶格周期性的傅立叶展开。
教学内容：§1.3 晶向 晶面和它们的标志§ 1.4 倒格子重点难点：晶向、晶列及密勒指数；倒格子与正格子之间的关系；具有晶格周期性的傅立叶展开§1.3 晶向 晶面和它们的标志布拉伐格子的特点 —— 所有格点周围的情况都是一样的1 晶体的晶列在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线可以将所有的格点包括无遗。
这些平行直线称为晶体的晶列。
特点：在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。
2 晶向（1）晶向: 每一簇晶列定义了一个方向，称为晶向。
（2）晶向的标志原胞是最小的晶格重复单元，格点只在原胞的顶角上。
取某一原子为原点O ，为原胞的三个基矢。
如图XCH_001_045_2所示。
321,,a a a 沿晶向到最近的一个的A 的位矢为 , 是整数，则晶向就用332211a l a l a l ++321,,l l l 来表示。
321,,l l l晶向指数： []321l l l图XCH_001_045_02中OA 晶列的晶向指数 [311]。
图XCH_001_045中OA 晶列的晶向指数[230] 。
—— 对于单胞，也有类似的晶向指数。
带轴是一些特殊的晶列。
（3）简单立方晶格的晶向标志——如图XCH_001_018所示，立方边OA 的晶向，立方边共有6个不同的晶向：。
涉及负值，头上加一横表示。
]100[],001[],010[],010[],001[],100[—— 面对角线OB 的晶向[110]，面对角线晶向共有12个，如图XCH_001_019所示—— 体对角线OC 的晶向[111]，体对角线晶向共有8个，如图XCH_001_020所示由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的，可以表示为：<100>,<110>,<111>。
2024年选修33《固体》教案
2024年选修33《固体》教案一、教学内容本节课选自2024年选修33《固体》第二章，详细内容为：2.1节固体结构的特点与分类，2.2节晶体的结构与缺陷，以及2.3节非晶体的结构与性质。
二、教学目标1. 理解并掌握固体结构的基本特点与分类方法。
2. 学习并了解晶体结构与缺陷，能运用相关知识解释实际现象。
3. 了解非晶体的结构与性质，能区分晶体与非晶体。
三、教学难点与重点重点：固体结构的特点与分类，晶体的结构与缺陷。
难点：晶体缺陷的理解与运用，非晶体的识别。
四、教具与学具准备1. 教具：晶体模型、非晶体样品、PPT课件。
五、教学过程1. 导入：通过展示日常生活中的固体物品，引发学生对固体结构的兴趣，提出问题，引导学生思考。
2. 新课导入：讲解固体结构的特点与分类，结合PPT课件，让学生对各类固体结构有直观的认识。
3. 晶体结构与缺陷：以实例讲解晶体的结构与缺陷，让学生通过观察晶体模型，加深理解。
4. 非晶体结构与性质：展示非晶体样品，讲解非晶体的特点与识别方法，引导学生进行观察与分析。
5. 例题讲解：选取典型例题，讲解解题思路，引导学生运用所学知识解决问题。
6. 随堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识，查漏补缺。
六、板书设计1. 《固体》2. 内容：固体结构的特点与分类晶体结构与缺陷非晶体结构与性质七、作业设计1. 作业题目：（1）简述固体结构的特点与分类。
（2）解释晶体的主要缺陷，并举例说明。
（3）论述非晶体的结构与性质，并说明如何区分晶体与非晶体。
2. 答案：（1）固体结构特点：有序排列，具有规则几何形状；分类：晶体、非晶体。
（2）晶体缺陷：如位错、空位等；实例：晶体的生长过程中出现的缺陷。
（3）非晶体结构：无规则排列，无固定熔点；性质：如玻璃、塑料等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对固体结构的掌握程度，以及晶体与非晶体的识别能力。
2. 拓展延伸：引导学生了解固体物理的更多知识，如半导体、超导等，提高学生的学术素养。
固体物理：1-4 倒 格
反射线构成以 转轴为轴的一 系列圆锥
实际反射线是 通过晶体O的
由直线间距计 算晶格常量
P C
CO为入射方向, 晶体原点在O 点处
O
35
P
C
O
O
CO为入射方向,晶体在O点处
根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。
36
3.粉末法
(1)X射线单色(固定)； (2)样品为取向各异的单晶粉末。
由于样品对入射线方向是“轴对称”的，任意晶面的取向 几乎是连续的，对应的反射线以入射方向为轴形成一个圆 锥面。不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射线与圆筒 形相交，形成图示衍射条纹。
Ω* (2π)3 / a3 (2π)3 / Ω
ak
aj
O
ai
b3
b2
O
b1
第一布里渊区
12
例5：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a a1
a j
2
k
a2 a
3
a
2
i
a
2
i
k
j
Ω a1 (a2 a3)
1 a3 4
ak
a 1
aj
倒格基矢:
19
§ 1.8.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质
上而产生的一种电磁波。主要与原子中电子云发生作用。
当晶体中含有质量相差较大的原子时，用X射线衍射测定晶
体结构。
h max eU
h c eU min
min
hc eU
1.2
U
103
(nm)
h 6.62 1034 J s c 3 108 m s e 1.6 1019 C
固体物理(第4课)倒易空间课件
V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系：
正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2h3）
倒易点阵中倒格矢：
Gh
h1b1 h2b2
h3b3
则有：
GGhh
Γ (r)为周期函数
将Γ (r)作傅里叶级数展开，有：
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
学习交流PPT
11总Biblioteka ：晶体点阵 实际晶体结构显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
倒易点阵 虚构
衍射图像 一族晶面 线度量纲：L－1 倒易空间 傅里叶空间
aa13aa33
2
a
2
a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
学习交流PPT
14
离原点次近的倒
格点有４个：
b1＋b2 ，b1-b2 ，
b2，-b2．
-b1＋b2
b1＋b2
－b1-b2
b1-b2
学习交流PPT
15
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
Z
h1、h2、h3 Z
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
学习交流PPT
7
•为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
固体物理讲义第二章
第二章 晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。
● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射 衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。
本课程的核心－周期结构中传播的波。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区 倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以 为基矢构成的格子称为正格子以 为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。
[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数 倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
第二章——晶体衍射和倒格子
1.
