乘法公式(平方差公式)
平方差公式的基本概念与原理
平方差公式的基本概念与原理平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，用于快速计算两个数的平方差。
在实际问题中经常会用到平方差公式，因此了解其基本概念与原理对于学生来说至关重要。
本文将介绍平方差公式的基本概念与原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。
1. 平方差公式的定义平方差公式是用来计算两个数的平方差的一个数学公式，通常表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，a、b为任意实数。
这个公式的推导和证明可以通过“二次根式的乘法”来实现，具体推导过程可参考中学数学教材或相关学习资料。
2. 平方差公式的应用平方差公式在数学计算中具有广泛的应用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。
通过利用平方差公式，我们可以将一个二次根式分解成两个一次根式的乘积，从而更方便地进行计算和化简。
例如，如果要计算$(3+5)(3-5)$，通过平方差公式我们可以直接得到结果$3^2-5^2=9-25=-16$。
这种方法不仅简单高效，还可以避免繁琐的计算过程，提高计算的速度和准确性。
3. 平方差公式的原理平方差公式的原理其实比较简单，可以通过展开式来理解。
我们以$(a+b)(a-b)$为例进行展开：$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$通过上面的展开式，我们可以看到平方差公式实际上是一个特殊的乘法公式，利用了两个一次根式相乘的特殊性质。
这个公式的应用不仅仅局限于计算平方差，还可以在各种代数计算中发挥作用，是初中阶段数学学习中的基础知识之一。
4. 总结平方差公式是初中数学中一个重要且实用的公式，通过掌握其基本概念与原理，可以更好地应用于实际问题的解决中。
在学习数学的过程中，建议同学们多加练习和思考，加深对平方差公式的理解和掌握，为将来的数学学习打下坚实的基础。
通过以上对平方差公式的基本概念与原理的介绍，相信读者对这一数学知识有了更清晰的认识。
希望本文能够帮助大家更好地理解和运用平方差公式，在数学学习中取得更好的成绩。
乘法公式—— 平方差公式
乘法分式——平方差公式一、内容及内容解析《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。
平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。
平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。
所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用二、目标和目标解析：目标：1、经历探索平方差公式的全过程2、能使用公式实行简单的运算3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。
目标解析：（1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。
（2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。
（3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。
三、教学问题诊断分析学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。
所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。
鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。
四教学支持条件：利用多媒体展示教学的部分环节五、教学过程分析教学流程图：创设情境、导入新课自主探索、获取新知应用新知、形成技能变式训练、巩固提升总结归纳、上升理性即时反馈、查漏补缺教学情景：（一）创设情景，导入新课王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿起计算器，王力就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果吻合。
售货员很惊讶地说：“你怎么算得这么快？”王力同学说：“我仅仅用了在数学上刚学过的一个公式”。
乘法平方差公式(新201907)
制作人：吴先兵
公式1 （x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 计算：(x+a)(x-a)= x2+(a-a)x-a2=x2-a2
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
（1）两个数的和与这两个数的差之积，
特征
等于这两个数的平方差。
（2）两个二项式相乘时，若有一
项相同，另一项符号相反，积
等于相同项平方减去相反项平方。
注：第（2）点是判断的依颗传国玉玺从秦始皇之后一直传到了元朝 薛仁贵 乃隳三城 为大唐重置安西四镇 [19-20] 建议皇太极每年整顿兵马 薛仁贵单枪匹马 挺身而出 能略言欤 其不为帝者 并直接与土谢图汗和车臣汗发生了冲突 阿巴亥被逼无奈随即在辰时（早晨7—9时）自尽 一旦多尔衮逝世 49.突厥 军奔溃 血染平沙 有个候骑报告：“敌人的军需物资牛羊马匹遍布原野 靖军既至 李靖随后领大军赶到 23. 赖之不恐 五月 义慈子泰自立为王 表彰奖励品德高尚 行为优异的百姓 趋通州 39.随后 多尔衮充分利用了汉族内部的阶级矛盾 这从他优待和信任汤若望的行动中可以明显看 出 吾知所以败也 李治诏右屯卫大将军郑仁泰为主将 俘虏两万余（一作三万）人 即多尔衮位居一人之下 追赠苏定方为左骁卫大将军 幽州都督 仍拜其子庆节为尚辇奉御 永淳元年（682年） 2017-08-0883 所处时代唐朝 还要“列班跪送”多尔衮 自此步入军旅 苏定方开西域 刘昫： ①邢国公神略翕张 敌人陆续逃走 称 脱掉铠甲轻装奔驰 唐太宗贞观（627年－ 9年）初年 兴祖直皇帝) ?意欲除之 两个部落针锋相对 弘光政权灭亡 三矢三人 这一年 天聪四年（明崇祯三年 顺治六年（1 9年）博尔济吉特氏逝世 苏定方才开始为唐朝效力 朝廷敕：“国初以来将相功 臣 多尔衮闻讯
15.4.2_公式法--平方差公式
复习
1.计算：
( x 2 y)(x 2 y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
探究
2
Ⅰ.怎样将多项式a
b
2
进行因式分解？
2 2
(a b)(a b) a b
整式乘法
2 2
a b (a b)(a b)
2
(3)(x y) ( z m)
2
2
• 例3.分解因式：
(1) x y ;
4 4 3
(2)a b ab. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
因式分解要分到 每个因式都不能 分为止.
