洛必达法则公式表
洛必达法则和导数应用
1 cos x cos 3 x 3 x cos 2 x sin x lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x[sin x 3 x cos x sin x ] lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x sin 2 x 3 x cos 2 x sin x lim[ ] 2 2 cos 1 x 0 6x 6x
x x
x
0 型 0
e x e x xe x 1 lim 12 x x 0 12
1 f ( x )在点x 0处可导, 且f (0) . 12
例4
x
lim ln(1 e
2x
2 ) ln(1 ) x
lim
ln(1 e
2x
)
注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明
二. 函数的极值,最值
例11 若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数
f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
( A)• {an }单调递增； (B)• {an }单调递减； (C )• {a2n }单调递增 , {a2n1 }单调递减 ; ( D)• {a2n }单调递减 , {a2n1 }单调递增 .
x2 x2
x2 x2
x2
x2
lim (e t e t ) 2
t 0
解法二 lim e
e x 0 sec x cos x
x2 2 x2
x2
x2
e (e 1) lim x 0 sec x (1 cos 2 x )
e 2 x2 lim lim x 0 sec x x 0 sin 2 x
高考培优点 洛必达法则
跟踪训练 1 若∀x∈[1，＋∞)，不等式 ln x≤mx－1x恒成立，求实数 m 的 取值范围.
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
当 x>1 时，m≥xx2l－n x1恒成立，
令 h(x)＝xx2l－n x1，x>1，
则
h′(x)＝ln
x＋1x2－1－2x·xln x2－12
x＝x2－x2lxn2－x－1ln2
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
lim
x→a
gfxx＝lxi→ma
gf′′xx＝lxi→ma
gf″″xx，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
0 题型一 用洛必达法则处理 型函数
0
例 1 设函数 f(x)＝2＋sincoxs x.如果对任何 x≥0，都有 f(x)≤ax，求 a 的取值 范围.
思维升华
∞
∞
用洛必达法则处理∞型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现∞型式子；(3)运
用洛必达法则求值.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a， 求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
12
且 h(x)>h(0)＝0，所以 g′(x)＝hxx2>0，
从而 g(x)＝ex－x 1在(0，＋∞)上单调递增，
所以 a≤lim x→0
ex－1 x.
由洛必达法则得lim x→0
g(x)＝lim x→0
ex－x 1＝lxi→m0
e1x＝1，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20
ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
数学洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理word精品文档6页
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则的定义
洛必达法则的定义-理解物质守恒的基本法则物质是不可以被创造和毁灭的，但它可以改变形式。
洛必达法则是阐述物质守恒的基本法则之一，它告诉我们当一个物体或系统被应用力作用时会发生什么。
传统的新托尼科学认为，一切都可以通过加强力来变得更好。
然而，洛必达法则在这个观点的基础上提出了自己的见解。
它告诉我们力可能使一个物体获得动能或者使它失去动能。
有哪些？可以有多种形式，我们可以从不同的方面去理解它，例如：Ⅰ、洛必达法则定义洛必达法则是动能定理的推广，它表明在受到应用力系统的动能不断变化时，动能变化率等于应用力对系统做的功率。
这个定义是洛必达法则最基本的定义。
Ⅱ、从力学的角度来看洛必达法则力学定律告诉我们所有的事情都是有规律可循的。
洛必达法则只是其中一个定律，它的意义就是告诉我们，当一个物体或系统受到应用力时，会产生什么样的结果。
应用力就是让物体或系统发生运动或者改变运动状态的力。
当应用力加到物体或系统上时，物体或系统就会获得动能。
这个动能指的是物体或系统的动量和速度。
Ⅲ、洛必达法则的两种形式洛必达法则有两种形式。
第一种形式描述一个单一物体或系统的动能变化率。
它的公式如下：F=ma，其中F是应用力，m是质量，a是加速度。
第二种形式描述所有受到力的物体或系统的和。
公式如下所示：ΣF=ma，其中ΣF是所有力的总和，m是物体或系统的质量，a是加速度。
洛必达法则常见的应用场景洛必达法则在物理学中的应用广泛，如：Ⅰ、基本的物理实验在物理实验中，洛必达法则被广泛应用。
例如，一个弹簧压缩机内的弹簧受到了一个力，它会获得动能。
这个动能可以测量物体的质量，加速度和力之间的关系。
