洛必达法则

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诺比达法则公式

诺比达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。

洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。

洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。

⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。

当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。

比如说利用泰勒公式解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

洛必达法则

一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定

高数洛必达法则

与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联，可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法则求解。
多元函数洛必达法则的应用条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分学中的一个重要定理，用于求解不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必达法则求解函数的极值点，进而确定不等式的解集。

洛必达法则

求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a

洛必达法则

§3.2 罗必达法则当( 或)时，两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在。

通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为型或型。

对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。

求不定式极限有一种简便方法 —— 罗必达法则，见下述两个重要定理。

一、基本类型的不定式型【定理一】设(1)、当时，函数及都趋于零；(2)、及在点的某个邻域内(点本身除处)存在，且；(3)、存在(或无穷大)，则。

【证明】因为求极限与函数值、无关，那么我们可设：，这并不会影响极限。

由这一假设及条件(1)、(2)两款知：与在点的某个邻域内是连续的，设是这邻域内的一点，x a →x →∞f x ()F x ()lim()()()x a x f x F x →→∞00∞∞00,∞∞x a →f x ()F x ()'f x ()'F x ()a a '≠F x ()0lim()()x a f x F x →''lim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''lim()()x a f x F x →f a ()F a ()f a F a ()()==0lim()()x a f x F x →f x ()F x ()ax那么在以及为端点的区间上，与全部地满足柯西中值定理的条件，因此有当时，，而由(3)款知故。

为了更好地使用这一定理求极限，给出几点重要注解：1、此定理用来处理时的型不定式极限问题。

这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。

2、如果极限仍属于型，且、又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。

即3、如果不存在，不能断言也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。

反例：极限存在，而使用罗必达法则不存在。

【例1】求极限(1)、(2)、x a f x ()F x ()f x F x f x f a F x F a f F ()()()()()()()()=--=''ξξx a →ξ→a lim ()()lim ()()x a x a f F f x F x →→''=''ξξlim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''x a →00lim()()x a f x F x →''00'f x ()'F x ()lim()()lim ()()lim()()x a x a x a f x F x f x F x f x F x →→→=''=''''lim()()x a f x F x →''lim()()x a f x F x →limsinlim sin x x x x x x x →→⋅=⋅=020110limsinlim(sin cos )x x x x x x x x →→⋅=⋅-0201211lim x e x x→-01limcos x x x →-012【解】上述定理仅是适合于时的型不定式；对于时的型不定式，我们也有相应定理。

洛必达法则详解

洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。

该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。

洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。

在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。

而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。

洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。

首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。

即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。

其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。

少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。

这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。

然而，洛必达法则也存在一些争议。

一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。

他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。

此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。

总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。

它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。

然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。

洛必达法则

lim
x□
x□
例: lim
sin x x
x 0
lim
(sin x ) ( x )
x 0
lim
co s x 1
x 0
1
0 型 0
e 1
x
例:求 lim
x 0
x x
2
例:求 lim
x x6 x4
x 4
例:求 lim
(1 x ) 2 ln x
原式 lim
nx
n1
x
e
x
lim n!
n ( n 1) x
n2
x
e
2
x
...... lim
x
e
n
x
0.
洛必达法则失效
例:求 lim x
x s in x x s in x x s in x x s in x lim 1 cos x 1 cos x
(3)该法则并非总是求极限的最简便方法.
(0 ) 型
可将乘积化为除的形式,即化为式来计算.0 0或Fra bibliotek型的未定
例:求 lim x ln x
x 0

例:求 lim x cot x
2 x 0
1
1
例:求 lim x ( e x 1)
x
思考: lim x 2 e x
x 0

型
洛必达法则定义若当 x x 0 (或 x )时,两个函数 f (x)
与 g(x) 都趋于零或都趋于无穷大,则极限
x x0
( x )
lim
0 或型未定式. 称为 0 g( x)

洛必达法则

洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则洛必达法则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。

经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。

(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。

例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。

例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。

针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。

例：求解：原式======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。

(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=洛必达法则注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。

但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

洛必达法则

洛必达法则一、00型约定用“0”表示无穷小，用“∞”表示无穷大.已知两个无穷小之比00或两个无穷大之比∞∞的极限可能有各种不同的情况.因此，求00或∞∞形式的极限都要根据函数的不同类型选用相应的方法，洛必达法则是求00或∞∞形式的极限的简便方法. 00或∞∞都称为待定型。

