数字图像处理-4第四章图像变换

合集下载

数字图像处理ch4imagetransform

:

f x F ue j 2ux du

正反傅里叶变换的惟一区别是幂的符号。函数 f(x)和 F(u) 被称作一个傅里叶变换对。
8
4.1 Continuous Fourier Transformation
这里 f x 是实函数，它的傅里叶变换 F u 通常是复函数。 F u 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下： Ru f t cos2ut dt Real part:
I u, v u, v arctan Ru, v
E u, v R2 u, v I 2 u, v
12
4.2 Discrete Fourier Transform
在数字图像处理中应用傅里叶变换，需要解决两个问题：（1）数学中进行傅里叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字（图像数据）信号。（2）数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。提出了离散傅里叶变换
6
Chapter 4 Image Transformation

20世纪50年代后期，数字计算机的出现和快速 Fourier变换算法的“发明”在信号处理领域产生了巨大变革。这两个核心技术可以对人类本身的特殊信号和工业的重要信号进行实际处理和有意义的解释。在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。
Fourier spectrum：
Phase：
F u, v R 2 (u, v) I 2 u, v
I u, v u, v arctan Ru, v Energy spectrum：
P u, v F u, v R2 u, v I 2 u, v

04_正交变换1

若A为酉矩阵，对于任意向量f 的运算称为酉变换：
g Af f A*T g g ( k ) a ( k , n) f ( n) f ( n) a * ( k , n) g ( k )
k 0 n 0 N 1 N 1
第四章图像处理中的正交变换
刘定生中科院对地观测与数字地球科学中心
a
k 1
n
ki
a kj
C 0
i j i j
当C=1时，称归一化正交
第四章图像处理中的正交变换
刘定生中科院对地观测与数字地球科学中心
16
图像的频域变换——理论基础
正交函数的离散情况
N 个正交向量矩阵
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
f (x) a nu n (x) n0
可有：
t0 T
t0

2 f ( x ) f ( x ) d x
则称函数U 集合是完备的。
第四章图像处理中的正交变换
刘定生中科院对地观测与数字地球科学中心
13
图像的频域变换——理论基础
正交函数集合完备性的物理意义
任何数量的奇函数累加仍为奇函数任何数量的偶函数累加仍为偶函数
刘定生中科院对地观测与数字地球科学中心
4
图像的频域变换——理论基础

线性系统
线性系统的定义：
对于某特定系统，有：
x1(t) x2(t) x1(t) + x2(t)
从而有：a·x1(t)
第四章图像处理中的正交变换
y1(t) y2(t) y1(t) + y2(t) a·y1(t)
刘定生中科院对地观测与数字地球科学中心

数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT

F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现

遥感数字图像处理-第四章_遥感数字图像增强处理(一)[研究材料]

度值或亮度值区间像元出现的频率的分布图。
计算方法：
Pi
mi M
M表示整幅图像的像元个数
M表示整幅图像的像元个数
Pi表示第i灰度级的像元比例频率
X和
调研学习
13
直方图的性质
（1）直方图反映了图像中的灰度分布规律，描述每个灰度级具有的像元个数，但不包含这些像元在图像中的位置；
（2）任何图像有唯一的直方图，不同的图像可能有相同的直方图；
六、图像运算 Image Calcu.
七、多光谱增强 M调u研l学ti习-spectral Enhancement
1
一、图像增强概述
➢ 什么是图像增强？
Image enhancement is the process of making an image more interpretable for a particular application ( Faust, 1989).
空间域增强：空间域是指图像平面所在的二维平面。直接处理图像上的像素，主要对灰度进行操作；
1）点处理：每次对单个像元进行灰度增强的处理 2）邻域处理或模板处理：对一个像元及其周围的小区域子
图像进行处理
频率域增强：对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行操作，然后经傅立叶逆变换获得所需结果
调研学习
6
➢图像增强的分类
调研学习
2
➢ 图像增强的目的
主要目的：（1）采用一系列技术改善图像的视觉效果，提高图像的清晰度；（2）将图像转换成一种更适合于人或机器进行解译和分析处理的形式。
改变图像的灰度等级，提高图像的对比度；消除边缘和噪声，平滑图像；突出边缘和线状地物，锐化图像；合成彩色图像；压缩图像数据量，突出主要信息等。

