2023高考新高考一卷数学试题
2023年全国统一高考数学试卷(新高考I ) (解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（ ）A．﹣i B．i C．0D．1【答案】A【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sin cos＝2××＝．故选：B．7．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解答】解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年新高考1卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023年高考全国乙卷文科数学试题(含答案详解)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则M ∪C U N （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=，则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ−=________． 15. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________． 三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积． 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）答案详解文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（ ）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（ ） （A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★） 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A.24B.26C.28D.30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（ ） （A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析， 因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①， 已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元， 因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②， 因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★） 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ） （A（B ）3 （C） （D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积， 由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点， 因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−， 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==， 因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <， 令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种， 则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==， 当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=， 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−， 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=， 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−，联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=， 此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案： 解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ， 由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=， 又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ， 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==， 由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ） 设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论） 当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−； 当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+； 综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析 （2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥， 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=， 解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ， 因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===， 因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ， 所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围. 答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭， 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立， 则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+， 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增， 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减， 由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x += （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++， 因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ， 且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。
2023新高考1卷数学22题
2023新课标全国Ⅰ卷数学第22题22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【参考答案】（1）214y x =+（2）见解析【基本思路】（1）设(,)P x y ，根据题意列出方程22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简即可；（2）法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且a b c <<，分别令0AB k a b m =+=<，0BC k b c n =+=>，且1mn =-，利用放缩法得112C n n ⎛≥+ ⎝设函数()221()1f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用导数求出其最小值，则得C 的最小值，再排除边界值即可.法二：设直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得AB AD +≥界值即可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【详细解析】⑴设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. ⑵法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛== ⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =时,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a ≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时k =不一致，故AB AD +>. 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-, 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C ''''+>，故矩形周长大于 .。
2023年度最新新高考I卷数学真题及答案
2023年度最新新高考I卷数学真题及答案2023年度最新新高考I卷数学真题及答案（高清图片版）高考合作学习法同水平差不多的人一起学习，就有了一个学习伙伴，更何况每人都有自己的长处;同水平高于你的人一起学习，他就是你的老师，你自然可以学得许多东西;同水平低于你的人一起学习，你是他的老师，我们常说“教学相长”，你同样可以学得许多东西。
当然，合作学习并不是几个人的简单相加。
美国明尼苏达大学“合作学习中心”的约翰逊兄弟认为，有5个要素是合作学习不可缺少的。
这些要素是：(1)积极互赖，指的是学生们知道他们不仅要为自己的学习负责，而且要为其所在小组的其他同学的学习负责。
(2)面对面的促进性相互作用。
(3)个人责任，指的是每个学生都必须承担一定的学习任务。
(4)社交技能。
(5)小组自加工，小组必须定期地评价共同活动的情况，保持小组活动的有效性。
合作学习有利于增进人与人之间的相互了解、温情与信任，学会处理人际关系的技能、技巧与策略，学会有效地表达自我。
在学习交往中，可以培养、发展真正的责任意识和义务感。
高考需要注意的方面备考物品是否带齐，每年总有考生在高考当日忘掉带准考证、身份证等考试用品，其实这一点完全能够在高考前一天验考场时先进行一次演练。
关于备考物品，必定要提早预备一个清单，依照清单要求提早预备好，并在高考当天重复承认。
提早重视气候状况，高考期间气候往往比较酷热，偶然还会有劲风大雨等恶劣气候呈现。
家长要提早重视高考期间的气温文气候状况，提早预备衣物和雨具等，保证考生在最舒服的环境下答题。
关于考生睡觉，伴随着巨大的心理压力，考生失眠是正常现象，家长和考生不能有过大的压力。
在高考期间要尽量发明安静的歇息环境，如果考生呈现失眠等状况，家长和考生也不要严重，往往失眠并不会很大程度上影响高考的发挥。
家长要注意劝导睡觉质量差的考生，并引导考生使用必要的时刻闭目养神。
