小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(二) 精选例题练习习题(含知识点拨)
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
小学生奥数数的整除知识点及练习题
小学生奥数数的整除知识点及练习题1.小学生奥数数的整除知识点基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；2.小学生奥数数的知识点整除判断方法：1、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2、能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3、能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4、能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5、能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6、能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7、能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
3.小学生奥数数的知识点整除的性质：1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c 整除。
2、如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b 整除。
3、如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c 整除。
4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
4.小学生奥数数的整除练习题1、判断下列各数能否被27或37整除：（1）__-__（2）__-__96解：（1）__-__=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以__-__能被27整除，不能被37整除。
（2）__-__96=8，990，615，496，8+990+615+496=2109。
奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)
数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。
2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数a 必能被数c 整除。
3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3或9）整除。
4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。
5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？例5如杲41位数5亍-5口99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】PT'【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是: 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数?【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371 能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。
数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。
本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。
首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。
这个特征指的是数的各位数字之和。
例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。
例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。
其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。
这个方法利用了约数的概念。
约数是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。
如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。
再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。
这个方法利用了因子的概念。
因子是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。
如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。
最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。
这个方法利用了位数的概念。
位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。
例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。
小学奥数全能解法及训练精讲-数的整除
各个数位上数 字的和能被3、 9整除。
精讲4
整除判断方法
能被11整除
奇数位上的数字和与偶 数位上的数字和的差能 被11整除。
能被7、11、 13整除
末三位上数字所组成的数 与末三位以前的数字所组 成的数之差能被7、11、 13整除。
典例精析
例1 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
思路分析：
如果a能被b整除,c是整数,那么a乘c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
精讲3
整 除 判 断 方法
2、5
末位上的数字 能被2、5整除
4、25
8、125
3、9
末两位的数字 所组成的数能 被4、25整除。
末三位的数字 所组成的数能 被8、125整除。
能被2、5整除,个 位数应为0,其他 数位上尽量取9。
答案揭秘：
□ 用7去除999 0, 方
框内应填6,所以, 最
大五位数是99960。
例2
1～200这200个自然数中,能
被6或8整除的数共有多少个？
思路 分析
先求出1～200中能 被6或8整除的数分 别有几个,再找出它 们的公倍数有几个。
例2
答案 揭秘
能被6整除： 200÷6=33… 2 能被8整除： 200÷8=25 最小公倍数：［6,8］=24 同时整除： 200÷24=8 … 8 共有个数
举一反三
已知一个五位数A691B能被55整 除,所有符合题意的五位数是_____。
规
五位数A691B能被55
律
整除,五位数既能被5
总
(小学奥数)数的整除之四大判断法综合运用(二)
5-2-2.數的整除之四大判斷法綜合運用（二）教學目標1.瞭解整除的性質；2.運用整除的性質解題；3.整除性質的綜合運用.知識點撥一、常見數字的整除判定方法1. 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；2. 一個位數數字和能被3整除，這個數就能被3整除；一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那麼這個數能被11整除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除.5.如果一個數能被99整除，這個數從後兩位開始兩位一截所得的所有數（如果有偶數位則拆出的數都有兩個數字，如果是奇數位則拆出的數中若干個有兩個數字還有一個是一位數）的和是99的倍數，這個數一定是99的倍數。
【備註】（以上規律僅在十進位數中成立.）二、整除性質性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那麼它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那麼c︱(a±b)．性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那麼a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那麼c∣a．用同樣的方法，我們還可以得出：性質3如果數a能被數b與數c的積整除，那麼a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那麼b∣a，c∣a．性質4如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那麼a 一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那麼bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那麼(3×4) ∣12．性質5 如果數a能被數b整除，那麼am也能被bm整除．如果b｜a，那麼bm｜am（m為非0整數）；性質6如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那麼ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那麼bd｜ac；例題精講模組一、11系列【例 1】以多位數142857為例，說明被11整除的另一規律就是看奇數位數字之和與偶數位數字之和的差能否被11整除.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被11整除，再根據整除性質1，要判斷142857能否被11整除，只需判斷()()能否被11整除，因此結論得到說明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】試說明一個4位數，原序數與反序數的和一定是11的倍數(如：1236為原序數，那麼它對應的反序數為6321，它們的和7557是11的倍數．【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數為abcd，則反序數為dcba，則abcd＋dcba100010010100010010()()=+++++++a b c d d c b a=+++10011101101001a b c d=+++()，因為等式的右邊能被11整除，所以abcd+dcba能被11a b c d1191101091整除【例 3】一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數.已知這兩個4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個4位數的和到底是多少?【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數是abcd，則新的4位數是bcda.兩個數的和為+=+++,是11的倍數.在所給的5個數中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍數，故正確的答案為9867．【答案】9867模組二、7、11、13系列【例 4】 以多位數142857314275為例，說明被7、11、13整除的規律.【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因為根據整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括弧內的數能被7、11、13整除，再根據整除性質1，要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此結論得到說明.【例 5】 已知道六位數20279□是13的倍數，求□中的數字是幾？【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空 【解析】 根據一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除的特點知道：27920=7-□□，7□是13的倍數，□是8的時候是13倍數，所以知道方格中填1。
