病毒传播SIS模型研究报告
基于网络图的社交病毒传播模型研究
基于网络图的社交病毒传播模型研究网络图是指通过节点和边来表示网络中的关系，而社交病毒传播模型是用来研究在社交网络中病毒或信息的传播过程的模型。
基于网络图的社交病毒传播模型研究，旨在探索社交网络中病毒传播的规律和机制，为防止和控制病毒传播提供参考和指导。
本文将深入探讨基于网络图的社交病毒传播模型的研究成果以及其在实际应用中的意义和挑战。
首先，我们来介绍一种常见的基于网络图的社交病毒传播模型——SIS模型。
SIS模型中的每个节点代表一个人或一个个体，节点之间的连边表示他们之间的社交联系。
在该模型中，每个个体可以处于两种状态：易感染状态(Susceptible，简称S)和感染状态(Infectious，简称I)。
当一个易感染个体与一个感染个体相连时，有一定的概率会被感染，成为新的感染个体。
同时，感染个体也有一定的概率恢复为易感染状态。
该模型可以通过一系列数学方程描述节点的演化过程，并且可以计算出病毒的传播速度和传播范围等重要指标。
基于SIS模型，研究者们提出了许多改进和扩展的模型，例如SI、SIR、SIRS模型等，以应对不同实际情况下的病毒传播问题。
另外，还有许多基于网络图的传播模型，如随机传播模型、阈值传播模型等。
这些模型在不同的场景中被广泛应用，如疾病传播、信息传播、谣言传播等。
基于网络图的社交病毒传播模型的研究成果具有重要的实际意义。
首先，通过这些模型，我们可以分析和预测病毒在社交网络中的传播规律。
这有助于了解病毒的传播速度、影响范围和传播路径等关键信息，为制定有效的防控策略提供科学依据。
其次，研究者们可以借助网络图中的节点和边的属性信息，来研究不同个体之间的联系对病毒传播的影响。
这对于发现传播关键节点和制定针对性措施具有重要意义。
最后，通过网络图中的模型，我们可以对不同的防控措施进行模拟和评估，从而选择最佳的策略来限制病毒传播。
然而，基于网络图的社交病毒传播模型也面临一些挑战和限制。
首先，现实中的社交网络具有复杂的结构和动态变化的特征，这给模型的构建和求解带来了困难。
带有治疗项的SIS反应扩散传染病模型动力学分析
带有治疗项的SIS反应扩散传染病模型动力学分析作者：闫卫平吴素赟来源：《河北科技大学学报》2015年第06期摘要：考虑了一类带有饱和治疗项的SIS反应扩散传染病模型。
根据最小特征值得到疾病流行阈值——基本再生数，当基本再生数R01时，无病平衡点不稳定且存在地方病平衡点。
通过数值模拟，讨论了治疗项对疾病传播的影响。
当疾病流行时，加强治愈率可以有效控制疾病的发展，然而扩大医院规模会促使疾病更大规模的流行。
关键词：微分动力系统；SIS反应扩散传染病模型；治疗项；基本再生数；无病平衡点；地方病平衡点中图分类号：O175.4 MSC（2010）主题分类：34N05 文献标志码：AAbstract：In this paper， we study the SIS epidemic reaction-diffusion model with the saturated treatment. We obtain the prevalence threshold value of disease， namely the basic reproduction number R0， based on the least eigenvalue. We have proved that the unique disease-free equilibrium is local stable when R01. Through numerical simulation， we discuss the influence of treatment on prevalence of disease. When disease outbreaks， it is efficient to increase cure rate for the control of the disease， while expanding the scale of hospitals will cause even more prevalence of the disease.Keywords：differential dynamic system；SIS epidemic reaction-diffusion model； treatment；basic reproduction number； disease-free equilibrium； endemic equilibrium利用数学模型研究传染病具有重要的实际意义[1-2]。
一类考虑病毒发生变异的SIS疾病传播模型
一类考虑病毒发生变异的SIS疾病传播模型
周海平;赖兵兵;刘妮
【期刊名称】《计算机应用研究》
【年(卷),期】2014(031)009
【摘要】为了研究变异行为对病毒传播的影响,提出了一个病毒发生变异的疾病传播模型,在模型中考虑了两种病毒相互转换的过程,计算机模拟结果表明,两种病毒的稳态感染比例与它们之间的相互转换概率γ1和γ2有关,当γ1＞0且γ2=0时,I1型感染者将消失,当γ1与γ2都大于0时,I1/I2与γ1/γ2成反比,且与α1/β1和
α2/β2的取值无关.研究还发现病毒变异时由于缺乏对应的治疗药物和措施而出现一段真空期,这导致变异病毒的感染比例快速增加,但真空期的出现只能增加感染者的瞬时感染比例,而对稳态感染比例没有影响.该研究对人们深入理解病毒传播机理具有启发作用.