Ⅱ、分析动量转移洛必达法则是理解动量和速度转移的基础。
例如，当一个棒球击中一个球棒上时，洛必达法则告诉我们棒球速度变化的原因。
如果棒球击中的力大于球棒反作用力，那么棒球就会减速；如果碰撞力小于反作用力，棒球会加速。
Ⅲ、设计机械系统洛必达法则可以用来设计机械系统。
3.2 洛必达法则
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
洛必达法则
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. ④洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a），而其他的如1*∞等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则的证明方法
洛必达法则的证明方法洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中经典的一个公式，常用于求解极限问题。
洛必达法则的精髓是通过对于分子和分母同时求导数，以得到更简单的极限值。
本文将详细阐述洛必达法则的证明方法，希望能帮助大家更好地理解和使用它。
一、洛必达法则的基本形式设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=a$ 处两侧连续，且 $g'(x)\neq 0$，则有$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$当两个极限值都存在或都为 $\infty$ 或都为 $-\infty$ 时，上式成立。
二、洛必达法则的应用洛必达法则可以解决许多涉及无穷小量的极限问题。
我们可以采用以下的一般步骤：1. 将极限表达式化为 $\dfrac{0}{0}$ 或$\dfrac{\infty}{\infty}$ 的形式。
2. 将分子和分母同时求导数。
3. 计算所得导数的极限值。
如果存在，则该极限值即为原极限的值。
三、洛必达法则的证明方法洛必达法则的证明可以分为以下三个步骤：1. 构造函数 $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$2. 将 $h(x)$ 在 $x=a$ 处进行泰勒展开，得到$h(x)=\frac{(x-a)f'(a)+(x-a)r_1(x)}{(x-a)g'(a)+(x-a)r_2(x)}$其中 $r_1(x)$ 和 $r_2(x)$ 为当 $x \to a$ 时 $O((x-a)^2)$ 级别的无穷小量。
3. 对于分子和分母进行合并，得到 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}$当 $x \to a$ 时，$(x-a)r_1(x)$ 和 $(x-a)r_2(x)$ 均趋于零，因此$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$因此，洛必达法则得证。
极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开
极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开洛必达法则和泰勒展开是数学中极限的计算方法，它们在求解复杂函数的极限问题时非常有用。
本文将详细介绍这两种计算方法的原理和应用。
一、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的方法，它是由17世纪法国数学家洛必达提出的。
当我们计算一个函数的极限时，如果得到的是0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以运用洛必达法则来求解。
洛必达法则的思想是利用两个函数的导数之商来逼近函数的极限，具体步骤如下：1. 若极限形式为0/0或无穷大/无穷大，先对分子函数和分母函数分别求导；2. 如果导数的极限存在，即可得到原极限的结果。
如果导数的极限不存在，或者求导后的函数仍然为0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以继续使用洛必达法则。
以下是一个应用洛必达法则求解极限的示例：设函数f(x) = (sinx - x)/x^3，求lim(x→0) f(x)的极限。
解：首先对函数f(x)分子分母求导，得到f'(x) = (cosx - 1)/x^3 - 3sinx/x^4。
然后计算极限lim(x→0) f'(x)，仍然得到0/0的形式。
再次对f'(x)进行求导，得到f''(x) = (-2sinx - 9cosx)/x^4 +12sinx/x^5。
继续计算极限lim(x→0) f''(x)，仍然得到0/0的形式。
最后再对f''(x)求导，得到f'''(x) = (-16sinx - 4cosx)/x^5 -60cosx/x^6。
继续计算极限lim(x→0) f'''(x)，得到极限值为-4/3。
因此，lim(x→0) f(x)的极限为-4/3。
二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。
根据泰勒定理，如果一个函数在某点处存在各阶导数，则可以用一个多项式逼近该函数。
泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n(x)其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f^(n)(a)表示函数在点a 处的n阶导数，R_n(x)为余项。
洛必达法则
=
m(m为正整数), 则
lim
x→+∞
xα ex
= 0.
