高级宏观经济学 第四版 中文 罗默课后题答案
罗默《高级宏观经济学》章节题库(消费)【圣才出品】
第8章消费1．宏观经济学模型：储蓄、消费、税收和转移支付。
一个代表性家庭主要生活在两个时期：年轻和年老时期。
当处于年轻期，这个家庭的总收入为20个单位的商品，当处于年老期，其收入为0。
假定其真实利率为2%，这个代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，请回答以下问题：（1）请写出代表性家庭的跨期预算约束（inter-temporal budget constraint）。
使用C1和C2分别代表年轻和年老时消费，结合给定的利率和总收入，补充其他需要的条件写出此代表性家庭完整的跨期预算约束。
（2）这个家庭应该储蓄多少？（3）假定这个家庭在年轻的时候需要缴纳4个单位的商品作为税收，而在年老时可以获得6个单位商品的转移支付（福利）。
写出在这种情况下新的跨期预算约束。
此时这个代表性家庭应该从可支配收入中储蓄多少？答：（1）由已知可得这个家庭的年轻收入为Y1＝20，年老收入为Y2＝20，假定利率为r，则代表性家庭的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1＋Y2/（1＋r）＝20；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20。
假定年轻时，政府征税T单位商品，年老时获得转移支付TR单位商品，则代表性家庭完整的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1－T＋（Y2＋TR）/（1＋r）；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20－T＋TR/（1＋2%）。
（2）由于代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，则C1＝C2，在不考虑政府税收和转移支付的情况下（T＝TR＝0），将r＝2%代入C1＋C2/（1＋2%）＝20，可得：C 1＝C 2＝20/[1＋1/（1＋2%）]＝10.1。
因此，这个家庭应该储蓄S ＝Y 1－C 1＝20－10.1＝9.9。
（3）若T ＝4，TR ＝6，则新的跨期预算约束为：C 1＋C 2/（1＋2%）＝20－4＋6/（1＋2%）＝16＋6/（1＋2%）由C 1＝C 2代入，可得：C 1＝C 2＝11.05。
(NEW)罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目 录第1章 索洛增长模型第2章 无限期模型与世代交叠模型第3章 内生增长第4章 跨国收入差距第5章 实际经济周期理论第6章 名义刚性第7章 动态随机一般均衡周期模型第8章 消 费第9章 投 资第10章 失 业第11章 通货膨胀与货币政策第12章 预算赤字与财政政策第1章 索洛增长模型1.1 增长率的基本性质。
利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。
即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。
即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：（c）若Z（t）＝X（t）α，则。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等于a。
（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。
（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从时刻到t 1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一段。
X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。
从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a＞0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX 的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(跨国收入差距)【圣才出品】
g)
即：
1 e(r g )(T E ) (r g )
方程（12）两边同时乘以 / r g 得：
(r
g)
1
e(r g )(T E )
1
（11） （12） （13）
5 / 34
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
方程（13）的左边等价于：
0 的情形？是否存在该值等于 T 的情形？
（b）假设内点解，描述 E 的黄金律水平[即（a）小题中你找到的 E 值]如何受下述变化
的影响（如果有影响的话）。
（i）T 增加。
（ii）n 下降。
答：（a）在均衡增长路径上假设 G E eE ，则人均产出为：
Y N
bgp
y A(t)eE
enE enT 1 enT
在时期 t 所得的工资为 begt eE 。考虑出生于时期 0 的工人，他在生命中的最初 E 年接受
学校教育，并在余下的 T－E 年参加工作。假设利率固定不变且等于 r 。 （a）把该工人终生收入的现值表示为 E、T、b、 r 、φ和 g 的函数。