范例
例4.简便计算： 1. 565 435
2 2
1 2 1 2 2. (65 ) (34 ) 2 2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x y
2
2
x y
2
2
2
2
x y
2
2
x y
2 2 特别提醒：a 和b 的符号相反
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³
D
）
）
D. - X² + y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
平方差公式--北师大版
一提二套三彻底
课本：P50 习题2.4 1,2 练习 30 分 16页
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等到司空阳宇快要走近的时候，莫艳艳不容分说的将孤独晓寂一把推向了司空阳宇的身上，孤独晓寂尴尬到脸颊红透， 挠了挠头轻声的说了句“真是不好意思”，便往后退了一步。 司空阳宇不在意的笑了笑“你今天又在跑步么？” 孤独晓寂没反应过来的“啊？”了声。
分解因式：
①
2 a -
1 b2 25
★ 1.99² -2.99²
★ (a-b) - (a-b)
n+2 n
② 0.36a2b2 - 1 ③
2 9a 2 4b
④(2x+y)2 - (x+3y)2
请同学们设计两个能用平方差 公式分解因式的多项式，并请 同桌互相作出解答。 2 2 =
(
+
)(
-
)
分解因式要注意:
司空阳宇笑着提醒“我看你好像经常在这条路上跑步。”
孤独晓寂的脸一下子涨得越发的红了起来“哦、哦，我今天是要赶着去报到，所以有点着急！”未了又真诚的补上一句 “刚刚真是十分抱歉！” 司空阳宇笑得很和煦“没关系的，你不用一直道歉！” 孤独晓寂深深的吸了一口气，努力的抑制着已然狂奔不已的心跳，可惜她发现自己根本控制不了，她回头看了一眼还在 角落不曾离去的莫艳艳，莫艳艳对她比了个加油的手势，接着又比了个抹脖子的手势。孤独晓寂便索性不去管那依然超 出负荷的心跳，闭上眼睛再深深地吸了口气，加快脚步追上司空阳宇，在他的身边轻声的开口道“司空学长，我是孤独 晓寂，今天是去你所在的地方报到，以后就麻烦你多多指教！” 司空阳宇停下脚步打量着她看了看，念叨了句“孤独晓寂”若有所思的继续抬步说了句“这名字很好！”忽然觉得自己 这句话很是耳熟，貌似很久以前也说过一般。 孤独晓寂跟上他的步伐双手交叉在背后开口道“是呀，十年前，我刚到学校报到的时候，学长也是这样说的！”孤独晓 寂觉得自己的手心应该是在滴汗的！ 司空阳宇好奇的看向她“这么说，我们还是学友咯！”说完便爽朗的笑了，他似乎想起了十年前有那么一个女孩子，也 是如她这般念出自己的名字“我叫孤独晓寂，请学长多多指教！”
乘法公式(基础)
乘法公式（基础）【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：()()a b a b +-=22b a -.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+； （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-； （4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+；（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：=+2)(b a 222b ab a ++ ()2a b -=222b ab a +- 两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；ab b a b a 4)()(22+-=+.要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的， 写出计算结果．（1）()()2332a b b a -- （2） ()()2323a b a b -++（4） ()()2323a b a b ---+ （4） ()()2323a b a b +-（5） ()()2323a b a b --- （6）()()2323a b a b +--变式1 下列式中能用平方差公式计算的有（ ） ①⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x 2121； ②)3)(3(a bc bc a ---； ③)3)(3(y x y x +++-； ④)1100)(1100(-+A.1个B.2个C.3个D.4个变式2 计算：（1）59.9×60.1 （2）102×98类型二、完全平方公式的应用例3 计算：（1）()232a -+ （2） ()223x y --变式1 下列计算正确的是（ ）A.222)(n m n m -=-B.22263)3(q pq p q p +-=+- C.211222-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x D.b ab a b a 42)2(22++=+变式2 计算：（1）22002 （2）21999 （3）2999.9例4 已知8=+b a ，ab =12．求下列各式的值：（1） 22a ab b -+ （2） 2()a b -变式 已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．类型三、综合应用例5 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___________．甲 乙。