(2)当α不是正整数,则总有正整数k使α − k < 0,于是连续求k次导数后,
xα
有 lim x→+∞
ex
=
lim
x→+∞
αxα
ex
−1
=
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α −
ex
k
+ 1)
⋅
xα
−k
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α
xk −α e x
x→x0 g′(x)
x→x0 g(x) x→x0 g′(x)
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
1
用该方法求极限有许多优点 :
(1) :当f (x), g(x)的零因子无法以(x − x0 )的幂形式表现出来时, f (x)
就不能用消去公因子来求 lim . x→x0 g(x)
x→0+
1 (−1) x −1
=
lim (−x) = 0.
x→0+
错解 : lim x ln x = lim x = lim 1 = lim[−x(ln x)2 ] = lim − x
x→0+
1 x→0+ ln x
x→0+
−
1 (ln x)2
1 x
x→0+
1 x→0+ (ln x)2
= lim
−1
= lim 1 x(ln x)3 = 1 lim x = 1 lim
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。
在微积分中，极限是一个基础概念，它被广泛应用于求导、积分和微分方程等数学领域。
在本文中，我们将介绍两个极限公式，它们是极限理论中的重要公式。
一、夹逼定理夹逼定理是极限理论中的一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
更具体地说，夹逼定理可以用以下公式表示：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]上有定义，且对于该区间内的任意x，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果lim g(x) = lim h(x) = L，那么lim f(x) = L。
这个定理的证明比较简单，我们可以通过使用不等式来证明。
具体来说，我们可以使用以下不等式：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以当x趋近于某一点时，g(x)和h(x)都会趋近于L。
因此，我们可以把上述不等式两侧同时取极限，得到：lim g(x) ≤ lim f(x) ≤ lim h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以L ≤ lim f(x) ≤ L这意味着当x趋近于某一点时，f(x)的极限将趋近于L。
因此，我们可以得出结论：当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
二、洛必达法则洛必达法则是极限理论中的另一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。
更具体地说，洛必达法则可以用以下公式表示：设函数f(x)和g(x)在某一点x0的某个去心邻域内有定义，且在该点上f(x0) = g(x0) = 0。
如果lim f'(x)/g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)在点x处的导数），那么lim f(x)/g(x)也存在，且lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。
洛必达公式
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
2洛必达法则
2
2
2
例7 求
tan x lim x π 2 tan 3 x
型
sin x tan x cos x lim 解: lim x π x π 2 sin 3 x 2 tan 3 x cos 3 x sin x cos 3x lim lim π x 2 sin 3 x x π 2 cos x
sin 2 x lim 0 x0 3 x
3x lim 2 x0 sin x
4x lim 2 4 x x 1
x lim 2 0 x x 1
0 0
x2 1 lim x x
型）或两个
由于两个无穷小量之比的极限（
无穷大量之比的极限（ 型），有的存在，有的不
型
例7 解:
lim 2 3 x π cos x 2
tan x 求 lim 型 x π 2 tan 3 x 1 2 tan x cos x lim lim x π x 3 2 tan 3 x 2 2 cos 3x 1 cos 3x 0
π 2
0
型
sin 6 x 0 1 2cos3x(3sin 3 x) 型 lim lim π x 2 sin 2 x 0 3 x π 2cos x( sin x) 2
2． (uv) uv uv
u u v uv 3. (v 0) 2 v v
三、复合函数的求导法则：
复合函数的导数等于复合函数对中间变 量的导数与中间变量对自变量的导数之积．
2.5 洛必达法则
0 0
sin x 1 lim x 0 3 x 3
洛必达法则汇总
直线 y x 为曲线 y 的斜渐近线 .
(4) 以函数的不连续点( x 1), 驻点 ( x 3, x 0, x 3 ) 和可能拐点的横坐标为 分点,
列表如下:
x (, 3) 3 ( 3,1) 1 ( 1,0) 0
y
( 0,1)
y
0
极大值
(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是(a , b )内
的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
0 0
拐点
yHale Waihona Puke xy1(1, 3 )
3
( 3,)
0
y
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻 点，则该点的
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洛必达法则公式表
德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛
必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达
法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。
下
面是洛必达法则的公式表及其详细解释。
F=m*a
解释：
F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）
m：物体的质量，单位为千克（kg）
a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）
根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。
当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合
力减小时，加速度也会相应减小。
同时，物体的质量也会影响其加速度，
质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。
a=F/m
这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。
这
意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。
另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：
F=m*Δv/Δt
这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。
速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变
化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。
总结：
洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为
物体的质量，a为物体的加速度。
根据洛必达法则，合力与加速度之间存
在直接的关系，质量也会影响加速度。
公式也可以重写为a=F/m或
F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。
洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。