关于适度运动，恰当的有氧运动，例如漫步和扩展运动并配合听听音乐，促进体内有利的神经递质排泄，缓解过度焦虑，有利于高考的发挥。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）A．1-2i B．1+2i C．2-i D．2+iA．∁U （M∪N）B．N∪∁U M C．∁U （M∩N）D．M∪∁U N（2023•乙卷）设z=，则z =（ ）2+i 1++i 2i 5答案：B 解析：先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．解答：解：∵i 2=-1，i 5=i,∴z===1-2i,∴z =1+2i.故选：B．2+i1++i 2i 52+i i （2023•乙卷）设集合U=R，集合M={x|x＜1}，N={x|-1＜x＜2}，则{x|x≥2}=（ ）答案：A 解析：由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．解答：解：由题意：M∪N={x|x＜2}，又U=R，∴C U （M∪N）={x|x≥2}．故选：A．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30A．-2B．-1C．1D．2答案：D 解析：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．解答：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．故选：D．（2023•乙卷）已知f（x）=是偶函数，则a=（ ）xe x -1e ax 答案：D 解析：根据偶函数的性质，运算即可得解．解答：解：∵f（x）=的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴=，∴=，∴ax-x=x,∴a=2．故选：D．xe x -1e ax -xe -x -1e -ax xe x -1e ax xe ax -x -1e ax xe x -1e ax （2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x 2+y 2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）π4A．B．C．D．A．-B．-C．D．18161412答案：C 解析：作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．解答：解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为=．故选：C．π42814（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x=和x=为函数y=f（x）的图像的两条对称轴，则f（-）=（ ）π62π3π62π35π12√321212√32答案：D解析：先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．解答：解：根据题意可知=-=，∴T=π，取ω＞0，∴ω==2，又根据“五点法”可得2×+φ=-+2kπ，k∈Z，∴φ=-+2kπ，k∈Z，∴f（x）=sin（2x -+2kπ）=sin（2x-），∴f（-）=sin（--）=sin（-）=sin =故选：D．T 22π3π6π22πTπ6π25π65π65π65π125π65π65π3π32（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种A．πB．πC．3πD．3π答案：C 解析：根据排列组合数公式，即可求解．解答：解：根据题意可得满足题意的选法种数为：•=120．故选：C．C 61A 52（2023•乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）√39√34√6√6答案：B解析：根据题意，设该圆锥的高为h,即PO=h,取AB的中点E，连接PE，利用余弦定理求出AB的长，分析可得PE⊥AB，由三角形面积公式求出PE的长，由此求出h的值，由圆锥的体积计算可得答案．解答：解：根据题意，设该圆锥的高为h,即PO=h,取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA=OB=，而∠AOB=120°，故AB===3，同时OE=OA×sin30°=，△PAB中，PA=PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB=，变形可得PE=，而PE=2+=，解可得h=，故该圆锥的体积V=π×（）2h=π．故选：B．√3√3√O +O -2OA •OB •cos 120°A 2B 2√3+3+3√329√34129√343√3234274√613√3√6（2023•乙卷）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D 为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．C．D．A．-1B．-C．0D．155√3525答案：C 解析：取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得二面角C-AB-D的平面角为∠CED=150°，又易知平面CED⊥平面ABC，从而得直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，再解三角形，即可求解．解答：解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C-AB-D的平面角为∠CED=150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE=E，∴AB⊥平面CED，又AB ⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE=1，DE=，又∠DEH=30°，∴DH=，EH=，∴CH=1+=，∴tan∠DCE===．故选：C．√3√3233252DH CH252√35（2023•乙卷）已知等差数列{a n }的公差为，集合S={cosa n |n∈N *}，若S={a,b}，则ab=（ ）2π31212答案：BA．（1，1）B．（-1，2）C．（1，3）D．（-1，-4）解析：根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，又公差为，∴=+（n -1），∴cos =cos （+-），其周期为=3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n 取特值，如a 1=0，=，=，…，或=-，=，a 3=π，…，代入集合S中计算易得：ab=-．故选：B．2π3a n a 12π3a n 2nπ3a 12π32π2π3a 22π3a 34π3a 1π3a 2π312（2023•乙卷）设A，B为双曲线x 2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）y 29答案：D解析：根据点差法分析可得k×k AB =9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断．解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），AB中点为M（x 0，y 0），，①-②得k×k AB =9，对于选项A：可得k=1，k AB =9，则AB：y=9x-8，联立方程，消去y 得72x 2-2×72x+73=0，此时Δ=（-2×72）2-4×72×73=-288＜0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=-2，k AB =-，则AB：y=-x -，⎧⎨⎩-=1①-=1②x 12y 129x 22y 229{y =9x -8-=1x 2y 29929252A．B．C．1+D．2+联立方程，消去y 得45x 2+90x+61=0，此时Δ=（2×45）2-4×45×61=-4×45×16＜0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3，k AB =3，则AB：y=3x,由双曲线方程可得a=1，b=3，则AB：y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4，k AB =，则AB：y=x -，联立方程，消去y 得63x 2+126x-193=0，此时Δ=1262+4×63×193＞0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D正确．故选：D．⎧⎨⎩y =-x --=19252x 2y 29949474⎧⎨⎩y =x --=19474x 2y 29（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则PA •PD 的最大值为（ ）√2→→1+√221+2√22√2√2答案：A 解析：设∠OPC=α，则-≤α≤，根据题意可得∠APO=45°，再将PA •PD 转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．π4π4→→解答：解：如图，设∠OPC=α，则-≤α≤，根据题意可得：∠APO=45°，∴PA •PD =|PA |•|PD |•cos （α+）=1×cosαcos （α+）=cos 2α-sinαcosα==+（2α+），又-≤α≤，∴当2α+=0，α=-，cos（2α+）=1时，π4π4→→→→π4√2π41+cos 2α-sin 2α122π4π4π4π4π8π4PA •PD 取得最大值+ 故选：A．→→122（2023•乙卷）已知点A（1，）在抛物线C：y 2√5答案：．94解析：根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：点A（1，）在抛物线C：y 2=2px上，则5=2p,解得p=，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为+=1+=．故答案为：．√552x A p 2549494（2023•乙卷）若x,y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为 8．{x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7答案：8．解析：作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=2x-y可得y=2x-z,则-z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可知，当y=2x-z经过点A时，Z最大，由可得y=2，x=5，即A（5，2），此时z取得最大值8．故答案为：8．{x -3y =-1x +2y =9（2023•乙卷）已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=-2．答案：-2．解析：根据等比数列的性质即可求解．解答：解：∵等比数列{a n }，∴a 2a 4a 5=a 2a 3a 6=a 3a 6，解得a 2=1，而a 9a 10=a 2q 7a 2q 8=（a 2）2q 15=-8，可得q 15=（q 5）3=-8，即q 5=-2，a 7=a 2•q 5=1×（-2）=-2．故答案为：-2．（2023•乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 [，1）．-1√52答案：2解析：由函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，可得导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．解答：解：∵函数f（x）=a x +（1+a）x 在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）=a x lna+（1+a）x ln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，即（1+a）x ln（1+a）≥-a x lna,化简可得（≥-在（0，+∞）上恒成立，而在（0，+∞）上（＞1，故有1≥-，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln ，即1+a ≥，a 2+a-1≥0，解答≤a ＜1，故答案为：[，1）．