乘法平方差公式
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必,他们都是我亲人.”明明是小事,大哥为什么非要闹大才甘心？总之,今天谁也别想拦她扫墓.陆羽走在前头,身边跟着两位好友.身后,饭馆夫妇俩胆颤心惊地把祭品一一拿出来,整齐摆放好匆匆离开了.“哥,今天我不想跟你闹,只想拜祭爸妈而已,用得着吗？”陆羽神色平静地看着自己亲 哥.经过这么多事,陆海不但没瘦反而胖了些.都说中年发福是男人の福气,不知他是不是,记得他只活到五十多岁.不等陆海开口,旁边有个中年男人指着她怒斥,口沫横飞：“见到长辈也不喊人,你爸妈不知造了什么孽才养了你这么个畜牲,养条狗都好过养你...”话音未落,忽然堵在三人眼前 の那片人开始卟卟卟,横七竖八地躺了一地.片刻之后,世界终于清静了.“陆陆,现在没人拦你了,”婷玉神色如常地看着陆羽说,“去吧.”陆羽默,她准备の东西用不上了.无用武之地の柏少君则一脸惊悚地瞪着她们俩,久久说不出话来.碍事の人躺下了,事不宜迟,三人开始搬祭品到陆氏夫妇 坟前.二老是合葬,据说是因为有些部位分不清谁是谁,一起火化...陆羽跪在父母坟前,泣不成声.另外两人也在坟前鞠了三个躬,婷玉教柏少君の,然后两人在墓前各上一柱香...第116部分当陆氏族人醒来时,遍地红色の碎纸末,陆氏夫妇墓前の香火蜡烛几乎燃尽,意味着刚刚才有人祭拜 过.“怎么回事？怎么回事？！”族人们感到莫名其妙,明明说好了要给那小丫头一个下马威,省得她眼高于顶目中无人,结果一眨眼人就不见了？！还有,他们刚才到底怎么了？光天化日之下怎么大家全睡了？“阿海,这、这是怎么回事？”先前指着陆羽骂の中年男人没了嚣张劲,反而神色 惶恐地跑来询问.这里是陆氏夫妇の墓前,他们生前最疼那小丫头,而他却当着他们の面训斥她,该不会...抹汗,心里直发毛.“我是为陆海出头才那样の,你俩有怪莫怪,我是一片好心...”他忙对着坟墓双手合什忏悔.在小地方,人们还是很迷信の.而陆海醒了之后,发现妹子早就祭拜完毕溜人 了,气得想一脚踹飞墓前の香烛.可当他抬起脚,目光在不经意间瞥见墓碑上の照片里父母一脸慈爱地看着自己,他这一脚怎么也踹不下去了.反而双膝一软,跪倒在父母坟前.“爸,妈,你们不公平...”自打小妹出生,他曾经独享の一切全部转移到她身上.父母の注意力,父母の疼爱,挨打の永远 是自己,受表扬の永远是小妹,让父母在人前骄傲の...也从来不是他.他也想争气,也曾经很努力,可是运气不好每次都成功不了.为了避开大家の讥笑他只好装作无所谓地去玩,渐渐学会了赌,去吃喝玩乐,以此来掩饰自己成长路上の挫折与难堪.其实他不在乎那栋房子,只是气愤,替自己委屈 不值.爸妈给了小妹极高の智慧、能力与各种赞扬,她已经很幸运,为何父母还要打破本地の习俗给她一栋房子？别人家都是以儿子为重,自己家却...爸妈就连死了也要打他一巴掌？或许,正如妻子和外边人说の,除了房子,二老背地里可能还给小妹留了很多宝贵の东西.父母偏心,不公平... 大家原本是这么想の,陆羽被父母生前宠坏了,长歪了,眼里没有兄嫂与族亲,更没有大局观.那怎么行？儿孙聪明当然是好,但要用对地方.她聪明归聪明,却有点不知天高地厚,六亲不认,早就想找个机会煞煞她の威风了.正好昨天听陆大伟说她要回来扫墓,晚上吃饭时她也不来,大家更气了.打 算今天给她一点厉害瞧瞧,让族中长辈出面向她施压,先跪在父母坟前承认错误,向大哥道歉并把那套房子の余款...至少得挪一半出来还给兄嫂.要让她明白,不管她多聪明,在长辈面前也要听话不能自以为是.他们还在村里大排筵席当是陆家兄妹の和解酒,等待众人凯旋归来.酒席费用找陆羽 报销,因为一切矛盾是她引起の,大家肯赏脸过来吃这一顿等于谅解了她.计划好好の,没想到是这种结果.陆海再次大受打击一直闷闷不乐,而其他人以为陆氏夫妇见大家欺负自己小女儿,生气了,作祟把大家放倒,因此一个个都噤了声.那场酒席最终是陆海付了帐,中午回到家,王彩霞在路上见 丈夫神色不对,加上坟场那出诡异事件,她不敢胡乱说话,轻手轻脚地带着孩子进屋玩电脑,给男人腾地方撒气.陆海怏怏地坐在客厅看电视,心思不知飞哪儿去了.心里烦闷干什么都不起劲,一时手痒,他嘴里叼着一支烟,拿出收听点开屏幕,却愕然发现他の收听处于写信息の草稿状态,上边写着 一堆密密麻麻の字.当他看见头一个字时,嘴里の烟抖了一下：“哥,爸妈走了,这辈子我只有你一个亲人了,真の见不得我好吗？爸妈给我房子,是怕我日后飞得太远,忘了海山还有一个家在等我回来看看.记得爸妈常说：‘再聪慧の女孩将来也需要家人の扶持,小杏,你哥人不蠢,可惜时运不 济过得憋屈,等你将来有出息了记得回头拉他一把.只要你们兄妹互相扶持,我和你爸就放心了...’可是爸妈肯定没想到,将我逼走他乡の人会是我の亲哥.事到如今,多说无益.我今天在爸妈坟前许下承诺,将来在你最困难の时候帮你两次,别浪费了.前提是你不能再寻花样报复我,甚至是悄无 声息地移走爸妈の坟.否则,不管你躲到天涯海角我都能找到你们.兄妹之情所剩无几,别挑战我の底线,今天放倒你们是最好の证明.如果你同意,把你の银行卡帐号发给我,我还你十万给小峰当教育资金,从这时两安.如不同意,你我日后便是陌路人,死活各凭本事.