（b）找出使（a）小题中表达式最大化的 E 值的一阶条件。用 E*表示这个 E 值。（假设 内点解。）
0
（18）
因此， dE* / d r g 0 ，即利率 r 的增加降低了教育的最优选择，增长率 g 的上升
增加了教育的最优选择。
4.3 假设国家 i 的产出由 Yi AiQieEi Li 给定。这里 Ei 表示各工人的受教育年限，
Y
E
r
b g
eE(r g )T
(r
g)
e (r g )E 0
（4） （5）
方程（5）可整理为：
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(失业)【圣才出品】
1
bu
wa
/ 1 1
bu wa
1
bu
wa
1
bu 1 1
1
1 bu
bu
（10）
化简为：
en
1 1
1
1
（11）
在工会部门，一个企业花费 wu 的成本购买一单位劳动提供的 eu 单位有效劳动，因此
一个企业花费 wu / eu 来购买一单位有效劳动。使用 wu 1 wn 和方程（9）可以得到：
wu 1 wn 1 1 bu wa / 1
（7）
将 等 式 （ 7 ） 和 劳 动 市 场 条 件 指 数 的 定 义 x 1 bu wa ， 代 入 努 力 的 表 达 式
e w x / x 中，得到：
eu
1
1 bu wa / 1 1 bu wa
1 bu wa
（b）设μ＝f＝0.15。
（i）若β＝0.06，b＝1，均衡失业率是多少？在工会中，有效劳动的成本比非工会部
门高出多少比例？
（ii）对于β＝0.03，b＝0.5 的情形，重做（i）小题。
答 ：（ a ） 将 平 均 工 资 表 达 式 wa fwu 1 f wn 代 入 非 工 会 工 资 表 达 式
的成本仅高大约 1.07 倍。这是因为工会工人为得到更多的工资而付出了更多的努力。
（2）将 f 0.15 ， 0.03 及 b 0.5 代入（5）得到：
u
0.03 0.15 0.15
0.5 1 0.15 0.15
0.0525 0.103 0.51125
（16）
均衡失业率变得更高为 10.3%。将 0.15 和 0.03 代入（14）得到：
在选择 L 时把 w 看作是给定的。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目录分析
第2章无限期模型 与世代交叠模型
第1章索洛增长模 型
第3章内生增长
第4章跨国收入差距
第5章实际经济周期 理论
第6章名义刚性
第7章动态随机一般 均衡周期模型
1
第8章消费
2
第9章投资
3
第10章失业
4
第11章通货膨 胀与货币政策
5
第12章预算赤 字与财政政策
作者介绍
这是《罗默《高级宏观经济学》（第4版）课后习题详解》的读书笔记模板，暂无该书作者的介绍。
罗默《高级宏观经济学》（第 4版）课后习题详解
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
02 内容摘要 04 作者介绍 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
解答
名义
教材
罗默
刚性
第章
理论
习题
习题
第版 模型
收入
罗默
差距
消费
经济周期
内生
周期
动态随机
内容摘要
本书是罗默《高级宏观经济学》教材的配套电子书，参考大量相关资料对罗默《高级宏观经济学》（第4版） 教材每章的课后习题进行了详细的解答，并对个别知识点进行了扩展，特别适合应试作答和临考冲刺。
读书笔记
这是《罗默《高级宏观经济学》（第4版）课后习题详解》的读书笔记模板，可以替换为自己的心得。
精彩摘录
这是《罗默《高级宏观经济学》（第4版）课后习题详解》的读书笔记模板，可以替换
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
i 1
i 1
i 1
其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
3 / 69
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解-第4~6章【圣才出品】
第4章 跨国收入差距4.1 黄金律的教育水平。
考虑第4.1节中的模型，假设G （E ）的形式为。
（a ）找出最大化平衡增长路径上人均产出水平的E 值的表达式。
是否存在这个值等于0的情形？是否存在该值等于T 的情形？（b ）假设内点解，描述E 的黄金律水平[即（a ）小题中你找到的E 值]如何受下述变化的影响（如果有影响的话）。
（i ）T 增加。
（ii ）n 下降。
答：（a ）在均衡增长路径上假设，则人均产出为：（1）其中，则在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出关于E 最大化的自然对数为（注意y *和A （t ）不是E 的函数）：（2）一阶条件是：（3） 或者：（4）化简可得：（5）(E)e E G φ=()E GE e φ=()1bgpnE nT EnTY e e y A t eN e φ--*--⎛⎫= ⎪-⎝⎭()**y f k =()/bgpY N ln ln ln ()ln ln 1bgpnE nT nTY y A t E e e e N φ*---⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++--- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()ln 1()0bgpnEnE nTY N e n Ee eφ---∂=+-=∂-()nE nT nE e e ne φ----=()nE nT n e e φφ---=方程（5）化简得：（6）方程（6）两边取自然对数得：（7）在（7）两边乘以－1/n ，得到教育的黄金律水平：（8）（b ）（i ）求E *关于T 的导数：（9） 因此，生命期限的增加一比一的提高了教育的黄金律水平。