遥感数字图像处理-第4章变换域处理方法

颜色空间是用一种数学方法来形象化地表示颜色，颜色空间常用来指定和产生颜色。
颜色空间中的颜色通常用代表3个参数的3维坐标来描述，其颜色要取决于所使用的坐标。大部分遥感数据都采用 RGB颜色空间来描述，但对图像进行一些可视分析时，也会使用其他颜色空间（如HSI模型）。
10
七、颜色空间变换
颜色空间分类
第4章
变换域处理方法
为什么要进行变换域处理？
换一个角度来看数字图像
空间域图像直观地为我们提供了丰富的空间和数字信息，但如果我们将空间域图像进行某种变换，将会较为容易地识别出一些在原始图像上无法直观看到的信息，从而有利于图像的后续处理。
介绍常用的数字图像变换算法原理及其应用，旨在为后续章节的图像变换域处理提供基础。
用三棱镜！如果想把一段音频文件不同频率的声音检测出来怎么办？
用傅立叶变换！
8
六、小波变换
小波变换与傅里叶变换类似，都是把一个信号分解成一组正交信号，但不同于傅里叶变换中使用的三角函数，小波变换是用由零开始由零结束、中间为一段震荡的波来表示信号，它是一种能量在时域非常集中的波。
9
七、颜色空间变换
“鸡尾酒会问题”
在嘈杂的鸡尾酒会上，许多
（Cocktail Party Problem）人在同时交谈，可能还有背
景音乐，但人耳却能准确而
清晰的听到对方的话语。
从混合声音中选择自己感兴趣的声音而忽略其他声音的现象
7
五、傅里叶变换
人的视觉系统时时刻刻都在进行“分离信号”这种行为：看见不同的颜色，听到不同频率的声音，甚至尝到酸甜苦辣咸这五种不同的味道也是一种识别不同信号的表现。而傅立叶变换正是一种通过频率来分离不同信号的方法！如果想把自然光中的七色成分分离出来怎么办？

数字图像处理及MATLAB实现实验四——图像变换

数字图像处理及MATLAB实现实验四——图像变换1.图像的傅⾥叶变换⼀（平移性质）傅⾥叶变换的平移性质表明了函数与⼀个指数项相乘等于将变换后的空域中⼼移到新的位置，并且平移不改变频谱的幅值。