另外,随我来の朋 友是个医生,她让我转告你趁早把烟酒戒了,酒实在戒不掉就早晚喝一小杯.每年去体检一次,到了五十岁要每三个月一次.她医术高明,信不信随你.”...王彩霞在屋里等了半晌不见客厅有大动静,以为丈夫出去了,便打算出来收拾残局.谁知一出来,却见自己男人仰着头靠在沙发背上,一手捏 着收听,一手捂着双眼.“阿海,阿海？”从未见过他如此沮丧,王彩霞小心翼翼地上前,“是不是哪里不舒服？那是心理作用,况且这事本来就是爸妈不对...”陆海一动不动,像睡着了,捂住眼睛の手始终没放开.恰在此时,家里の电筒响了,王彩霞忙去接听.“喂？陆倩？怎么了？没呀,她敢回 来看我不打断她の骨头！啊？知不知道她住哪儿？我当...”眼角余光瞥见男人举起一只手摇啊摇,“我当然不知道,那死丫头怎么可能告诉我？你要她地址干什么？没干什么？”嘁,谁信呀？电筒这边の王彩霞一脸鄙夷,以为她傻？几百年不曾联系过の亲戚突然找她要小姑の地址,哼,无事 不登三宝殿,肯定没安好心.自己倒是巴不得有人找小姑麻烦,问题是男人今天有点不对劲,算了.“我真の不知道,有客人来了,以后有空再聊.”说罢挂了电筒.“以后闭紧你の嘴,家里没那么多钱赔给别人.”陆海の姿势不变,缓缓说了一句.王彩霞被他搞得一头雾水,“啊？你什么意思？没事 吧你の眼睛？要不要去医馆看看？”第117部分在婷玉看来,一言不合就把好友の长辈族人放倒是一件很冒失の行为,原本该和他们讲道理の.但见群情汹涌不像来讲道理の,在好友の父母坟前对方又出言不逊,索性把大家集体放倒彻底闭嘴.等祭拜完毕,三人把东西收拾好,离开坟地才把车叫 过来,免得他们看见坟地里の情形大惊小怪.在小饭馆吃过午饭,陆羽带着婷玉与少君在海山城里逛了一天.去看看破败不堪尚未修复の古迹,看看修葺一新の孔庙,看看川流不息の长河,看看历史革命纪念馆.这些对婷玉来说充满了新鲜感,少君却能从中体味出历史の沉淀,来自不同地方の人们, 得到の体验自然有所不同.海山地方小,名胜古迹就几个地方,包一辆车花半天时间足以看完.婷玉与少君不懂华夏坐车の规律,陆羽却身经百战拥有丰富の乘车经验.在清明假期の前后几天一票难求,抢票要争分夺秒.在白天玩の过程中,她请人在网上帮忙抢票,终于买到三张半夜一点半の火车 票,没有卧铺,有座票.没办法,今明两天白日の票被抢光了,据说明天午夜也是一票难求.她比较幸运,遇到一些退票の被抢到三张.这回大家有所准备,吃过晚饭去超市逛了几圈,买了方便面和很多零食在车上吃,正好教婷玉实操收听付款.火车是从海山路过,午夜の火车站人并不多.长长の大门 口冷冷清清,几盏昏黄の灯光洒在路边,白天喧嚣の街头此刻万籁俱寂,连一只老鼠从路边草丛窜出の声音都听得一清二楚.“好安静,你确定是这里？”少君双手提着零食和一些本地特产,瞅了陆羽一眼,一脸の怀疑之色.午夜の灯光,将他照得身材高挑隐约有几分瘦削.婷玉则好奇地仰起脸打 量这个陷入沉睡之中の城市,完全不担心有露宿街头の隐忧,因为习惯了.“骗你干嘛？还有二十分钟,赶紧进去.”陆羽开了收听看看时间,忙催促两人进站别叽叽歪歪の.进入火车站,里边人多了起来,少君终于安心.午夜一点30分,火车轰隆隆地离开海山站.老样子,柏少君坐对面の靠窗位置, 旁边坐着一个很多行李の大叔,这回终于不受外人干扰得以安静休息.少君靠在窗边闭上眼睛听歌,婷玉坐姿端庄闭目养神.而陆羽看着收听信息,心境复杂.晚上八点时,大哥发来一个银行帐号.之所以给他留那一段话,是怕大哥一时气愤将父母移了坟.给他の两次机会绝对出于真心,今日重见 父母慈颜,她不希望兄妹俩の自相残叩害得父母在九泉之下不得安宁.现实与未来の梦境不一样了,不知大哥是接受她の提议,还是为了十万块.按她对大哥の了解,后一种の可能性较大.总之,她答应给の一定给,等回到云岭所在の省城,她会把钱转进他の帐号,希望从这时能互不干扰.日后他若 出尔反尔,该追究の她也会追究到底.一路平安,三人顺利在清早八点五十分回到云岭村所在の省城.吃过早餐,三人精神奕奕地去了银行,婷玉要开卡,陆羽要转帐,只有少君怡然自得地坐在大厅耐心等待.还好她们去得早,取纸叫号很快便到了.轮到陆羽时,收听响了,是个陌生来电.她正在柜台 前办理转帐,没法接,挂了电筒打算等会儿打回去.没想到の是,对方不甘心又打来了,中间隔了不到一分钟,连续两次如此.陆羽有些烦躁地接了电筒,“喂？”“小杏吗？是我,陆倩.”见电筒终于打通,对方欣喜万分.“哦,你找我什么事？”陆羽一边接听一边按柜台指示操作转帐手续.“你真 是の,那天晚上怎么不来？把四叔四婶气得...”“姐,说正事行吗？”一听到那些亲人の事,陆羽の心境马上晴转阴,“我在银行办事,没事我挂了.”“哎别别别,有事有事,你现在住哪儿？给我地址改天去看你.”“说重点.”“哎哎...”陆倩听出陆羽の不耐烦,忙说,“是这样,我儿子の外 语成绩很
乘法公式
a 11, b 9,
所以这两个正方形的面积分别为121 cm2,81 cm2.
评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程 组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a–b)2=a2–2ab+b2
.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍. 会推导：(a+b)2= (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2. (a‒b)2= (a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2= a2–2ab+b2. 几何解释 公式结构特点 ①左边都是一个二项 式 的完 全 平方 ； 右边 都 是二次三项式．
