万有引力推导开普勒三大定律
万有引力定律
第14讲万有引力定律1、开普勒三定律（轨道定律、面积定律、周期定律）2、万有引力定律221R m Gm F =3、重力加速度决定式——黄金代换2R GM g =2)(h R GM g +=′2gR GM =在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法．经过长期论争，日心说战胜了地心说，最终被接受．如图14-1是太阳系九大行星的排位图。
图14-1太阳系九大行星古代把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完善、和谐的圆周运动，后来德国物理学家开普勒（如图14-2）仔细研究了第谷的观测资料，经过4年多的刻苦计算，得出开普勒行星运动三定律：考点1开普勒三定律开普勒第一定律如图14-3)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是，太阳处在椭圆的一个上．（轨道定律）图14-3太阳位于椭圆轨道的一个焦点上开普勒第二定律(如图14-4)：对于每一个行星而言，太阳和行星的在相等的时间内扫过相等的.（面积定律）图14-4太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即EKCD AB S S S ==开普勒第三定律(如图14-5)：所有行星的轨道的的三次方跟的二次方的比值都相等，表达式为k Ta =23.（周期定律）【例1】某行星围绕太阳做椭圆运动（如图14-6），如图14-2开普勒（1571-1630）德国物理学家、数学家、哲学家图14-6图14-5半长轴就是长轴的一半，即2AB a =果不知太阳的位置，但经观测行星在由A 到B 的过程中，运行速度在变小，图中1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则太阳处在何位置？【例2】冥王星离太阳的距离是地球离太阳的距离的39.6倍，那么冥王星绕太阳的公转周期是多少？(冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道)太阳系九大行星的平均轨道半径和周期行星平均轨道半径（米）周期（秒）水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星101079.5×111008.1×111049.1×111028.2×111078.7×121043.1×121087.2×121050.4×12109.5×6106.7×（相当于88天）71094.1×（相当于225天）71016.3×（1年）71094.5×（相当于1.88年）81074.3×（相当于11.9年）81030.9×(相当于29.5年)91066.2×(相当于84.3年)91020.5×(相当于164.8年)91082.7×(相当于248年)考点2牛顿万有引力定律浩瀚宇宙，天体运行．开普勒描述了行星的运动规律，可是为什么行星以这样的规律绕日运动呢？古代人们普遍认为行星做的是完美而圣神的圆周运动，所以不需要什么动因。
第六讲：万有引力及应用解析版
第六讲:万有引力及应用一、开普勒三定律1．内容定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量(1)．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．(2)．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．二、万有引力定律1、表达式：F＝G m1m2r2例题、下列关于行星绕太阳运动的说法中正确的是()A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B．离太阳越近的行星运动周期越短C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大D．行星绕太阳运动时，太阳位于行星例题、如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()2、适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．三、万有引力与重力的关系1、考虑天体自转地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg ＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg .(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和． 2、不考虑天体自转由于物体随地球自转角速度较小，所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .3、星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′， mg ′＝GMm (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2 所以g g ′＝(R ＋h )2R 2例题、万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m 的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是( )A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F 0＝G MmR2B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F 1＝G Mm R2C.在北极上空高出地面h 处称量时，弹簧测力计读数为F 2＝G Mm (R ＋h )2D.在赤道上空高出地面h 处称量时，弹Mm四、万有引力定律的应用1．万有引力等于重力已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R . (1)由G Mm R 2＝mg ，得天体质量M ＝gR 2G .(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.2．万有引力充当向心力测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . (1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．针对训练题型1：开普勒定律1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ） A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方例题、美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ，已知火星的半径为R 1，地球的半径为R 2，地球的质量为M ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则火星的质量为( ) A.4π2R 13M gR 22T 2 B.gR 22T 2M 4π2R 13 B.C.gR 12G D.gR 22GD．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解答】解：A、第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上。