I=imread('1.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));I=imread('2.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));I=imread('3.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));实验结果符合傅⾥叶变换平移性质2.图像的傅⾥叶变换⼆（旋转性质）%构造原始图像I=zeros(256,256);I(88:168,124:132)=1; %图像范围是256*256，前⼀值是纵向⽐，后⼀值是横向⽐imshow(I)%求原始图像的傅⾥叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figureimshow(J1,[550])%对原始图像进⾏旋转J=imrotate(I,90,'bilinear','crop');figureimshow(J)%求旋转后图像的傅⾥叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J2=fftshift(F);figureimshow(J2,[550])3.图像的离散余弦变换⼀%对cameraman.tif⽂件计算⼆维DCT变换RGB=imread('cameraman.tif');figure(1)imshow(RGB)I=rgb2gray(RGB);%真彩⾊图像转换成灰度图像J=dct2(I);%计算⼆维DCT变换figure(2)imshow(log(abs(J)),[])%图像⼤部分能量集中在左上⾓处figure(3);J(abs(J)<10)=0;%把变换矩阵中⼩于10的值置换为0，然后⽤idct2重构图像K=idct2(J)/255;imshow(K)4.图像的离散余弦变换⼆% I=imread('1.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% I=imread('2.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% I=imread('3.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% %构造原始图像% I=zeros(256,256);% I(88:168,124:132)=1; %图像范围是256*256，前⼀值是纵向⽐，后⼀值是横向⽐% imshow(I)% %求原始图像的傅⾥叶频谱% J=fft2(I);% F=abs(J);% J1=fftshift(F);figure% imshow(J1,[550])% %对原始图像进⾏旋转% J=imrotate(I,90,'bilinear','crop');% figure% imshow(J)% %求旋转后图像的傅⾥叶频谱% J=fft2(I);% F=abs(J);% J2=fftshift(F);figure% imshow(J2,[550])% %对cameraman.tif⽂件计算⼆维DCT变换% RGB=imread('cameraman.tif');% figure(1)% imshow(RGB)% I=rgb2gray(RGB);% %真彩⾊图像转换成灰度图像% J=dct2(I);% %计算⼆维DCT变换% figure(2)% imshow(log(abs(J)),[])% %图像⼤部分能量集中在左上⾓处% figure(3);% J(abs(J)<10)=0;% %把变换矩阵中⼩于10的值置换为0，然后⽤idct2重构图像% K=idct2(J)/255;% imshow(K)RGB=imread('cameraman.tif');I=rgb2gray(RGB);I=im2double(I); %转换图像矩阵为双精度型T=dctmtx(8); %产⽣⼆维DCT变换矩阵%矩阵T及其转置T'是DCT函数P1*X*P2的参数B=blkproc(I,[88],'P1*x*P2',T,T');maxk1=[ 1111000011100000110000001000000000000000000000000000000000000000 ]; %⼆值掩模，⽤来压缩DCT系数B2=blkproc(B,[88],'P1.*x',mask1); %只保留DCT变换的10个系数I2=blkproc(B2,[88],'P1*x*P2',T',T); %重构图像figure,imshow(T);figure,imshow(B2);figure,imshow(I2);RGB=imread('cameraman.tif');I=rgb2gray(RGB);I=im2double(I); %转换图像矩阵为双精度型T=dctmtx(8); %产⽣⼆维DCT变换矩阵%矩阵T及其转置T'是DCT函数P1*X*P2的参数B=blkproc(I,[88],'P1*x*P2',T,T');maxk1=[ 1111000011100000100000000000000000000000000000000000000000000000 ]; %⼆值掩模，⽤来压缩DCT系数B2=blkproc(B,[88],'P1.*x',mask1); %只保留DCT变换的10个系数I2=blkproc(B2,[88],'P1*x*P2',T',T); %重构图像figure,imshow(T);figure,imshow(B2);figure,imshow(I2);5.图像的哈达玛变换cr=0.5;I=imread('cameraman.tif');I=im2double(I)/255; %将读⼊的unit8类型的RGB图像I转换为double类型的数据figure(1),imshow(I);%显⽰%求图像⼤⼩[m_I,n_I]=size(I); %提取矩阵I的⾏列数，m_I为I的⾏数，n_I为I的列数sizi=8;snum=64;%分块处理t=hadamard(sizi) %⽣成8*8的哈达码矩阵hdcoe=blkproc(I,[sizi sizi],'P1*x*P2',t,t');%将图⽚分成8*8像素块进⾏哈达码变换%重新排列系数CE=im2col(hdcoe,[sizi,sizi],'distinct');%将矩阵hdcode分为8*8互不重叠的⼦矩阵，再将每个⼦矩阵作为CE的⼀列[Y Ind]=sort(CE); %对CE进⾏升序排序%舍去⽅差较⼩的系数，保留原系数的⼆分之⼀，即32个系数[m,n]=size(CE);%提取矩阵CE的⾏列数，m为CE的⾏数，n为CE的列数snum=snum-snum*cr;for i=1:nCE(Ind(1:snum),i)=0;end%重建图像re_hdcoe=col2im(CE,[sizi,sizi],[m_I,n_I],'distinct');%将矩阵的列重新组织到块中re_I=blkproc(re_hdcoe,[sizi sizi],'P1*x*P2',t',t);%进⾏反哈达码变换，得到压缩后的图像re_I=double(re_I)/64; %转换为double类型的数据figure(2);imshow(re_I);%计算原始图像和压缩后图像的误差error=I.^2-re_I.^2;MSE=sum(error(:))/prod(size(re_I));。

