弹簧的弹簧刚度系数分别为k1

F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
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2.1 无阻尼系统的自由振动
自由振动方程
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为 d2 x m 2 mg k ( st x) dt
第2章 单自由度系统的振动
工程振动与测试
Mechanical and StructurΒιβλιοθήκη Baidul Vibration
主讲 贾启芬
第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法
目录
2.3 瑞利法
2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
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第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
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第2章 单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
等效的概念
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
q＝C1cospnt C2 cospnt
k eq
q＝Asin pnt
2
d2 q pn q＝0 2 dt
v0 2 pn＝ －系统的固有频率；A q0 振动的振幅； meq pn p q arctan n 0 －振动的位相；q0－初始广义坐标；v0－初始速度。 0 q
d2 x 2 pn x 0 2 dt
无阻尼自由振动微分方程
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k 其中 pn m
固有圆频率
2.1 无阻尼系统的自由振动
自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x x0，v v0 可解
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
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2.1 无阻尼系统的自由振动
振幅、初相位和频率
2π m 系统振动的周期 T 2π pn k
C1 x 0
v0 x x0 cos pn t sin pn t pn
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v0 C2 pn
2.1 无阻尼系统的自由振动
自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
系统振动的频率 f
1 pn 1 k T 2π 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为 固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
2.1 无阻尼系统的自由振动
等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 这一方程，可以等效为广义坐标的形式
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
d2 x m 2 kx＝0 dt
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
mg k st
k mg
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
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