【总页数】3页(P2773-2775)
【作者】周海平;赖兵兵;刘妮
【作者单位】贵阳学院数学与信息科学学院,贵阳550005;国家电网江西宜春袁州区供电有限责任公司,江西宜春336000;贵阳学院数学与信息科学学院,贵阳550005
【正文语种】中文
【中图分类】TP309.5
【相关文献】
1.一类带病毒变异的随机SIR模型解的渐近性态 [J], 王艺;马洁;魏毅强;
2.一类病毒自发变异时滞SIR传染病模型稳定性分析 [J], 李冬梅;付玉立;高添奇;李晨辰
3.一类考虑媒体报道影响和垂直传染的随机SIS模型研究 [J], 马莎莎;马纪英
4.一类考虑移动存储介质的时滞SIRS网络病毒传播模型Hopf分岔研究 [J], 张子振;邹俊宸
5.一类病毒自身发生变异的传染病模型的全局分析 [J], 杨亚莉;李建全
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SARS传播数学模型
SARS 的传播问题模型一 SI 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人。
模型构成根据假设，每个病人每天可使()s t λ个健康人变为病人，因为病人人数为()Ni t ，所以每天共有()()Ns t i t λ个健康人被感染，于是Nsi λ就是病人人数Ni 的增加率，即有diNNsi dt λ= （1）又因为()()1s t i t += （2）再记初始时刻（t=0）病人的比例为0i，则()()01,0dii i i dt i λ=-= （3）对方程（5）的解有()01111ti t i λ-=⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭（4）由（5），（6）式可知，第一， 当12i =时，didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时刻： 101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭ （5）这时病人增加的最快，预示着传染病高潮的到来，提前5天采取严格的隔离措施可以推迟传染病高潮的到来，为医疗卫生部门迎接高潮做好充分的准备。
推迟5天则会使感染者更多；第二， 当t →∞时1i →，所有人终将被感染，全变为病人，显然，这与实际不符，故必须对上模型做出修正。
模型二 SIS 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、 每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人；3、每天被治愈的病人人数占病人总人数的比例为常数μ，称为日治愈率。
病人治愈后成为仍可被感染的健康人，显然，1μ是该传染病的平均传染期。
sis模型参数估计
sis模型参数估计SIS模型是一种用于描述和预测流行病传播的数学模型。
该模型考虑了人群中的易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）之间的相互作用。
其中，易感者可以被感染者传染，感染者可以康复并获得免疫力，康复者也可以再次成为易感者。
SIS模型的参数估计是通过对流行病数据进行统计分析，寻找最佳参数值，以便更好地拟合实际情况并预测未来的传播趋势。
在SIS模型中，有几个重要的参数需要进行估计：1. 传播率（Transmission Rate）：表示感染者每天传染给易感者的平均人数。
该参数反映了疾病的传播速度和传染性。
传播率可以通过分析疾病传播链的数据，如追踪感染者与易感者的接触情况，来估计。
2. 恢复率（Recovery Rate）：表示感染者每天康复的平均比例。
该参数反映了疾病的康复速度和康复能力。
恢复率可以通过观察感染者的康复情况和治疗效果来估计。
3. 感染者平均传染时间（Average Infectious Period）：表示感染者平均被认定为传染性的时间。
该参数可以通过观察感染者的病程和传染性持续时间来估计。
4. 初始易感者比例（Initial Susceptible Population）：表示初始时刻易感者占总人群的比例。
该参数可以通过人口统计数据和疾病流行初期的感染数据来估计。
5. 报告率（Reporting Rate）：表示感染者中被报告或诊断的比例。
该参数可以通过分析报告的疾病病例和实际感染人数的比例来估计。
6. 疫苗接种率（Vaccination Rate）：表示人群中每天接受疫苗接种的比例。
该参数可以通过观察疫苗接种情况和接种速度来估计。
以上是SIS模型中常用的一些参数，它们对于预测和控制疾病传播趋势都起着重要的作用。
通过对实际数据的分析和统计建模，可以估计这些参数的值，并用于模型的拟合和预测。
需要注意的是，参数估计是一个复杂的过程，需要充分考虑数据的可靠性、采样误差、模型假设的合理性等因素，以得到准确的参数估计结果。
基于群体稀疏分布的SIS疾病传播模型
收 稿 日期 ：２ ０ — ０ １ ． ０ ７１—０ 基 金 项 目 ： 州 省 科 学 技 术 基 金 项 目（０ ７ ０ ４ 贵 ２０２０）
＊Ｅ－ ｉ：ｈ ｚ ｏ ２ ８ ＠ ｓｎ ． ｏ ． ｍａｌ ｐ ｈ ｕ ８ ５ ｉａ ｃ ｒ ｎ
传 统 的 Ｓ Ｓ模 型 没 有 考 虑群 体 密 度 对 疾 病 传 Ｉ
摘 要 ： 经 典 ＳＳ疾 病传 播模 型 的 基 础 上 加 入 了群 体 密 度 、 播 效 率 及 个 体 的游 动 等 因 素 ， 察 在 Ｉ 传 考 这 些 因 素对 疾 病 传 播 的影 响 ． 论 分 析 和 仿 真 模 拟 表 明 该 疾 病 传 播 模 型存 在 一 个 临 界
也 就是 说该 模 型存在 一个 传播 临 界值 ， 当传播效
率 大于 临界 值 时 疾 病 能 够 在 群 体 中扩 散 ， 并
使 得整 个 系统 中 的感 染个 体 数 最 终 稳 定 到 某 一平 衡 状态 ， 当传 播 效 率 小 于 临 界 值 时感 染 个 而
传 统 的 Ｓ Ｓ疾 病 传 播 模 型 中加 入 了群 体密 度 和 群 Ｉ
体 的流 动这 两个 因素 ， 立 相 应 的理 论 模 型 ， 过 建 通 对 理论 模 型的分 析 和 计 算 机模 拟 来 研 究 群 体 密 度
一类具有非线性发生率的SIS传染病模型的定性分析
有唯一地方病平衡点 A2 ( S 3 , I 3 ) , 其中 : S 3 =
d +α β
1 q
,
I3
=
rS 3 d
( K
K +
- S3 rS 3
)
.
容易验证 S 3
+ I3
<
K.