（ii ）n 下降会提高教育的黄金律水平。
由方程（6）可知：（10）或者：（11）在（11）两边同时乘以φ/n 得：（12）方程（12）的左边等价于：nE nT e e nφφ--=-()ln ln nE n nT φφ-=---⎡⎤⎣⎦1ln E T n n φφ*⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦1E T*∂=∂()n T E n eφφ*---=()1n T E neφ*---=()11n T E e nφ*--⎡⎤-=⎣⎦（13）对方程（12）进行微分，即：（14） 求解方程（14）可得：（15）由于因此，dE */dn ＜0，即下降会提高教育的黄金律水平。
罗默《高级宏观经济学》章节题库(索洛增长模型)【圣才出品】
第1章索洛增长模型1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。
现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。
请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。
答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。
在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。
由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。
但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。
（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。
如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。
但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。
因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。
在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。
在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。
因此这和灾害发生前是一样的。
图1-1 资本存量恢复稳态水平2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。
在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。
设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。
试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解-第7~9章【圣才出品】
第7章 动态随机一般均衡周期模型7.1 价格制定失衡时的费希尔模型。
假设经济由第7.2节中的模型所刻画，只是每个时期会有一半的厂商制定价格，其中比例为f 的厂商在奇数期制定价格，比例为1－f 的厂商在偶数期制定价格。
因此当t 为偶数时，价格水平为，当t 为奇数时，价格水平为。
推导每一期关于p t 和y t 的类似于（7.27）式和（7.28）式的表达式。
解：由题意知，当t 为偶数时，价格水平为：（1）其中，表示比例为f 的厂商在t －1期设定的t 期价格，表示比例为1－f 的厂商在t －2期设定的t 期价格。
等于t －1期对的期望，即有：（2）将方程（1）代入（2），并利用如下事实：在设定的时候，就已经确定，因此不存在不确定性。
得：（3） 解得：（4）等于t －2期对的期望，有：（5）将方程（1）代入（5）得：（6） ()121t t fp f p +-()121t t f p fp -+()121t t t p fp f p =+-1t p 2t p 1t p *it p ()1*111t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦1t p 2t p ()()111211t t t tt m f E f p p p φφ-+-+-⎡⎤=⎣⎦()()()()121111111t t tt pE f m ff p φφφφ-=------+2t p *it p ()2*221t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦()()2221211t t tt t t m fE p p f E p φφ--+--=+⎡⎤⎣⎦由于方程（4）左右两边相等，因此在t －2期对两边求期望也必定相等。