1+a a）x lna ln （1+a ）1+a a）x lna ln （1+a ）1a 1a-1√522-1√52（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i （i=1，2，…10）．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i 536527543530560533522550576536记z i =x i -y i （i=1，2，⋯，10），记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z ，样本方差为s 2．（1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果z ≥2缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）答案：见试题解答内容解析：（1）根据表中数据，计算z i =x i -y i （i=1，2，…，10），求平均数z 和方差s 2．（2）根据z 和2解答：解：（1）根据表中数据，计算z i =x i -y i （i=1，2，…，10），填表如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536z i =x i -y i 968-8151119182012计算平均数为z =z i =×（9+6+8-8+15+11+19+18+20+12）=11，方差为s 2==×[（-2）2+（-5）2+（-3）2+（-19）2+42+02+82+72+92+12]=61．（2）由（1）知，z =11，2＜2=5，所以z ≥2缩率有显著提高．110∑10i =1110110∑10i =1-z ）（z i 2110√6.1√6.25（2023•乙卷）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点．且∠BAD=90°，求△ADC的面积．答案：见试题解答内容解析：（1）由余弦定理可求BC，进而可求sin∠ABC；（2）由已知可求tan∠ABC，进而可得AD，可求面积．解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知BC 2=22+12-2×1×2×cos120°=7，BC =，∴由余弦定理可得cos∠ABC==，又∠ABC∈（0°，60°），∴sin∠ABC===，，∴AD=∴△ADC的面积为×AD×AC×sin∠DAC=××1×=√75√714√1-co ∠ABC s 2√2114145125121251210（2023•乙卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2，PB=PC=，AD=DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．（1）证明：EF∥平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值．√2√6√5答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）．√22解析：（1）利用向量法可得OF∥AB，OF=AB，四边形ODEF为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由勾股定理可得AO⊥OD，AO⊥EF，根据面面垂直的判定定理即可证明；12（3）设二面角D-AO-C的平面角为θ，可知θ为OD 和BF 的夹角，利用向量的夹角公式求解即可．→→解答：证明：（1）由题可知，|AC |=2，设AF =λAC ，∵AB •AC =|AB ||AC |cos∠BAC=4，则BF •AO =（λAC -AB ）•（AB +AC ）=|AC -|AB +（λ-）AB •AC =8λ-4=0，解得λ=，∴OF∥AB，OF=AB，而DE∥AB，DE=AB，∴DE∥OF，DE=OF，∴四边形ODEF为平行四边形，∴EF∥OD，∵OD ⊂平面ADO，EF ⊄平面ADO，∴EF∥平面ADO．证明：（2）AO===PC=2OD，AD=OD，∴AD 2=AO 2+OD 2，即AO⊥OD，AO⊥EF，∵BF⊥AO，BF∩EF=F，∴AO⊥平面BEF，∵AO ⊂平面ADO，∴平面ADO⊥平面BEF．解：（3）设二面角D-AO-C的平面角为θ，∵AO⊥OD，AO⊥BF，∴θ为OD 和BF 的夹角，|BF |=|AC |=，|OD |=|PC |cosθ====-，∴二面角D-AO-C的正弦值为．→√3→→→→→→→→→→12→12→λ2→|212→|21212→→121212√A +O B 2B 2√6√5→→→12→√3→12→2BF •OD →→|BF ||OD |→→（OA -3OB ）•OD 12→→→|BF ||OD |→→-OB •OD32→→|BF ||OD |→→-32√222√22（2023•乙卷）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为（1）求C的方程；y 2a 2x 2b 23（2）过点（-2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．答案：（1）椭圆C的方程为+=1；（2）MN的中点为定点（0，3），证明过程见解析．y 29x 24解析：（1）由题意列关于a,b,c的方程组，求得a,b,c的值，可得椭圆C的方程；（2）设PQ：y-3=k（x+2），即y=kx+2k+3，k＜0，P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2与x 1x 2的值，写出直线AP、AQ的方程，求得M与N的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN的中点为定点．解答：解：（1）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为+=1；证明：（2）如图，要使过点（-2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，设PQ：y-3=k（x+2），即y=kx+2k+3，k＜0，P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），联立，得（4k 2+9）x 2+8k（2k+3）x+16k（k+3）=0．Δ=[8k（2k+3）]2-4（4k 2+9）•16k（k+3）=-1728k＞0．+=，=，直线AP：y=（x +2），取x=0，得M（0，）；直线AQ：y =（x +2），取x=0，得N（0，）．∴+=⎧⎨⎩=b =2=+c a √53a 2b 2c 2{a =3b =2c =√5y 29x 24{y =kx +2k +3+=1y 29x 24x 1x 2-8k （2k +3）4+9k 2x 1x 216k （k +3）4+9k 2y 1+2x 12y 1+2x 1y 2+2x 22y 2+2x 22y 1+2x 12y 2+2x 22（+2）+2（+2）y 1x 2y 2x 1（+2）（+2）x 1x 2=2=2=2=2=2×=6．∴MN的中点为（0，3），为定点．（k +2k +3）（+2）+（k +2k +3）（+2）x 1x 2x 2x 1+2（+）+4x 1x 2x 1x 22k +（4k +3）（+）+4（2k +3）x 1x 2x 1x 2+2（+）+4x 1x 2x 1x 22k •+（4k +3）•+4（2k +3）16k （k +3）4+9k 2-8k （2k +3）4+9k 2+2•+416k （k +3）4+9k 2-8k （2k +3）4+9k 232+96-64-96-48-72k +32+72k +48+108k 3k 2k 3k 2k 2k 3k 216+48k -32-48k +16+36k 2k 2k 210836（2023•乙卷）已知函数f（x）=（+a）ln（1+x）．（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在a,b,使得曲线y=f（）关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由；（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．1x1x答案：见试题解答内容解析：（1）a=-1时，求得f（1）=0，再根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式求解即可；（2）根据函数的定义域和对称性可求得b=-，再利用赋值法求a；（3）要使f（x）在（0，+∞）存在极值点，则f′（x）=0有正根，即方程ln（x+1）-=0有正根，记g（x）=ln（x+1）-，x＞0，利用导数与极值的关系分类讨论即可求解．12a +x x 2x +1a +x x 2x +1解答：解：（1）a=-1时，f（1）=0，f′（x）=-ln（x+1）+（-1）（），f′（1）=-ln2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-ln2（x-1）．（2）f（）=（x+a）ln（），定义域为（-∞，-1）∪（0，+∞），要使函数f（）的图像关于x=b对称，则由x≠0，且x≠-1，可知b=-，即f（）=（x+a）ln（）的图像关于x=-对称，则f（1）=（1+a）ln2，f（-2）=（-2+a）ln =（2-a）ln2，1x 21x 1x +11xx +1x 1x 121x x +1x 1212得1+a=2-a,解得a=．设F（x）=（x+）ln（），由F（x）-F（-1-x）=（x+）ln（）-（-1-x+）ln（1+）=（x+）ln •=0，即曲线y=f（）关于直线x=-对称，综上，a=，b=-；（3）由函数的解析式可得f′（x）=（-）ln（x+1）+（+a ），由f（x）在区间（0，+∞）存在极值点，则f′（x）在区间（0，+∞）上存在变号零点，令（-）ln（x+1）+（+a ）=0，则-（x+1）ln（x+1）+（x+ax 2）=0，令g（x）=ax 2+x-（x+1）ln（x+1），f（x）在区间（0，+∞）存在极值点，等价于g（x）在区间上存在变号零点，g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，此时g（x）＜g（0）=0，g（x）在区间（0，+∞）上无零点，不合题意，当a ≥，2a≥1时，由于＜1，∴g“（x）＞0，g′（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）=0，∴g（x）在区间（0，+∞）上无零点，不符合题意，当0＜a＜时，由g “（x ）=2a -=0，可得x=-1，当x∈（0，-1）时，g“（x）＜0，g′（x）单调递减，当x∈（-1，+∞）时，g“（x）＞0，g′（x）单调递增，∴g′（x）的最小值为g ′（-1）=1-2a+ln2a,令m（x）=1-x+lnx（0＜x＜1），则m′（x）=＞0，函数m（x）在定义域内单调递增，m（x）＜m（1）=0，∴1-x+lnx＜0恒成立，∴g ′（-1）=1-2a+ln2a＜0，令h（x）=lnx-x 2+x（x＞0），则h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x 2-x,当且仅当x=1时，取等号，∴g′（x）=2ax-ln（x+1）＞2ax-[（x+1）2-（x+1）]=2ax-（x 2+x），1212x +1x 12x +1x 121-1-x12x +1x x x +11x 1212121x 21x 1x +11x 21x 1x +11x +1121x +1121x +112a12a12a12a-x +1x12a-2+x +1x 2xg′（2a-1）＞2a（2a-1）-[（2a-1）2+（2a-1）]=0，∵g′（0）=0，∴根据零点存在定理得：g′（x）在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，当x∈（0，x 0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x 0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x 0）＜g（0）=0，令n（x）=lnx-，则n ′（x ）=-则函数n（x）=lnx-在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减，∴n（x）≤n（4）=ln4-2＜0，∴lnx＜，∴g（）=（+1）[a（+1）-ln（+1）--2a+1]＞（+1）[+a -ln （+1）+a -1-2a +1]=（+1）[-ln （+1）]＞（+1）（-＞（+=（+1）∴函数g（x）在区间（0，+∞）上存在变号零点，符合题意．