约定用“1”表示以1为极限的一类函数，待定型还有五种：0•∞，1∞，00 ，∞0，∞1，-∞2 这五种待定型都可以化为00或∞∞的待定型，例如:0•∞=∞10 =00 或 0•∞=01∞=∞∞. 1∞=e 1ln ∞=e 0•∞.00=e 0ln 0= e ∞•0.∞0=e ∞ln 0= e ∞•0.=∞∞∞-∞=∞-∞=∞-∞2112212*********0. 洛必达法则1 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1) 在a 的某去心领域)(0a U 可导，且0)('≠x ϕ；2) 0)(lim =→x f a x 与0)(lim =→x a x ϕ； 3) l x a x =→)((x)f lim ''ϕ.则l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证法证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与)(x ϕ在a 满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与)(x ϕ在a 作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数(x )f(x )ϕ在a 的极限与函数f(x)与)(x ϕ在a 的函数值无关.证明将函数f(x)与)(x ϕ在a 作连续延拓，即设⎩⎨⎧=≠=;,0,),()(1a x a x x f x f ⎩⎨⎧=≠=;,0,),()(1a x a x x x ϕϕ ∈∀x )(0a U .在以x 与a 为端点的区间上函数)(1x f 与)(1x ϕ满足满足柯西中值定理的条件，则在x 与a 之间至少存在一点c ，使)()()()()()('1'11111c c f a x a f x f ϕϕϕ=--. 已知)(1a f =)(1a ϕ=0，a x ≠∀，有)()(1x f x f =与)()(1x x ϕϕ=，)()(''1c f c f =，)()(''1c c ϕϕ=.从而，(x )f(x )ϕ=)((c)f ''c ϕ. 因为c 在x 与a 之间，所以当a x →时，有a c →，有条件3），有l x a c a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ=)((x )f lim ''x a x ϕ→. 洛必达法则2 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1)0>∃A ,在(-A -∞,)与(+∞,A )可导，且)('x ϕ0≠；2）0)(lim =∞→x f x 与0)(lim =∞→x x ϕ；3）l x x =∞→)((x)f lim ''ϕ 则l x x x ==∞→∞→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证法应用换元法设y x 1=，就将∞→x 换成0→y .于是，函数)1(y f 与)1(y ϕ在y=0的领域内满足洛必达法则1.由洛必达法则1可证洛必达法则2.证明设yx 1=.∞→x ⇔0→y .从而， (x )f(x )lim ϕ∞→x =)1()1(lim 0yy f y ϕ→，其中0lim →y )1(y f =0与0lim →y )1(yϕ=0.根据洛必达法则1，有 )1()1(lim 0y y f y ϕ→=''0)]1([)]1([lim y y f y ϕ→==--→)1)(1()1)(1(lim 2'2'0yy y y f y ϕ)1()1(lim ''0y y f y ϕ→=l x x =∞→)((x )f lim ''ϕ 即l x x x ==∞→∞→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 应用洛必达法则，而极限)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→仍是00的待定型，这是只要导函数(x )f '与)('x ϕ仍满足洛必达法则的条件，特别是极限)((x)f lim '''')(x x a x ϕ∞→→存在，则有)(f(x)lim )(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '''')(x x a x ϕ∞→→一般情况，若)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→，)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→，…，)((x)f lim )1(1)-(n )(x n x a x -∞→→ϕ 都是00的待定型，而导数(x )f 1)-(n 与(x )1)-(n ϕ满足洛必达法则的条件，特别是极限)((x)f lim )((n))(x n x a x ϕ∞→→存在，则有)(f(x)lim )(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→=…=)((x)f lim )((n))(x n x a x ϕ∞→→. 例1 求极限).0,0(lim 0>>-→b a x b a x x x (00) 解由洛必达法则1，有=-→x b a x x x 0lim =-→''0)()(lim x b a x x x 1ln ln lim 0b b a a x x x -→=ln a-ln b=ln b a . 例2 求极限x x x 1sin arctan 2lim -+∞→π.(00) 解 x x x 1sin arctan 2lim -+∞→π=x xx x 1cos 111lim 22-+-+∞→=x x x x 1cos 11lim 22++∞→=1. 例3 求极限.sin cos sin lim 30x x x x -→ (00) 解 x x x x 30sin cos sin lim -→='3'0)(sin )cos (sin lim x x x x -→=x x x x x cos sin 3sin lim 20→=x x x x cos sin 3lim 0→(00) =''0)cos sin 3()(lim x x x x → =)sin (cos 31lim 220x x x -→=31 例4 求极限.sin 2lim 0x x x e e x x x ----→(00)解 x x x e e x x x sin 2lim 0----→=.cos 12lim 0x e e x x x --+-→(00) =x e e x x x sin lim 0-→-(00) =2cos lim 0=+-→xe e xx x 二、∞∞型洛必达法则3 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1)在a 的某去心领域)(0a U 可导，且0)('≠x ϕ； 2) ∞=→)(lim x a x ϕ,∞=→)(lim x f a x ； 3)l x a x =→)((x)f lim ''ϕ. 则l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证明只证明-→a x 情况.同法可证+→a x 情况. 由条件3)，0>∀ε，∈∃1x )(0a U ，a x <<∀ξξ1:，有 εξϕξ<-l f )()(''. (1) 取定1x .),(1a x x ∈∀,函数f(x)与)(x ϕ在区间[x x ,1]满足柯西中值定理的条件，根据柯西中值定理，∈∃c ),(1x x ，有 )()()()()()(''11c c f x x x f x f ϕϕϕ=-- 或 l c c f l x x x f x f -=---)()()()()()(''11ϕϕϕ，x c x <<1. 用)()(1x x ϕϕ-乘上式的等号的两端，有=---)]()([)()(11x x l x f x f ϕϕ[l c c f -)()(''ϕ][)()(1x x ϕϕ-]=-)()(x l x f ϕ[l c c f -)()(''ϕ][)()(1x x ϕϕ-]+[)()(11x l x f ϕ-]. 对上式再除以)(x ϕ，有l x x f -)()(ϕ=[l c c f -)()(''ϕ][)()(11x x ϕϕ-]+)()()(11x x l x f ϕϕ-. (2) 由条件2),有(1x 是常数)(x))(x lim 1ϕϕ-→a x =0 与 (x))(x l -)f(x lim 11ϕϕ-→a x =0. 从而，对上述的a x x x x x <<∀>∃>212:,,0ε，同时有 1(x))(x 1<ϕϕ 与εϕϕ<(x))(x l -)f(x 11. 由于c: x c x <<1,有a c x <<1，由(1)式，有εϕ<-l x x f )()(''. 于是，由(2)式，a x x x <<∀2:，有 |l x x f -)()(ϕ|≤|l c c f -)()(''ϕ|•(1+(x))(x 1ϕϕ)+(x))(x l -)f(x 11ϕϕ<εεε3)11(=++, 即 l a x =-→(x )f(x )lim ϕ. 同法可证， l a x =+→(x )f(x )limϕ 于是 l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ 在洛必达法则3中，将a x →换成∞→x ，且满足相应的条件，结论仍然成立.证法与洛必达法则2相同. 例5。