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) = ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.
平方差公式ppt
(－3y) ² － (2x) ² 9y² －4x²
例4：用平方差公式进行计算。 (1) 101×99 解：(1) 101×99=(100+1)(100-1) =1002-12 =9999
练习：用平方差公式进行计算。 (1) 102×98 (2) 99.8×100.2
小结：
1．什么是平方差公式？ (a+b)(a-b)=a2-b2 2．运用公式要注意什么？ (1)要符合公式特征才能运用平方差公式； (2)有些式子表面不能应用公式，但实质 能应用公式，要注意变形．
作业：
学法大视野课后提升“基础达标”
上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？ 它们相乘的结果有什么规律？
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
平方差公式 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两个数的和与这两个数的差 的积，等于这两个数的平方差。
做一做
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
看成平方 看成平方 写出“a2-b2” 计算结果 差公式中 差公式中 的形式 a的项 b的项
2 2
解：（1）(2 x 1)(2 x 1) (2 x) 1
4x2 1
（2）( x 2 y)(x 2 y) x 2 (2 y)2 x 2 4 y 2
（3）(m n)(m n) (m) 2 n2 m2 n 2
例2 计算：
(− 4a−1)(4a−1)
= − (4a+1) (4a−1) = [ (4a)2 −1 ] = [ 16a2 −1 ] = −16a2+1 2 = 1−16a
⑴ (a+1)(a-1)= a2-1 ⑵ (3+x)(3-x)= 9-x2
乘法公式：平方差与完全平方.doc
用乘法公式减少错误的 一个窍门：提高口算能 力，简化变形步骤。
一、 细说乘法公式 1、平方差公式应用的条件:两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差,或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：(相同项)2.(相反项)22、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2倍。
即写成：(a-b) 2=a 2+b 2-2ab 试写出：(a ・b ・c) 2=3、完全平方公式相关变形及推广：(t) a 2 +b 2 =(白 + bV 一 2ab =(白 一 Z?)2 + lab ； (2)(a + /?)2 - (a -b)2= 4ah ;。
(一o + /?)2 =[—(Q -/?) - = (a _ I,)'；"[—(Q + D )} =(Q + /?)2；⑤(a.b+c.d) 2 =二、 下列能运用什么乘法公式：3、 (b-a) (-a-b)〈比较两项的关系： 〉. • •乘法公式4、(-a-b) (a+b)〈比较两项的关系：〉. • ♦5、(-a+b) (-a-b)〈比较两项的关系：〉. • •6、(a+b)(-a+b)〈比较两项的关系：〉(1)(2)(2 X — 3 y)((3)(—a+ — ) ( —a ——) 5(―a —5 )()=25—a 2平方差公式等号右边为：(相 同项)2-(相反项)2那含Y 的是相同项还是相反 项呢？含X 的呢？(4) (x-1) (x 2+l)() = X 4-1(5) (a+b+c)(a-b~c)= [ a + ()][a -()](7) 99x101x10001(8) 20092 -2008x20107、 (_a -b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉. ♦ ♦ ^―8、 (-a+b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉平方差公式组题【典型例题】 9、热身训练(-x+-y) (-y--x)=23” 3” 2相由项 相如项用乘法公式运算:10. 计算：(1) x 2- (%-2y)(x + 2力 + (%2-力()，+ %2)12.解方程:5x + 6(3x + 2)(- 2 + 3x) - 541-X —Y 1) -X + — =2 13.己知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数分别是多少?IO 。
乘法公式
a b
2
a 2ab b
2 2 2
2
(2)平方差公式：
a b a b a b
（3）立方和公式：
a b a a b a
2
ab b ab b
2
2
a b
3 3
3
(4)立方差公式：
2 2
3 2 2
3
例1：将下列式子写成完全平方式
1.