定理 1 A0 (0 , 0) 为系统 (1) 的鞍点 ; 当βKq > d +α时 , A1 ( K , 0) 为系统 (1) 的鞍点 , 当βKq < d +
在单连通区域 H 内 , 取函数
P( S , I)
= rS
1-
S+I K
- βI S q +αI , Q ( S , I)
= βI S q -
dI - αI , B ( S , I)
= S- 1 I- 1
则
5 ( B P) 5S
+
5
( BQ)
5I
=-
rI - 1 - β( q - 1) S q- 2 - αS - 2
≤2α时 ,
h1 ( K -
S3 )
≥0 ; 当 S0
≥ K [α-
r
α( r - α) ] 时 , h1 ( S0 - S 3 ) ≥0.
又由于 0 ≤q < 1 时 ,
a2
< 0 , 故只需当 h2 ( K -
S3 )
≥0 ,
即
r
≤α[2 (3 3(2 -
q)α+ (4 q)α+ (3 -
q) d ] q) d
α时 , A1 ( K , 0) 为系统 (1) 的稳定结点 ; 当βKq > d +α且 dS 3 + [ d ( q - 1) + qα] ( K - S 3 - I 3 ) > 0 时 ,
SIS传染病模型的性态分析.doc
SIS传染病模型的性态分析摘要：通过对SIS传染病模型的性态分析，来揭示疾病的流行规律，预测其变化发展趋势，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。
关键字：传染病，SIS模型，性态分析Infectious disease model SIS modal analysis(Hengyang normal college mathematics and computer science department) Abstract: based on the model of SIS infectious diseases, to reveal the modal analysis and prediction of the prevalent regularity, the change trend of the control measures of evaluation, in order to prevent disease control provides basis for decision-making.Key words: infectious diseases, SIS model, modal analysis传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析；1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究；Kermack与McKendrick为了研究1665-1666年黑死病有伦敦的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了SIS仓室模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阀值理论”。
传染病动力学的建模与研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著《数理流行病学》。
1.传染病SIS模型的基本形式传染病与人类的生活密切相关，因此其模型的研究也是被国内外所重视的。
具有双时滞的离散SIS传染病模型稳定性分析
以 ｌ ＜ ２ ＋ ． 那 么
Ｎ ≤ Ａ ＋ Ⅳ
一
ｌ 一
Ｉ
Ⅳ
这里 Ｓ ， ， 分 别 表 示 易 感 者 组 和 感 染 者 组 ； 正 常 数 Ａ，
， ，
≤
分 别 表 示 生 率 ， 易感 者死亡率 ， 感 染 者 死 亡 率 和
康复 率； Ｉ Ｂ （ ， ） 表 示 单 位 时 间 内 有 效 接 触 率 ， 发 生
证明 根 据 系统 （ ２ ）的 第 一 个 方 程 我 们 得 到 ｓ
＝
的时滞 Ｉ， （ ｔ — ｓ ） 如（ ） ， 而文献 ［ ３ ］ 的作者根据非标准有限
差 分 法 将 此 系统 化 成 差 分 系 统 ， 从而也得到与文献 ［ ２ ］ 相同
的结 论 ． 基 于 以 上 学 者 的基 础我 们 首 先 考 虑 一 个 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 如
。
！ １ ３ ｏ ｔ ． ，
・ ．
●
专 题 研 究
黪 撵
双 滞 离散 ￥ Ｉ 一 ６传染病模型稳霆懂分撩
◎付 恩骏 黄 正阳 陈定 均 王 斌 （ 雅安职业技术 学院， 四川 雅安 ６ ２ ５ ０ ０ ０ ）
【 摘要 】 首先 我 们 通 过 非 标 准 有 限 差 分 法 将 连 续 的 Ｓ Ｉ Ｓ
数 Ａ ＝ ∑ ： ： 。 ， 并 且 定 义 阈 值 三 ｉ ｆ （ ｏ ） Ａ 南
ｓ ＝ ， ．
・
【 关键词 】 非标 准 有 限 差分 法 ； 全局稳定； 持续 ； 时滞
如 果 ＞ １ ， 系统（ ２ ） 有一个地方性平衡点 Ｅ ＝（ Ｓ ， ， ） ，
区间 ［ ０ ， ］上 是非 减 的 ； ｔ ≥０ ， ０ ３≥ ０是 时 滞 ； 在 根 据 文 献
病毒传播SIS模型研究1
病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。
在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感－感染－易感”（SIS ）模型是研究者经常的选择。
关于SIS 模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率（β）被感染，同时，已感染的个体以概率（γ）被治愈又重新成为健康（易感）的个体。
实际中大量的问题可以利用网络（图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体（人、动物、计算机等）可以看作网络的节点，当个体之间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。
比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康的（易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，由于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。
