焦半径公式

合集下载

焦半径公式记忆口诀

焦半径公式记忆口诀全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：焦半径公式是物理学中非常重要的一个公式，用来描述光学器件（如透镜、凸透镜等）的焦距与曲率半径之间的关系。

学生们在学习这一公式时，经常会遇到记忆不牢固的问题。

制作一份关于焦半径公式的口诀是非常必要的。

下面我将为大家介绍一份简单易记的焦半径公式口诀。

我们来回顾一下焦半径公式的原理。

焦半径公式是根据透镜成像规律推导出来的，其表达形式为：\frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})f为透镜的焦距，n为透镜的折射率，R_1和R_2分别为透镜的两个曲率半径。

这个公式是非常重要的，因为通过这个公式我们可以计算出透镜的焦距，从而确定成像位置。

接下来，让我们来看看如何记忆这个公式。

我给大家编写了一个口诀，希望能够帮助大家记忆焦半径公式：焦半径关系公式是焦中心求半径就对了透镜焦距除同负，焦半径之和定反之则焦半径之差焦半径关系公式牢记心中光学器件真不易，理解需付出心机勤动脑更重要，公式口诀记牢听这个口诀是根据焦半径公式的表达形式进行了简化和提炼，方便大家记忆。

通过这个口诀，我们可以轻松记住焦半径公式的公式形式和推导思路。

总结一下，通过以上的介绍，我们不仅了解了焦半径公式的原理和重要性，还学会了如何通过口诀来记忆这一重要的公式。

希望这份口诀可以帮助大家更好地掌握焦半径公式，提高物理学习的效率和成绩。

【2000字已达】。

第二篇示例：焦半径公式是物理学中一个非常重要的概念，它用来描述光学系统中的聚焦能力。

焦半径公式是由光学学家发现的，它是用来计算透镜或镜片的焦距以及聚焦能力的关键参数。

在实际工程应用中，我们经常需要使用焦半径公式来设计光学系统，确保系统具有良好的聚焦性能。

焦半径公式的记忆口诀有很多种，下面我给大家介绍一种简单易记的口诀：“焦半径公式记忆要点，求焦距用透镜厚心远；水接气常乘焦半径，透镜实快值边参照。

”这句口诀包含了焦半径公式的要点，下面我们来逐步解读：1. “焦半径公式记忆要点”：首先要强调重要性，记忆焦半径公式是非常关键的。

圆锥曲线焦半径公式及其应用(解析版)

圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF 0ex a +，=2PF 0ex a -，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF 0ey a +，=2PF 0ey a -，记忆方式：长加短减2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF a ex +0，=2PF a ex -0，②当点P 在左支上时，=1PF a ex --0，=2PF a ex +-0，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF a ey +0，=2PF a ey -0，②当点P 在下支上时，=1PF a ey --0，=2PF a ey +-0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB 过左焦点，则=AB a x x e 2)(21-+-；若弦AB 过右焦点，则=AB ax x e 2)(21-+3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +（2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +-（3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +（4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +-例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6解法1：（基本不等式）由题意知621=+MF MF ，所以21MF MF ⋅9)2(221=+≤MF MF 当且仅当321==MF MF 时等号成立，所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C 解法2：（焦半径公式）设点),(00y x M ，则由题意知355,2,3=====a c e c b a ，所以9959)353)(353(200021≤-=-+=⋅x x x MF MF ，当且仅当00=x 时等号成立所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为解析：设点),(00y x M ，则由题意知211F F MF =，所以⇒=+c ex a 203832600=⇒=+x x 所以点M 的坐标为)15,3(例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x 解析：由题意知3,6,24,2====e c b a ，222300002=⇒=-=-=x x x a ex PF 例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解法1：51651645tan 0221=⇒⨯===∆P P F PF y y b S ，即点P 到x 轴的距离为516解法2：设点),(00y x P ，不妨设点P 在右支上，则由21PF PF ⊥得2212221F F PF PF =+25269100)335()335(202020=⇒=-++⇒x x x ，所以25256)14(322020=-=x y 5160=⇒y 即点P 到x 轴的距离为516例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47解析：设点),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点),(00y x M ，则25341412121=+⇒=+++=+x x x x BF AF ，从而452210=+=x x x ，故选C 例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=解法1：设点),(00y x M ，则255200p x p x MF -=⇒=+=，即),25(0y pM -，MF 的中点为)2,25(0y B ，以MF 为直径的圆过点)2,0(，所以MF AB 21=，所以4425)22(425020=⇒=-+y y ，又点M 在抛物线上，所以2)25(216=⇒-=p p p 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C解法2：设点),(00y x M ，因为以焦半径为直径的圆与y 轴相切，所以MF 的中点的纵坐标为2，所以40=y ，所以p p x 82160==，所以2528=⇒=+=p pp MF 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C 注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222cos 2c a ab -；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θsin 2c a b -；=BF θsin 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222sin 2c a ab -；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；=AB α2222cos 2c a ab -，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为通径（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF a c b -θcos 2；=BF ac b +θcos 2；=AB 2222cos 2a c ab -α，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为实轴长a23.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF θcos 1-p ；=BF θcos 1+p；=AB θ2sin 2p （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF θsin 1-p ；=BF θsin 1+p ；=AB θ2cos 2p例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF 解法1：（设线韦达定理）略解法2：（点差法）略解法3：（角度形式的焦半径公式）设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以θθθ2cos 412cos 23cos 23-=++-=+=BF AF AB θθθθ2cos 43cos 2cos 2cos -=-=+-==BF AF BFAF AF NF MF ，所以=AB MF 41例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以=λ3411=+BF AF例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为解析：设直线AC 的倾斜角为θ，则θθθ222222cos 334cos 3232cos 2-=-⨯⨯=-=c a ab AC θθ202sin 334)90(cos 334-=+-=BD 所以)sin 3)(cos 3(242122θθ--=⋅=BD AC S ABCD 2596)2sin 3cos 3(24222=-+-≥θθ，所以四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 解析：设θ=∠AFO ，则a b a c a c b a c b AF 2cos 222=+⋅=+=θ所以222sin b a AF a ==θ，又c b=θsin ，所以c b b a =22⇒=-⇒=⇒232234)1(2e e c a b 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程解析：设AB 的倾斜角为θ，则77216cos 25942cos 222222=-⨯⨯=-=θθa c ab AB 53cos ±=⇒θ所以34tan ±=θ，所以直线AB ：)5(34+±=x y 即02034=+-y x 或02034=++y x例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθ22sin 4sin 2==p AB ，所以θθ202cos 4)90(sin 2=+=p DE 所以16)11(4)cos )(sin cos 1sin 1(4)cos 1sin 1(42222222=+⨯≥++=+=+θθθθθθDE AB 当且仅当4πθ=时等号成立，所以16)(min =+DE AB 三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e 11+-λλ；=e 21k+11+-λλ（2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则11sin +-=λλθe ；=e 211k +11+-λλ例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为解析：32121260cos 0=⇒+-=e e 例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为解析：设BD 的倾斜角为θ，则311212cos =+-=θe ，又e a c ==θcos ，所以33312=⇒=e e 例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2解析：33cos 211313cos 2311cos =⇒=+-=⇒+-=θθλλθe ，所以2tan ==θk例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为解析：由题意知a b ab MF 44222=⇒==--------------------------------------①由N F MF N F MN 11145=⇒=，所以531414cos =+-=θe ，又2422cos 121-=-==a c a c MF F F θ，所以532=-⋅a c a c -------------------------------------------------------------------------②联立①②得72,7==b a ，所以椭圆的方程为1284922=+y x。

双曲线角度焦半径公式

双曲线角度焦半径公式
双曲线是一种重要的数学曲线，它具有许多特殊的性质和公式。

其中，双曲线的焦半径公式是描述双曲线焦点到曲线上任意一点的
距离的公式。

对于双曲线的标准方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点到曲线上任意一点的距离可以用焦半径公式来表示。