万有引力定律的推导
万有引力定律的推导
一、开普勒三定律 开普勒第一定律：行星绕太阳公转的轨道为椭圆，太阳位于 椭圆的一个焦点上。
以太阳为极点建立极坐标系，则行星的轨道可以表示为
开普勒第二定律：行星矢径在相等的时间内扫过的面积相等， 即掠面速度守恒。得
即
（常量） 开普勒第三定律：轨道半长轴的立方与行星绕太阳运动周期 的平方成正比，即
的关系
设椭圆的极坐标方程为
G= 6.67428(67)×10-11m3kg-1s-2
附：
(1)平面极坐标系当中加速度分量的推导 在平面极坐标系中，径向单位矢量er与横向单位矢量eθ一般都不是常矢量， 根据er和eθ与直角坐标 系单位矢量i和j间的关系式
利用矢量求导数的方法可以得到
由此可以得到
(2)椭圆半长轴a、半短轴b、偏心率e与极坐标方程之间
二、由开普勒三定律推导牛顿万有引力定律
极坐标中加速度可表示成径向分量与横向分量： 由开普勒第二定律， ，可知aθ= 0，从而行星只有径向
加速度，即行星所受的力为有心力。得设u=1/r，得
得比耐公式：
将开普勒第一定律的数学表达式代入上式，得
由于掠面速度
而
得
由于K为太阳系常量，与行星的性质无关，因此引力的大小 与行星和太阳之间的距离的平方成反比，与行星的质量成正 比，力的方向指向太阳。
由牛顿第三定律得，太阳也受到行星给它的引力，而且大小 与行星受到的太阳的引力相等。而由上可知，引力的大小又 与太阳的质量成正比。因此，行星受到的太阳的引力大小， 与行星和太阳质量的乘积成正比。
综上所述，将引力作用推广到任意两个物体，则两物体之间
万有引力推导开普勒三大定律
万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。
该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示，；这里，是太阳作用於行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加速度，和其所受的淨力成正比，和其質量成反比。
用方程式表示，。
合并这两个方程式，。
(1)思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：，。
(2)在这里，我们用到了单位向量微分方程式：，。
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：，(3)。
(4)导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量。
由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
从时间到时间扫过的区域，。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
[编辑]开普勒第一定律导引设定。
这样，角速度是。
随时间微分与随角度微分的关系为。
随时间微分徑向距離：。
再微分一次：。
代入径向运动方程式 (3) ，，。
将此方程式除以，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：。
特征方程式为。
求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为；这里，与都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式，。
选择坐标轴，让。
代回，。
假若，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
[编辑]开普勒第三定律导引在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。
假若我们接受牛顿运动定律。
试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为。
《万有引力与航天》知识点总结
万有引力与航天知识点总结一、人类认识天体运动的历史1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德）2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容开普勒第二定律：v v >远近开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系： 333222===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。
KT R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r MmG F =2、表达式：221r m m GF = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。
5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。
②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。
6、推导：2224mM G m R R T π= ⇒ 3224R GMT π= 四、万有引力定律的两个重要推论1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。
2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。
五、万有引力的成就1、测量中心天体的质量法一：在天体表面找一个物体m ，不计天体自转，万有引力=重力（=G F F 引）2Mm G mg R=⇒M = 黄金代换式中心天体的密度：233443gR M gG V GR R ρππ===法二：在中心天体周围找一颗卫星绕中心天体做圆周运动，万有引力提供向心力（=n F F 引）2Mm G r= 22232223224v v r m M r Gr mr M G r mr M T GT ωωππ⇒=⇒=⎛⎫⇒=⎪⎝⎭以 2324r M GT π=为例求中心天体的密度 2332233433r M r GT V GT R R ππρπ=== 若为近地卫星，则r=R ，则23GT πρ= T 为近地卫星的公转周期六、双星系统两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律Ⅰ推导过程我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。
