第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)

• 生产函数为新古典生产函数
• 按生产要素支付报酬
• 2.家庭
• 大量同质的家庭 • 家庭规模以不变外生速率n增长 • 家庭每个成员在每个时点供给1单位劳动 • 家庭将拥有的资本租给厂商 • 初始资本存量为K(0)/H，K(0)是经济中初始资本 存量，H是家数量
• 假定不存在资本存量
• 家庭通过供给劳动和出租资本获取收入，并拥有
K (s) 0 (2.10 ) H
• （2.10）为非蓬齐条件。
3.家庭效用最大化问题
• 家庭在预算约束下最大化其一生效用
• 由于假设技术进步是劳动增强型，因此必须将代 表性家庭的最大化目标函数和预算约束写成包含 单位有效劳动的形式。
• C(t)为人均消费，c(t)为单位有效劳动消费，其他
变量类似，则瞬时效用函数可以写成：
• t时刻的真实工资为：
F r (t ) f (k (t )) K
(2.3)
F ( K , AL) F ( K , AL) W A L AL A(t )[ f (k (t )) k (t ) f (k (t ))]
(2.4)
• t时刻每单位有效劳动的工资为：
w(t ) f (k (t )) kf (k (t )) (2.5)
F F ( y, y)
F F ( y)
• 欧拉方程为： Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fy 0
• Case 3：
• 欧拉方程为： Fyy y(t ) 0
• Case 4：
F F (t , y)
• 欧拉方程为： Fy (t, y) 0
Be c(t )
从厂商利润 • 消费者将收入在消费和储蓄之间分配以最大化其 一生效用 • 虽然个体的生命是有限的，但家庭是无限延续的。 • 如果利他主义的父母将一切传承给孩子，子又传 孙，孙又传子，如此循环，那么该假定是合理的。
• 家庭效用函数形式为： L(t ) t U e u (C (t )) dt t 0 H
2.家庭的预算约束
• 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超
过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w， 均为外生变量）。
• r可能随时间变化，所以定义：
R(t ) r ( )d
0
t
• 如果r(t)保持不变，则R(t)=rt
• 家庭预算约束为：
L(t ) K (0) R (t ) L(t ) e C ( t ) d e W ( t ) d t (2.6) t t 0 t 0 H H H K (0) R (t ) L(t ) e [W (t ) C (t )] dt 0 (2.7) t 0 H H K (0) s R (t ) L(t ) lim[ e [W (t ) C (t )] dt ] 0 (2.8) t 0 s H H
• 欧拉方程的理解：
• 欧拉方程” 表明家庭可以在不改变一生支出的现 值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。
• 如果实际报酬超过了未来消费的贴现率 劳均消费 会增加；
• θ越小，随着消费的变化，其边际效用变动越小， 对于实际利率与贴现率之间的差异，劳均消费变 动越大。
• 从跨期消费权衡视角来考虑：

e R (t )C (t )


t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0

(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
t o
e
t
c(t )1 dt [k (0) e R (t ) e( n g )t w(t )dt e R (t ) c(t )e( n g )t dt] t 0 t 0 1
• 对c(t)求导，得一阶条件为：
Be c(t )
t

4.家庭行为
max : U B e t
t 0

源自文库
c(t )1 ]d t 1
( n g )t
s.t.