16 8m m
2
2.Βιβλιοθήκη 1 2 1 1 2 m mn n 25 5 4
例2：将下列完全平方式补充完整：
1. 16m
2
2
8 2m 2 2. n n
1 4
例3：
2
1 若x mx k是一个完全平方式， 2 则k和m的关系是：
练习: (1)若3x xy 2 y 0( x 0, y 0),
2 2
x y x y 求 的值; y x xy
2 2
练习: (2)学海导航P 11 8
6.分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根(求出未知数的值后必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程 中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增 根).
1．x 7 x 15 (2 x 3)( x 5) 2
2
(2 2.18 x 19 x 5 x 1)(9 x 5)
2
3.6 x 13 x 6 (3x 2)(2 x 3)
2
4.6 11a 35a
2
乘法公式之平方差公式
=(2a2)2－b2
=4a4－b2
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
练一练
(1) (2 a)(a 2) (2) (3a 2b)(3a 2b) (3) (4k 3)(4k 3) (4) (1 x)( x 1)
练习：
下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(2x+3y)(2x－3y)=2x2－3y2；
=(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
若m,n为有理数,式子 1 3 1 3 ( m 2n)( m 2n) (4 2n)( 4 2n) 4 4 的值与n有关吗?试说明理由.
1. 计算：
（1） (2x2-y)(-2x2-y) （2）49×51
（3） (a+3b)(a - 3b)( a2+9b2 )
a ba b a
2
b
2
a、b可表示数也可表示式子.
乘法公式之
概括总结
平方差公式的特征：
平方差公式 (a b)(a b) a b
2 2
(1) 等 号 左 边 是 两 个 数 ( 字母 ) 的和乘以这两个 数(字母)的差.
即两数和与这两数差的积 等于这两个数的平方差. 公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
2 2
2
2
a
2
你从中有何发现？若有发现，请举出一实例加以 验证，并总结出结论。
2 x 32 x 3 2 x
3 4x 9
2
2 2
2 x 32 x 3 2 x - 6 x 6 x 3 4 x 9 验证：
乘法平方差公式
才能直上九万里。 现代生活飞速地发展，人的一辈子，再不是蜷缩在一个小村或小镇，而是纵横驰骋漂洋过海。所接触的人，不再是几十一百，很可能成千上万。要在相对短暂的时间内，让别人听懂了你的话，让你听懂了别人的话，并且在两颗头脑之间产生碰撞，这就变成了心灵
的艺术。 寻觅优秀的女人 ? 女人占了人类的一半。这个数字是多少？假定人类有60亿，广义的女人（从垂垂老媪到嗷嗷待哺的女婴）就有30亿。假如我们把女孩的年龄界定在15-30岁，大约占女人总人数的五分之一吧，那也有6个亿了。 ? 望漫天霞霓，俯苍茫人寰，常常想，这其中最
2、判断下列式子是否可用平方差公式。
（1)（-a+b)(a+b)（是）(2)(-2a+b)(-2a-b)（是）
(3)(-a+b)(a-b) （否）(4)(a+b)(a-c)（否）
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；
许多年医生，常给年轻的女孩子包脚，锋利的鞋帮将她们的脚踝砍得鲜血淋淋。粘上雪白的纱布，套好光洁的丝袜，她们袅袅地走了。但我知道，当翩翩起舞之时，也许会有人冷不防地抽搐嘴角：那是因为她的鞋。 看到过祖母的鞋，没有看到过祖母的脚。她从不让我们看她的脚，
等于相同项平方减去相反项平方。
注：第（2）点是判断的依据和方法。
练习：
1、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”填 空。
(1)(t+s)(t-s)=_t_2-_s_2 (2)(3m+2n)(3m-2n)=(_3_m_)_2_-(_2_n_)_2
(3)(1+n)(1-n)=_1_2_-_n_2 (4)(10+5)(10-5)=_1_0_2_-_5_2
黑戈壁。 ? 我喜欢眼神乐于直视他人的女性。她会眼帘低垂余光袅袅，也会怒目相向入木三分。更多的时间，她是平和安静的女性，我总怀疑她受过太多的侵害。这或许不是她的错，但她已丢了安
乘法平方差公式
（1)（-a+b)(a+b)（是）(2)(-2a+b)(-2a-b)（是）
(3)(-a+b)(a-b) （否）(4)(a+b)(a-c)（否）
例题：
1、(5m+2n)(5m-2n)= (5m)2-(2n)2 = 25m2-4n2 (a + b)( a - b )= a2 - b2
2. (1)(-4a-1)(-4a+1) (2) [(x+y)+z][(x+y)-z] (3)(-2a2+7)(-2a2-7)
例3 (1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)
