初中数学基础测试专项训练： 特殊四边形相关的折叠问题(含答案)

特殊四边形相关的折叠问题 一、选择题

1. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）

A ．66°

B ．104°

C ．114°

D ．124°

2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）

A. 53

B. 35

C. 43

D.3

4

3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）

A.3

B. 4

C. 5

D.6

二、填空题

4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．

5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．

6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_______.

三、解答题

7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.

求证：OA=OE

8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE

（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形

（2）若BE 平分∠ABC ，求证：2

22BE AE AB +=

9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；

（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。

10．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，

（1）求证：四边形AECF 为菱形；

（2）若AB=4，BC=8，

①求菱形的边长；

②求折痕EF 的长．

A B C D E

O

参考答案

1. C ．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B ′AC ，∴∠BAC=∠ACD=∠B ′AC=∠1=22°，

∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.

2．B 【解析】设CE=x ．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．

∵将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，

∴BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ． 在Rt △ABF 中，由勾股定理得：

AF 2=52-32=16，

∴AF=4，DF=5-4=1．

在Rt △DEF 中，由勾股定理得：

EF 2=DE 2+DF 2，

即x 2=（3-x ）2+12，

解得x=3

5． 3．B[解析]由题意设CH=xcm ，则DH=EH=（9-x ）cm ，

∵BE ：EC=2：1，∴CE=BC=3cm

∴在Rt △ECH 中，EH 2=EC 2+CH 2，

即（9-x ）2=32+x 2，

解得x=4，即CH=4cm ．

4．-1

5. 6【解析】∵将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，

∴BE=ED ．

∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE ．

∴BE=9-AE ，

根据勾股定理可知：AB 2+AE 2=BE 2．

∴32+AE 2=（9-AE ）2．

解得AE=4cm ．∴△ABE 的面积为×3×4=6（cm2）．

17E 关于直线AC 的对称点E ′，连接E ′F ，则E ′F 即为所求，

过F 作FG ⊥CD 于G ，

在Rt △E ′FG 中，GE ′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，

7．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ，∴∠ADB=∠CBD ，由折叠可知∠EBD=∠CBD ，BE=BC ，∴∠EBD=∠ADB ，∴BO=DO ，∵AD= BE ，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.

8.证明：（1）∵将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，

∴∠DAE=∠D ′AE ，∠DEA=∠D ′EA ，∠D=∠AD ′E ，

∵DE ∥AD ′，

∴∠DEA=∠EAD ′，

∴∠DAE=∠EAD ′=∠DEA=∠D ′EA ，

∴∠DAD ′=∠DED ′，

∴四边形DAD ′E 是平行四边形，

∴DE=AD ′，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴四边形BCED ′是平行四边形；

（2）∵BE 平分∠ABC ，

∴∠CBE=∠EBA ，

∵AD ∥BC ，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵∠DAE=∠BAE ，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∴AB2=AE2+BE2．

9．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，那么AD ∥BC ，AB ∥CD ，所以∠FAC=∠ACE ，∠BAC=∠DCA 。

由折叠可得∠BAE=∠EAC=21∠BAC ，∠DCF=∠NCF=21

∠DCA ，所以∠EAC=∠FCA 。又因为AC=CA ，所以△CAE △ACF ，所以CE=AF 。即四边形AECF 是平行四边形。

（2）因为AB=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.设EM=x ，那么BE=EM=x ，所以CE=BC-BE=8-x ，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt △CEM 中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。

所以四边形AECF 的面积=2△ACE 的面积=2×21

AC ×EM=30.

10． 证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，

∴OA=OC ，EF ⊥AC ，EA=EC ，