首先给出开普勒第三定律：R3T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期因为T=2πR V，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换V 2R=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边化成F,即V 2R·m 的形式。
所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：m·V2R=4π2K·mR2（4）接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。
在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。
人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。
牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。
至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。
把它代入公式（4）公式（4）变换为：m·V2R=GM·mR2（5）F=ma= m·V2R=GM·mR2公式（5）就是我们熟知的万有引力公式。
我们回顾和总结一下整个过程，从公式（1）（开普勒第三定律）到公式（4）只是普通的公式变换，公式（4）到公式（5），MG为什么可以替代“4π2K”，牛顿没有给出任何可信或可验证的证据。
万有引力定律和开普勒三定律的互相推导
用万有引力定律推导开普勒三定律
⃗ = − ������������������ 万有引力定律数学表达式： ������ ������0 (G 为引力常数， m 是行星的质量， 2 ⃗⃗⃗⃗
������
′
⃗=− m’是太阳质量)，设������ = ������������������′，则������
̇) (������ 2 ������ ������ 2
2
∙ =−
������
1
4������2 ������2 ������2 ������ 2
∙
������ ������2
∙
1 ������ 2
= −4������ 2 ∙
������3 ������ 2
∙
1 ������ 2
(4)
开普勒第三定律： 行星轨迹椭圆的半长轴的三次方和运动周期的平方成正比。 即
������ ������
2
+ ������������������������������
解积分可得：������ = ������������������������������������
������⁄������−������������ ⁄������
2 2 √2������������+������ ������ ⁄ 2 ������
从开普勒三定律推导万有引力定律
开普勒第一定律：行星围绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个 焦点上。 ������ = ������ 1 + ������������������������������
������2 ������
上式为椭圆的极坐标方程。 这里������ =
25开普勒三定律万有引力定律及应用
第二十五讲 开普勒三定律 万有引力定律及应用知识点回顾1．“地心说”和“日心说”的发展过程2．开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。
有时远离太阳，有时靠近太阳。
它的速度的大小、方向时刻在改变。
示意图如下：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。
(2)开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。
根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。
(3)开普勒第三定律所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，这是开普勒第三定律。
每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。
我们用R 表示椭圆的半长轴，T 代表公转周期，表达式可为k TR =23显然k 是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。
开普勒第三定律对所有行星都适用。
对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。
3、万有引力定律(1)定律的推导（2）定律的内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
（3）定律的公式： 如果用m 1和m 2表示两个物体的质量，用r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示221r m m G F = （4）说明a ．万有引力定律中的物体是指质点而言，不能随意应用于一般物体。
对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。
思考：在公式中，当r →0时，F →∞是否有意义？b ．两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。
引力的方向在两质点的连线上。
c．G为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，其数值与单位制有关。
万有引力公式推导
万有引力公式推导
万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r/T=C(C是常数)，推导得F=GMm/r，引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力的科学意义
万有引力定律的辨认出，就是17世纪自然科学最了不起的成果之一。
它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了出来，对以后物理学和天文学的发展具备深刻的影响。
它第一次表述了（自然界中四种相互作用之一）一种基本相互作用的规律，在人类重新认识自然的历史上践行了一座里程碑。
万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。
它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。