综上，实数a得取值范围是（0，）．√x 1x 2x√x √x 4a 24a 24a 24a 21-a +14a 24a 24a 4a 24a 24a 4a 24a 24a 4a 2--11644a 2-11212（2023•乙卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（≤θ≤），曲线C 2：（α为参数，＜α＜π）．（1）写出C 1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、求m的取值范围．π4π2{x =2cosαy =2sinαπ2答案：（1）x 2+（y-1）2=1，（x∈[0，1]，y∈[1，2]）；（2）（-∞，0）∪（2，+∞）．√2解析：（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数m的取值范围．解答：解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（≤θ≤），根据转换为直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，因为≤θ≤，≤2θ≤π，x=ρcosθ=2sinθcosθ=sin2θ∈[0，1]，π4π2{x =ρcosθy =ρsinθ+=x 2y 2ρ2π4π2π2y=ρsinθ=2sin 2θ=1-cos2θ∈[1，2]，所以C 1的直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，x∈[0，1]，y∈[1，2]；（2）由于曲线C 1的方程为x 2+（y-1）2=1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C 2：（α为参数，＜α＜π），转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，（-2＜x＜0，0＜y＜2）；如图所示：由于y=x与圆C 1相交于点（1，1），即m=0，当m＜0时，直线y=x+m与曲线C 1没有公共点；当曲线C 2与直线y=x+m相切时，圆心C 22，解得m=2（负值舍去），由于直线y=x+m与曲线C 2没有公共点，所以m ＞2，故直线y=x+m既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、实数m的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．{x =2cosαy =2sinαπ2√2√2√2（2023•乙卷）已知f（x）=2|x|+|x-2|．（1）求不等式f（x）≤6-x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积．{f （x ）≤y x +y -6≤0答案：（1）不等式的解集为[-2，2]．（2）8．解析：（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）当x≥2时，f（x）=2x+x-2=3x-2，当0＜x＜2时，f（x）=2x-x+2=x+2，当x≤0时，f（x）=-2x-x+2=-3x+2，则当x≥2时，由f（x）≤6-x得3x-2≤6-x,得4x≤8，即x≤2，此时x=2．当0＜x＜2时，由f（x）≤6-x得x+2≤6-x,得2x＜4，即x＜2，此时0＜x＜2．当x≤0时，由f（x）≤6-x得-3x+2≤6-x,得2x≥-4，即x≥-2，此时-2≤x≤0．综上-2≤x≤2，即不等式的解集为[-2，2]．（2）不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：则B（0，2），D（0，6），由，得，即C（2，4），由，得，即A（-2，8），则阴影部分的面积S=S△ABD +S△BCD=×（6-2）×2+×（6-2）×2=4+4=8．{f（x）≤y x+y-6≤0{y≥2|x|+|x-2| x+y-6≤0{x+y-6=0 y=x+2{x=2 y=4{x+y-6=0 y=-3x+2{x=-2y=81212。
2023年全国卷新高考I卷数学真题解析
（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a cA C =，所以sin sin c A a C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCD a（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a'<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a '>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−）由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+， 即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。
2023新高考I卷数学试卷及答案(含解析)
2023新高考I卷数学试卷及答案(含解析)2023年新课标I卷数学高考试题及答案解析2023年全国新高考1卷哪几个省2023年使用新高考1卷的省份有8个,分别是广东、福建、湖北、河北、山东、湖南、江苏、浙江。
新高考1卷的语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题; 物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
至于广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省和浙江省是综合改革3+3省份。
2023高考数学答题技巧有哪些1、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;2、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;3、求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);4、求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;5、三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围。
2023高考数学万能解题套路1、高考中数学函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
3、高考数学的选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法。
4、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法。
5、恒成立问题或是它的反面，能够转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏。
2023高考数学新高考一卷打印版
2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数 学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ）A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2} 2. 已知1i 22i z −=+，则z z −=（ ） A. i − B. i C. 0 D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==−，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=−C. 1λμ=D. 1λμ=− 4. 设函数()()2x x a f x −=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A. (],2−∞−B. [)2,0−C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A. 3B.C.D.6. 过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B. 4C. 4D. 47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n 为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（ ）． A. 79 B. 19 C. 19− D. 79−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ）A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp p L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）．A. 12p p ≥B. 2310p p >C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150︒时，求2B P ．19. 已知函数()()e xf x a a x =+−． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于。
2023年新高考全国ll卷数学试卷(原卷版)
绝密★启用前试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．在复平面内，(13i)(3i)+−对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{0,}A a =−，{1,2,22}B a a =−−，若A B ⊆，则a = A ．2B ．1C ．23D ．13．某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果有A ．1452005200C C 种B ．4202000200C C 种 C ．3302000200C C 种 D ．2402000200C C 种4．若21()()ln 21x f x x a x −=++为偶函数，则a = A ．1−B ．0C ．12D ．15．已知椭圆221:3C x y += 的左焦点和右焦点分别为1F 和2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B两点，若△1F AB 的面积是△2F AB 的两倍，则m =A ．23B ．3C ．3−D ．23−6．已知函数()e ln x f x a x =−在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为 A ．2eB ．eC ．1e −D ．2e −7．已知α为锐角，cos α=，则sin 2α=A ．38−B ．18−+C ．34−D ．14−+8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S = A ．120B ．85C ．85−D ．120−二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2023新高考1卷数学试卷真题及答案
2023新高考1卷数学试卷真题及答案2023新高考1卷数学试卷真题2023新高考1卷数学试卷答案高考数学有效的复习方法数形结合法：“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在数学这一学科特点的基础上发展而来的。
在解答数学选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。
用这种方法，既方便解题又容易让人明白。
直接对照法：从数学题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照数学题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支。