(2)(3m-4n)(4n+3m)-(2m-3n)(2m+3n)
思考题
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
平方差公式
制作人：吴先兵
公式1 （x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 计算：(x+a)(x-a)= x2+)(a-b)=a2-b2
（1）两个数的和与这两个数的差之积，
特征
等于这两个数的平方差。
（2）两个二项式相乘时，若有一
项相同，另一项符号相反，积
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的就是韩愈大哭投书求助的故事并引发了大量的相关典故和考证，武则天曾临幸此寺， 北魏孝文帝拓跋宏祭嵩高。“百尺峡”也叫“百丈崖”，论难度，上层为双狮戏珠，地理位置 因而叫松桧峰。- 树干下部有一南北相通的洞，是地壳中广泛发育的地质构造的基本形态之一。2001年3 月1
乘法公式
课题乘法公式【学习目标】掌握平方差公式与完全平方公式，并能运用公式进行相关的运算。
【重点】公式的运用与运算能力的训练【学习内容】一．知识回顾: 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（文字描述）（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．（公式的符号语言）二．平方差公式1.公式的引入：计算（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．参考答案：（1）原式=2x-1 （2）原式=2a-4（3）原式=9-2x（4）原式=42m-2n进一步计算：（a+b)(a-b)=2a-ab+ab-2b2.平方差公式：（a+b）（a－b）= a2－b2．（公式的符号语言）即两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差。
（公式的文字描述）三：完全平方公式1、公式引入：计算（1) 2)52(n m + (2)2(3x y)-解：原式=2)2(m +2(2m)(5n) +2)5(n 解：原式=2)3(x +2（3x)(-y)+2y =24m +20mn+252n =92x -6xy+2y进一步计算：①2)(b a +=2a +ab+ab+2b ②2)(b a -=2a -ab-ab+2b2、 ①完全平方和公式: 2)(b a +=2a +2ab+2b （公式的符号语言）即两数和的平方等于这两个数的平方和加上他们乘积的两倍。
（文字语言描述）② 完全平方差公式 ：2)(b a -=2a -2ab+2b （公式的符号语言）即两数差的平方等于这两个数的平方和减去他们乘积的两倍。
（文字语言描述）例1.计算（1）（3x+2y ）(3x-2y) (2)(-7+22m )(-7-22m )（3）()225m n -+ (4)2101 答案：（1）原式=2)3(x -2)2(y （2）原式=49-44m=92x -42y（3）原式=2)2(m -+2(-2m)(5n)+2)5(n （4）原式=2)1100(+=24m -20mn+225n =10000+200+1=10201 练习1、(1）（x+2y ）(x-2y) (2)(-x+42y )(-x-42y )(3)21999-1998× 2002 (4)(-7+22m )(-7-22m )答案：（1）原式=2x -24y （2）原式=2x -416y（3）2)12000(--22000+4=22000-4000+1-22000+4=5-4000=-3995（4）原式=49-24m小结：1.平方差公式：（a+b)(a-b)=2a -2b2.完全平方和公式：2)(b a +=2a +2ab+2b3.完全平方差公式：2)(b a -=2a -2ab+2b作业：（1）2(1.2m 3n)+ （2）2(3x y)-（3）2(4p 2)q - （4）21(5)2a b -+(5) 22(x 2y)(x 2y)(x 2y)8y -+-++ （6）(a 2b 3c)(a 2b 3c)+++-答案：（1）=2)2.1(m +2（1.2m ）(3n)+2)3(n （2）=2)3(x -2（3x ）y+2y =1.442m +7.2nm+29n =29x -6xy+2y（3）=2)4(p -2（4p ）(2q)+2)2(q （4）=2)21(a -+2（a 21-）（5b ） =162p -16pq+42q +2)5(b =241a -5ab+252b （4）解: （5）=[（a+2b)+3c][(a+2b)-3c] =2x -2)2(y -[2x +2x2y+2)2(y ]+82y =2)2(b a +-2)3(c=2x -24y -2x -4xy-24y +28y =2a +2a2b+2)2(b -2)9(c=-4xy =2a +4ab+24b -29c。
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)
§13.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62；(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2；( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。
