第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
北大经济学博士生用书
4.2 波动理论 4.3 基本的真实经济周期模型 4.4 家庭行为 4.5 模型的特殊情形 4.6 一般情形的模型求解 4.7 含义 4.8 经验性应用：产出波动的持久性 4.9 经验性应用：校准真实经济周期模型 …… 5 传统凯恩斯主义波动理论 6 不完全名义调整的微观经济基础 7 消费 8 投资 9 失业 10 通货膨胀与货币政策 11 预算赤字与财政政策 参考文献 1.《人名对照表》 2.《术语对照表》 3.《众汇赢 P2P 学术报》
3/8
阐述了静态博弈与动态博弈的各种解概念与分析方法，分析了行为相 互影响下的个人决策。第三部分是市场均衡和市场失灵，详细介绍了 外部性与公共物品、市场垄断、逆向选择以及委托代理等信息经济学 的基本模型。第四部分关于一般均衡理论，介绍与一般均衡相关的各 种概念，包括均衡的存在性和稳定性及福利特征等。第五部分涉及福 利经济学与激励问题，分析在个人效用可比和不可比情况下，由个人 偏好加总为社会偏好的可能性，以及在关于个人偏好的信息不完全时 的社会选择和经济机制设计等规范分析问题。本书的数学附录为读者 提供了所需的基本数学知识。书中每一章都提供必要的详细参考文献， 方便学生进一步学习及寻找研究课题；同时，各章配备的层次不同的 练习题，非常有利于学生测试自己对各章内容的掌握程度。
现在就介绍下北大的高级微观经济学和高级宏观经济学教材。 1、微观经济学：高级教程（第三版——国外经济学教材库 作者是美国的瓦里安，财洪等译，经济科学出版社 2002 年出版 ， 593 页，490000 字。哈尔·瓦里安是世界上著名的微观经济学，在麻 省理工学院、伯克利、斯坦福、牛津等多所大学任教。《微观经济学》 （高级教程）第一版出版于 1977 年。在第三版中，结构上的改变包 括在“组合单元式”的章节中对资料的重大调整。这些章节绝大部分
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
推导二
进一步推导出资本积累的动态过程，以及资本 的边际生产率如何随时间变化。
推导三
分析不同生产率个体之间的财富积累和转移机制。
模型验证
验证一
将模型预测结果与实际数据对比，检验模型的适用性 和准确性。
验证二
通过模拟不同政策条件下的经济运行，评估模型的预 测能力和政策效应。
验证三
与其他经济模型进行比较，分析模型的优缺点和适用 范围。
在无限期界内，经济系统的状态变量和参数可以随时间变化，但这种变化 不会导致经济系统的终结。
无限期界模型通常用于研究长期经济增长和发展问题，以及与时间变化相 关的经济现象。
世代交叠定义
世代交叠是指不同年龄段的人群在时间 上重叠，即不同世代的人同时存在于经 济系统中。
在世代交叠模型中，不同世代的人具有不同 的偏好、生产能力和消费习惯，这些差异会 影响经济系统的运行和动态变化。
无限期界与世代交叠模型（Romer版本）是经济 增长理论中的重要模型之一，它揭示了技术进步 和创新对经济增长的长期影响。
该模型还指出，技术进步和创新具有外部性，即 一个企业的技术进步和创新不仅会提高自身的生 产效率，还会对其他企业产生正的外部性，从而 促进整个经济的增长。
该模型强调了技术进步和创新在经济增长中的核 心作用，认为技术进步和创新是推动经济增长的 持续动力，而这种动力来自于知识的积累和溢出 效应。
未来研究方向
拓展模型应用范围
进一步探索该模型在不同领域的应用， 如环境经济学、发展经济学等。
放松假设条件
结合其他理论
尝试放宽模型假设，使其更接近现实 世界的复杂性，提高模型的解释力和
预测能力。
将该模型与其他经济学理论相结合， 如信息经济学、行为经济学等，以提
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目录分析
第2章无限期模型 与世代交叠模型
第1章索洛增长模 型
第3章内生增长
第4章跨国收入差距
第5章实际经济周期 理论
第6章名义刚性
第7章动态随机一般 均衡周期模型
1
第8章消费
2
第9章投资
3
第10章失业
4
第11章通货膨 胀与货币政策
5
第12章预算赤 字与财政政策
作者介绍
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罗默《高级宏观经济学》（第 4版）课后习题详解
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
解答
名义
教材
罗默
刚性
第章
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习题
习题
第版 模型
收入
罗默
差距
消费
经济周期
内生
周期
动态随机
内容摘要
本书是罗默《高级宏观经济学》教材的配套电子书，参考大量相关资料对罗默《高级宏观经济学》（第4版） 教材每章的课后习题进行了详细的解答，并对个别知识点进行了扩展，特别适合应试作答和临考冲刺。
读书笔记
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精彩摘录
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第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
罗默《高级宏观经济学》章节题库(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