一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度（边数）。
所谓二部网络（图），是网络中的节点可分成两类（比如男性和女性，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。
在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际情况。
因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义。
本题我们主要研究二部网络上的病毒传播问题，根据附件提供的一个二部网络（由10000个A 类节点和10000个B 类节点构成）的节点度的数据，完成以下任务：1．根据“附件”提供的数据data.xls ，选择适当的坐标，作出节点连接度和其出现频率的图形，观察这种类型的连接度数据大致服从什么分布？2．生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一个小型的二部图，随后在A类中加入一个新节点并向B 类中的节点连边，该边指向B 类中i 号节点的概率正比于i 号节点当前的连接度，而后在B 类中产生新节点，以同样的方式向A 类连边，当这两个步骤进行足够多次之后即可得到满足数据文件特点的网络。
复杂网络中的SIS传染病模型的稳定性分析
复杂网络中的SIS传染病模型的稳定性分析王振国;刘桂荣【摘要】主要研究一类复杂网络中的SIS传染病模型的动力学行为，通过正平衡点的存在性给出传播阈值λc= k / k(k-1)φ(k)。
当λ<λc时，无病平衡点E0=0全局渐近稳定；当λ>λc时，地方病平衡点E*全局渐近稳定。
最后通过计算机数值仿真，验证了理论结果的正确性。
%We investigate an SIS model in complex networks. The existence of positive equilibrium is determined by the critical epidemic thresholdλc= k / k(k-1)φ(k) ,Ifλ<λc ,then the disease free equilibrium E0=0 is globally asymptotically stable;If λ>λc ,there exist a unique endemic equilibrium E∗>0 which is globally asymptotically stable. The numerical simulation shows that our results are correct.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2016(034)003【总页数】4页(P301-304)【关键词】SIS传染病模型;复杂网络;Lyapunov函数;全局渐近稳定【作者】王振国;刘桂荣【作者单位】吕梁学院数学系，山西吕梁 033000;山西大学数学科学学院，山西太原 030006【正文语种】中文【中图分类】O29刘桂荣（1975-），男，教授，博士，主要从事生物动力系统研究.现今的传染病依然是人类非自然死亡的一个原因，传染病防治的重要性显而易见，建立一个更符合实际的有效传染病模型一直是科学研究的重点，但更多的作者在传染病建模时，总是假设所研究种群是均匀混合的，经过计算找出传播阈值λc，来研究疾病传播［1-2］.事实上，种群应看成是一个复杂的网络组织，每个个体是网络中的一个节点，个体之间的相互交往接触相当于网络中的节点之间的连边，疾病在种群中的传播就是一个在复杂网络上的传播，所以在传染病建模中不考虑现实网络这一属性是不科学的.在经典的传染病建模中，对传染力刻画很重要，大多数的文献主要考虑以下两种情形对传染力的影响：一种是考虑当疾病在网络中正在传播蔓延时，染病者的邻居中一定存在至少一个染病者［3-4］；另一种是考虑网络中连边的有效接触连接φ()k，一般情况下，每一个染病者节点的传染力正比于该节点的度［5-6］，这是由于网络中存在一部分度很大的节点，这些节点若被传染，疾病就会快速地在网络中传播蔓延，但这种情况对于有些疾病是不适用的，例如性病、乙肝病毒的传播与接触的人数多少是不成正比的，其传播要考虑有效接触连接φ()k，文献［7-8］中考虑了φ(k)=1 k和φ(k)=A＜1这两种有效接触连接对传染病的影响.基于上述考虑，本文建立更符合实际的SIS网络传染病模型，并分析了无病平衡点E0=0和地方病平衡点E∗全局渐近稳定性.假设网络中只有易感者和染病者两种状态，且网络中每个节点的度不超过M .令Sk，Ik分别表示度为k的易感者和染病者的数量.Nk表示度为k的节点总数，即Nk=Sk+Ik.若ρk=Ik/Nk表示度为k的染病者的相对密度，则1-ρk表示度为k的易感者的相对密度.建立如下度不相关的SIS网络传染病模型：这里假设恢复率等于1.令φ(k )表示实际有效接触连接，k-1表示染病者周围有一个染病者，p(k)=Nk/N表示网络的度分度，＜k＞=表示网络的平均度.对于系统（1），集合Ω={(ρ1,ρ2,…,ρM)|0≤ρk≤1,k=1,2,…,M}显然是一个正向不变集.定理1当λ＞λc=k/k(k-1)φ(k )时，系统（1）存在唯一地方病平衡点E∗＞0 . 证明令系统（1）的右端为零，得到平衡点满足下面等式：将上式代入（2）式，得显然，f( )0 =0，且对函数f( )Θ求导得：因此，f(Θ )是0≤Θ≤1上的凹函数.从而，（3）式在[0,1 ]上有唯一地方病平衡点E∗＞0的充分必要条件是从（4）式可知，疾病的传播阈值为λc=，从而，当λ＞λc=一的地方病平衡点E∗＞0 .令时，系统（1）有唯其中Nk(ρ)=-λkρkΘ，则系统（1）可等价写成：定理2当λ＜λc=时，系统（1）的无病平衡点E0=0全局渐近稳定；当λ＞λc=k/时，系统（1）的无病平衡点E0=0不稳定.证明令A=-E+A～，E表示一单位矩阵，显然矩阵～的秩为1，M个特征根分别为=λ＜k(k-1)φ(k)＞/，从而，矩阵A的M个特征根分别为λ1=λ2=…=λM-1=-1，λM=-1+λ＜k(k-1)φ(k)＞/，显然，当λ＜λc=时，矩阵A的所有特征根具有负实部，从而系统（1）的无病平衡点E0=0局部稳定；当λ＞λc=时，矩阵A存在一个正的特征根λM＞0，系统（1）的无病平衡点E0=0是不稳定的.下面证明系统（1）的无病平衡点E0=0的全局渐近稳定.