单元最小方差法

y1 1 X 1 X 1 y 2 = a X 2 + b 1 = X 2 yn Xn n Xn பைடு நூலகம்
(5-1)
其中( xi , yi ), i = 1,n為曲線上的點座標。將影像的每一座標點在近似曲線間設一直線，直 a 線至上下曲線偏差距離平方的總和為最小時，此設定直線為最小平方差法之直線，故 = b inv(AT×A)ATB，將每一個座標點代入，即可求出最小平方差法之直線的參數，並在繪出最小 平方差法之直線。如圖 13.1 所示為在影像中的最小平方法之直線。
13-1 直線最小平方差法
當一個系統之聯立方程式個數大於未知數之數目時，會形成過度確定性系統，必須尋得 誤差平方最小的技巧，使解能夠以最接近所有點為準，成為一般所謂之回歸公式。 將取得圖像座標點(x,y)，作為資料點來計算以得最佳逼近直線方程式。直線曲線方程式 的定義為下 12-1 所示： f (x, y) = Ax + B= y 其中，A、B 均為實係數。 而以曲線擬合的方法求取最小平方差法之直線係數 A、B 如下(13-2)式：
D2 E 2 + 。所以為一 楕圓的條件為 4 A 4C D2 E 2 + 時為一楕圓或空集 4 A 4C
B 2 − 4 AC < 0 且去除為一點或一圓的情況，即 B ≠ 0 或 B = 0, A ≠ C , F ≠
合。將所得物體輪廓之座標點(x,y)，作為資料點來計算以得最佳逼近橢圓方程式。圓錐曲線 方程式的定義為
(5-4)
可得
xc y = inv AT A AT B c R
( )
(5-5)
其中( xi , yi ), i = 1, .n 為一圓形上的點座標。將圓方程式求得後，即可以其最小平方差圓中 心座標(xc , yc )為圓心。
13-3 橢圓最小平方法
圓錐曲線者，平切圓錐所出之曲線也。其為代數曲線，咸為二元二次方程之解
D2 E 2 + 。為一圓時，方程 4 A 4C
式 可 以 化 簡 為 ( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = r 2 > 0 ( 因 為 r = 0 時 為 一 點 ) ， 即
2 2 B = 0, A = C , D = −2 Ax c , E = −2Cy c = −2 Ay c , F = A( x c + yc − r2) <
單元五、最小方差法
法國科學家勒讓德於 1806 年發現「最小平方法」，最小平方法對由某一變數 t 或多個變 數 f1……fn 構成的相關變數 y 感興趣。為了得到這些變數同 y 之間的關係，便用不相關變數 去構建 y。試用如下函數模型
, q 個相關變數或 p 個附加的相關變數去擬和。 確定擬合的標準應該被重視，並小心選擇，較大誤差的測量值應被賦予較小的權。並建 立如下規則：被選擇的參數，應該使算出的函數曲線與觀測值之差的平方和最小。用函數表 示為
1 1 n
a b
(5-2)
1
X1 若令 X2 Xn
a
y1 1 y 2 1 =A， =B n yn
可得 = inv(AT×A)ATB b
2 2 （ Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 ， A, B, C 不全為零。） 。取一點曰焦點，一線曰準線，一正數
曰離心率。圓錐曲線之點，與焦點之距，除以與準線之距，必同乎離心率。離心率大于一，
2 得雙曲線，方程之判別式為正（ B − 4 AC > 0 ） 。離心率小于一，得橢圓，方程之判別式為負 2 2 （ B − 4 AC < 0 ） 。離心率同乎一，得拋物線，方程之判別式為零（ B − 4 AC = 0 ） 。圓者，心為
圖 13.1、所示圖像中的最小平方差法之直線。
13-2 圓形最小平方差法
為了能找出其圓心點，將所得物體輪廓之座標點(x,y)，作為資料點來計算以得最佳逼近 橢圓方程式。圓形方程式的定義為
(x − xc )2 + ( y − yc )2 = r 2
(5-3)
2
令 R = r 2 − xc 2 − yc 2 ，並整理成為
點或空集合。為了將式(13-6)整理為橢圓一般式，必須將橢圓 座標旋轉一角度後至 座 y y′
焦點 ， 離心率為零 ， 準線歸于無限遠 ， 其方程 ， 項一系數同乎項三 ， 項二系數為零 （ A = C, B = 0 ） 。 圓錐曲線之 B 2 − 4 AC < 0 時，可能為一楕圓、一圓或一點。為一點時，方程式可以化簡為
3
2 2 + Cy c = A( x − x c ) 2 + C ( y − y c ) 2 = 0 ，即 B = 0, D = −2 Ax c , E = −2Cy c , F = Ax c
f ( x, y ) = A′x 2 + B ′xy + C ′y 2 + D ′x + E ′y + 1 = 0
(5-6)
其中 A′ =
A B C D E , B ′ = , C ′ = , D ′ = , E ′ = ，當 B ′ 2 − 4 A′C ′ < 0 時，式(13-6)為一橢圓、一圓、一 F F F F F
2 2 x x1 + y1 1 y1 1 2 xc 2 x2 + y 2 = x2 y 2 1 y c 2 R 2 1 x y x + y n n n n
若令
2 2 x1 x1 y1 1 + y1 2 x 2 2 y 2 1 = A x2 + y 2 = B ， 2 2 xn y n 1 xn + y n