随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.

1-9 已知随机变量X 的分布函数为

2

0,0(),01

1,

1X x F x kx x x <⎧⎪

=≤≤⎨⎪>⎩

求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解：

第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1

第②问

{}{}{}

()()

0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-

第③问 201

()()0

X X x

x d F x f x else

dx ≤<⎧==⎨

⎩

1-10已知随机变量X 的概率密度为()()

x

X f x ke

x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：

①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1

1

2

f x dx k ∞

-∞==⎰ 第②问

{}()()()21

1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰

随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()

1

0101011

12

P X P X f x dx

e -<<=<≤==-⎰

第③问

()102

10

2

x

x e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨

⎪>⎪⎩

()00()1100

2

2111010

2

22

x

x x

x

x x x x F x f x dx

e dx x e

x e dx e dx

x e x -∞

-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨

⎨

⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰

⎰⎰⎰

1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

,(01)p q λ

→∞→→∞→−−−−−−−−→

−−−−−−−−→

−−−−−−−−→n=1

n ,p 0,np=n 成立，0不成立

-分布

二项分布泊松分布

高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案

0.1

P(2)1 1.1k e -≥=-10

0.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布

()np

!

k e P X k k λ

λλ-=＝

＝

1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为

(34)0,0

(,)0x y XY ke

x y f x y -+⎧>>⎪=⎨

⎪⎩

,,其它

求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？

第③问 方法一：

联合分布函数(,)XY F x y 性质：

若任意四个实数1

2

1

2

,,,a a b b ，满足

1212,a a b b ≤≤，则

121222111221{,}(,)(,)(,)(,)

XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--

{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--

方法二：利用

(){(,)},XY D

P x y D f u v dudv

∈∈⎰⎰

)(21

0{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰

⎰

1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为

101,(,)0x y x

f x y ⎧<<<=⎨⎩

,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度()X f x 、()Y f y

注意上下限的选取

()X 2,01

,01(),00,x

x XY x x dy x f x f x y dy else else +∞--∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨

⎩⎪⎩

⎰⎰， ()1

1

,01

1||(),,100

11,y Y XY y

dx

y y f y f x y dx dx y else

y else

+∞-∞

-⎧

<<⎪

-⎪

⎧===⎨

⎨-<<-<<⎩⎪⎪⎩

⎰⎰⎰

1-14 已知离散型随机变量X 的分布律为

求：①X 的分布函数31X +的分布律

1-15 已知随机变量X 服从标准高斯分布。求：①随机变量X

Y e =的概率密度？②随机变量Z X =的概率密度？ 分析:①[]()'()()Y X f y h y f h y =⋅

②1122()|'()|[()]|'()|[()]Y X X f y h y f h y

h y f h y =⋅+⋅

答案:

()2

2

ln 2

2

100()()00

y z Y Z e y z f y f z else

else

-

-⎧>≥==⎩

⎩