利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。
牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。
他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的'原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。
推翻了古代人类认为的神之引力。
对文化发展存有重大意义：并使人们创建了用能力认知天地间的各种事物的信心，革命了人们的思想，在科学文化的发展史上出了积极主动的促进促进作用。
开普勒三大定律和万有引力定律
开普勒三大定律和万有引力定律开普勒三大定律和万有引力定律一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆_，太阳处在椭圆的一个焦点_上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的周期的平方的比值都相等，a3即＝k. T思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．2．公式____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．3．适用条件公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．考点突破考点一天体产生的重力加速度问题考点解读星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：MmGM设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝或GM＝gR2) RRMmGMR2若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝. (R＋h)(R＋h)(R＋h)典例剖析例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )11A．400gC．20gD.g 40020考点二天体质量和密度的计算考点解读1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.MmgR2MM3g由于Gmg，故天体质量M＝ρ. RGV434πGRR32．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.Mm4π24π2r3(1)由万有引力等于向心力，即Gr，得出中心天体质量M＝；rTGT3MM3πr(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝ V43GTRR3(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，3π则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天GT体的密度．Mm特别提醒不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝G.从而得出GM＝gR2(通R常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．典例剖析例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×1011－N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )A．1.8×103 kg/m3B．5.6×103 kg/m3C．1.1×104 kg/m3D．2.9×104 kg/m3跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2019年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力.双星模型例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．建模1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小．2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比．3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2v1MMM1：GM1＝M1r1ω21Lr12v2MMM2：GM＝M2r2ω22 Lr2在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？配套练习开普勒定律的应用1．(2019·新课标全国·20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )2．(2019·安徽·22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴aa3的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常T量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)万有引力定律在天体运动中的应用3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ) A. 3Gρ4πGρC. GρGρ4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )A．0.5 B．2 C．3.2 D．45．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.课后练习mm1．对万有引力定律的表达式F＝G( ) rA．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )A．恒星质量与太阳质量之比B．恒星密度与太阳密度之比C．行星质量与地球质量之比D．行星运行速度与地球公转速度之比3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A．2FB．4FC．8FD．16F4．如图1所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最近，则( )A．经过T1＋T2两行星再次相距最近TTB．经过两行星再次相距最近 T2－T1T1＋T2C．经过两行星相距最远 2T1T2D．经过两行星相距最远 T2－T1图15．