n g 2
f k 1 k 2 代入方程（6）中，可得：
s g
ng
k
k
k
1
k
k
1
k 2
k k 1 k 2
简化为：
s n g k (1 ) (1 )k k1
f k* k* / g ，从而求出 k / g 为：
k* / g / f k* 0
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
s g
n
g
f
k k f k f f k 2 f k
不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定 每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰 好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c 甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
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在均衡增长路径上，要求 c 0 ，即 f k g ，在 g 永久性地下降时，为保持 c 0 ， f k 必须下降。由于 f k 0 ，因而 f k 下降必然导致 k 上升。因此，c 0
必须上升，在图形上表现为 c 0 向右移动，如图 2-1 所示。
（c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因 而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径 k*处。
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高级宏观经济学教案
C/L
人均消费
g
K/Y资本产出比来自0y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
结论：在索洛模型中，无论从任何一点 出发，经济向平衡增长路径收敛，在平 衡增长路径上，每个变量的增长率都是 常数，且是外生决定的。特别是，在该 路径上，人均产出的增长率仅取决于技 术进步率。
3、储蓄率变化的影响 在索洛模型中，政府最有可能影响的是
al为有效劳动此种形式的技术进步为劳动增进型或哈罗德中性10alal令有效劳动的人均资本kkal有效劳动人均产量yyal则yfk总产量yalfk11其中n为人口增长率g为技术进步率均为外生参数表示不变增长速度15以上条件意味着ntsydk其中s为储蓄率为资本折旧率均为外生变量资本深化每单位有效劳动的实际投资持平投资资本广化2稳态均衡稳态
(ng)k(t)
f (k)
sf (k)
k*
k
k*k*gold
f'(k * (s ,n ,g ,) ) (n g )
反之亦然
c * 0 s
因此，消费与储蓄率的关系为
c cgold
sgold
s
储蓄率变化对产量变化的长期影响
考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响 （弹性分析）
y*f'(k*)k*(s,n,g,)
消费与投资：宏观经济学的微观基础 （一）
• 消费理论 – 确定性条件下的消费理论：生命周期/ 持久收入假说
– 不确定性条件下的消费理论：随机游 走假说
– 其他消费理论 • 投资理论
– 托宾q投资模型
现代主流宏观经济学都是具有微观基础 的一般均衡模型
为什么宏观经济学需要微观基础
为什么宏观经济学要用一般均衡理论作 为分析框架
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其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
无限期模型与世代交叠模型
福利与平衡增长路径
30
1、福利
一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是否代表一个可 期望的值。 微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市场是竞争的完 全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡时帕累托的 。由于福利定理在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有 效的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着分散化均衡 在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效 用。
2.4
贴现率下降的影响和政府购买的影响
34
1、贴现率下降的影响
35
2、调整速率与鞍点路径的斜率
c c [ k k ] [c c ] c k c k k [ k k ] [c c ] k k c ~ k ~ k ~ k k c k c
该模型与索洛模型类似，也假定家庭持有资本并向社会提供劳动， 而后进行消费和储蓄。 与索洛模型不同的是，家庭了储蓄与消费决策由具有无限生命期 的家庭决定。
大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产 品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费 并储蓄。 不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的 所有问题。