由于Ω=是系统（1）的正向不变区域，所以只需要考虑解在Ω的全局渐近稳定，对系统（1）的两边同时乘以(k -1)φ(k)p(k )，并求和得：构造Lyapunov函数沿着系统（1）求导，得可见当λ＜λc=时，V′(ρk(t))≤0，且当仅当ρk=0时，V′(ρk(t)) =0，由Lasalle不变集原理，可得系统（1）的无病平衡点E0=0是全局渐近稳定的.对一般性系统：引理1［9］假设：1）f在Rn+上是合作系统，Df(x)=是不可约的；2）f()0 =0，对于任一x∈R+n，且xi=0，有fi(x )≥0,i=1,2,…,n；3）f在R+n上是强次线性的，即对于任一α∈(0,1 )，x≫0，有f(αx )＞αf(x).当s(D f(0))＞0时，若系统（9）存在唯一正平衡点x=x∗，则x=x∗一定是全局渐近稳定的.定理3当λ＞λc=时，系统（1）的地方病平衡点E∗＞0是全局渐近稳定的.证明由定理1可知当λ＞λc=时，系统（1）存在唯一地方病平衡点E∗＞0，下面只需验证系统（1）满足引理1中的（1）～（3）中的条件且s( )Df()0 ＞0 .记f :Ω→Ω是系统（1）的向量场，f=( ) f1,f2,…,fM，显然f在Ω上是连续可微的，1）对于ρ∈Ω，有是不可约的，并且系统（1）是合作系统；2）f(0)=0，对于任一ρ∈Ω，且ρi=0，有fi(ρ )≥0,i=1,2,…,M；3）对于任一α∈(0,1 )，ρ≫0，有fi(αρ)= α[- ρk+λk(1-αρk)Θ]＞α[- ρk+λk(1-ρk)Θ]=αfi(ρ )，因此f在Ω上是强次线性的.当λ＞λc=时，s(D f(0 ))=s(A )＞0，由引理1可知系统（1）的地方病平衡点E∗＞0是全局渐近稳定的.为了验证定理2和3的结论，下面通过数值仿真来模拟系统（1）的动力学性态.假定网络节点总数N=2000，节点的最小度是3，节点的最大度是100，平均度＜k ＞=6 .取φ(k)=A=0.6，算得λc=0.1，考虑节点度分别为k=10，k=20，k=70时，染病者ρk随时间t变化曲线图.图1选取参数λ=0.03＜0.1，染病者ρk随时间t逐渐趋向于无病平衡点E0=0，疾病消失.图2选取参数λ=0.2＞0.1，染病者ρk随时间t趋向于唯一地方病平衡点E∗＞0，疾病持续存在.【相关文献】［1］马知恩，王稳地，周义仓，等.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.［2］赵爱民，王志佳.一类具有传染病捕食与被捕食模型的稳定性［J］.河南科学，2015，33（3）：317-323.［3］Wang J Z.Epidemic spreading on uncorrelated heterogenous networks with non-uniform transmission［J］.Physica A，2007，382 （2）：715-721.［4］Barthe′lemy M，Barrat A，Pastor-Satorras R，et al.Dynamical patterns of epidemic outbreaks in complex heterogeneous networks［J］.J Theor Biol，2005，235（2）：275-288.［5］Newman M E J.The structure and function of complex networks［J］.SIAM Rev，2003，45（2）：167-256.［6］Small M，Tse C K C.Clustering model for transmission of the SARS virus：application to epidemic control and risk assessment［J］.Physica A，2005，351（2）：499-511. ［7］Olinky R，Stone L.Unexpected epidemic thresholds in heterogeneous networks：The role of disease transmission［J］.Phys Rev E，2004，70：030902.［8］Liu J L，Zhang T L.Epidemic spreading of an SEIRS model in scale-free networks ［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16：3375-3384.［9］Zhao X Q，Jing Z J.Global asymptotic behavior in some cooperative systems of functional differential equations［J］.Canadian Applied Math Quarterly，1996，44：421-444.。
一类分阶段传播的广义SIS传染病模型的全局分析与控制
文章编号 ： ０ －８ ２ ２ １ ）４０ ９ － １ ９４ ２ （０ ０ ０ －２ ７０ ０ ４
一
类 分 阶 段 传 播 的 广 义 Ｓ 染 病 模 型 的 Ｉ Ｓ传 全 局 分 析 与 控 制
赫培 霞 赵 立 纯 ，
（． １辽宁师范大学 数学学 院， 辽宁 大连 １６２ ；． 山师范学 院 数学 系 ， １０９２鞍 辽宁 鞍山 １４０ ） １０５
２ Ｄｐ ｒ ｎ Ｍａ ｅ ｔｓＡ ｓａ ｅｃｅｓ ｏｌ ｅＡ ｓａ １０５，ｈｎ ） ． ｅａｔ ｔ ｅ ｆ ｍ ｏ ｔ ｍ ｉ ，ｎｈ ｎＴａｈｒ Ｃ ｌｇ ，ｎｈ ｎ１４ ０ Ｃ ｉ ｈａ ｃ ｅ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｕ ｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｆｔ ｅ ｇ ｏ ａ ｔｂｉ ｔ ｏ ｉ ｕ ａ ｐｄｅ ｃ ｍｏ ｅ ｔ ｔ ｇ —ｔｕｃｕ ｅ ａ ｅ ｅ ｓ ｆ ｉ ｎ ｏ ｄ ｔ ｓ ｏ ｈ ｌｂ ｌｓａ ｌ ｙ ｆ ｒａ ｓｎｇ ｌ ｒｅ ｉ ｍｉ ｄ ｌｗｉ ｓａ ｅ ｓｒ ｔ ｒ ｒ ｉ ｏ ｉ ｈ ｇｖ ｎ ｂ ｏ ｔ ｃｉ ｇ Ｌｉｐ ｏ ｕｎ ｔｏ ｎ ｈ ｕ ｌｔｔｖ ｈｅ ｒ ｆｄｆｅ ｅ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ Ｆｏ ｎ ｔｂ ｅ ｃ ｓ ｆ ｉｅ ｙ ｃ ｎｓｒ ｔｎ ａ ｕｎ ｖ ｆ ｃｉｎｓａ ｄ ｔ ｅ ｑ ａ ｉ ｉｅ ｔ ｏ ｙ ｏ ｉ ｒｎｔ ｑ ａ ｉ ｓ， ｒｕ ｓａ ｌ ａ ｅ ｏ ｕ ａ ｆ ａ ｏ ｔ ｙ ｔ ｍ ，ｈ ｏ ｔｏ ｉ ｈ ｍａ ｅ ｈ ｙ ｔ ｍ ｔｔ ｒｅ ｅ ｕ ｌｂ ｕ ｉ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｉｇ ｌｎ ａｉａ ｉｎ ａ ｄ ｐ ｌ ｈｅ ｓ ｓｅ ｔｅ ｃ ｎｒ ｌｗｈ ｃ ｋ ｓｔ ｅ ｓ ｓｅ ａ ｈｅｆｅ ｑ ｉｉ ｒ ｍ ｓｏ ｔｉ ｅ ｙ ｕｓｎ ｉ ｅ ｒｚ ｔｏ ｎ ｏｅ ｉ