原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2019年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高11锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面kq的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )qkq2k2C. kqkq116．火星的质量和半径分别约为地球的，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重102力加速度约为( )A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g图27．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图2所示，则根据题设条件可以计算出( )A．行星表面重力加速度的大小B．行星的质量C．物体落到行星表面时速度的大小D．物体受到行星引力的大小8．(2019·浙江·19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是、( )A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异。
从万有引力定律推导开普勒第三定律
从万有引力定律推导开普勒第三定律
在“万有引力与航天”这章中，第一节介绍了行星的运动的规律，即著名的开普勒三大定律，其中第三条是这样的表述的：“所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方比值都相等”。
写成等式：
其中k是一个对所有行星都相同的常量，并且只与中心天体有关，也就是与太阳有关。
在中学阶段，我们把行星的轨道按圆轨道处理，定律中的“半长轴”也就修改为“半径r”。
在之后的万有引力定律的学习过程中，如在第四节“万有引力理论的成就”中，计算天体质量这一部分内容里面，有关于对太阳的质量的求解，具体过程是：
设M是太阳的质量，m是绕太阳做匀速圆周运动的的某个行星的质量，r是行星到太阳中心的距离，T是行星绕太阳的公转周期，那么由于行星做匀速圆周运动，那么它需要的向心力由太阳对它的万有引力提供。
写成等式：
从而得出太阳的质量：
如果测出行星公转周期T和它到太阳的距离r，就可以算出太阳的质量了。
现在，我们把上面的式子整理得：
令常量等于k，于是有：
证毕。
开普勒万有引力定律
开普勒万有引力定律开普勒万有引力定律是描述行星运动的重要定律之一，它由17世纪德国天文学家开普勒提出。
这个定律通过揭示宇宙间物体之间相互引力的关系，为我们深入了解宇宙运动规律提供了重要的指导和启示。
开普勒的第一个定律，也被称为椭圆轨道定律，指出所有行星在它们的轨道上运行时，会遵循椭圆形状的轨道。
这个发现打破了亚里士多德尔的观点，认为行星运动的轨道是圆形的。
通过观察行星运动的数据，开普勒发现行星轨道的离心率是小于1的椭圆，其中一个焦点是太阳。
这个发现为我们理解宇宙中行星运动的形态和轨迹提供了手段。
开普勒的第二个定律，也被称为面积定律，描述了行星在轨道上的速度变化规律。
他发现了一个惊人的事实：行星在轨道上运动时，它们在同样时间内扫过的面积是相等的。
这个定律意味着行星在靠近太阳的位置时速度更快，在离太阳较远的位置时速度更慢。
这个规律揭示了宇宙间物体在引力作用下，轨道运动的稳定性和规律性。
开普勒的第三个定律，也被称为调和定律，是描述行星轨道周期和轨道半长轴之间的关系。
他发现，行星轨道的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。
这个定律为我们预测行星运动的周期和距离提供了重要的参考依据。
通过这个定律，我们可以推算出不同行星的轨道参数，从而更好地了解宇宙的构造和运行规律。
开普勒的万有引力定律揭示了行星运动的奥秘，为牛顿于1687年提出的万有引力定律打下了坚实的基础。
牛顿通过进一步研究，将开普勒的定律与自己的力学理论相结合，形成了现代科学史上里程碑式的成就。
牛顿通过万有引力定律，解释了为什么行星围绕太阳运动，为什么落体运动的物体会受到引力作用等等。
这样的发现和理论奠定了经典物理学的基础，也为后来的科学发展提供了重要的思想参考。
总之，开普勒万有引力定律对于我们理解宇宙运动的规律性和稳定性具有重要的指导意义。
通过这个定律，我们深入了解了行星运动的形态、速度变化以及轨道周期与距离的关系。
它对于推动科学发展，促进我们对宇宙的认识和探索具有不可估量的价值。
万有引力定律公式详细推导过程
万有引力定律公式详细推导过程
有很多的同学是非常想知道，万有引力定律公式详细推导过程是什幺，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 万有引力定律推导公式是什幺根据开普勒的三定律以及牛顿第三定律得出.
具体如下;F 引= F 向=mw2r＝mv2/r 再由线速度与周期的关系得到
F 引=m(2πr/T)2/r=4π2mr/T2
F 引=4π2mr/T2=4π2(r3/T2)m/r2
F 引=4π2km/r2
所以可以得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳的距离的二次方成反比.
即：F∝m/r2
牛顿根据牛顿第三定律大胆的猜想：既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比,也应该与太阳的质量成正比.
F 引∝Mm/r2
写成等式：F 引= GMm/r2
1 万有引力定律的定义任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687 年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
万有引力定律的发现是近代经典物理学发展的必然结果。
科学史上普遍认。
专题06 开普勒三定律及万有引力定律——教师版
专题6开普勒三定律及万有引力定律（教师版）一、目标要求目标要求重、难点开普勒三定律重点万有引力定律的基本概念重点万有引力与重力的关系重难点二、知识点解析1.开普勒三定律（1）开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．（2）开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等S AB =S CD =S EK.（3）开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．用公式表示：32a k T ，其中比例常数k 与行星无关只与太阳有关．（4）对开普勒三定律的理解①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论；它还指出行星绕太阳运行时远日点速率小，近日点速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．2．万有引力定律(1)推导过程：①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动．