因此：（7）运用重复映射法则，将方程（7）代入（6）得：（8）求解方程（8）得：（9）化简得：（10）（11） （12）所以，t －2期设定的t 期价格水平为：（13）将方程（13）代入（4）得：（14）即：()()()()1222111111t t t t t f m p E E fp fφφφφ----+---=-212t t t t t m E m E E ---=()()()()()()2222211111111t t t tt t t f f f m E m p f p f f p E φφφφφφ----+-+⎡⎤=⎢⎥⎣+----⎦-()()()()()()()()()()222111111111111t tt t f f p E m f f f f f p f f φφφφφφφφφφ-⎡⎤--+----+----+-=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦-()()()()222111111t t t t p E f m ffp φφφφ-=------+()()()()()2211111111t tt f f p m E f f φφφφφ-⎡⎤-----=⎢--⎥--⎣⎦()()221111t t t p m fE fφφφφ---=--22t t t p E m -=()()()()121111111t t tt t pE f f m E m fφφφφ----+=----（15）又所以，方程（15）又可以写成：（16）为了得到总价格水平的表达式，将方程（16）和（13）代入方程（1）得：（17）化简得：（18）为了求解t 期的产出，将方程（18）代入总需求的表达式y t ＝m t －p t ，得：（19）即：（20）又且，所以，方程（20）又可以写成：（21）()()()()()221111111111tt t t t t t f f E p E f m m E m f φφφφφ---⎡⎤---+-++⎢⎥-⎦=⎣---()()()()()()11111111f ff fφφφφφφ---+-=--+--+-=-()()211211t t t t t t t p E fE m m E m φφ---=--+-()()()1222111t t t t t t t t t p f E m m E m m E f E f φφ----⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦+-()()21211t t t t t t t fp m E m E fE m φφ---=--+-()()22111t t t t t t t t fE m m E m y m E fφφ---=-----()()()()11211111111t t t t t t t t E m E f f f f y m E f fm m φφφφφφ---⎡⎤⎡⎤-+----=-⎢⎥⎢++⎥----⎣⎦⎣⎦()()111f f f φφ-+-=--()()111f f f φφ---=-()()()()121111t t t t t t t t f y E m E mfm m E φ---+-=----方程（18）和（21）给出了偶数期的均衡价格和均衡产量。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(内生增长)【圣才出品】
考虑两个由 Yi
t
Ki
t
和
Ki
t
siYi
t
刻画的经济（其中
i＝1，2，θ
＞1）。假定两个经济具有相同的初始 K 值，但 s1＞s2。证明 Y1/Y2 会持续增加。
证明：将产出函数 Yi
t
Ki
t
代入资本累积方程
K
t
siYi
t
得：
Ki
t
si Ki
t
,
1
（1）
在方程（1）两边同时除以 Ki（t）以求出资本增长率的表达式，即：
空间所处的位置。
（a）n 增加。
（b）aK 增加。
（c）θ增加。
答：（a）n 增加
g A 0 线和 g K 0 线由下式给出：
gK 0 gK gA n
gA
0
gK
1 gA
n
（1） （2）
资本和知识的增长率公式为：
gK (t) cK A(t)L(t) K (t) 1 , cK s(1 aK ) (1 aL )1
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
罗默《高级宏观经济学》第 4 版课后习题详解 第 3 章 内生增长
3.1 考虑 3.2 节中θ＜1 时的模型。
（a）在平衡增长路径上，
A
g
A
A
t
，其中
g
A
是平衡增长路径上的
gA
值。利用
这一事实以及方程（3.6）
A
t
（b）aK 增加
由于 aK 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此 g A 0 线和 g K 0 线随着 aK 的增
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(索洛增长模型)【圣才出品】
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z (t) d ln[X (t)Y (t)]
Z (t) dt
dt
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) ln Y (t)] d ln X (t) d ln Y (t)
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) lnY (t)] d ln X (t) d lnY (t)
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果： 则得到（b）的结果。
