2019年高考数学全国卷三(理科)详细解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理1)1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【命题意图】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交运算，是基础题。

【答案】A【基本解法】因为{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-【方法总结与拓展】集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法。

集合问题主要要考虑元素的属性、运算等。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理2)2．若(1)2z i i +=，则z = A ． 1i --B ． 1i -+C ． 1i -D ． 1i +【命题意图】本题考查了复数代数形式的四则运算， 【答案】D【基本解法】()212112i i i z i i -===++ 【方法总结与拓展】复数运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理3)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【命题意图】本题考查概率与统计基本知识，考查学生对推理与计算能力，属于基础题。

【答案】C【基本解法】某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生， 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位， 阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位， 所以，该校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为：7.010070=。

故选C (2018·新课标全国Ⅲ卷理4)4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【命题意图】本题考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查学生对推理与计算能力，属于基础题。

【答案】A【基本解法】法一：系数配对，()41x +的通项公式为k k n k k x C T -+=141，利用通项公式求出x x C T 4131411==+，331341341x x C T ==+，24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数：12424=+⨯，故选A法二：利用组合的性质，()()42121x x ++展开式中x 3的系数为1211211133311411334=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯C C C C【方法总结与拓展】对于二项式定理，可利用通项公式或组合的性质来解答。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理5)5. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和等基本概念，重点考查学生的运算求解能力。

【答案】C【基本解法】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值。

设等比数列{a n }的公比为q ，易知0q >，由已知得2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ． 【解法2】易知0q >，若公比1q =，则53134a a a =+不成立，从而142111415,134(1)a q a q a q aq -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩同样解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==。

此法明显不如解法1好。

【方法总结与拓展】应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理6)6.已知曲线x x ae y xln +=在点(1)ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ）A.e a =,1-=bB.e a =,1=bC.1-=e a ,1=bD.1-=e a ,1-=b 【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义等基本知识。

【答案】D【基本解法】易知点(1)ae ，在已知曲线上，令x x ae x f xln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，易知21)1(=+='ae f ，得11-==e ea 。

又b ae f +==2)1(，可得1-=b 。

故选D 。

【方法总结与拓展】利用导数的几何意义解决与切线有关的问题时，准确求导是保障，还要注意所给的点是否在已知的曲线上，以防出错。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理21)7.函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【命题意图】函数图像 【答案】B【基本解法】解：由32()22x xx y f x -==+在[]6,6-，知 332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++， ∴f （x ）是[]6,6-上的奇函数，因此排除C又1182(4)721f =>+，因此排除A ，D ． 故选：B ．【方法总结与拓展】本题考查了函数的图像与性质，解题关键是奇偶性和特殊性，属于基础题。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理8)8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【命题意图】点、线、面的位置关系 【答案】B【基本解法】解：∵点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，∴BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线，EN 是△BDE 中BD 边上的中线， ∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE ＝a ，则2BD a =，2235244BE a a a =+= ∴62BM a =，223144EN a a a =+= ∴BM ≠EN ， 故选：B ．【方法总结与拓展】本题考查直线与直线的位置关系及其判定，考查了空间中点、线、面之间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．(2018·新课标全国Ⅲ卷理9)9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-【命题意图】本题考查程序框图的循环结构的基本知识，考查学生对程序框图的基本逻辑及循环条件的掌握情况。

【答案】C【基本解法】由1,0,,2x x s s s x x ===+=可知，可以看作首相为1，公比为12的等比数列求前n -1项和，则等比数列的通项公式为112n x -=，前1n -项和为1122n s -=-，即110.012n x ε-=<=，求得7n =，带入1122n s -=-=6122-，故选C【方法总结与拓展】程序框图是高考常考内容，甚至是必考的，难度较低，重点是考查对程序框图的理解，注意给出的条件和判断框什么时候输出，常常会考虑不全导致错误，在解题时利用其他知识点内容是快速得出答案的捷径。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理10)10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【命题意图】本题考查双曲线的基本知识，考查学生对双曲线方程基本知识的掌握情况。

【答案】A【基本解法】一条渐近线方程为2y x =，则设(,)2P x x ，双曲线的方程得焦点坐标F ，则PO PF ==，由PO PF =得一个坐标P ，即112224PFO OF y ∆=== 【方法总结与拓展】双曲线是高考常考内容，甚至是必考的，难度较高，重点是考查对双曲线定义的理解，注意一般在求解双曲线问题中，由双曲线方程可以快速得出焦点坐标和渐近线方程，继而根据题目所求问题找出需要的值能快速得出答案。

(2018·新课标全国Ⅲ卷理11) 设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【命题意图】本题考查函数的基本性质：奇偶性 单调性，与指，对数函数的大小比较 【答案】C【基本解法】因为()f x 是偶函数，所以331(log )(log 4)4f f = 因为23323221log 4--<<<，且()f x 在(0,)+∞递减，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，选C【方法总结与拓展】要善于利用中间量对数值大小进行比较，并熟练运用函数基本性质解题 (2018·新课标全国Ⅲ卷理12) 设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④【命题意图】本题考查三角函数的基本性质及整体思想，其中对数形结合的能力的考查也更进一步【答案】D【基本解法】令05wx π+=，得05x wπ=-<，令52wx ππ+=，得3010x wπ=>， 设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +∈由图可知（1）正确； 极小值个数 可能是2个或3个，故（2）错误 令555wx ππ+=，解得5245x πω=令665wx ππ+=，解得6295x πω=， 解不等式562x x π≤<，得1229510ω≤<，（4）正确 010x π<<时，(,)55105w wx ππππ+∈+29(,)(0,)5101052ππππ⊆⨯+⊆ 故()f x 在(0,)10π单调递增 ，故（3）正确。