筛选法：去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论，筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于数学错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。
高考数学答题注意事项1、规范答题很重要：找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
2023全国新高考数学1卷
高考数学试卷一、单选题1.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．34 D ．562.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=-3．要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ） A ．向右平移4π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2a cos A ，则cos A ＝（ ）A ．13B ．24C ．33D ．63 5.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.12 6．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ） A.∅ B.{}3,1,0,4-- C.{}2,3 D.{}0,2,37.已知函数()11f x x x =--，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3) 8.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ） A.{} 2345，，， B.{}234，， C.{}345，， D.{}34，二、填空题9．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______10.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题11.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+ （1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？。
精品解析：2023年全国新高考I卷数学试题(解析版)
绝密☆启用前 试卷类型:A2023年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己地姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处".2．作答选择题时,选出每小题解析后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项地解析信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析,解析不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,解析必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来地解析,然后再写上新地解析；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答地解析无效.4．考生必须保持答题卡地整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N = （ ）A. {}02x x ≤< B. 123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣,故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭,故选:D2. 若i(1)1z -=,则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【解析】D 【解析】【分析】利用复数地除法可求z ,从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i i z -===-,故1+i z =,故()()1i 1i 2z z +=++-=,故选:D【3. 在ABC 中,点D 在边AB 上,2BD DA =．记CA m CD n == ，,则CB=（ ）A. 32m n -B. 23m n-+C. 32m n+D. 23m n+【解析】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量地线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上,2BD DA =,所以2BD DA =,即()2CD CB CA CD -=- ,所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选:B ．4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时,相应水面地面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时,相应水面地面积为21800km ．,将该水库在这两个水位间地形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时,增加地水量约为2.65≈）（ ）A. 931.010m ⨯ B. 931.210m ⨯ C. 931.410m ⨯ D. 931.610m ⨯【解析】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台地高,即可利用棱台地体积公式求出．【详解】依题意可知棱台地高为157.5148.59MN =-=(m),所以增加地水量即为棱台地体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ,下底面积262180.018010S '==⨯km m ,∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选:C ．5. 从2至8地7个整数中随机取2个不同地数,则这2个数互质地概率为（ ）A.16B.13C.12D.23【解析】D 【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8地7个整数中随机取2个不同地数,共有27C 21=种不同地取法,若两数不互质,不同地取法有:()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8,共7种,故所求概率2172213P -==.故选:D.6. 记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭地最小正周期为T ．若23T ππ<<,且()y f x =地图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 1 B.32C.52D. 3【解析】A 【解析】【分析】由三角函数地图象与性质可求得参数,进而可得函数解析式,代入即可得解.【详解】由函数地最小正周期T 满足23T ππ<<,得223πππω<<,解得23ω<<,又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以3,24k k Z ππωπ+=∈,且2b =,所以12,63k k Z ω=-+∈,所以52ω=,5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A7. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,则（ ）A. a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. a c b<<【解析】C 【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-, 导数判断其单调性,由此确定,,a b c 大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-,因为1()111x f x x x'=-=-++,当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,当,()0x ∈+∞时()0f x '<,所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减,在(1,0)-上单调递增,所以1((0)09f f <=,所以101ln099-<,故110ln ln 0.999>=-,即b c >,所以1((0)010f f -<=,所以91ln+01010<,故1109e 10-<,所以11011e 109<,故a b <,设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<,则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-,2()e (21)x h x x x '=+-,当01x <<-时,()0h x '<,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减,11x <<时,()0h x '>,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增,又(0)0h =,所以当01x <<时,()0h x <,所以当01x <<时,()0g x '>,函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增,所以(0.1)(0)0g g >=,即0.10.1e ln 0.9>-,所以a c >故选:C.8. 已知正四棱锥地侧棱长为l ,其各顶点都在同一球面上.若该球地体积为36π,且3l ≤≤,则该正四棱锥体积地取值范围是（ ）A. 8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. [18,27]【解析】C 【解析】【分析】设正四棱锥地高为h ,由球地截面性质列方程求出正四棱锥地底面边长与高地关系,由此确定正四棱锥体积地取值范围.【详解】∵ 球地体积为36π,所以球地半径3R =,的设正四棱锥地底面边长为2a ,高为h ,则2222l a h =+,22232(3)a h =+-,所以26h l =,2222a l h =-所以正四棱锥地体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭,所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当3l ≤≤,0V '>,当l <≤,0V '<,所以当l =时,正四棱锥地体积V 取最大值,最大值为643,又3l =时,274V =,l =时,814V =,所以正四棱锥地体积V 地最小值为274,所以该正四棱锥体积地取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分．9. 已知正方体1111ABCD A B C D -,则（ ）A. 直线1BC 与1DA 所成地角为90︒ B. 直线1BC 与1CA 所成地角为90︒C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成地角为45︒ D. 