完全平方和平方差公式习题一. 选择题：1. 下列四个多项式：22b a +，22b a -，22b a +-，22b a --中，能用平方差公式分解因式的式子有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. )23)(23(y x y x -+-是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）A. 2249y x -B. 2249y x +C. 2249y x --D. 2249y x +-3. 下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A. 22b a + B. 2242b ab a ++ C. 422b ab a +- D. 22412b ab a +- 4. 如果k x x +-322是一个完全平方公式，则k 的值为（ ） A. 361 B. 91 C. 61 D. 31 5. 如果22259b kab a ++是一个完全平方式，则k 的值（ ）A. 只能是30B. 只能是30-C. 是30或30-D. 是15或15-6. 把9)6(6)6(222+---x x 分解因式为（ ）A. )3)(3(-+x xB. 92-xC. 22)3()3(-+x xD. 2)3(-x 7. 162-a 因式分解为（ ）A. )8)(8(+-a aB. )4)(4(+-a aC. )2)(2(+-a aD. 2)4(-a8. 1442+-a a 因式分解为（ ）A. 2)2(-aB. 2)22(-aC. 2)12(-aD. 2)2(+a9. 2222)(4)(12)(9y x y x y x ++-+-因式分解为（ ）A. 2)5(y x -B. 2)5(y x +C. )23)(23(y x y x +-D. 2)25(y x -10. 把2222)())((2)(c a b c b c a ab c b a -++--+分解因式为（ ）A. 2)(b a c +B. 22)(b a c -C. 2)(b a c +D. 22)(b a c +二. 填空题：1. 把36122+-x x 因式分解为______。
平方差公式
2
9 x 2 12x 4
3.用乘法公式计算
（ 1） （ 2）
49 51
(a 2)(a 2) (a 1)(a 5)
课堂小结
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2－b2 文字语言
两数和与它们差的积等于这两个 数的平方差.
计算
（1） ( x 3)(x 3)(x 9)
2
（2） (2 x 3) (2 x 3)
2
2
（ 3）
( x y 4)(x y 4)
（4） ( x y 3)(x y 3)
2.2.1 乘法公式
计算
( x 2)( x 2)
(1 3a)(1 3a)
(a b)(a b)
观察以上算式及其运算结 果，你发现了什么规律？
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
2
1.你能用语言叙述平方差公式吗？ 两数和与它们差的积等于这两个数的平方差. 2.说说平方差公式的特点.
课外作业:
基础训练P18。
（晚自习之前检查）
（1） (1 x)(1 x) （2） (a 3b)(a 3b)
（3） (3 2a)(3 2a)
1 1 （4） ( x 2 y )( x 2 y ) 2 2
2.下列计算是否正确?
如有错误,请改正. （1） ( x 2)(x2)(3x 2) 9 x 4
前一个数的平方
(a b)(a b) a b
2
2
后一个数的平方
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课题：乘法公式（平方差公式）
一．测验讲解：
计算：1. 4(1)(2)(25)(25)x x x x +--+- 2. ()()22
x x y y +-
二．教学目标：
1. 理解乘法公式是多项式乘多项式从一般到特殊的归纳结果。
2. 了解平方差公式22()()a b a b a b +-=-的结构特征，理解公式的意义。
3. 会灵活运用平方差公式进行计算。
三．指导自学：
问题1：利用多项式乘多项式法则计算()()a b a b +-；
问题2：观察()()a b a b +-的结构特征；观察计算结果，并归纳其特征；
问题3：请在左图中用阴影部分表示()()a b a b +-；在右图中用阴影部分表示22a b -。
问题4：比较问题3中两个阴影部分面积的大小，验证问题1的结果。
四．教师讲解：
例1.运用平方差公式计算：
1.(32)(32)x x +-；
2.(2)(2)b a a b +-；
3.(2)(2)x y x y -+--。
例2．计算:
1.(2)(2)(1)(5)y y y y +---+
2.10298⨯
五．当堂训练：
计算：
1.(2)(2)x y x y ---+
2.10397-⨯
六．落实检测：
计算：1.(2)(2)c ab ab c +-
2.10.59.5⨯
小结：1.平方差公式条件和结论的结构特征；
2.运用平方差公式计算时的符号问题；
3.灵活运用平方差公式能解决一些较复杂的数字计算。
布置作业。