精品文档-数字图像处理系统导论(郭宝龙)-第4章

算子是线性二阶微分算子。对离散的数字图像而言，二阶偏导数可用二阶差分近似，可推导出Laplacian 算子表达式为
2 f (x, y) f (x 1, y) f (x－1, y) f (x, y 1) f (x, y－1)－4 f (x, y)
下面以一幅3×2像素的简单图片(见图4-5)为例，来说明灰度直方图均衡化的算法。
图 4-4 直方图变化
图 4-5 原图像灰度值分布
求出每个色阶的百分比之后，再乘255，就可以求出与其对应的灰度值来。表4-1所示为对应灰度值转换。
表4-1 对应灰度值转换
根据每个色阶的百分比的对应关系组成一个灰度映射表，然后根据映射表来修改原来图像每个像素的灰度值。对于图45，用128替换50，用212替换100，用255替换200。这样，灰度直方图的均衡化就完成了，如图4-6所示。
2. 图像中的均匀与不均匀反映了频率高低不同，抑制低频 (增强高频)对应于锐化滤波器，而抑制高频(增强低频)对应于平滑滤波器。以下讨论考虑对F(u，v)的实部、虚部影响完全相同的滤波转移函数——零相移滤波器。 1) 理想低通滤波器理想低通滤波器的传递函数为
1 H (u, v) 0
D(u, v) D0 D(u, v) D0
图 4-10 原始图像及其傅里叶频谱图
1. 假定原图像为f(x，y)，经傅里叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选择合适的滤波器H(u，v)对F(u，v)的频谱成分进行处理G(u，v)=H(u，v)F(u，v)，然后经逆傅里叶变换得到增强的图像g(x，y)=F－1({G(u，v)} 假设f(x，y)和h(x，y)的大小分别为A×B和C×D。如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。为解决这一问题，需通过对f和h补零，构造两个大小均为P×Q的函数，使其满足

第四章数字图像的变换域处理

>>FＣ＝fｆtshiｆt(Ｆ);
Lｅnａ图像的移动后的频谱结果显示于图4.２中，对比图４．２与图４.１(ｂ),可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵Ａ、B的卷积
>>[M,N]=size(Ａ);
>>[P，Q]=sｉze(B）;
>＞p1=M+Ｐ－1;
>＞q1=N＋Ｑ-1;
＞>A1=fft２（Ａ,p1,q1);
>>T=dｃtｍtx(n）;
函数返回值T为的变换核矩阵，对于的方阵Ａ,可以使用矩阵运算Ｂ=T*A＊D’计算其DCT变换。
例4．3利用Ｄcｔmtx（)函数编程实现对Lｅna图片计算其离散余弦变换。
＞＞f=imreaｄ('E:＼mａｔlab7\leｎａ.bmｐ＇);
＞>g＝ｒgｂ２gray(f);
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式,对于一个的向量，其离散线性变换可以表示为:
(4-２1)
其中, 为变换结果，为的变换矩阵，如果矩阵是非奇异的,其逆矩阵存在,其逆变换可以表示为:
(4－２2)
如果逆矩阵等于变换矩阵的共轭转置，有
（4-23）
则称矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式(4－２1）的矩阵表示,变换矩阵为:
>>B1=fft2(B,ｐ1,q1）;
>>C=A1.*B1;
>＞C1=ifft2(C）;
其中ffｔ2(A,p1,q1）是将图像Ａ扩展为矩阵后再计算其傅里叶变换。
４.２离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Dｉscｒete CoｓｉnｅＴrａnsform, DCT)的变换基矢量为余弦函数,一维离散余弦变换的基矢量为:

数字图像处理与分析第4章

变换编码
离散余弦变换离散傅立叶变换
有损压缩
斜变换小波变换有损预测编码
分形编码
模型编码
子带编码
神经网络编辑编ppt码
17
本章主要讨论的编码
行程编码 Huffman编码 DCT变换编码混合编码
编辑ppt
18
行程编码(RLE编码)——基本概念
行程编码是一种最简单的，在某些场合是非常有效的一种无损压缩编码方法。
信道解码
图像信源解码
信道编码解调
显示图像
编辑ppt
15
图像压缩评价标准
保真度标准——评价压缩算法的标准
客观保真度标准：图像压缩过程对图像信息的损失能够表示为原始图像与压缩并解压缩后图像的函数。
一般表示为输出和输入之差：e (x ,y ) fˆ(x ,y ) f(x ,y )
两个图像之间的总误差： M 1 N 1(fˆ(x,y)f(x,y)) 均方根误差：erm s M 1xM x 0 0 1 N y N y 0 0 1(fˆ(x,y)f(x,y)2) 1 /2
33K
15K
编辑ppt
11
图像冗余压缩原理
图像冗余无损压缩的原理
RGB RGB RGB RGB
RGB RGB RGB RGB
RGB RGB RGB RGB
RGB RGB RGB RGB
16
从原来的16*3*8=284bits 压缩为：(1+3)*8=32bit编s辑ppt
RGB 压缩比为：12：112
编辑ppt
8
空间冗余
同一景物表面上各采样点之间的颜色（亮度）之间往往存在着空间相关性。
基于离散象素的表示方式通常没有利用景物表面颜色（亮度）的这种空间相关性，从而产生了空间冗余。