H
(2.10)
e
H
t 0 e
L(t ) [W (t ) C(t )] dt H
s
lim e
R( s )
K ( s) 0 H
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持有资产的现值不 能是负的。这就是著名的非蓬齐对策条件。
14
专栏：非蓬齐对策
15
家庭最优化决策
世代交叠模型
由阿莱、萨缪尔森、戴蒙德等发展起来的世 代交叠模型建立在生命周期假说的基础上，即每 个社会成员都具有有限的生命，随着年老一代的 逝去，新的人口不断进入经济生活，在相同的时 点上，不同代际的人共同生活，该模型的名称即 由此而来。
假定每个消费者 都生存两期：年轻时 期和年老时期。在第 一期年轻时通过劳动 获得收入并用于消费 和储蓄，第二期年老 时期不劳动，依靠第 一期的储蓄及所获得 的利息进行消费,老年 人死后不留遗产，也 不欠债。
后的私人储蓄st，因此这种基金方式可使均衡点的资本存 量下降。
年龄的差别，以及由此导致的收入水平差异对人们的 消费和储蓄差异的影响非常大，世代交叠模型考虑到了 经济个体的差异性，将其划分成不同的群体进行分析， 因此能够精确地解析个人消费、养老安排等问题。 例如，巴罗通过世代交叠模型发现，政府为了刺激消 费，采用发行国债的扩张性财政政策未必能起到积极效 果。因为理性的经济人会看到当前政府财政赤字的增加 意味着未来政府税收的增加，政府今天的公债支出会以 明天对居民的税收形式再收回去，经济人自身的持久收 入并没有变动。因此私人投资不会发生多大变化，净产 出也不见得会随公债规模的增大而增大。这样，政府的 借债行为就不会起到刺激民间消费的效果。
是储蓄等式：St=S(Wt , rt+1)
对方程求导 ， 0<S´W<1 ， 表示储蓄是工资收入 的增函数。可能 S´r≥0 ， 也可能 S´r≤0 ， 利率对储蓄 的影响取决于下面两个方面，首先，利率增加使消 费者第一期的消费成本增加，因此消费者会减少第 一期的消费，提高储蓄；其次，利率增加使消费者 收入增加，则消费者的消费也会增加。因此，利率 的增加对储蓄的影响取决于哪一种效果更佳，也就 是替代效应和收入效应的大小。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，()Y F K AL=，，或者采用紧凑形式.假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。
(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题.证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值.（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题.构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b）因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择.因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2。
2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性.设想某个人只活两期,其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格,W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？(b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明,若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为.答：(a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2) 求解约束条件：(3)将方程(3）代入（1)中,可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4）两边对求一阶条件可得:解得：（5）将方程（5)代入（3），则有：解得：（6) 将方程(6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5)可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8) 对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默高级宏观经济学答案
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*以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??＜0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商??因此选择相同的k值。
（b）证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?wal，同时厂商受到生产函数y?alf?k?的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min??wal?rks.t.?? y?alf?k?本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。