一类SIS流行病传播数学模型全局渐近稳定性
令 D= 0, d + A= L, 系统( 1) 和 ( 2) 化为文[ 6] 中的模型 S Û = r - dS I = Û 推论 成立 : bIS , 1 + aI ( 7) ( 8)
Q
S r d
r x- d dx + I , x
ad ( A + d + D) 2 ( R 0 - 1) - ( A+ d ) b( A+ d + ar ) ad ( A+ d + D) 2 ( R 0 - 1) b( A+ d + ar)
,
显然 V 定正, 且沿系统 ( 1) 和( 2) V 对 t 的全导数 r Sd V= Û S+ Û I = S Û dS - r ( r - dS - bIS + D I) + dS 1 + aI bIS - ( A+ d + D) I = 1 + aI ( dS - r ) 2 br - [ A+ d + D]IdS d( 1 + aI ) r ( - 1) D I = dS
*
5
讨论
4 临界情形数值模拟结果
考虑临界情形 R 0 = 1, 将系统 ( 1) 和 ( 2) 离散 化, 做数值模拟分析 . 选取 r = 0. 02, b = 0. 05, a = 5, A= 0. 01, d = 0. 03, D = 0. 02, 取 9 组初值进行数值计算, 计算机 模拟结果如图 1 所示 .
bIS - ( d + A+ D) I , 1 + aI 可见 , 在临界情况下, 无病平衡点很有可能是 渐近稳定的.
则 5 ( BP ) 5( BQ) r D ab + =- 2 - 2< 0. 5S 5I S I S ( 1 + aI ) 2 利用 Dulac 判定定理可知系统( 1) 和( 2) 在第一象限 内无闭轨线 , 故结合定理 2. 2 可知 : 当 R 0 > 1 时 , 地 方病平衡点 E 全局渐近稳定 .
SI.SIR.SIS-模型
数学模型实验—实验报告10学院：专业：姓名：学号：___ ____ 实验时间：__ ____ 实验地点：一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。
分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。
模型一（SI模型）：（1）模型假设1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。
（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as（t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni（t），所以每天共有aNs（t）i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi又因为s（t）+i（t）=1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：i(0)=i0（3）模型求解（代码、计算结果或输出结果）syms a i t i0 % a：日接触率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,{a,i0},{0.3,0.02});ezplot(y,[0,100])figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的i~t曲线 SI 模型的di/dt~i 曲线（4）结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在t->inf时，所有人都将第1页/ 共5页患病。
基于SIS模型的封闭系统中传染病传播问题分析
隹 Isl^iSlsV 12021年第03期(总第219期)基于SIS 模型的封闭系统中传染病传播问题分析王旭，尹若宇,李成龙，陈嘉良,于庭任(itFa 航空航天大学，辽宁忧阳110136)摘要：文章采用情境假设、分类逐步讨论、模型优化的理论或方法，通过构建相比于其他经典疾病预测模型诸如SI 、SIR以及SEIR 等更为准确、合理的SIS 模型，并运用MATLAB 软件进行求解，以预测在封闭系统内同一人可多次被感染的 疾病，在初始患病者分别为工作人员和非工作人员的条件下，系统中患病人数的变化情况。
根据患病人数变化趋势的预测结果，继续使用SIS 模型，讨论在封闭系统中，当采取不同类型的防疫措施时，对抑制疫情传播产生的影响。
最后结合 研究结果以及实际情况给出合理化建议。
关键词:SIS 疾病预测模型；分类讨论法;假设法;MATLAB中图分类号:R181.3 文献标识码:A 文章编号:2096-9759( 2021 )03-0041-02传染性疾病具有传播范围广、扩散速度快、防控难度大等特点。
对传染病传播问题的研究分析关乎国家卫生安全，具有很高的社会价值。
首先,本文针对封闭系统中，如细菌性痢 疾、伤风等治愈后仍会被感染的疾病传播问题进行分析，建立SIS 模型以预测初始患病者为不同人群时封闭系统内患病人 数的变化情况，有助于相关部门在疫情大范围扩散前及时釆取有效防控措施。
其次，本文根据预测结果进行深入研究，分析当因各种缘故釆取不同类型的防疫措施时，对疫情传播趋势产生抑制的程度，釆取对应的防疫措施以阻断疫情的进一 步蔓延。
1问题分析针对所要研究的问题进行分类讨论，本文先建立了一个 封闭的系统模型，这个模型包括两个自然环境:一个是工作人 员所处的人流密集的商场,一个是非工作人员所处的居民区，如图1所示。
当最初患病者为工作人员时，由于工作人员活 动于封闭系统人员密集的地区，所以患病者每天接触易感者的概率会很高;当非工作人员为最初患病者时,由于患病者生活在居民区，在一定程度上相当于隔离，所以患病者每天接触易感者的概率会低一些。
两类SI传染病模型的毒性的适应性进化的开题报告
两类SI传染病模型的毒性的适应性进化的开题报告一、研究背景及意义随着新冠病毒的爆发，人们对于传染病模型的研究和应用趋于重视。
基于这些背景，SI模型和SEIR模型逐渐成为传染病学研究中最为广泛应用的模型。
其中，SI模型是一个最简单的传染病模型，它假定所有人口都是易感者，只有在感染者的影响下才会被感染。