②圆周运动条件：引力向F F =，即2v F m r=．③开普勒定律的运用由于2π=r v T ，则2222π1(4π==⋅r r F m m T r T322'22224π()4π===r m m m k k T r r r ，其中32r k T=，'24π=k k ，所以2mF r ∝=．④牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同．因此行星对太阳的引力一定与太阳质量成正比，因此'122m m F r∝．(2)定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比．把上面的结论写成等式122m m F Gr =，此式即为万有引力定律的公式表达形式．公式中的G 叫做引力常量，116.6710G -=⨯N·m 2/kg 2．物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为1kg 的两个物体，相距1m 时的相互作用力．3．对万有引力定律的理解(1)适用条件：①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算．②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中r 是指两球心间距离．③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力．(2)万有引力的性质：①普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间．②相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律．③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．(3)万有引力定律的意义：①万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑．②消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．4．地球上的重力和万有引力的关系在地球表面上的物体所受的万有引力引F 可以分解成物体所受的重力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ，如图所示，其中2引MmF GR=，而2F mr ω=(1)当物体在赤道上时，引F 、mg 、F 三力同向，此时F 达到最大值2max F mR ω=，重力加速度达到最小值2min 2引F F Mg GR mRω-==-；(2)当物体在两极的极点时，0F =，引F mg =，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为max 2M g GR =；因为地球自转角速度很小，22Mm G mR R ω ，所以在一般情况下计算时认为2Mm mg G R =。
万有引力定律知识点总结
万有引力定律知识点总结万有引力定律一.开普勒运动定律 (1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是，太阳处在所有椭圆的一个上．相等．D．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力:三、万有引力和重力不考虑自转的情况下，F 万=mg(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的的比值都相等．四.天体表面重力加速度问题）例 1：火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（A．火星与木星公转周期相等 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．太阳位于木星运行椭圆轨道的某焦点上 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积设天体表面重力加速度为 g,天体半径为 R，由重力加速度的关系为g1 R22 M 1 ? ? g 2 R12 M 2得 g= GM ,由此推得两个不同天体表面 R2例3：据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为 A．0.5 B．2. C．3.2 D．4 五．天体质量和密度的计算二.万有引力定律 (1) 公式：F＝ ,其中 G ? 6.67 ? 10?11 N ? m 2 / kg 2 ，称为为有引力恒量。
间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身间的距离．对于均匀的球体,r 是两1.只能求中心天体的质量2. 只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T，就可以算出天体的质量 M．若知道行星的半径则可得行星的密度 4? 2 3?r 2 4? 2 r 3 M mM M G 2 =m 2 r，由此可得：M= ；ρ = = = （R 为行星的半径） 2 4 3 GT 2 R 3 V GT T r ?R3(2) 适用条件：严格地说公式只适用于的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体间的距离对于质量为 m 1 和质量为 m 2 的两个物体间的万有引力的表达式 F=Gm1m2 r2例 2：下（）例4：登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km 的空中沿圆形轨道运动，周期是 120.5 min,月球的半径是 1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．土星 29.5列说法正确的是公转周期（年）水星 0.241金星 0.615地球 1.0火星 1.88木星 11.86A．公式中的 G 是引力常量，它是人为规定的 B．当两物体间的距离 r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 C．两物体间的引力大小一定是相等的六、讨论天体运动规律的基本思路基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
万有引力定律及其应用
第一单元 万有引力定律及其应用基础知识一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等． 二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比． (2)公式：F ＝G221rm m ,其中2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，称为为有引力恒量。