K n h1b1 h2 b2 h3 b3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
4
晶体 结构
求解倒格
正格 基矢 倒格 基矢
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
R l K h 2π
(为整数)
其中 R l 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
a1 l2 a 2 l3 a3 R l l1
b1 h2 b 2 h3 b3 K h h1
b 1 h2 b 2 h3 b3 ) a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1 R l K h ( l1
*
3
3
（ 4）
倒格矢 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为
2π d h1h2 h3
。
a） 证明 K h h b1 h b 2 h b 3 与晶面族(h1h2h3)正交。 1 2 3
b） 证明
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
Statement: the Fourier transform of a function:
ik r e f (r ) f k k
To a periodic function in Bravais lattice:
ik r ik r R ik r ik R f (r ) f (r R) f k e f k e f k e e
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第一gv 章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因
而,凡是波矢 和布拉gv 维格矢满足
eigv•Rvn 1
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格
子的由来. c o s ( g v • R v n ) 1 g v • R v n 2 m ; w h e r e m i s i n t e g e r
因为：F ( r v ) F (r v R v n)原胞体积
所以：A (g v) 1 F(r vR vn)eig v•r vdrv
令 rvrvRvn 则：r v r v R v n d r v d r v
则 A ( g v ) 1F ( r v ) e ig v • ( r v R v n ) d r v 1F ( r v ) e ig v • r v e ig v • R v n d r v
或： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3
由于 a为v1,基av2,矢av3，互不共面，则由
描b vi• 述a v倒j 格2 可子G v 知h 。ij h 1 b v 1 亦h 2 b bv v应12 , bv该2h ,3 b b不v v3 3 共面，从而可以用
第四节 倒格子
本节主要内容: 一、 概念的引入 二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子 三、 倒格矢与晶面 四、 倒格子的点群对称性
§2.4 倒格子
一、概念的引入 晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本 粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动 量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率 的波,波也是物质存在的一种基本形式.
A (g v ) 1 F ( r v ) e ig v • r v e ig v • R v n d r v 1 F ( r v ) e ig v • r v d r v e ig v • R v n
A( gv)
A ( g v ) A ( g v ) e i g v • R v n A ( g v ) [ 1 e i g v • R v n ] 0
变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
或对G v布h•拉R vn维格2子m ,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
v
(reciprocal lattice). G h 称为倒格矢
v vvv
由于 G h h 1 b 1 h 2 为b 2 倒 h 格3 b 3 矢，如果把倒格矢所在
的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal
space),则由于
不共面，bv1,自bv2然,bv3可以成为倒易
空间的基矢。
和 R v n n 1 a v 1 n 对2 a v 2 比 n ,3 表a v 3明
A (g v ) 0 o r e ig v • R v n 1
F(rv) A(g v)eig v•rv0 不合要求，应舍去
g v
所以 eigv•Rvn 1
也就是说,一定存在某些 gv使得当 eigv•成Rvn 立1时
F (r v )F (r vR v n)成立
由于 g与v
格子,自然
存也Rv n 在可上以gv 述描对述应同关样系的,布可拉以Rv维n 描格述子布,且拉维与
v
由 G端h 点的集合所描述的布拉维格子，称为 倒格子(reciprocal lattice)
v
G h 称为倒格矢
利用倒格矢，满足 F (r v )F 的(傅r v 里R 叶v n) 展
开为:
F(rv) v
v A(Gh
)eiGvh•rv
Gh
Байду номын сангаас v
A(Gh
)
1
F(rv)eiGvh•rvdrv
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转
将 R v n n 1 a v 1 n 2 a v 2 n 3 a v 3代入G vh•R vn2m ,
得： n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意
整数，则要求： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3 h1,h2,h3为整数
如此。F (r v 不)失 一F 般(性r v ， 上R v 述n函)数布可拉统维一格写矢为：
1. 周期函数的傅里叶展开
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将
其展开成傅里叶级数：
F(rv) A(g v)eig v•rv g v
展开系数
展开系数
A(gv)1 F(rv)eigv•rvdrv
波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结 构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如 果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与 位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均 应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质 量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是
2. 定义
或对G v布h•拉R vn维格2子m ,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
(reciprocal lattice) v
与倒格子的定义对应，由格矢 的R n 端点所描述
的布拉维格子，称为正格子(direct lattice)
v vvv
显然,如果令 G h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3h1,h2,h3为整数
当 b v i• a v j 2 i j ; i 1 , 2 , 3 ; j 1 , 2 , 3 满足时，
则下式自然成立：
n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m