应力与应变

第三章 应力与强度计算一.内容提要本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。

1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式N FAσ= (3-1)式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。

正负号规定 拉应力为正，压应力为负。

公式（3-1）的适用条件：（1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一侧受拉，应力肯定不同，方向相反。

并存在中和轴。

（即应力在中和轴处为0）（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（大于截面宽度的长度范围内——圣维南） （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀（即应力集中）；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角020α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。

1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）图3-1拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2)正应力 2cos ασσα=（3-3）切应力1sin 22ατσα=（3-4）式中σ为横截面上的应力。

正负号规定：α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。

两点结论：（1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。

当α=090时，即纵截面上，ασ=090=0。

（2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αατ=。

1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。

如图3-2。

图3-2轴向变形 1l l l ∆=- 轴向线应变 l lε∆=横向变形 1b b b ∆=- 横向线应变 b bε∆'=正负号规定 伸长为正，缩短为负。

（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。

即E σε= （3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为N F ll EA∆=(3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ〈；(b)在计算l ∆时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。

如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。

即1niii i iN l l E A =∆=∑(3-7) (3)泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。

即ενε'=(3-8) 1.3 材料在拉（压）时的力学性能 1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能 应力——应变曲线如图3-3所示。

图3-3 低碳钢拉伸时的应力－应变曲线卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。

如图3-3中dd ’直线。

冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。

如图3-3中d ’def 曲线。

图3-3中，of ’ 为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。

d ’f ’ 为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。

四个阶段四个特征点，见表1-1。

阶 段 图1-5中线段 特征点 说 明弹性阶段oab比例极限p σ 弹性极限e σp σ为应力与应变成正比的最高应力e σ为不产生残余变形的最高应力屈服阶段bc屈服极限s σs σ为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段 ce 抗拉强度b σ b σ为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂 表1-1主要性能指标，见表1-2。

性能 性能指标 说明弹性性能 弹性模量E 当p E σσσε≤=时， 强度性能屈服极限s σ 材料出现显著的塑性变形 抗拉强度b σ材料的最大承载能力 塑性性能延伸率1100%l llδ-=⨯ 材料拉断时的塑性变形程度 截面收缩率1100%A A Aψ-=⨯材料的塑性变形程度1.3.2 低碳钢在压缩时的力学性能图3-4 低碳钢压缩时的应力－应变曲线应力——应变曲线如图3-4中实线所示。

低碳钢压缩时的比例极限p σ、屈服极限s σ、弹性模量E 与拉伸时基本相同，但测不出抗压强度b σ1.3.3铸铁拉伸时的力学性能图3-5 铸铁拉伸时的应力－应变曲线应力——应变曲线如图3-5所示。

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度b σ。

弹性模量E 以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。

1.3.3铸铁压缩时的力学性能应力——应变曲线如图3-6所示。

图3-6 铸铁压缩时的应力－应变曲线铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4—5倍，破坏时破裂面与轴线成045~35。

宜于做抗压构件。

1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率δ〉5%的材料称为塑性材料。

延伸率δ〈5%的材料称为脆性材料。

1.3.5屈服强度0.2σ对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以0.2σ表示。

1.4 强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

塑性材料 [σ]=s s n σ ； 脆性材料 [σ]=b bn σ 其中,s b n n 称为安全系数，且大于1。

强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸（压缩）杆件[]NAσσ=≤ （3-9） 按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。

2．扭转变形2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。

2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。

2.3切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用τ表示。

2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即G τγ= (3-10)式中G 为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E 及泊松比ν）,其数值由实验决定。

对各向同性材料,E 、 ν、G 有下列关系2(1)EG ν=+ (3-11)2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件 2.5.1 横截面上切应力分布规律 用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。

需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。

(1)沿半径成线性分布，圆心处0τ=，最大切应力在圆截面周边上。

(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3-7。

2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为p pT I ρτ=(3-12) 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩，ρ为欲求的点至圆心的距离。

圆截面周边上的切应力为max tTW τ=(3-13) 式中p t I W R=称为扭转截面系数，R 为圆截面半径。

2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。

（2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量，计算公式见表3-3。

在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。

因此，设计空心轴比实心轴更为合理。

2.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。

因此，强度条件为[]max maxt T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ (3-14) 对等圆截面直杆[]maxmax tT W ττ=≤ （3-15） 式中[]τ为材料的许用切应力。

3．弯曲变形的应力和强度计算 3.1 梁横截面上正应力3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=(3-16) 式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。

3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式ZMy I σ=(3-17)式中，M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离。

由式(3-17)可见，正应力σ的大小与该点到中性轴的距离成正比。

横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。

在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。

最大正应力出现在距中性轴最远点处max max max max z zM My I W σ=•= （3-18） 式中，max z z I W y =称为抗弯截面系数。

对于h b ⨯的矩形截面，216z W bh =；对于直径为D 的圆形截面，332z W D π=；对于内外径之比为d a D =的环形截面，34(1)32z W D a π=-。

若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。

3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为[]maxmax zM W σσ=≤ （3-19） 由正应力强度条件可进行三方面的计算：（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。

（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式[]maxz M W σ≥确定截面的尺寸（3）求许可载荷 即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式[]max z M W σ≤确定许可载荷。

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为[]maxmax 1l t z M y I σσ=≤ （3-20a ） []maxmax 2y c zM y I σσ=≤ （3-20b ） 式中，[][],t c σσ分别是材料的容许拉应力和容许压应力；12,y y 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。

若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。

3.3梁的切应力z z QS I bτ*= （3-21） 式中，Q 是横截面上的剪力；z S *是距中性轴为y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；z I 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为y 处的横截面宽度。