设双曲线
的焦点为F1（c, 0）和F2（-c, 0），则曲线上任意一点P（x, y），其到两个焦点的距离之差等于常数2a。

即PF1-PF2=2a。

根据点到点的距离公式，可以得出焦半径公式为：
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$。

这就是描述双曲线焦点到曲线上任意一点的距离的焦半径公式。

从几何角度来看，焦半径公式可以帮助我们理解双曲线的形状
和性质。

它表达了双曲线上各点到两个焦点的距离之差为常数的特性，这也是双曲线与椭圆和抛物线不同的地方之一。

通过这个公式，我们可以更深入地理解双曲线的几何特性。

另外，焦半径公式还可以帮助我们进行双曲线的图形绘制和分析。

通过计算不同点到焦点的距离，我们可以确定双曲线的形状和位置，从而更好地理解和利用双曲线的性质。

总之，焦半径公式是描述双曲线焦点到曲线上任意一点的距离的重要公式，它有助于我们从数学和几何角度理解和应用双曲线的性质。

希望这个回答能够全面地解答你的问题。

高中数学-抛物线焦半径公式及应用

高中数学-抛物线焦半径公式及应用
概述
抛物线是高中数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学和
自然科学中应用广泛。

本文将介绍抛物线焦半径公式及其应用。

焦点和焦半径
抛物线是一个特殊的几何曲线，由平面上到一个定点（焦点）
和定直线（准线）的距离相等的所有点组成。

焦半径是从焦点到抛
物线上任意点的距离。

抛物线焦半径公式
抛物线的方程一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。

根据焦半径定义，我们可以得到焦半径公式：
r = |2a| / (4a^2 + 1)
其中，r表示焦半径，a表示抛物线的系数。

应用示例
1. 镜面反射
抛物面镜是一种应用抛物线形状的透镜。

当光线从无穷远处射到抛物面镜的表面上时，会聚到焦点上。

抛物线焦半径公式可以帮助我们计算光线在抛物面镜上的反射和折射。

2. 轨迹预测
在物理学中，抛物线常用于描述物体在受重力和空气阻力作用下的运动轨迹。

通过抛物线焦半径公式，我们可以计算出物体在不同速度和角度下的最大射程和最大高度。

总结
抛物线焦半径公式是高中数学中重要的工具之一，它可以应用于物理学、工程学等领域。

通过理解公式的含义和应用示例，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。

参考文献：
以上为800字的文档内容。

证明焦半径公式

证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。

（一）椭圆的标准方程。

设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。

（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。

- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。

- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。

2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。

椭圆的焦半径公式

椭圆的焦半径公式椭圆是一种常见的几何形状，它有两个焦点和一个不变的总长度。

在数学中，椭圆可以通过其焦点到弦的距离比的平方等于1的定义来描述。

焦半径是一个用来描述椭圆形状的参数，它是从焦点到椭圆上的一点的距离。

下面将介绍椭圆的焦半径公式以及其推导过程。

在椭圆上任意取一点P，并设其距离左焦点F1的距离为r1，距离右焦点F2的距离为r2、根据椭圆的定义，可以得到以下的等式：(r1+r2)^2=(2a)^2其中，2a表示椭圆的长轴长度。

接下来，我们将推导出焦半径公式。

将焦点F1处的坐标设为(-c,0)，焦点F2处的坐标设为(c,0)。

椭圆的离心率定义为c/a。

根据离心率的定义，我们可以得到以下等式：c^2=a^2-b^2其中，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。

将上述等式代入到等式(r1+r2)^2=(2a)^2中，可以得到：(r1+r2)^2=(2a)^2[(r1+r2)^2]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=1[(r1^2+2r1r2+r2^2)]/(4a^2)=[(r1^2+r2^2-b^2)]/(a^2)（将c^2=a^2-b^2代入）r1^2+2r1r2+r2^2=4a^2-4b^2接下来，我们对等式进行处理，得到焦半径公式。

注意到等式左边可以写为一个完全平方的形式，可表示为(r1+r2)^2，因此我们将等式进行如下变形：r1^2+2r1r2+r2^2=(r1+r2)^2=4a^2-4b^2r1^2+r2^2+2r1r2=4a^2-4b^2(r1-r2)^2=4a^2-4b^2r1-r2=±2√(a^2-b^2)r1+r2=2a将上述两个等式相加，可以得到：2r1=2a±2√(a^2-b^2)r1=a±√(a^2-b^2)类似地，对焦点F2处的坐标进行处理，可以得到：r2=a∓√(a^2-b^2)因此，我们得到了椭圆的焦半径公式，即：r1=a±√(a^2-b^2)r2=a∓√(a^2-b^2)需要注意的是，焦半径的计算需要知道椭圆的长轴长度a和短轴长度b。