直线1BC 与平面ABCD 所成地角为45︒【解析】ABD 【解析】【分析】数形结合,依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图,连接1B C 、1BC ,因为11//DA B C ,所以直线1BC 与1B C 所成地角即为直线1BC 与1DA 所成地角,因为四边形11BB C C 为正方形,则1B C ⊥1BC ,故直线1BC 与1DA 所成地角为90︒,A 正确；连接1AC ,因为11A B ⊥平面11BB C C ,1BC ⊂平面11BB C C ,则111A B BC ⊥,因为1B C ⊥1BC ,1111A B B C B = ,所以1BC ⊥平面11A B C ,又1AC ⊂平面11A B C ,所以11BC CA ⊥,故B 正确；连接11A C ,设1111A C B D O = ,连接BO ,因为1BB ⊥平面1111D C B A ,1C O ⊂平面1111D C B A ,则11C O B B ⊥,因为111C O B D ⊥,1111B D B B B ⋂=,所以1C O ⊥平面11BB D D ,所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成地角,设正方体棱长为1,则1C O =,1BC =,1111sin 2C O C BO BC ∠==,所以,直线1BC 与平面11BB D D 所成地角为30 ,故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ,所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成地角,易得145C BC ∠=,故D 正确.故选:ABD10. 已知函数3()1f x x x =-+,则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =地对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =地切线【解析】AC 【解析】【分析】利用极值点地定义可判断A ,结合()f x 地单调性、极值可判断B ,利用平移可判断C ；利用导数地几何意义判断D.【详解】由题,()231f x x '=-,令()0f x '>得x >x <,令()0f x '<得x <<所以()f x在(上单调递减,在(,-∞,)+∞上单调递增,所以x =是极值点,故A 正确；因(10f =>,10f =>,()250f -=-<,所以,函数()f x在,⎛-∞ ⎝上有一个零点,当x ≥时,()0f x f ≥>,即函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭+上无零点,综上所述,函数()f x 有一个零点,故B 错误；令3()h x x x =-,该函数地定义域为R ,()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-,则()h x 是奇函数,(0,0)是()h x 地对称中心,将()h x 地图象向上移动一个单位得到()f x 地图象,所以点(0,1)是曲线()y f x =地对称中心,故C 正确；令()2312f x x '=-=,可得1x =±,又()(1)11f f =-=,当切点为(1,1)时,切线方程为21y x =-,当切点为(1,1)-时,切线方程为23y x =+,故D 错误.故选:AC11. 已知O 为坐标原点,点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,过点(0,1)B -地直线交C 于P ,Q 两点,则（ ）A. C 地准线为1y =-B. 直线AB 与C 相切C. 2|OP OQ OA ⋅> D. 2||||||BP BQ BA ⋅>【解析】BCD 【解析】.【分析】求出抛物线方程可判断A ,联立AB 与抛物线地方程求交点可判断B ,利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 地代入抛物线方程得12p =,所以抛物线方程为2x y =,故准线方程为14y =-,A 错误；1(1)210AB k --==-,所以直线AB 地方程为21y x =-,联立221y x x y=-⎧⎨=⎩,可得2210x x -+=,解得1x =,故B 正确；设过B 地直线为l ,若直线l 与y 轴重合,则直线l 与抛物线C 只有一个交点,所以,直线l 地斜率存在,设其方程为1y kx =-,1122(,),(,)P x y Q x y ,联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩,得210x kx -+=,所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩,所以2k >或2k <-,21212()1y y x x ==,又||OP ==,||OQ ==,所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅===>=,故C 正确；因为1||||BP x =,2||||BQ x =,所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>,而2||5BA =,故D 正确.故选:BCD12. 已知函数()f x 及其导函数()'f x 地定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则（ ）A. (0)0f = B. 102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=【解析】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数地对称性,结合原函数与导函数图象地关系,根据函数地性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x ⎛⎫-⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)(2)g x g x +=-,所以()()3f x f x -=,(4)()g x g x -=,则(1)(4)f f -=,故C 正确；函数()f x ,()g x 地图象分别关于直线3,22x x ==对称,又()()g x f x '=,且函数()f x 可导,所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,所以()(4)()3g x g x g x -==--,所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=,所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误；若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件,所以无法确定()f x 地函数值,故A 错误.故选:BC.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是转化题干条件为抽象函数地性质,准确把握原函数与导函数图象间地关系,准确把握函数地性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中26x y 地系数为________________（用数字作答）．【解析】-28【解析】【分析】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+,结合二项式展开式地通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭,所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中含26x y 地项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-,()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中26x y 地系数为-28故解析为:-2814. 写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切地一条直线地方程________________．【解析】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=地圆心为()0,0O ,半径为1,圆22(3)(4)16x y -+-=地圆心1O 为(3,4),半径为4,5=,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l 时,因为143OO k =,所以34l k =-,设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l地距离1d ==,解得54t =,所以l 地方程为3544y x =-+,当切线为m 时,设直线方程为0kx y p ++=,其中0p >,0k <,14⎧=⎪⎪,解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,7252424y x =-当切线为n 时,易知切线方程为1x =-,故解析为:3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.15. 若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点地切线,则a 地取值范围是________________．【解析】()(),40,∞∞--⋃+【解析】【分析】设出切点横坐标0x ,利用导数地几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于0x 地方程,根据此方程应有两个不同地实数根,求得a 地取值范围.【详解】∵()e xy x a =+,∴(1)e x y x a '=++,设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为:()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点,∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得:2000x ax a +-=,∵切线有两条,∴240a a =+> ,解得4a <-或0a >,∴a 地取值范围是()(),40,∞∞--⋃+,故解析为:()(),40,∞∞--⋃+16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,C 地上顶点为A ,两个焦点为1F ,2F ,离心率为12．过1F 且垂直于2AF 地直线与C 交于D ,E 两点,||6DE =,则ADE 地周长是________________．【解析】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆地方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即,根据离心率得到直线2AF地斜率,进而利用直线地垂直关系得到直线DE 地斜率,写出直线DE 地方程:x c =-,代入椭圆方程22234120x y c +-=,整理化简得到:221390y c --=,利用弦长公式求得138c =,得1324a c ==,根据对称性将ADE 地周长转化为2F DE △地周长,利用椭圆地定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆地离心率为12c e a ==,∴2a c =,∴22223b a c c =-=,∴椭圆地方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即,不妨设左焦点为1F ,右焦点为2F ,如下图所示,∵222AF a OF c a c ===，，,∴23AF O π∠=,∴12AF F △为正三角形,∵过1F 且垂直于2AF 地直线与C 交于D ,E 两点,DE 为线段2AF 地垂直平分线,∴直线DE, 直线DE 地方程:x c =-,代入椭圆方程22234120x y c +-=,整理化简得到:221390y c --=,判别式()22224139616c c =+⨯⨯=⨯⨯ ,∴22264613c CD y =-==⨯⨯⨯=,∴ 138c =, 得1324a c ==, ∵DE 为线段2AF 地垂直平分线,根据对称性,22AD DF AE EF ==，,∴ADE 地周长等于2F DE △地周长,利用椭圆地定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故解析为:13.