向量的数量积和向量积

3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量的数量积和向量积
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x 1 i y 1 j z 1 k ,b x 2 i y 2 j z 2 k
x1x2y1y2z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
co sa •b x 1 x 2 y 1 y 2 z1 z2 |a||b | x 1 2 y 1 2 z1 2 x 2 2 y 2 2 z2 2
向量的数量积和向量积
此时，对于非零向量a，b，有
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
第三节 向量的数量积和向量积
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
向量的数量积和向量积
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a•b| a||b|cosa(,b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e |a |e ||co |s a |cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
向量的数量积和向量积
解：（1）a •b 1 1 1 ( 2 ) (- 2 4)
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
向量的数量积和向量积
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
θ
P
L
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M，它的模
Q
MOPF
|M | |O|Q |F| |O|P |F|sin
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定，
因而实际上
MOPF
向量的数量积和向量积
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
i ijj k k o
（2）a||b abo
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
sin | ab|
| a||b|
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W|F||S|cos 向量的数量积和向量积
2 性质： （1） a·a=|a|2
i• i 1 , j• j 1 , k • k 1
（2）a b a•b 0
i• j 0 , j• k 0 , k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a•b
| a|| b|
5 向量在轴上的投影
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB ，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
B
B'
u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
向量的数量积和向量积
那么
PrjuAB |AB |cos
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
i jk
ab2 3 14i2j2k
0 1 1
2 1 3 问a×例b4与设c是向否量平a行2 ？i3jk,bik,ci3 1jk
解：
ijk
ab 2 3 13i j3k
显然
1 0 1
故a×b//c.
向量的数量积和向量积
例5 问向量 a = -+ 2 3 + i k jb = ,-+ j k c = ,i-j-k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
向量的数量积和向量积
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）ca,cb ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b
向量积又称为叉积。
则有
a • b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
向量的数量积和向量积
证明：
a • b ( x 1 i y 1 j z 1 k ) • ( x 2 i y 2 j z 2 k )
x 1 x 2 i• i x 1 y 2 i• j x 1 z 2 i• k y 1 x 2 j• i y 1 y 2 j• j y 1 z 2 j• k z 1 x 2 k • i z 1 y 2 k • j z 1 z 2 k • k
θ为边CA，CB的夹角。 A
证明：如图所示的△ABC，可得
那么
ABCBCA B
θ C
A 2 B (C C B ) 2A (C C B )• A (C C B )A
2
2
CB CA 2C• B CA
令 |C| Ba,|C| A b,|A|B c, 所以
c2 a 2 b 2 2 ac bos 证毕
9
（2）cosa(,b)|a a|•|b b|
9
1
1 2 1 2 ( 4 )2 1 2 ( 2 )2 2 2
2
所以
( a,b ) 3
4
（3） 因为
a•b |a||b|coas,b() |b|Pjrba
所以 Pr juAB a |b •|b 3 9 3
向量的数量积和向量积
例2 求证余弦定理 c2a2 b 22 ac bos
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有 a//bx1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
向量的数量积和向量积
求 例3 设向量 a 3 i 2 j k ,b 2 i j 3 k , a b .
解：Biblioteka ijkab3 2 15i11j7k
向量的数量积和向量积
3 运算律 （1）交换律 a•bb•a
（2）分配律 (a b )•c a•c b •c
（3）结合律 (a ) • b ( a • b ) a • (b )
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x 1 i y 1 j z 1 k ,b x 2 i y 2 j z 2 k