而SEIR模型则更为复杂，它将人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四个部分，更适合研究需要考虑疫苗接种、隔离等控制措施的传染病。
在传染病学研究中，毒性的适应性进化是一个非常关键的问题。
一些细菌和病毒能够通过进化来增加其攻击宿主细胞的能力，从而使其感染更加严重。
因此，对于不同类型传染病模型中毒性的适应性进化的研究，可以帮助预测和控制传染病的传播。
二、研究内容和方法本文将重点研究SI模型和SEIR模型中毒性的适应性进化。
具体来说，我们将模拟改变繁殖率、感染率和死亡率等因素，观察毒性适应性进化对传染病传播的影响。
我们将使用差分方程来表示SI和SEIR模型，并配合数值模拟来评估模型的性能。
在模拟前，我们需要建立一个合适的传染病模型，该模型需要包含以下变量：易感者（S）、感染者（I）、死亡者（D）和恢复者（R）等四类因素。
利用卡尔曼滤波方法，可以根据实测数据初步确定繁殖率、感染率和死亡率等指标。
根据确定的指标，我们可以构建一个初步的SI模型，然后通过不断的数值模拟和实验，修改和优化模型，以得出更为准确的结果。
三、预期结果本文的主要预期结果包括以下几个方面：1. 用SI模型和SEIR模型分析毒性适应性进化对传染病传播的影响。
2. 建立一个较为准确的SI和SEIR模型，并利用该模型模拟得出不同病毒适应性下的传播趋势。
3. 分析不同病毒毒力下，防疫措施的有效性。
4. 探究预防和治疗传染病的策略，如疫苗接种和治疗手段的优化等。
四、研究意义和价值本文的研究对于深入探究传染病传播规律、预测传染病的爆发趋势、有效控制疫情等具有重要的理论和现实意义。
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摘要问题重述病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。
在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感－感染－易感”<SIS）模型是研究者经常的选择。
关于SIS模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率<β）被感染，同时，已感染的个体以概率<γ）被治愈又重新成为健康<易感）的个体。
实际中大量的问题可以利用网络<图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体<人、动物、计算机等）可以看作网络的节点，当个体之间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。
比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康的<易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，由于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。
一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度<边数）。
所谓二部网络<图），是网络中的节点可分成两类<比如男性和女性，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。
在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际情况。
因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义。
本题我们主要研究二部网络上的病毒传播问题，根据附件提供的一个二部网络<由10000个A类节点和10000个B类节点构成）的节点度的数据，完成以下任务：1．根据“附件”提供的数据data.xls，选择适当的坐标，作出节点连接度和其出现频率的图形，观察这种类型的连接度数据大致服从什么分布？2．生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一个小型的二部图，随后在A 类中加入一个新节点并向B类中的节点连边，该边指向B类中号节点的概率正比于号节点当前的连接度，而后在B类中产生新节点，以同样的方式向A类连边，当这两个步骤进行足够多次之后即可得到满足数据文件特点的网络。
根据这里所提供的生成机制，发现节点连接度分布的表达式。
3．在这类网络上考虑“易感－感染－易感”<SIS）模型，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。
(参数γ＝0.1, 考虑到两类个体的感染率可以不同，分析中假定A类个体的感染率为B个体感染率的2倍，即=2，并分别取B类个体的感染率=0.01,0.02,0.03>。
由于考虑PC机的计算速度，模拟时网络规模不要太大，可选择500＋500的二部网络。
4．对我们的模型进行理论的分析，看看是否和我们的模拟结果一致。
问题分析问题背景的分析：随着卫生设施的改善，医疗水平的提高以及人类文明的不断改善，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是，一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人们袭来。
20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒突袭人间，至今仍在蔓延；随后SAS病毒、H1N1病毒广泛传播，给人们的生命财产带来极大的危险，一度引起了人们的恐慌。
但病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是人们关心的话题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，但这里我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播特点，而只是按照一般的传播机理建立数学模型。
对于问题一：选择适当的坐标，做出节点连接数和其出现频率的图形。
该题只需要我们对附件中的数据进行一定程度的处理，得到节点连接度与其出现频率的关系。
对于问题二：需要从一个小型的二部图出发，按照题目中要求的机制不断的进行推测。
先在A类中加入新的节点，按照一定的概率连接到B类中的号节点；再从B类节点中出发，连接到A类中的节点。
通过不断地重复这个步骤，找出节点连接度分布的表达式。