(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r 是两球心间的距离．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G221rm m ,g=GM/r 2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（r+h ）2，比较得g h =（hr r +）2·g在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ， 所以m 2g=F 一F 向＝G221rm m －m 2R ω自2因地球目转角速度很小G221rm m » m 2R ω自2,所以m 2g= G221rm m假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G 221rm m －m 2R ω自2知物体的重力将变小，当G221rm m =m 2R ω自2时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝13G m R，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为g,天体半径为R ，由mg=2M m G R得g=2M GR,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为21212212g R M g R M =*五．天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力． G2rmM =m224Tπr ，由此可得：M=2324GTr π；ρ=VM =334RM π=3223RGTr π（R 为行星的半径）由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度例题：某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝½g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R ＝6.4×103km,g 取10m/s 2） 解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h ，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg /，据牛顿第二定律．N －mg /=ma ……①在h 高处mg /＝()2h RMmG+……② 在地球表面处mg=2RMm G……③把②③代入①得()ma R h mgRN++=22 ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1ma N mgR h =1.92×104km.说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．2、讨论天体运动规律的基本思路基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
万有引力定律公式推导过程
万有引力定律公式推导过程1. 椭圆轨道下的推导（以行星绕太阳运动为例）- 设行星质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做椭圆轨道运动，根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
- 以太阳为原点建立极坐标系，行星的位置矢量为→r，行星的速度为→v。
- 行星的角动量→L=→r× m→v，由于角动量守恒，L = mr^2ω（ω为角速度）。
- 行星的机械能E=(1)/(2)mv^2-G(Mm)/(r)（其中G为引力常量）。
- 根据v = rω，E=(1)/(2)m(rω)^2-G(Mm)/(r)。
- 由开普勒第三定律T^2=frac{4π^2}{GM}a^3（a为椭圆轨道的半长轴）。
- 对椭圆轨道，r=(p)/(1 + ecosθ)（p为半通径，e为离心率）。
- 根据牛顿第二定律→F=m→a，在极坐标系下加速度→a的径向分量a_r=r-rθ̇^2。
- 对r=(p)/(1 + ecosθ)求导两次得到r的表达式，结合L = mr^2ω（ω=θ̇），代入m→a的表达式中。
- 经过一系列复杂的数学运算（包括求导、代入、化简等），最终得到F = G(Mm)/(r^2)。
2. 利用圆周运动近似推导（简单理解性推导）- 假设一个质量为m的物体绕质量为M的中心天体做匀速圆周运动，圆周运动的半径为r，物体的线速度为v。
- 根据向心力公式F = mfrac{v^2}{r}。
- 又因为对于做圆周运动的物体，根据开普勒第三定律的近似（对于圆周运动T^2=frac{4π^2r^3}{GM}），v=(2π r)/(T)，将v代入向心力公式得F =mfrac{4π^2r}{T^2}。
- 再把T^2=frac{4π^2r^3}{GM}代入上式，经过化简可得F = G(Mm)/(r^2)。
万有引力定律推导开普勒三定律
万有引力定律推导开普勒三定律万有引力定律是指两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
而开普勒三定律描述了行星围绕太阳运动的规律。
那么，如何用万有引力定律推导出开普勒三定律呢？首先，考虑一个行星绕太阳运动的情况。
根据万有引力定律，太阳和行星之间的引力为：F =G * M1 * M2 / r^2其中，G是万有引力常数，M1是太阳的质量，M2是行星的质量，r是太阳和行星之间的距离。
由于行星绕太阳运动是一个圆形轨道，因此，我们可以将行星的运动分解为两个正交方向的分量：径向分量和切向分量。
径向分量指的是行星运动方向与太阳之间的连线方向，切向分量指的是行星运动方向的垂线方向。
根据牛顿第二定律，行星的运动加速度可以表示为：a = F / M2将上式代入万有引力定律中，得到：a = G * M1 / r^2其中，M2已经被消去了。
根据圆形运动的几何关系，我们可以发现，行星的加速度大小就等于它所受到的向心加速度大小，即：a = v^2 / r其中，v是行星的运动速度。
将上式代入上面得到的等式中，解得：v^2 = G * M1 / r这就是开普勒第一定律，也就是说，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
接下来，我们考虑开普勒第二定律，即行星在椭圆轨道上的运动速度与它距离太阳的距离的平方成反比。
根据万有引力定律，行星所受到的引力大小为：F =G * M1 * M2 / r^2根据牛顿第二定律，行星的运动加速度为：a = F / M2将上式代入上面得到的等式中，解得：a = G * M1 / r^2同时，由于行星在椭圆轨道上的运动速度是恒定的，因此，我们可以用它的速度v表示出它在不同位置所受到的向心加速度a，即： a = v^2 / r将上面两个等式联立，得到：v^2 = G * M1 / r这就是开普勒第二定律，即反比例定律。