奥数第二讲数的整除.doc
奥数第二讲数的整除如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。
数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被3 （或9）整除。
（3）能被 4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或25）整除，那么这个数就一定能被4 （或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除, 那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是。
或是7 （或11或13）的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。
（7）能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 （或125）整除，那么这个数就一定能被8 （或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。
例2、一个六位数23Q56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或思路导航:一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
6年级奥数数的整除
教师寄语：人生一经典当,将永不相赎数的整除（一）知识引领数的整除性是研究自然数之间关系的学问。
我们在课本中已经学习了能被2、3、5整除的数的特征，在这里再补充几个整数整除特征：1、能被2和5、4和25、8和125整除的数的特征：分别看这个数的末尾一位、末尾两位、末尾三位能否能被2和5、4和25、8和125整除。
一个整数按能不能被2整除分为奇数和偶数。
数的奇偶性有着很重要的应用。
奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数【典型例题】例1、有两堆糖果，第一堆有432块，第二堆有344块，哪一堆平均分给9位小朋友而无剩余？变式练习一1、判断45728能否被4整除？2、90365能否被125整除？例2、判断18109能不能被7、11或13整除？变式练习二1、判断25102能不能被7、11或13整除？2、判断789646能不能被7、11或13整除？例3、四位数5 1 能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？变式练习三1、四位数6 2 能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？2、在横线上填上合适的数字，使五位数2 10 能同时被8和9整除？例4、1000个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？为什么？变式练习四1、王老师拿来10张卡片，上面写着4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，你能找出上面的三个数的和为37的三张卡片吗？如果能，请写出；如果不能，请说明理由。
2、598个连续自然数的和是奇数还是偶数？为什么？例5、有10只茶杯口朝上，每次其中任意三只同时翻转（杯口朝上的就朝下，杯口朝下的就朝下），至少需要4次这样的翻转，才能使10只茶杯全部变成杯口朝下吗？为什么？变式练习五1、有7只杯口全部朝上的杯子，每次将4只同时翻转，可能经过这样有限的次数使杯口全部向下吗？2、桌子上放着7只杯子，3只口朝下，4只口朝上，每人翻动4只杯子，能否将杯口全部朝上？例6、有一列数：2、3、5、8、13、21..........，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解整除的性质；2. 运用整除的性质解题；3. 整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质知识点拨教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯110000114199992100118199511171()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除，因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd ＋dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()()10011101101001a b c d =+++1191101091a b c d =+++()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd + dcba 能被11整除【例 3】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+ 14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+(14210000000018579999993141001)(8575314)=⨯+⨯+⨯+-+- 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。
小学奥数数论讲义 7-数的整除之四大判断法综合运用竞赛集
数的整除之四大判断法综合运用
数的整除之四大判断法
2系列：被2整除只需看末位能否被2整除
被4整除只需看末两位能否被4整除
被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推
5系列：被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75
被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…
3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除
被9整除只需看各位数字之和能否被9整除
判断7、11、13整除特征的方法
⑴如果该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；
⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，如果差是7或11或13的倍数，这个数
也能被7或11或13整除；
⑶从末三位开始，三位为一段，如果奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数
也能被7或11或13整除。
特殊的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
【例 1】将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新整数能被N整除，那么称N为“魔术数”。
问小于1996的自然数中有多少个魔术数？
【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
【例 3】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除。
则ABCDEF的最小值是，最大值是。
〖答案〗
【例 1】14个
【例 2】共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819
【例 3】210769，840736。
小学奥数数论讲义 7-数的整除之四大判断法综合运用竞赛集-精品
数的整除之四大判断法综合运用
数的整除之四大判断法
2系列：被2整除只需看末位能否被2整除
被4整除只需看末两位能否被4整除
被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推
5系列：被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75
被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…
3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除
被9整除只需看各位数字之和能否被9整除
判断7、11、13整除特征的方法
⑴如果该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；
⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，如果差是7或11或13的倍数，这个
数也能被7或11或13整除；
⑶从末三位开始，三位为一段，如果奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。
特殊的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
【例 1】将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新整数能被N整除，那么称N为“魔术数”。
问小于1996的自然数中有多少个魔术数？
【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
【例 3】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD ，
ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除。
则ABCDEF的最小值是，最大值是。
〖答案〗
【例 1】14个
【例 2】共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819
【例 3】210769，840736。
六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案).docx
第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。
（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
重点•难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。
学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。
例如：443716,判断它能否被7、11、13整除的方法是：716 —443=273。