对于问题三：利用问题二的产生机制，在A类中加入新的节点，先判断它是否患病，再判断与之相连的B类节点是否患病，在相连的基础上，判断它们能否能够传染。
再从B类节点出发，连接到A类中的节点。
通过不断地重复这个步骤，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。
对于问题四：需要对自己的模型进行理论的分析，然后和问题三中计算机模拟出来的数据进行比较，判断计算机模型的结果与理论之间的差距。
基本假设假设一：假设人在感染病毒后，可能被治愈，但不会死亡。
假设二：二部网络是度不相关的。
假设三：一个节点的感染密度仅仅是该节点度的函数。
假设四：问题二和问题三的随机机理是符合实际的。
假设五：问题三中的病人数可以由电脑随机定。
符号定义、A类中第号节点的连接度B类中第号节点的连接度、A类中第号节点出现的概率B类中第号节点出现的概率治愈率A个体的被传染率B个体的被传染率具有k个连接度的A类个体的感染密度具有k个连接度的B类个体的感染密度节点连接度k任意一条边指向感染的A类节点的概率任意一条边指向感染的B类节点的概率节点的平均连接度A类节点连接度的出现频数B类节点连接度的出现频数A类个体第i号节点的状态B类个体第i号节点的状态0 易感者1 感染者模型建立问题一：节点连接度和其出现频率的关系问题一的思想：因为这是一个数据处理的过程，所以我们先是对数据进行处理，得到A、B 类节点连接度、及其出现概率、的表格。
为了发现它们之间服从什么分布，我们先是用Matlab软件中的cftool指令拟合出表格中的数据服从的曲线，然后再对这条曲线进行验证，是否可以作为概率分布的曲线，最终得出它们服从的分布。
具体步骤如下：步骤一：数据处理由附件中的数据，我们可以整理出A、B两类节点连接度、与其出现频率、的数据，如表1和表2表1 A类节点连接度及其出现频率A类节点连接度出现频率A类节点连接度出现频率A类节点连接度出现频率1 0.6626 17 0.0010 33 0.00012 0.1679 18 0.0009 35 0.00013 0.0703 19 0.0009 37 0.00014 0.0316 20 0.0003 38 0.00025 0.0185 21 0.0007 39 0.00036 0.0109 22 0.0002 41 0.00017 0.0077 23 0.0005 45 0.00018 0.0054 24 0.0002 47 0.00019 0.0041 25 0.0001 48 0.000110 0.0027 26 0.0001 49 0.000111 0.0024 27 0.0001 53 0.000112 0.0017 28 0.0002 64 0.000113 0.0016 29 0.0003 68 0.000114 0.0011 30 0.0001 72 0.000115 0.0009 31 0.0001 75 0.000116 0.0010 32 0.0001 96 0.0002及其出现频率类节点连接度2 B 表 B 类节点连接度 出现频率B 类节点连接度 出现频率B 类节点连接度 出现频率 1 0.6639 18 0.0006 38 0.0001 2 0.1696 19 0.0005 39 0.0001 3 0.0644 20 0.0010 40 0.0001 4 0.0353 21 0.0003 41 0.0001 5 0.0186 22 0.0002 44 0.0001 6 0.0111 23 0.0004 46 0.0001 7 0.0078 24 0.0001 48 0.0001 8 0.0065 25 0.0001 49 0.0001 9 0.0034 27 0.0001 50 0.0001 10 0.0042 28 0.0003 54 0.0001 11 0.0023 29 0.0002 59 0.0002 12 0.0015 30 0.0002 61 0.0001 13 0.0013 31 0.0003 65 0.0001 14 0.0009 32 0.0001 71 0.0001 15 0.0007 33 0.0001 73 0.0001 16 0.0011 34 0.0002 86 0.0001 17 0.0009 36 0.0001 由表1和表2的数据，我们通过Matlab 软件中的cftool 指令对表1和表2中的数据进行曲线拟合<程序见附录一），结果如图1和图2。
图1A 类节点连接数及其出现频率关系A、B类节点连接度的分布函数为：,, <1）图2 B类节点连接度及其出现频率关系它们的拟合程度均为0.9994，拟合程度非常的接近1，所以在拟合方面，可以认为它们是符合的。
但作为概率密度函数，其性质之一是.但<1）式是离散的函数，其概率总和为1的验证可转化为.<2）即对<1）式进行<2）式的检验。
由Matlab软件<附录程序二）验证得知，其概率之和不能达到1.所以需要对表1和表2的数据重新进行处理。
步骤三：数据的再处理由步骤二可知，如果我们直接对数据进行拟合，拟合度最好的却不一定是能用的，因为它的概率之和不一定为1。
所以我们先对概率和为1这一性质进行检验，再从概率和为1的前提下挑出拟合程度最好的。
在以上的思想下，我们运用Matlab软件再次编程。
编程的思想：由步骤二中画出的散点图以及其拟合函数，我们先假设其概率分布函数为形如的幂律函数，且；其中不是整数<从问题四的理论分析考虑）。
因为要求所有出现的概率总和为1，所以先假定当的值为20000的时候为无穷大，然后在的前提下分别求出时其对应的残差，然后选择残差最小的那个。
具体程序见附录程序三。
在该程序运行之后，我们得到A、B两类个体连接度与其出现频率的散点图。
如图3和图4。
图3 A类节点连接度及其出现频率图4 B类节点连接度及其出现频率图5 拟合后A类节点连接度及其出现频率关系图6 拟合后B类节点连接度及其出现频率关系并求出A、B类概率分布函数中的参数分别为：.16，，，此时我们把散点图和幂律函数连接在一起<这样方便我们观察）。
如图5和图6可以发现，A类节点连接度的概率分布的函数关系是。
B类节点连接度的概率分布的函数关系是。
它们的残差分别为，.这两条曲线对A、B两类的拟合程度均非常的好。
所以我们认为A、B两类节点连接度服从度为2.17的幂律分布。
函数关系均为问题二：二部网络的病毒传播模型背景分析：材料中已说明：在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际情况。
因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义；再加上我们题一中我们已经得到两部网络中节点的连接度服从幂律分布。