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果：
Z&(t) X&(t) Y&(t) Z (t) X (t) Y (t)
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z(t) d ln[X (t) Y (t)]
Z(t) dt
dt
1 / 38
k
存量水平从 k*上升到 NEW 。
4 / 38
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
图 1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当技术进步率 g 上升后，会使持平投资线的斜
率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则不受影响。从图 1-4 可以看出，平衡增长
sk 投资线为 sf（k），而 f（k）＝kα，因此
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)配套题库【章节题库】第10章~第12章 【圣才出品】
第10章失业1．结合相关理论和模型回答有关经济周期的问题：（1）以下各变量的周期性（顺周期、反周期、无周期）是怎样的？a．消费b．投资c．就业人数d．失业率e．就职率f．离职率g．职位空缺率h．净出口i．资本利用率（2）消费、投资与总产出的波动性有怎样的关系？造成此现象的可能原因有？（3）什么是保留工资？它是如何受到失业保障金水平影响的？（4）技术进步对就职率的影响是不是确定的？有哪些可能影响？（5）贝弗里奇曲线指哪两个变量的关系？如何解释这一关系？（6）资本利用率是如何决定的？如何受到技术进步冲击的影响？答：（1）顺周期性指变量按与实际GDP相同的方向波动；反周期性，又称逆周期性，指变量按与实际GDP相反的方向波动；无周期性，又称非周期性，指变量在经济周期期间不按特定方向波动。
题中给出的各变量的周期性分别如下：a．消费，是顺周期性的。
b．投资，是顺周期性的。
c．就业人数，是顺周期性的。
d．失业率，是反周期性的。
e．就职率，是顺周期性的。
f．离职率，是无周期性的。
g．职位空缺率，是顺周期性的。
h．净出口，是反周期性的。
i．资本利用率，是顺周期性的。
（2）实际消费支出一般按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但变化幅度小于总产出的变化幅度。
实际总投资也按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但在比例上要比总产出的波动大得多。
造成此现象的可能原因如下：当劳动市场和资本服务市场出清时，可以得到一个简化的家庭预算约束公式：消费＋实际储蓄（投资）＝实际收入。
家庭会将实际收入在消费和投资之间进行划分。
但是投资是为了增加未来的消费，所以实际收入的划分是对现期消费还是今后消费做出选择。
收入的增加会带来两种效应：收入效应和跨时期替代效应。
若收入增加是暂时性的，则此时只有跨时期替代效应而没有收入效应，表明现期的消费不变，收入的增加全部用来投资。
此时边际消费倾向为0，边际储蓄倾向为1；若收入增加是永久性的，则此时只有收入效应而无跨时替代效应，现期消费会增加，而投资不变。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(消费)【圣才出品】
（c）作为 t 的函数，该个体的财富路径是什么？
答：（a）对于这个人而言，他终生消费的现值必须小于或等于终生收入的现值（个人并
没有原始财富），从而有：
T C tdt T Y t dt
t0
t0
（1）
由于此人的收入为 Y（t）＝Y0＋gt（0≤t≤R），Y（t）＝0（R≤t≤T），所以他收入的现
值为：
T Y t dt t0
R
Y t 0 0
gt
dt
Y0t
1 2
gt
2
R t0
RY0
1 2
gR2
因此，这个人的终生预算约束为：
1 / 46
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
T t0
C
t
dt
RY0
1 2
gR2
（2）
（b）因为 u＂（·）＜0，且利率和贴现率都为零，所以效用最大化问题简化为要求消
财富增加，因为收入高于消费；财富在退休时刻达到最大值 T R C 。在退休之后，财富
以不变的比例下降直至生命结束时降为零。给定财富函数的形状，生命周期中这种财富积累 形式称为驼峰型储蓄。
8.2 农民的平均收入低于非农民的平均收入，但前者在各年之间的波动更大。根据这
一点，永久收入假说在估计农民与非农民的消费函数时有何不同？
3 / 46
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
图 8-1 生命周期中的消费、收入和财富 图 8-1（a）描述了收入和消费作为时间的函数，假定在 0 时刻收入超过了不变的消费 水平。加粗的线条表示消费在退休之前为 Y0＋gt，而退休之后就一直为 0。消费始终为 C 。 图 8-1（b）描述了财富作为时间的函数图像。财富曲线的斜率等于储蓄。在工作期间
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
.
.
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
页脚
.
