高一数学知识点总结及典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件，确定性事件: 必然事件和不可

能事件

❖ 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n

m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

♦ 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P

② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件

()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和

⌧ 古典概率：① 所有基本事件有限个 ② 每个基

本事件发生的可能性都相等 ， 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个

n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P =

⍓ 几何概型：一般地，一个几何区域D 中随机地取一

点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”

为事件A ，则事件A 发生的概率为

()的侧度的侧度D d A P =

（ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确

定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面

多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度

为其体积 ）

几何概型的基本特点：①基本事件等可性②基本

事件无限多

为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为：A ①若,

则

为互斥事件A

,中最多有一个发生

A可能都不发

B

,

,

B

生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集②对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生③对立事件一定是互斥事件

④从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集

合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥若事件B A,是

互斥事件，则有()()()B P

=

P+

+⑦一般地，如果

P

A

B

A

n A A A ,...,,21 两两互斥，

则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++ (2121)

⑧ ()()A P A P -=1 ⑨ 在本教材中n A A A +++...21 指的是

n A A A ,...,,21

中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设出事件来，利用

哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重

要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照

我们课本上的例题

例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法 解法：（基本事件一一列举略）

设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A 意义为“选取2个球都是其它

颜色球”

()()()1514 151 - 1A P - 1 A P 151 2)56(1A P ===∴=

⨯=

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，

综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 . 变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：

（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：设事件A 为“第1次抽到的是次品”， 事件B 为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

则

()3162==A P ，()94664224=⨯⨯+⨯=B P （或者()9

462646462=⨯+⨯=B P ） 答：第1次抽到的是次品的概率为3

1 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为9

4 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）