因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?alf?k?的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
（2.43）设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?p2c2?w。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
第二章传统经济增长理论
将（2.1）和（2.2）式合并，消去K / N ， 则有：
k sy (n )k
该表达式就是新古典增长模型的基本方程。这一关系式表明， 人均资本的增加等于人均储蓄sy减去（n + δ）k 项。 （n + δ）k项可以这样来理解：劳动力的增长率为n，一定量的人 均储蓄必须用于装备新工人，每个工人占有的资本为k，这 一用途的储蓄为nk。另一方面，一定量的储蓄必须用于替换 折旧资本，这一用途的储蓄为δk。总计为（n + δ）k 的人均 储蓄被称为资本的广化。人均储蓄超过（n + δ）k的部分则 导致了人均资本k的上升，即Δk>0，这被称为资本的深化。 因此，新古典增长模型的基本方程可以表述为： 资本深化 =人均储蓄－资本广化
第一，从短期看，更高的储蓄率也导致 了总产量和人均产量增长率的增加。因 为增加人均资本的惟一途径是资本存量 比劳动力更快地增长，进而又引起产量 的更快增长。 第二，由于C点和C’点都是稳态，按照前 面关于稳态的分析，稳态中的产量增长 率是独立于储蓄率的，从长期看，随着 资本积累，增长率逐渐降低，最终又回 落到人口增长的水平，即n。
K k AN
Y y AN
假定技术水平A以不变的速度g增长将上述 生产函数带入资本积累方程△k=sy-(n+δ)k 得到
含技术进步的索洛模型关键方程：(推导过程略)
k sy (n g )k
重要假设：技术进步是外生给定的，即假定以 一个固定比率g来增长。
在有技术进步的新古典增长模型中的稳态增长率 变量 稳态增长率 按有效劳动平均的资本（k） 0 按有效劳动平均的产量（ y） 0 总产出(K=AN●k)或总资本存量(Y=AN●y) n+g 人均产出（Y/N）或人均资本（K/N） g
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
.
.
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
页脚
.
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
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• (4) n (1 ) g 0 是为了保证终生效用不发散。
2.2 家庭和厂商行为
• 1.厂商行为
• 厂商时利润最大化的厂商 • 按边际产品支付要素报酬 • 由于是规模报酬不变的竞争性厂商，因此厂商的 利润为0。
Y Y Y K AL K ( AL )
• t时刻的真实利率为：
• 消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必 然要求两者变动导致的终身总效用不变。
• 假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损
t Be c ( t ) dc(t ) 失为：
• 在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这
部分收入带来的效用增加量为：
Be (t dt ) c(t dt) dc(t dt) dc(t dt) e[ r (t ) n g ]dt dc c(t dt) c(t )e[ c (t ) / c (t )]dt
• C(t)是每个成员在时点t的消费
• u(· )是瞬时效用函数 • L(t)为经济中的总人口 • L(t)/H为每个家庭的成员数
(2.1)
• u(C(t))L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用
• ρ为贴现率， ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未 来消费估值越低。
• 瞬时效用函数u(C(t))为凹函数，即
t 0
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
• u'[C(t)]>0，u''[C(t)]<0 • 常用的瞬时效用函数为：
Ct1 u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 (2.2) 1
• （1）边际效用弹性不变 du' C u' ' C
• （2）跨期替代弹性不变，相对风险厌恶系数不变
• t时刻的真实工资为：
F r (t ) f (k (t )) K
(2.3)
F ( K , AL) F ( K , AL) W A L AL A(t )[ f (k (t )) k (t ) f (k (t ))]
(2.4)
• t时刻每单位有效劳动的工资为：
w(t ) f (k (t )) kf (k (t )) (2.5)
4.家庭行为
max : U B e t
t 0
c(t )1 ]d t 1
( n g )t
s.t.