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。
假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。
答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。
---- ------------ (1)(2)求解约束条件：(3)将方程(3)代入(1)中，可得：---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程( 4)两边对求一阶条件可得：(5)解得:将方程（5）代入（3）,则有:解得：------------------- （6）将方程（6）代入（5）中，则有：------------------- （7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。
那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻前后消费之间的关系。
）（b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。
那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。
）答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期内，从到。
考虑家庭在时期减少每单位有效劳动的消费为。
然后他在投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本前，在会有一收益，财富的回报率为，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为后。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：前后在时，有下式：前后因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数为。
考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。
请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、以及效用函数各参数的函数。
答：OO X—————— 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用OOOO令一建立拉格朗日方程:求一阶条件:抵消—项得: OO(1)—(2)第二章无限期模型与世代交叠模型(1)(3)可以推出：(4)将其代入预算约束方程，得：—(5)将代入上式，得：OO— (6)只要 ，则积分项收敛，为，贝——(7)将方程(7)代入(4):——(8)因此，初始消费为：——(9)个人的初始财富为 ------ ，方程(9)说明消费是初始财富的一个不变的比例。
为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径上是独立于利率的。
对于折现率 而言，越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5设想某家庭的效用函数由(2.1) ~ (2.2)式给定。
假设实际利率不变， 令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值 [(2.6)的右端]。
已知r 、W 和 效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
OO—— 2.1 ----- 2.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：OOW 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数建立拉格朗日方程如下:求一阶条件，可得:抵消 ，得：（3）两边对时间t 求导，可得：得到下面的方程：—（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消 然后求消费的增长率 ——，可得：————（5）由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。
如果 ，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果 ，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。
如果 ，则 决定了消费增长的幅度。
值越低，也就是替代弹性越高， 越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：———— （6）对方程（6）积分，积分区间是从时间T =0到时间T =t ，可得：OO(2)上式可以简化为：对方程（7）两边取指数，可得：下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得:代入上式，可得：------（9），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得:OO--------- （10）将方程（10）代入（9）中，求解--------- （11）将方程（11）代入（8），求解 ：--------- （12）上式便是C 的效用最大化路径。
2.6生产力增长减速与储蓄。
设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一 卡斯一库普曼期模型，假设g 永久性下降。
（a ） 曲线会如何变化（如果有影响）？ （b ）曲线会如何变化（如果有影响）？（c ） 当g 下降时，c 如何变化？（d ） 用一个式子表示g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。
能否 判断此表达式的正负？（e ） 设生产函数是柯布一道格拉斯函数 ，请用、n 、g 、B 和a重新表示（d ）中的结果。
（提示：利用等式o ）答：（a ）关于资本的欧拉方程为:（7），整理得：将只要(1)该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征， 是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上， ，由此可以推出： 。
在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费C 上升以保持方程的均衡。
因而在图形 上 曲线向上移动。
同时，保持 k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下 降，这样就会有更多的资源用于消费。
由于持平投资 下降的幅度更大，因而在更高的k 水平上，向上移动得更大。
图2-1是该模型的图示。
(b )每单位有效劳动消费的欧拉方程为：(2)该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征， 是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，要求，即为保持 ， 必须下降。
由于 因此， 必须上升，在图形上表现为(c) 在g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资 决定的，因而不会发生不连续的变化。
它仍然保持在平衡增长路径处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。
为，在g 永久性地下降时, ，因而 下降必然导致k 上升。
向右移动，如图2-1所示。
图2-1拉姆塞模型使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。
不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。
存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。
因此，c和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：因为k保持不变，即，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：可以再简化为：- --------------------------------- （4）由于由决定，对该式两边关于g求导数，可得：，从而求出为：（5）将方程（5）代入（4）中，可得：- --------------------------------- （6）在方程（6）中，分母为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。
因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。
（e）将柯布一道格拉斯生产函数代入方程（6）中，可得:简化为：从上式可以推出：最终有下面的结果:2.7说明下列变化如何影响图2.5中的线和线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。
（a）上升（b）生产函数向下移动。
（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
图2-2 鞍点路径答：（a）关于c与k的欧拉方程为：- -------------- （1）（2）的上升即消费的跨期替代弹性下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。
这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于没有出现在资本积累方程(2)中，因而资本积累方程不受的上升的影响。
在消费的动态方程中，在平衡增长路径上，从而，由于的上升，因而必须上升，又因为，所以为使，k必须下降。
此时向左移动，消费移动到新的鞍点路径A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点，此时和低于原先的值。
如图2-3所示。
图2-3 上升的影响(b)由于生产函数的向下移动，因而和都变小了，如图2-4所示图2-4生产函数向下移动根据资本的欧拉方程：，在平衡增长路径上，因而有。
由于变小，因此这条曲线会向下移动，如图2-5所示。
根据消费的欧拉方程：一----------------- ，在平衡增长路径上，从而，由于变小，为保持，必须使k下降，从而使保持不变。