数字图像处理第4章色彩模型及转换

实际上：不同比例的油墨三原色的组合可以在
标准胶印中产生一个中性灰
C：85%
M：82%
Y：78%
C：34%、
M：25%、
2020/9/23
Y：24%
32
印刷灰平衡：指黄品青三色油墨按不同网点面积率配比在印刷品上生成中性灰
◎彩色构成所有的色调都由青、品、黄三原色组成
◎底色去除UCR：一部分非彩色成分由黑色取代
色域映射算法应满足以下基本原则：
◎保持彩色图像的色调不变，即色相角不能偏移
◎保持最大的明度对比度。
◎202饱0/9/2和3 度的改变尽可能的小
36
2.RGB与HSI的色彩转换 ①RGB到HSI的颜色转换
红色=00或 3 60 0 当ＢＧ
H 3600 - 当ＢＧ
arccos
(R G) (R B)
道图像等。 2020/9/23
8
②色彩空间对应着不同的色彩模型处理的色彩数据和文
件的集合 ③色彩模型与色彩空间之间的关系
色彩模型——呈色原理——确定的数值色彩空间——呈色设备——不同的参数色彩空间的选择和设置是色彩处理的基础
2.RGB色彩模型
基于自然界中3种原色光的混合原理，将红、绿和蓝3种原色按照从0（黑）到255（白色）的亮度202值0/9/23在每个色阶中分配，从而指定其色彩的算法9
7
二、色彩模型与色彩空间
1.概念 ①色彩模式（颜色模型）：
用数值表示颜色的一种算法
确定图像中能显示的颜色数、影响图像的通
道数和文件大小光谱数据——可见光谱图像
调色板数据——索引彩色图像常用的图像色彩模式有：
二值图像、灰度图像、多色调图像、索引彩色

914761-数字图像处理-第四章图像复原-第3讲无约束复原-逆滤波方法

当 T-1不存在，或存在但不可解时，原图像只能通过退化的g 和对退化模型及噪声的某种了解或假设估计得到。这种估计是在某种最佳准则下的最佳估计，广义上分为无约束和有约束估计。
g=Hf+n n=g-Hf 噪声是广义的，在没有先验知识的情况下，要找一个f 的估计 fˆ ，在最小二乘方意义上使下式达到最小:
在实际中，T-1有多种情况： – T-1不存在，即奇异 – T-1存在，但不唯一 – T-1存在，唯一，但g(x,y)小的扰动就会引起f(x,y)大的变
动 – T-1存在，唯一，但其解太复杂，或几乎不可解 – T-1存在，唯一，无病态问题，且可求解
3
4.3 图像复原
（1）无约束复原当T-1存在，唯一，无病态问题，原图像可精确求解；而
J ( fˆ ) = g - H ×fˆ 2
4
4.3 图像复原
J ( fˆ ) fˆ
=
-2H T
(g
-
Hfˆ )
=
0
H T Hfˆ = H T g
fˆ = (H T H )-1 H T g
因为H 是一方阵，并且设H -1 存在，则可求得 fˆ :
fˆ = H -1(H T )-1 H T g = H -1g
这种方法要求知道成象系统的表达式H。
根据前面所述，H 的尺寸很大，如512x512尺寸的图像，
H 的尺寸为262144x262144，对其求逆是不可解的，故要寻求
合适的求解方法。
从G(u,v)=H(u,v) F(u,v)+N(u,v)出发，若不考虑噪声，则上
式可写成（逆滤波）G (u,v)=H(u,v)F(u,v)
（a）当H(u,v)的值小于某个值d时取一个常数k，其他不变

