(完整版)固体物理答案第2章

2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为。

2ln 2α=证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作：

2

20

000

(1)44(1)111

2(1)2ln 2

234n n n n q q U nr r n α

πεπεα≠≠-=

=--∴=-=-⨯-+-+-=∑∑ 注：。2是考虑左右离子对称。234

111ln(1)234

x x x x x +=-

+-+ 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。

解：（1）晶格常数

电荷加倍前： 206(()

4n n e b A B

U N N r r r r

απε=-+=-+ 由平衡条件：，可得 。

()

0r r U r r =∂=∂110()n nB r A -= 电荷加倍后： 2'

0464((4n n e b A B

U N N r r r r

απε=-+=-+ 同样由平衡条件：，可得

'

'()0r r U r r =∂=∂1'

10()4n nB r A -=所以 ，即时，晶格常数可认为不变。

001

1'

4r r r n ≈=--

1>>n （2）结合能

电荷加倍前： 20001

()(1)

4N e W U r r n

απε=-=-电荷加倍后： 22'

''

1

1'

001

0041

4()(14

444

n n n N e N e W U r W

r n

r ααπεπε---=-=-==当时，有，结合能增加为原来的4倍。1>>n W 'W 4=2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为

(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离

3NAr V =子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取Å,eV,求值。

02,10,3m n r ===4W =,αβ解： （1）平衡间距

()=-

+m n

αβ

U r r r

由平衡条件 ，可得 0

()

0r r U r r =∂=∂1

0(

n m n r m βα-=（2）单个离子的结合能

()m

n m

m

n m n m n n m r r r r r U W ---⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=αβααβ

αβα12122120

00m 00（3）体弹性模量

晶体体积3

NAr V =晶体内能：()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=

n m r r N r U βα22

1131

2NAr r n r m N V r r U V U n m ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++βα()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+-+-⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+-⋅⋅⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅∂∂⋅=∂∂++n m n m n

m n m

n m r n r m r n r m V N r n r

m NAr r n n r m m NAr NAr N NAr r n r m r V r N V U βαβαβαβ

αβα3318321131312312222

44221122体弹模量：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂⋅=n

m n m V r n r m r n r m V N V V U

V K 0002022002

2033180

β

αβα由平衡条件：

0312*******

=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++==NAr r n r m N V

r

r U V

U n m V V V V βα得，即01010

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n m r n r m βαn m r n r m 00β

α=则

()00

000000000

00020220

02

20929181833180U V mn

r r N V mn r r V mnN r mn r mn V N r n r m r n r m V N V V U

V K n m m n m n n

m n m V -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=βααβαββ

αβα(4) ，10(

)n m

n r m β

α

-=m

m

n m

r n

m n m n n m W ---⋅⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=

0212ααβα()()

220A

90321041022 ⋅=⨯-⨯⨯=⋅-=eV r m n nW m

α108

0A

116838649118310

902 ⋅=⨯=⨯⨯=⋅=-eV r n m m n αβ