焦半径公式推导及应用

焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。

今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。

先来说说啥是焦半径。

简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。

那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。

那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。

再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。

把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。

经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。

这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。

咱再来说说双曲线。

设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。

同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。

高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式

第9讲两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=，设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=，所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =，易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−，所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥，当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=，则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−，所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−，所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=，从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−，显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==，从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°，如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点，此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=，故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。

圆锥曲线焦半径公式带倾斜角

圆锥曲线焦半径公式带倾斜角圆锥曲线是数学中的重要概念，也是物理、工程等学科中经常用到的基本元素。

其中，焦半径是一个非常重要的参数，可以帮助我们更好地理解和分析圆锥曲线的性质。

本文将详细介绍焦半径公式，并结合倾斜角进行阐述，以期为读者提供有用的参考和指导。

首先，我们需要了解什么是焦半径。

简单来说，焦半径就是一段线段，它连接圆锥曲线上一个点和该曲线上对应的焦点。

圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型，每种类型的焦半径公式略有不同，下面就分别介绍。

对于椭圆，其焦半径公式为：$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}}$其中，$a$为长轴长度，$e$为离心率，$\theta$为与长轴成的角度，$r$为焦半径。

需要注意的是，当$\theta$为零时，即短轴与焦半径重合，此时公式无法计算。

对于双曲线，其焦半径公式为：$r=\frac{a(e^2-1)}{e\cos{\theta}-1}$其中，$a$为距离焦点最近的顶点到直线的距离，$e$为离心率，$\theta$为与距直线最近的顶点连线成的角度，$r$为焦半径。

对于抛物线，其焦半径公式为：$r=\frac{p}{2}(1+\cos^2{\theta})$其中，$p$为抛物线的焦距（焦点到顶点的距离），$\theta$为与焦点相对的对称轴的夹角，$r$为焦半径。

接下来，我们来看看如何利用倾斜角来计算圆锥曲线的焦半径。

倾斜角是指圆锥曲线所在平面与$xy$平面的夹角，通常用$\alpha$表示。

不同类型的圆锥曲线具有不同的倾斜角范围，一般可参考如下表格：类型|倾斜角范围----|------椭圆|$-90°\leq\alpha\leq90°$双曲线|$0°\leq\alpha\leq90°$或$-90°\leq\alpha\leq0°$抛物线|$0°\leq\alpha\leq90°$或$-90°\leq\alpha\leq0°$对于椭圆和双曲线，其倾斜角对焦半径的影响比较明显，可以通过对焦半径公式进行简单的修正来计算。

抛物线焦半径公式的三角形式及应用

抛物线焦半径公式的三角形式及应用设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点为F(x1, y1)，过F的直线方程为y = mx + c，焦点到抛物线上任意一点P(x, y)的线段与该点的切线方程为y = nx + k，其中m、n分别为两个斜率，c、k分别为两个截距。

根据焦点到直线的距离等于焦点到点P的距离，可以得到焦半径公式如下：√((x-x1)²+(y-y1)²)=，(n-m)x+(k-c)，/√(n²+1)将直线方程y = mx + c代入，得到：√((x-x1)²+(y-y1)²)=，(n-m)x+(k-c)，/√(n²+1)即√(1+m²)x²-2x(x1+m(y-y1))+(x1²+(y-y1)²)=n²x²+(n²+1)(k-c)²通过对等号两边展开平方，并整理得到焦半径公式的三角形式：(x1²+(y-y1)²-(n²+1)(k-c)²)/((1+m²)-n²)=x(x-x1)²/((1+m²)-n²)这个公式可以用于求抛物线上任意一点与焦点的距离，以及点到线的距离。

1.几何学中，可以利用焦半径公式计算抛物线上的点到焦点的距离。

这在解决一些求角度、长度等几何问题中非常有用。

2.物理学中，焦半径公式可以用于分析抛物线轨迹的反射、折射等问题。

例如，当抛物线上的点物体受到反射、折射等作用时，可以利用焦半径公式计算相应的角度、距离等，从而研究其光学、声学等性质。

3.工程学中，焦半径公式可以应用于光学系统设计、天线设计等领域。

例如，反射望远镜的设计中，可以利用焦半径公式计算焦点位置，从而确定焦点到探测器的距离，进而进行光学系统的优化设计。

4.生物学中，焦半径公式可以用于研究生物体表面的形态、结构等问题。

焦半径公式的推导过程

焦半径公式的推导过程
焦半径公式的推导：
利用双曲线的第二定义：设双曲线其左右焦点，则由第二定义：同理即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式，同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式。