t 0
e
R (t )
c(t )e
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
• 构造拉格朗日函数：
L B
e R (t )C (t )
t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费路径和储蓄率由完全竞争市场中相互 作用且追求最优化的家庭和企业共同决定。 • 跨期预算约束下研究具有无限寿命的家庭， 他们通过在消费和储蓄之间选择来最大化 其效用。
• A部分：拉姆齐-卡斯-库普曼模型
2.1 假设
• 1.厂商
• 完全竞争市场 • 存量大量的厂商 • 企业生产函数相同：Y=F(K,AL）
2.家庭的预算约束
• 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超
过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w， 均为外生变量）。
• r可能随时间变化，所以定义：
R(t ) r ( )d
0
t
• 如果r(t)保持不变，则R(t)=rt
• 家庭预算约束为：
L(t ) K (0) R (t ) L(t ) e C ( t ) d e W ( t ) d t (2.6) t t 0 t 0 H H H K (0) R (t ) L(t ) e [W (t ) C (t )] dt 0 (2.7) t 0 H H K (0) s R (t ) L(t ) lim[ e [W (t ) C (t )] dt ] 0 (2.8) t 0 s H H
• 欧拉方程的理解：
• 欧拉方程” 表明家庭可以在不改变一生支出的现 值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。
• 如果实际报酬超过了未来消费的贴现率 劳均消费 会增加；
• θ越小，随着消费的变化，其边际效用变动越小， 对于实际利率与贴现率之间的差异，劳均消费变 动越大。
• 从跨期消费权衡视角来考虑：
F F ( y, y)
F F ( y)
• 欧拉方程为： Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fy 0
• Case 3：
• 欧拉方程为： Fyy y(t ) 0
• Case 4：
F F (t , y)
• 欧拉方程为： Fy (t, y) 0
Be c(t )
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
C (t )1 [ A(t )c(t )]1 u (C (t )) 1 1 [ A(0)e gt ]1 c(t )1 1 1 c ( t ) A(0)1 e (1 ) gt 1
(2.11)
• 家庭目标函数可以写成：
U e t
(t ) c r (t ) n g c(t )
(2.19)
• 劳均消费c(t)调整路径欧拉方程：
(t ) r (t ) n g r g c （2.20） c(t )
• 人均消费C(t)变动轨迹为：
(t ) A (t ) c (t ) C r (t ) n g r g （2.21 ） C (t ) A(t ) c(t )
• 令时间1趋近于2，得到瞬时弹性
u ' (C ) 1 u ' ' (C )C
• （3）边际效用 u' (C) 为正，当θ>1时，边际效用随
C增加而减少，当θ<1时，边际效用随C增加而增 加。当θ=1时，效用函数变为对数效用函数
u(c(t))=lnc(t)
• 除以1- θ是为了保证边际效用为正。
从厂商利润 • 消费者将收入在消费和储蓄之间分配以最大化其 一生效用 • 虽然个体的生命是有限的，但家庭是无限延续的。 • 如果利他主义的父母将一切传承给孩子，子又传 孙，孙又传子，如此循环，那么该假定是合理的。
• 家庭效用函数形式为： L(t ) t U e u (C (t )) dt t 0 H
R (t )
• s时刻，家庭拥有的资本存量为：
s K ( s) L(t ) R ( s ) K (0) e e R ( s ) R (t ) [W (t ) C (t )] d t ] (2.9) t 0 H H H
• 预算约束可以简写为：
s
lim e
R(s)
• 生产函数为新古典生产函数
• 按生产要素支付报酬
• 2.家庭
• 大量同质的家庭 • 家庭规模以不变外生速率n增长 • 家庭每个成员在每个时点供给1单位劳动 • 家庭将拥有的资本租给厂商 • 初始资本存量为K(0)/H，K(0)是经济中初始资本 存量，H是家数量
• 假定不存在资本存量
• 家庭通过供给劳动和出租资本获取收入，并拥有
t
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 两边取对数 ln B t ln c(t ) ln R(t ) (n g )t
ln r ( )d (n g )t (2.18)
0
t
• 对时间t求导：
- -
无限期界与世代交叠模型
Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models
• Part A The Ramsey-Cass-Koopmans Models • Part B The Diamond Model
• 索洛模型中储蓄率外生，拉姆齐模型则改 进这一点，储蓄率内生。
• 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替
dC u'
u'
代弹性为：
• • 代入得：
d (C1 / C 2) / d ( P1 / P 2) (C1 / C 2) /( P1 / P 2)
u ' (C1) P1 由消费者均衡条件得：u' (C 2) P2
d (C1 / C 2) u ' (C1) / u ' (C 2) d [u ' (C1) / u ' (C 2)] C1 / C 2
e