最后，我们考虑开普勒第三定律，即行星公转周期的平方与它距离太阳的距离的立方成正比。
开普勒三大定律公式的推导
开普勒三大定律公式的推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开普勒三大定律是描述行星运动规律的重要定律，它们为现代天文学的发展奠定了基础。
这三大定律分别是第一定律：行星运动轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；第二定律：行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积；第三定律：行星轨道的平方周期与它们轨道长半轴的立方成正比。
本文将对开普勒三大定律的推导过程进行详细描述。
我们从第一定律开始推导。
根据椭圆的定义，椭圆是一个平面上的点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
假设行星在太阳周围运动，我们取太阳为椭圆的一个焦点。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，根据椭圆的定义可知，行星到太阳的距离之和为常数。
即可得椭圆方程：r = \frac{p}{1+e\cos\theta}这里，r为行星到太阳的距离，p为焦点到行星的距离，e为椭圆的离心率，\theta为行星与近日点的角度。
接下来，我们来推导第二定律。
根据第二定律的描述，行星在它们的轨道上等面积运动，即行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积。
这意味着在相等的时间间隔内，等面积扫过的弧长相等。
我们知道，扫过的面积等于扇形的面积减去三角形的面积。
假设在时间t 内，太阳至行星的连线扫过了角度\Delta\theta。
根据三角形求面积的公式可得：扫过的面积为：A = \frac{1}{2}p^2\int_0^t \sin(\frac{2\pi}{T}t')dt'这里T为行星的轨道周期。
根据积分的性质，可知这是一个等面积扫描的过程。
根据等面积扫描的性质，我们可以证明第二定律的成立。
我们来推导第三定律。
第三定律描述了行星轨道的周期与长半轴的关系。
根据牛顿万有引力定律，太阳与行星之间的引力为：F = \frac{GMm}{r^2}根据牛顿第二定律，可得：整理可得：v^2r = GM而行星绕太阳运动的圆周速度为：代入可得：由于GM为常数，因此可得第三定律：这里k为一个常数，与行星的质量无关。
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万有引力推导开普勒定律
牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。
该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示，
；
是行星的质量、是太阳的质量、是行这里，是太阳作用於行星的万有引力、
向量、是位移的单位向量。
星相对于太阳的成正比，和其質量，和其所受的淨力声明：牛顿第二定律物體受力後所产生的加速度
成反比。
用方程式表示，。
合并这两个方程式，。
(1)
，随时间思考位置向量微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：
，。
(2)
在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
，。
合并方程式(1) 与(2) ，可以得到向量运动方程式：
取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3)。
(4)。
由于行星导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量的质量是常数，角
动量随时间的导数为。
，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
角动量也是一个运动常数从时间到时间扫过的区域，。
所以，开普勒第二定律是正确的。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间
[编辑开普勒第一定律导引]。
这样，角速度是设定。
随时间微分与随角度微分的关系为。
：随时间微分徑向距離。
再微分一次：。
．，，代入径向运动方程式(3)。
，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式将此方程式除以来描述行星轨道：。
特征方程式为。
求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为
；
都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式，这里，与。
，。
代回选择坐标轴，让。
，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
假若开普勒第三定律导引] 编辑[
在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。
假若我们接受牛顿运动定律。
试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧。
那末，太阳作用于行星的万有引力为。
行星移动速呈圆形，轨道半径为
成反比。
所以，与半径的平方根。
依照开普勒第三定律，这速度度为。
猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全万有引力确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。
行星环绕太阳（焦点F1 ）的椭圆轨道。
；这里，椭圆的面积是与开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。
分别为椭圆的半長軸与半短軸。
在开普勒第二定律导引里，行星－太阳连线扫过区域速度
为。
所以，行星公转周期为
(5)。
．（近拱点，半短軸A 与近拱距与引力中心关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸（远拱点B 之间的距离），远拱距与引力中心之间的距离）的关系分别为
，(6)。
(7)
如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。
依据能量守恒定律，。
在近拱点 A 与远拱点B，径向速度都等于零：。
所以，。
稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：。
其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距
；。
代入方程式(6) 与(7) ，
，。
代入方程式(5) ，周期的方程式为。
．。