因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716 不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。
记忆要理论联系实际。
经典例题［例1］用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。
一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3,得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。
解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p,另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q,且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9, q= （9+8）+3=20, q—p=20 —9=11，所以1988是被11除余8的四位数。
数的整除之四大判断法综合运用竞赛集训题
千里之行，始于足下。
数的整除之四大判断法综合运用数的整除之四大判断法2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除判断7、11、13整除特征的主意⑴倘若该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，倘若差是7或11或13的倍数，这个数也能被7或11或13整除；⑶从末三位开始，三位为一段，倘若奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。
异常的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
【例 1】将天然数N接写在随意一个天然数的右面，倘若得到的新整数能被N整除，那么称N为“魔术数”。
问小于1996的天然数中有多少个魔术数？第 1 页/共 3 页朽木易折，金石可镂。
【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【例 3】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满意A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除。
则ABCDEF的最小值是，最大值是。
〖答案〗【例 1】14个【例 2】共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819千里之行，始于足下。
【例 3】210769，840736第 3 页/共 3 页。
小学六年级奥数 整除综合之整除判别方法
【例6】(★★★★)
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数， 共有多少个。
【例7】 (★★★)
如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。 (a、b都是 自然数)。
一、本讲重点知识回顾 1．末尾系：2,5；4,25；8,125
2. 和系：3,9；99
3. 差系：7,11,13
11倍数
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系 一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系 能否被2或5整除是看末一位； 能否被4或25整除是看末两位； 能否被8或125整除是看末三位。
3．和系 一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
若 ：1 0 0 1 efg b cd a 则 ：1 0 0 1 a b cd efg 1
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
小学六年级奥数 整除综合之整除判别方法_PDF压缩
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系 一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系 能否被2或5整除是看末一位； 能否被4或25整除是看末两位； 能否被8或125整除是看末三位。
3．和系 一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
【例2】(★ ★ )
两个四位数 A275 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除， 求A和B。
【例3】 (★ ★ ★ )
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6 位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？
【例4】 (★★★) 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，
将它连续重复写2009次成为：5ab5ab5ab，
2009个5ab
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 了解整除的性质；
2. 运用整除的性质解题；
3. 整除性质的综合运用.
一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ，
c ︱b ，那么c ︱(a ±b )．
性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ，
c ∣b ，那么c ∣a ．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那
么b ∣a ，c ∣a ．
性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b
与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为非0整数）； 性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜a ，且d ｜c ，那
么bd ｜ac ；
知识点拨
教学目标
5-2-2.数的整除之四大判断法
综合运用（二）
模块一、11系列
【例 1】 以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.
【例 2】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反
序数为6321，它们的和7557是11的倍数．
【例 3】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数
的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
模块二、7、11、13系列
【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.
【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？
【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555ab ab ab ab 个.
如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？
例题精讲
【例 7】 已知四十一位数555999□（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多
少？
【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数5050666?555个6个5
可被7整除？
【例 8】 88888ab ab ab ab ab 是77的倍数，则ab 最大为_________?
【例 9】 一个19位数997777044444⋅⋅⋅⋅⋅⋅个
个能被13整除，求О内的数字．
【例 10】 称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。
一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一
个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。
这个“两头蛇数”是 。
（写出所有可能）
模块三、特殊的数字系列
【例 11】 学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就
是我的年龄。
”老师今年 岁。
【例 12】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，试说明：六位数abcdef 也能被37整除．
【例 13】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；
②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【例 14】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是________？
【例 15】王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679()
⨯=□□□□□□□□□,然后说道:“只要同学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你
喜欢的数字组成。
”小明抢着说：“我喜欢3。
”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3；
⨯=小宇举手说：“我喜欢7。
”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个7：12345679(27)333333333
⨯=，小丽说：“我喜欢8。
”那么算式中应填上的乘数是 .
12345679(63)777777777
模块四、综合系列
【例 16】有四个非零自然数,,,
a b c d，其中c a b
=+.如果a能被2整除，b能被3整除，c能
=+，d b c
被5整除，d能被7整除，那么d最小是．
【例 17】若四位数98a a能被15整除，则a代表的数字是多少？
【例 18】在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，使得该数能被15整除，这样的六位数中最小的是______.
【例 19】0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是（）。
【例 20】两个四位数275
A和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.
【例 21】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求
笔记本的单价.
【巩固】小红为班里买了33个笔记本。
班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到93
□□元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过95元，她实际用了元。