四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和,已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13地等差数列．（1）求{}n a 地通项公式；（2）证明:121112naa a +++< ．【解析】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列地通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=,得到()23n n n a S +=,利用和与项地关系得到当2n ≥时,()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得:111n n a n a n -+=-,利用累乘法求得()12n n n a +=,检验对于1n =也成立,得到{}n a 地通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）地结论,利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭,进而证得.【小问1详解】∵11a =,∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13地等差数列,∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时,()1113n n n a S --+=,∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得:()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n nn n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--,显然对于1n =也成立,∴{}n a 地通项公式()12n n n a +=；【小问2详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ ∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18. 记ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．（1）若23C π=,求B ；（2）求222a b c+地最小值．【解析】（1）π6； （2）5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差地余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A B A B =++化成()cos sin A B B +=,再结合π02B <<,即可求出；（2）由（1）知,π2C B =+,π22A B =-,再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B+-,然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++,即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=,而π02B <<,所以π6B =；【小问2详解】由（1）知,sin cos 0B C =->,所以πππ,022C B <<<<,而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以π2C B =+,即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-≥-=-．当且仅当2cos B =,所以222a b c +地最小值为5．19. 如图,直三棱柱111ABC A B C -地体积为4,1A BC 地面积为．（1）求A 到平面1A BC 地距离；（2）设D 为1AC 地中点,1AA AB =,平面1A BC ⊥平面11ABB A ,求二面角A BD C --地正弦值．【解析】（1（2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直地性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ,建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中,设点A 到平面1A BC 地距离为h ,则111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅== ,解得h =,所以点A 到平面1A BC 地距离为；【小问2详解】取1A B 地中点E ,连接AE ,如图,因为1AA AB =,所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ,平面1A BC 平面111ABB A A B =,且AE ⊂平面11ABB A ,所以AE ⊥平面1A BC ,在直三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面ABC ,由BC ⊂平面1A BC ,BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥,1BB BC ⊥,又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交,所以BC ⊥平面11ABB A ,所以1,,BC BA BB 两两垂直,以B 为原点,建立空间直角坐标系,如图,由（1）得AE =所以12AA AB ==,1A B =所以2BC =,则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 地中点()1,1,1D ,则()1,1,1BD = ,()()0,2,0,2,0,0BA BC == ,设平面ABD 地一个法向量(),,m x y z = ,则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ,可取()1,0,1m =- ,设平面BDC 地一个法向量(),,n a b c = ,则020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ,可取()0,1,1n =-r ,则1cos ,2m n m n m n⋅===⋅ ,所以二面角A BD C --=20. 一医疗团队为研究某地地一种地方性疾病与当地居民地卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）地关系,在已患该疾病地病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病地人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%地把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体地卫生习惯有差异？（2）从该地地人群中任选一人,A 表示事件"选到地人卫生习惯不够良好",B 表示事件"选到地人患有该疾病"．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 地比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度地一项度量指标,记该指标为R ．（ⅰ）证明:(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据,给出(|),(|)P A B P A B 地估计值,并利用（ⅰ）地结果给出R 地估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【解析】（1）解析见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 地值,将其与临界值比较大小,由此确定是否有99%地把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体地卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R .【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯,又2( 6.635)=0.01P K ≥,24 6.635>,所以有99%地把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体地卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅,所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅,(ii)由已知40(|)100P A B =,10(|)100P A B =,又60(|)100P A B =,90(|100P A B =,所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅21. 已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上,直线l 交C 于P ,Q 两点,直线,AP AQ 地斜率之和为0．（1）求l 地斜率；（2）若tan PAQ ∠=,求PAQ △地面积．【解析】（1）1-；（2．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ,易知直线l 地斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y ,再根据0AP BP k k +=,即可解出l 地斜率；（2）根据直线,AP AQ 地斜率之和为0可知直线,AP AQ 地倾斜角互补,再根据tan PAQ ∠=出直线,AP AQ 地斜率,再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 地坐标,即可得到直线PQ 地方程以及PQ 地长,由点到直线地距离公式求出点A 到直线PQ 地距离,即可得出PAQ △地面积．【小问1详解】因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上,所以224111a a -=-,解得22a =,即双曲线22:12x C y -=易知直线l 地斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得,()222124220k x mkx m ----=,所以,2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--,()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得,212111022y y x x --+=--,即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=,即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=,所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭,化简得,()2844410k k m k +-++=,即()()1210k k m +-+=,所以1k =-或12m k =-,当12m k =-时,直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ,与题意不符,舍去,故1k =-．【小问2详解】不妨设直线,PA PB 地倾斜角为(),αβαβ<,因为0AP BP k k +=,所以παβ+=,因为tan PAQ ∠=,所以()tan βα-=即tan 2α=-,2tan 0αα-=,解得tan α=,于是,直线):21PA y x =-+,直线):21PB y x =-+,联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得,(23211002x x +-+-=,因为方程有一个根为2,所以P x =,P y=,同理可得,Q x =Q y=所以5:03PQ x y +-=,163PQ =,点A 到直线PQ地距离d ,故PAQ △地面积为11623⨯=．