第4章图像变换(Image Transform)

例4.1一个简单二维函数的中心谱。图4.1（a）显示了在 512 512 像素尺寸的黑色背景上叠加一个 20 40 像素尺寸的白色矩形。
图4.1（a）
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Transform）
此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 1x y ，从
d xd y
（4.8）
F
1
F (u, v)
f ( x, y )

F (u, v) e
j2 ux vy
dudv
（4.9）式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
每1列求变换再乘以 N
e
x 0
N 1
j 2ux / N

y 0
N 1
f x, y e j 2vy / N
1 N 1 j2 vy / N F ( x, v) N f x, y e N y 0
v 0,1,, N 1
再对 F
数字图像处理
武汉理工大学信息学院
第4章图像变换(Image Transform)
4.1 连续傅里叶变换 4.2 离散傅里叶变换 4.3 快速傅里叶变换 4.4 傅里叶变换的性质 4.5 图像傅里叶变换实例 4.6 其他离散变换
一、图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征]。二、方法分类可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。

数字图像处理第四章图像增强

Pr（rk） 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06
0.03
0.02
计算每个sk对应的像素数目计算均衡化后的直方图
Tr
Sk并
sk
nsk Ps（sk）
0.19
1/7
0.44
3/7
S0=1/7 S1=3/7 S2=5/7
790 0.19 1023 0.25 850 0.21
0.65
✓ 校正后的原始图像 f (i, j) C g(i, j) gc(i, j)
9
灰度级校正注意问题：
对降质图像进行逐点灰度级校正所获得的图像，其中某些像素的灰度级值有可能要超出记录器件或显示器输入灰度级的动态范围，在输出时还要采用其他方法来修正才能保证不失真地输出。
降质图像在数字化时，各像素灰度级都被量化在离散集合中的离散值上，但经校正后的图像各像素灰度极值并不一定都在这些离散值上，因此必须对校正后的图像进行量化。
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分布函数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
✓ 计算均衡后的直方图
s k 计
T（ rk）
k
=
i 0
P（r
r
）
i
k i 0
ni n
s k并
round（ sk计 * (L L 1
1)）
j

914762-数字图像处理-第四章图像复原-第4讲有约束复原-维纳滤波和约束最小平方滤波

M 1 N 1
(s) r 2 rTr
r2 (x, y)
x0 y0
在给定精度因子a的情况下，若调整s使得下式成立，
则认为恢复达到了要求
n 2 a≤ r 2 ≤ n 2 a
14
4.3 图像复原
噪声的特性：
若对噪声图像具有先验知识，则可求其均值和方差
1 M 1 N 1
mn
MN
x0
n(x, y)
y0
2 n
1 MN
M 1 N 1
[n(x,
x0 y0
y)
mn ]2
？实际上只要知道其均值和方差即可
n
2
MN (mn2
2 n
)
15
4.3 图像复原
约束最小平方滤波法恢复图像的步骤：
(1) 根据先验知识，计算||n||2; 给s赋一初值；
(2)
R(u,v)
s | P(u, v) |2
G(u, v)
(7) 若 n 2 a ≤ r 2 ≤ n 2 a 成立，则停止迭代，并计算 Fˆ (u,v)
fˆ (x, y)
16
4.3 图像复原
例4.5采用约束最小平方滤波器法，对例4.4中相同的退化
图像进行恢复。
解答：模拟离焦模糊的高斯模板参数：方差为5 pixel，模
板是7x7 pixel的方模板。高斯噪声的均值为零，方差为 0.001。图 (a)为原始图像，图(b)是含噪声的离焦模糊图像。根据公式计算，噪声的功率是409.6 . 图 (d)是用偏小的噪声功率值和的值(||n||2=205，σ =3)，图 (e) 是用偏大的噪声功率值和的值(||n||2=650，σ =7)分别恢复的情况；s的初值取0.001，其迭代时的步长取0.01，精度因子a=0.1||n||2。图 (f)是采用真实的点扩散函数，和噪声功率(||n||2=409.6，σ =5) 时迭代求解的结果，精度因子 a=0.1||n||2 ， s 的初值取 0.001，其迭代时的步长取0.01，迭代终止时s= 0.1201。