t 0
e
R (t )
c(t )e
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0

• 构造拉格朗日函数：
L B
t

e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 两边取对数 ln B t ln c(t ) ln R(t ) (n g )t
ln r ( )d (n g )t (2.18)
0
t
• 对时间t求导：
- -
• 令时间1趋近于2，得到瞬时弹性
u ' (C ) 1 u ' ' (C )C
• （3）边际效用 u' (C) 为正，当θ>1时，边际效用随
C增加而减少，当θ<1时，边际效用随C增加而增 加。当θ=1时，效用函数变为对数效用函数
u(c(t))=lnc(t)
• 除以1- θ是为了保证边际效用为正。
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
R (t )
• s时刻，家庭拥有的资本存量为：
s K ( s) L(t ) R ( s ) K (0) e e R ( s ) R (t ) [W (t ) C (t )] d t ] (2.9) t 0 H H H
• 预算约束可以简写为：
s
lim e
R(s)
• 单位有效劳动形式预算约束方程：
L(t ) K (0) R (t ) L(t ) d e W ( t ) d t (2.6) t t 0 t 0 H H H L(t ) k (0) A(0) L(0) R (t ) L(t ) R (t ) e A ( t ) c ( t ) d e A ( t ) w ( t ) dt t t 0 t 0 H H H A(t ) L(t ) k (0) A(0) L(0) R (t ) A(t ) L(t ) R (t ) e c ( t ) d e w ( t ) d t (2.13) t t 0 t 0 H H H A(0)e gt L(0)e nt k (0) A(0) L(0) R (t ) A(0)e gt L(0)e nt R (t ) dt e w(t ) dt t 0 e c(t ) t 0 H H H
• 消费路径和储蓄率由完全竞争市场中相互 作用且追求最优化的家庭和企业共同决定。 • 跨期预算约束下研究具有无限寿命的家庭， 他们通过在消费和储蓄之间选择来最大化 其效用。
• A部分：拉姆齐-卡斯-库普曼模型
2.1 假设
• 1.厂商
• 完全竞争市场 • 存量大量的厂商 • 企业生产函数相同：Y=F(K,AL）
• 消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必 然要求两者变动导致的终身总效用不变。
• 假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损
t Be c ( t ) dc(t ) 失为：
• 在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这
部分收入带来的效用增加量为：
Be (t dt ) c(t dt) dc(t dt) dc(t dt) e[ r (t ) n g ]dt dc c(t dt) c(t )e[ c (t ) / c (t )]dt
C (t )1 [ A(t )c(t )]1 u (C (t )) 1 1 [ A(0)e gt ]1 c(t )1 1 1 c ( t ) A(0)1 e (1 ) gt 1
(2.11)
• 家庭目标函数可以写成：
U e t
• C(t)是每个成员在时点t的消费
• u(· )是瞬时效用函数 • L(t)为经济中的总人口 • L(t)/H为每个家庭的成员数
(2.1)
• u(C(t))L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用
• ρ为贴现率， ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未 来消费估值越低。
• 瞬时效用函数u(C(t))为凹函数，即
无限期界与世代交叠模型
Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models
• Part A The Ramsey-Cass-Koopmans Models • Part B The Diamond Model
• 索洛模型中储蓄率外生，拉姆齐模型则改 进这一点，储蓄率内生。
• 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替
dC u'
u'
代弹性为：
• • 代入得：

d (C1 / C 2) / d ( P1 / P 2) (C1 / C 2) /( P1 / P 2)
u ' (C1) P1 由消费者均衡条件得：u' (C 2) P2

d (C1 / C 2) u ' (C1) / u ' (C 2) d [u ' (C1) / u ' (C 2)] C1 / C 2
(t ) c r (t ) n g c(t )
(2.19)
• 劳均消费c(t)调整路径欧拉方程：
(t ) r (t ) n g r g c （2.20） c(t )
• 人均消费C(t)变动轨迹为：
(t ) A (t ) c (t ) C r (t ) n g r g （2.21 ） C (t ) A(t ) c(t )
• (4) n (1 ) g 0 是为了保证终生效用不发散。
2.2 家庭和厂商行为
• 1.厂商行为
• 厂商时利润最大化的厂商 • 按边际产品支付要素报酬 • 由于是规模报酬不变的竞争性厂商，因此厂商的 利润为0。
Y Y Y K AL K ( AL )
• t时刻的真实利率为：
t 0
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
• u'[C(t)]>0，u''[C(t)]<0 • 常用的瞬时效用函数为：
Ct1 u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 (2.2) 1
• （1）边际效用弹性不变 du' C u' ' C
• （2）跨期替代弹性不变，相对风险厌恶系数不变