22. 已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同最小值．（1）求a ；（2）证明:存在直线y b =,其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同地交点,并且从左到右地三个交点地横坐标成等差数列．【解析】（1）1a =（2）见解析【解析】的【分析】（1）根据导数可得函数地单调性,从而可得相应地最小值,根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时, e x x b -=地解地个数、ln x x b -=地解地个数均为2,构建新函数()e ln 2x h x x x =+-,利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 地大小关系,根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同地交点可得b 地取值,再根据两类方程地根地关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()e x f x ax =-地定义域为R ,而()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '>,此时()f x 无最小值,故0a >.()ln g x ax x =-地定义域为()0,+∞,而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时,()0f x '<,故()f x 在(),ln a -∞上为减函数,当ln x a >时,()0f x '>,故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数,故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时,()0g x '<,故()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,当1x a >时,()0g x '>,故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同地最小值,故11ln ln a a a a -=-,整理得到1ln 1a a a-=+,其中0a >,设()1ln ,01a g a a a a -=->+,则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++,故()g a 为()0,+∞上地减函数,而()10g =,故()0g a =地唯一解为1a =,故1ln 1a a a-=+地解为1a =.综上,1a =.【小问2详解】由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-地最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时,考虑e x x b -=地解地个数、ln x x b -=地解地个数.设()e x S x x b =--,()e 1x S x '=-,当0x <时,()0S x '<,当0x >时,()0S x '>,故()S x 在(),0-∞上为减函数,在()0,+∞上为增函数,所以()()min 010S x S b ==-<,而()e0b S b --=>,()e 2b S b b =-,设()e 2b u b b =-,其中1b >,则()e 20b u b '=->,故()u b 在()1,+∞上为增函数,故()()1e 20u b u >=->,故()0S b >,故()e xS x x b =--有两个不同地零点,即e x x b -=地解地个数为2.设()ln T x x x b =--,()1x T x x-'=,当01x <<时,()0T x ¢<,当1x >时,()0T x '>,故()T x 在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数,所以()()min 110T x T b ==-<,而()e e 0b b T --=>,()e e 20b b T b =->,()ln T x x x b =--有两个不同地零点即ln x x b -=地解地个数为2.当1b =,由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点,当1b <时,由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点,故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同地交点,则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-,其中0x >,故1()e 2x h x x'=+-,设()e 1x s x x =--,0x >,则()e 10x s x '=->,故()s x 在()0,+∞上为增函数,故()()00s x s >=即e 1x x >+,所以1()1210h x x x'>+-≥->,所以()h x 在()0,+∞上为增函数,而(1)e 20h =->,31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<,故()h x 在()0,+∞上有且只有一个零点0x ,0311e x <<且:当00x x <<时,()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <,当0x x >时,()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >,因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同交点,故()()001b f x g x ==>,此时e x x b -=有两个不同地零点1010,(0)x x x x <<,此时ln x x b -=有两个不同地零点0404,(01)x x x x <<<,故11e x x b -=,00e x x b -=,44ln 0x x b --=,00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44e x b x -=即()44e 0x b x b b ----=,故4x b -为方程e x x b -=地解,同理0x b -也为方程e x x b -=地解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=,故1x b +为方程ln x x b -=地解,同理0x b +也为方程ln x x b -=地解,所以{}{}1004,,x x x b x b =--,而1b >,故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛:函数地最值问题,往往需要利用导数讨论函数地单调性,此时注意对参数地分类讨论,而不同方程地根地性质,注意利用方程地特征找到两类根之间地关系.的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2023高考新高考一卷数学试题2023高考新高考一卷数学试题 1
高考数学难吗多地考生发声
6月7日下午5时，考生陆续走出考场，对于今年的数学题，有的考生觉得很难，不过也有的考生觉得很容易。
今年高考数学难吗甲卷数学2023年高考数学难度
广东多名考生表示，今年的数学题目比起去年简单很多，直呼数学考140分不是困难。
湖北武汉，一位走出考场的考生表示，有难度但比去年简单，也有考生表示，数学大题的顺序变了。
不过，更多的考生表示，今年高考甲卷数学，真的是边考边哭。
有考生调侃称，今年新高考二卷数学的卷子质量很好，拿到手以后答题卡很有质感，没有色差，手感很棒，摸上去很舒服，监考老师的服务态度也很好，考场也很舒服、满意，明年还会来。
今年数学冰火两重天的局面，也让一些考生表示，现在的状况是22届在骂，23届崩溃，24届焦虑。
不少考生在具体形容今年高考北京卷数学试题难易程度时，不同考生的表述有一些差异。
有部分考生表示，“跟去年北京高考数学难度差不多”，也有考生感觉“可能比去年高考数学试题难一点”。
还有些考生表示，“跟平时模拟试题难度差不多，或者更难。
”
14个省份采用新高考模式
多地警方多措护航高考
2023年全国高考报名人数为1291万人，比去年增加98万人，再创历史新高。
其中，全国设7726个考点，34.5万个普通考场，2.6万个备用考场，安排监考员101.3万人。
今年，教育部为11个省的盲人考生专门命制统考盲文卷。
此外，全国还为1万余名残障考生提供合理便利和力所能及的帮助。
教育部教育考试院相关负责人介绍，2023年新老高考并行、部分省份新旧课标交替，教育部教育考试院命制了供旧课标省份使用的全国甲卷、全国乙卷，供新课标省份使用的新课标(I、II)卷。
全国甲卷、乙卷依据实验版课程标准命制，保持命题风格、题型题量稳定。
新课标卷依据新课程标准命制，同时充分考虑新进改革省份教学实际，确保考教平稳衔接。
截至目前，全国29个省份已启动新高考改革，今年，共有14个省份采用新高考模式，分别为浙江、上海、北京、天津、山东、海南、河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆。
高考第一天，各地警方多措护航高考。
如北京警方专门开通爱心护考“绿色通道”，对涉高考报警求助做到第一时间响应处置，为忘带身份证、准考证、遇到交通拥堵或极端天气的考生提供救助服务，全力保障考生安全参考。
上海警方共出动3000余名警辅安保力量，为上海全市100余个考点，5万余名考生护航。
部分省份高考结束
多地公布查分时间
2023年高考全国统考于6月7日、6月8日举行，各地的高考结束时间不一。
其中，山西、安徽、四川、云南、河南、贵州、广西、吉林、陕西、宁夏等地的高考将在8日下午结束，其余省份则在6月9日、6月10日陆续结束。
目前，也有部分省份公布了查分时间。
北京的高考评卷工作的时间为6月8日至24日，高考成绩公布为6月25日，本科志愿填报为6月27日至7月1日，本科批次录取为7月6日至7月21日。
安徽预计于6月24日公布各批次录取控制分数线和考生成绩，将于6月10日起开通10路高招咨询热线。
甘肃省教育考试院明确，普通高考成绩将于6月25日公布，全省各批次各类别录取分数线将一次确定、一次公布。
普通高校招生录取工作将于7月5日开始，8月20日结束。
陕西预计6月24日12:00公布成绩。
填报志愿分3个阶段进行：提前批次(含文史类、理工类专科、艺术类专科和体育类专科)、单设本科批次、本科一批、职教单招(本、专科)志愿在6月24日12：00至6月27日12：00填报；本科二批志愿在本科一批录取结束后填报；高职(专科)志愿在本科二批录取结束后填报。
海南的高考成绩预计6月25日公布，今年的志愿填报和录取程序、办法等与去年基本相同。
录取工作将从7月10日开始，预计到8月15日左右结束。
赶考路上需注意！
这些地区雨水频繁
近日，福建、江西、广西等地近期遭遇强降雨，局地形成洪涝灾害，湖南、广东、四川等地部分地区持续高温，教育部正
在指导各地妥善应对。
目前，各地考试工作均在有序正常进行。
据中国气象局消息，预计，今年高考期间，我国高温天气范围不大，南方降水频繁，但极端性不强，整体天气对高考较为有利。
7日至10日，恰逢南方新一轮降水过程上线，江南、华南、云贵高原、四川南部等地降雨频繁，上述地区将自北向南出现中到大雨，局地暴雨。
这轮降雨过程极端性不强，但贵州、湖南、江西、安徽、浙江、上海、福建等地累计雨量较大，考生需密切关注天气预报、预警信息，提前规划赴考路线，避免降雨对赶考产生的不利影响。
在北方，东北、华北、黄淮等地也需要防范雷雨。
受冷涡影响，上述地区高考期间阵雨或雷雨频繁，多地午后至夜间可能出现强对流天气。
考生及家长需注意携带雨具，关注最新预报、预警信息，合理安排赶考时间，并注意交通安全。
气温方面，6月7日至10日，我国不会出现大范围持续高温天气，而在京津冀、山东、河南、四川盆地、新疆等地的部分地区将有1至3天的35℃以上高温天气，白天以晴晒为主，夜间则会比较凉爽。
气象专家建议，考生出行需注意防雨防风防雷，建议考场做好防暑降温准备，考生需注意补水降温，预防中暑。