其中分别是双曲线的下上焦点。

注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。

正椭圆=1(ab0)或ρ=ep/(1-cosθ)。

正椭圆=1(ab0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(e1)的焦半径有许多有趣的结论。

椭圆上任意一点的焦半径性质1椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上任意一点T(x_0,y_0)的两焦半径分别为|TF_1|=a+es。

|TF_2|=a-ex。

(其中F_1、F_2为左、右焦点,以下均同)。

若焦半径的倾角为θ,则|T_1F_1|=b~2/(a-
ccosθ),T_2F_2|=b~2/(a+ccosθ)(c=(a~2-b~2)~(1/2)性质2椭圆
x~2/a~2-y~2/b~2=1上任一点T的两焦半径的乘积,(1)其最大值为
a~2,最小值为b~2;(2)与a~2b~2的比是中心到过T点的椭圆切线的距离。

极坐标的公式ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数）。

椭圆的焦半径公式及其拓展

1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。

2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=，根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。

焦半径的推导公式

焦半径的推导公式焦半径是光学中一个非常重要的概念，它是指一束光线经过透镜后在焦点处形成的光斑的半径。

焦半径的大小直接影响着透镜成像的清晰度和质量。

因此，研究焦半径的大小和求解其推导公式具有重要的理论和实际意义。

1. 焦距的定义在研究焦半径的推导公式之前，我们需要了解焦距的概念。

焦距是指透镜将平行光线聚焦成的像与透镜的中心面的距离。

焦距的大小与透镜的曲率半径和折射率有关系，可以用下面的公式进行计算：1/f = (n-1)(1/R1 - 1/R2)其中，f为透镜的焦距，n为透镜的折射率，R1和R2为透镜的两个曲率半径。

2. 焦半径的定义在透镜的焦点处，光线会聚成一个光斑。

焦半径是指这个光斑的半径，通常用r表示。

焦半径的大小与光线的波长、透镜的曲率半径和入射光线的孔径有关系。

3. 焦半径的计算方法为了求解焦半径的推导公式，我们需要先了解焦半径的计算方法。

在光学中，焦半径的计算方法有两种，分别是几何光学方法和物理光学方法。

3.1 几何光学方法几何光学方法是一种简单的计算焦半径的方法，它假设光线是直线，不考虑光的波动性。

在几何光学方法中，焦半径可以用下面的公式进行计算：r = 0.61λf/D其中，λ为光线的波长，f为透镜的焦距，D为入射光线的孔径。

3.2 物理光学方法物理光学方法是一种更加精确的计算焦半径的方法，它将光看作是波动的电磁场，考虑了光的波动性。

在物理光学方法中，焦半径可以用下面的公式进行计算：r = λf/πd其中，λ为光线的波长，f为透镜的焦距，d为入射光线的孔径。

4. 焦半径的推导公式通过上面的介绍，我们可以看出焦半径的大小与光线的波长、透镜的曲率半径和入射光线的孔径有关系。

因此，我们可以将焦半径的大小表示为这些参数的函数。

根据物理光学方法，焦半径可以表示为：r = λf/πd将f用透镜的曲率半径R和折射率n表示：1/f = (n-1)(1/R1 - 1/R2)整理得：f = R2/(n-1)(R2-R1)将d用透镜的口径D表示：d = πD将上述公式代入焦半径公式中，得到：r = λR2D/(n-1)(R2-R1)这就是焦半径的推导公式。

椭圆焦半径公式及应用面面观

椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。

一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。

P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。

（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】由两点间距离公式，可知|PF 1|=22)(y c x ++ (1)从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -=(2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x aca +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x aca - (-a ≤x ≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=ac ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x ac a r 21【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=c a 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。

圆锥曲线的焦半径公式

圆锥曲线的焦半径公式（一）圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.(2) 若P(x 0,y 0)为椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为双曲线22x a -22y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a.②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.(2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)。