初中数学九年级《和圆有关的比例线段》
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下面，试探索PA•PB（ PC•PD ）的值等于什么？ （1）若⊙O的弦AB、CD相交于点P，试证明PA•PB=PC•PD = r²–OP².(提示：作过点P的直径） （2）若PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线，试证明PA²= PC
•PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r²（提示：作直线PO）
的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ D ）
A
（A）PC•CA=PB•BD （B）CE•AE=BE•ED
C
•P
E •O
（C）CE•CD=BE•BA （D）PB•PD=PC•PA 2、已知：Rt△ABC的两条直角边
B AD
AC、BC的长分别为3cm、4cm。 以AC为直径作圆与斜边AB交于
D •O
点D。求BD的长。 3、如图，线段AB和⊙O交于C、D，
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
B
理的推论，有
A
PA•PB=PC•PD
•P C
•O D ∵PB=PA+AB=14，
PC=10.9–r,
PD=10.9+r, ∴(10.9–r)(10.9+r)=6×14. 取正数解，得 r=5.9(cm). ∴ ⊙O的半径为5.9cm.
练习
1、选择题：如图， ⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
一、复习相交弦定理：
过P引圆的两条弦C
A 弦和直径垂直时 A
• P
•P
C •P •O D
点在圆内
B
D
PA•PB=PC•PD
B PA²=PB²=PC•PD
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项。
思考：若点P在圆外时，过P引圆的两条直线，则有又会有什 么情况发生？
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
圆的交ຫໍສະໝຸດ Baidu的两条线段长的积相等。（常称之为“割线定理”）
例1、已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB
=8cm,PO=10.9cm，求⊙O的半径。
解：设⊙O的半径为r，PO和它的延
长线交⊙O于C、D。根据切割线定
•P 点P在圆外
A •P
B A
•P C
A •P
C
切线长定理 PA=PB
切线与割线
？
PA²=PC•PD D B
割线与割线
？
PA•PB=PC•PD D
A
•P
•O
C
D
切线与割线
T B
A •P
C D
割线与割线
已知：PA切圆O于点A，PCD是割线，C、
D是它与圆O的交点。
求证：PA²=PC•PD
分析：要证PA²=PC•PD，需证 则必先证ΔPAD ∽ ΔPCA。
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再 打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元
直接计算
2
练8习2、下列与 2 是同类二次根式 的是( 10)
B
AC=BD，AE、BF分别切⊙O于
Γ FC
E、F。求证：AE=BF。
•O
AC
D
B
E
小结：
1、我们已经学习了下列有关的定理和推论：
相交弦定理 CA
•P
BD PA•PB=PC•PD
割线定理
切割线定理
PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD
切线长定理 （B）
（D） PA=PC
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两 条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点 A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
例1、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（ A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）
）。
类比：点A为数轴上表示-2的动点，
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧 ，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要 知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判 断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到 正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题 思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占 用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基 本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
PP—AC
=
—PPAD，
证明：连结AC、AD。
∠PAC=∠D ∠APC=∠DPA
PP—AC = PP—AD
ΔPAD∽ ΔPCA PA²=PC•PD
思考：当从P点向圆引两条割线时， 则PA•PB=PC•PD是否成立？
（分析：可从P点向圆引一条切线PT， 则有PA•PB，PC•PD都等于PT²）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
2、相交弦定理，切割线定理及其推论，经常用于证线段的比 例式或等积式，证明线段相等，角相等，且直线平行或垂直等。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理 ）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还 是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重 合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
•PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r²（提示：作直线PO）
的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ D ）
A
（A）PC•CA=PB•BD （B）CE•AE=BE•ED
C
•P
E •O
（C）CE•CD=BE•BA （D）PB•PD=PC•PA 2、已知：Rt△ABC的两条直角边
B AD
AC、BC的长分别为3cm、4cm。 以AC为直径作圆与斜边AB交于
D •O
点D。求BD的长。 3、如图，线段AB和⊙O交于C、D，
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
B
理的推论，有
A
PA•PB=PC•PD
•P C
•O D ∵PB=PA+AB=14，
PC=10.9–r,
PD=10.9+r, ∴(10.9–r)(10.9+r)=6×14. 取正数解，得 r=5.9(cm). ∴ ⊙O的半径为5.9cm.
练习
1、选择题：如图， ⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
一、复习相交弦定理：
过P引圆的两条弦C
A 弦和直径垂直时 A
• P
•P
C •P •O D
点在圆内
B
D
PA•PB=PC•PD
B PA²=PB²=PC•PD
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项。
思考：若点P在圆外时，过P引圆的两条直线，则有又会有什 么情况发生？
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
圆的交ຫໍສະໝຸດ Baidu的两条线段长的积相等。（常称之为“割线定理”）
例1、已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB
=8cm,PO=10.9cm，求⊙O的半径。
解：设⊙O的半径为r，PO和它的延
长线交⊙O于C、D。根据切割线定
•P 点P在圆外
A •P
B A
•P C
A •P
C
切线长定理 PA=PB
切线与割线
？
PA²=PC•PD D B
割线与割线
？
PA•PB=PC•PD D
A
•P
•O
C
D
切线与割线
T B
A •P
C D
割线与割线
已知：PA切圆O于点A，PCD是割线，C、
D是它与圆O的交点。
求证：PA²=PC•PD
分析：要证PA²=PC•PD，需证 则必先证ΔPAD ∽ ΔPCA。
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再 打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元
直接计算
2
练8习2、下列与 2 是同类二次根式 的是( 10)
B
AC=BD，AE、BF分别切⊙O于
Γ FC
E、F。求证：AE=BF。
•O
AC
D
B
E
小结：
1、我们已经学习了下列有关的定理和推论：
相交弦定理 CA
•P
BD PA•PB=PC•PD
割线定理
切割线定理
PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD
切线长定理 （B）
（D） PA=PC
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两 条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点 A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
例1、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（ A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）
）。
类比：点A为数轴上表示-2的动点，
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧 ，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要 知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判 断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到 正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题 思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占 用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基 本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
PP—AC
=
—PPAD，
证明：连结AC、AD。
∠PAC=∠D ∠APC=∠DPA
PP—AC = PP—AD
ΔPAD∽ ΔPCA PA²=PC•PD
思考：当从P点向圆引两条割线时， 则PA•PB=PC•PD是否成立？
（分析：可从P点向圆引一条切线PT， 则有PA•PB，PC•PD都等于PT²）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
2、相交弦定理，切割线定理及其推论，经常用于证线段的比 例式或等积式，证明线段相等，角相等，且直线平行或垂直等。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理 ）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还 是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重 合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。