洛必达法则洛必达法则

洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

洛必达法则

此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得
1 1 x sin sin x x x 0 lim lim x 0 x 0 sin x 1 sin x x
2
练习
3.01：（1）（ 3）
型：
1 1 0 变为型或者 0 型 0 0
1 ( x x0 ) 法线方程： y y0 f ( x0 )
（1）若 f ( x0 ) 0：切线：y y0 法线： x x0
（2）若f ( x0 ) ：切线：x x0 法线： y y0
例1 求过曲线 y x 2 2 x 4 上一点 M (k ,2k ) 处该曲线的切线和法线。解：点 M (k ,2k )是曲线上的点，所以 2k k 2 2k 4 ，解得 k 2 ，点M坐标为（2，4），又因为 y x2 (2 x 2) x 2 2 ，所以切线方程为即
y 4 2( x 2) y 2x
1 所以法线方程为 y 4 ( x 2) 2 即 2 y x 10 0
3.3函数的单调区间与极值
单调性
函数 y f ( x) 在开区间 J内可导，
f ( x) 0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x)
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )

洛必达法则公式

洛必达法则公式
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

大意为两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

设函数f(x）和f(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim f(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与f(x）都可导，且f(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/f'(x)）存有或为无穷大
则x→a时，lim(f(x)/f(x))=lim(f'(x)/f'(x))
基本认知：
⑴本定理所有条件中，对x→∞的`情况，结论依然成立。

⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim f(x)的音速皆为∞时，结论依然设立。

⑶上述lim f(x)和lim f(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。

（上述构型中0表示无穷小，∞表示无穷大。

）。

洛必达法则

洛必达法则洛必达法则（Pareto Principle）是指在许多情况下，80%的结果通常来自20%的原因。

这个法则最早由意大利经济学家洛达尔多·洛必达（Vilfredo Pareto）提出，他在19世纪末的研究中发现，意大利的财富大部分集中在少数人手中。

这个概念后来逐渐扩展到其他领域，并成为管理学、经济学、市场营销等领域中的重要理论之一。

洛必达法则的核心思想是不平等的分布规律。

在经济学中，洛必达法则可以用来解释财富分配不均的现象，即富者愈富，穷者愈穷。

在管理学中，洛必达法则可以用来解释企业中重要客户、关键任务、重要决策等只占总体的一小部分，却对整体结果起到决定性的作用。

在市场营销中，洛必达法则可以用来确定关键客户群体，投入更多的资源和精力来维护和发展这部分客户，从而取得更好的市场表现。

洛必达法则的应用非常广泛。

在个人生活中，我们常常会发现，只有极少数的活动和人际关系对我们的幸福感和成功起到决定性的作用。

比如，我们的朋友圈里只有少数几个好友对我们的生活和情感态度有深远的影响，而其他大部分人的作用相对较小。

同样，在工作中，我们可能发现只有很少的重要任务和决策对我们的能力和职业发展起到关键性的作用，而其他的琐碎工作相对较少。

洛必达法则的应用也对团队和组织管理非常有启示。

我们常常会发现，一个团队中只有少数几个核心成员能够决定大部分的结果。

这些核心成员通常具有极强的能力和经验，他们的贡献对整个团队的发展起到决定性的作用。

因此，团队的管理者应该注重培养和激励这些核心成员，为他们提供更多的机会和资源，以确保团队的成功。

在市场营销中，洛必达法则可以帮助企业识别关键客户群体。

根据洛必达法则，只有少数的顾客贡献了企业大部分的收益。

因此，企业应该重点关注这部分重要的顾客，与他们建立更紧密的合作关系，提供个性化的产品和服务，以提高客户满意度和忠诚度。

与此同时，企业还应该挖掘潜在的重要客户，以扩大市场份额和增加收益。

洛必达法则

洛必达法则如果当x →a(或x →∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim x→∞f(x)F(x)可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为00 或∞∞ 。

对于未定式00 情况有以下定理：（1）当x →a 时，函数f(x)及F(x)都趋于零（2）在点a 的某去心领域内，f ´(x)及F ´(x)都存在且F ´（x ）≠0（3）limx→∞f ´(x)F ´(x)存在（或为无穷大）则lim x→a f(x)F(x)=lim x→a f ´(x)F ´(x)对于未定式∞∞情况有以下定理：（1）当x →∞时，函数f(x)及f(x)都趋于零（2）当|x |>N 时f ´(x)与F ´(x)都存在，且F ´(x)≠0（3）limx→∞f ´(x)F ´(x)存在（或无穷大）则lim x→∞f(x)F(x)=lim x→∞f ´(x)F ´(x)例：1、求lim x→0sin ax sin bx (b ≠0) 解：lim x→0sin ax sin bx =lim x→0a cos ax b cos bx =a b2、求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x−1 解：lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1=lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x 6x−2=32 3、求limx→+∞ln xx n (n>0) 解：limx→+∞ln x x n =lim x→+∞1x nx n−1=lim x→+∞1nx n =0（一些0·∞、∞-∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通过00或∞∞型的未定式来计算）例：求lim x→0+x n ln n (n >0) 解：lim x→0+x n ln x =lim x→0+ln x x −n =lim x→0+1x −nx −n−1=lim x→0+(−x n )=0▗导数不存在情况①导数不存在点即函数不可导点②函数在该点不连续，且该点是函数的第二类间断点。

洛必达法则

注 7º 对数列极限不能直接用洛必达法则.
1
例7如：lim ln n×= lim n = 0
n→∞ n n→∞ 1
数列极限与函数极限关系：
lim f ( x) = A ⇔
x→a
∀{xn}: xn → a(n → ∞),
正确解：
∞型 1
xn
≠
a, 有 lim
n→∞
f
( xn )
=
A.
∵
lim
ln x ∞ = lim
= lim
x→+∞
λ2eλ x
=⋯
∞型 ∞ ∞型 ∞ ∞型 ∞
n!
= lim
x→+∞
λneλ x
= 0.
例4-1 求 lim ln(1 + x2 ) .
0型
x→0 sec x − cos x
0
解原式 = lim
x2
x→0 sec x − cos x
等价无穷小代换
= lim
2x
x→0sec x tan x − (− sin x)
0型
等价无穷0小量代换
解
原式 =
lim ex . lim
x→0 x→0
xe x
+
x − 2ex x3
+
2
0型 0
非零因子单独求极限
xex+ ex+ 1− 2ex
= lim
x→0
3x2
洛必达法则
=
lim
xex + 2ex − 2ex
=
ex lim
= 1.
x→0
6x
x→0 6 6
例5-3 求 lim

洛必达法则洛必达法则

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。