人教版初中九年级上册数学
人教版初中九年级数学上册全册完整教案
人教版初中九年级数学上册全册教案第二十一章一元二次方程第1课时一元二次方程教学目标1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材P32 练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2- =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5)ax2+bx+c=0四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．•练习: 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程五、归纳小结本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业教材P34 习题22．1 1(2)(4)(6)、2．第2课时一元二次方程教学目标1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．2. 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …x2-8x+20 …问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44x 1 2 3 4 5 6 …x2+7x …列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材P33 思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……（3）铁片长x=15cm五、归纳小结本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．六、布置作业1．P34 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．第3课时直接开平方法教学目标1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3= ，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+ ，x2=-3-例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．三、巩固练习教材P36 练习．补充题：如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？老师点评：问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x•2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±2即x1=2 ，x2=-2可以验证，2 和-2 都是方程x•2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2．56x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p （p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解六、布置作业P45 复习巩固1、2．第4课时配方法教学目标1.理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．2.通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p （p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9(4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x- =0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：（8-x）（6-x）= ××8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P45 复习巩固2．3(1)(2)第5课时配方法教学目标1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略三、巩固练习教材P39 练习2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4= y+ ，x+1= y-依题意，得：y2（y+ ）（y- ）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2- ）2=y2- =±y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-所以，原方程的根为x1=- ，x2=- 例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.五、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
人教版数学九年级上册教案优秀6篇
人教版数学九年级上册教案优秀6篇中学九年级数学的学习特点和学习重点应该是什么？在这个学习阶段，教案该怎样设计，下面是小编精心为大家整理的人教版数学九年级上册教案优秀6篇，在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。
新人教版九年级上数学教案篇一1. 各种时态的被动语态结构如下：一般现在时的被动语态：主语+am / is / are (not)+过去分词一般过去时的被动语态：主语+was / were +过去分词现在完成时的被动语态：主语+have / has +been +过去分词一般将来时的被动语态：主语+will +be +过去分词过去将来时的被动语态：主语+would / should + be +过去分词过去进行时的被动语态：主语+was / were + being +过去分词过去完成时的被动语态：主语+had + been +过去分词情态动词的被动语态：情态动词+be+过去分词2. 被动语态的用法(1)不知道或没有必要说明动作的执行者是谁，不用by+动作执行者短语。
Football is played widely all over the world.全世界都广泛地踢足球。
(2)强调动作的承受者。
The bank was robbed yesterday afternoon.昨天下午这家银行遭到抢劫。
(3)作客观说明时，常采用一种被动语态句型。
It is reported that about twenty children have died of flu in the USA.据报道美国大约二十名儿童死于流感。
3. 主动语态的句子变为被动语态的步骤(1)把原句中的宾语变为主语(2)动词改为被动形式，即be+过去分词(3)原来的主语，如果需要的话，放在by后面；如果没必要，可省略。
人教版数学九年级上册教案篇二一、指导思想：以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。
数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
人教版数学九年级上册教案精选7篇
人教版数学九年级上册教案精选7篇人教版九年级上数学教案篇一一、教学思想：教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。
会用归纳演绎、类比进行简单的推理。
使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。
提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。
顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。
培养学生应用数学知识解决问题的能力。
二、抓常规课堂管理入手，严格规范课前准备，立足提高课堂效率，重视课后反思，定位规律探究。
做到：1.备好课：争取每节课前，与同组同仁们讨论、研究确定教学的重点、难点、教学目标、教法、学法，甚至例题的选用，作业的布置等等，做到五备，让每一节课上出实效，让每位学生愉悦的获得新知。
认真研究教材及考纲，明确教学目标，抓住重点、难点，精心设计教学过程，重视每一章节内容与前后知识的联系及其地位，重视课后反思，设计好每一节课的师生互动的细节。
2.上好课：在备好课的基础上，上好每一个45分钟，提高45分钟的效率，让每一位同学都听的懂，对部分基础较差者要循序渐进，以选用的例题的难易程度不同，使每个学生能“吃”饱、“吃”好。
抓住课堂45分钟，严格按照教学计划，备课组统一进度，统一练习，进行教学，精心设计每一节课的每一个环节，争取每节课达到教学目标，突出重点，分散难点，增大课堂容量组织学生人人参与课堂活动，使每个学生积极主动参与课堂活动，使每个学生动手、动口、动脑，及时反馈信息提高课堂效益。
3.注重课后反思，及时的将一节课的得失记录下来，不断积累教学经验。
精选适当的练习题、测试卷，及时批改作业，发现问题及时给学生面对面的指出并指导学生搞懂弄通，不留一个疑难点，让学生学有所获。
4.批好每一次作业：作业反映了一节课的效果如何，学生对知识的掌握程度如何，认真批改作业，使教师能迅速掌握情况，对症下药。
人教版九年级上册数学教案5篇
人教版九年级上册数学教案5篇人教版九年级上册数学教案篇1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。
4、经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
教学过程一、创设问题情境问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、加强合作，探索规律让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：提问：1、a和b有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?2、= (a≥0，b0)成立吗?为什么?请举例。
三、范例例1、计算。
教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范;(2)对于(2)可由学生自己计算。
提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便?例2、化简：(要求分母不带根号)说明：二次根式的化简要求满足以下两条：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做化简：教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
五、课堂练习P12 练习1、(3)、(4)六、小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即= (a≥0，b0)，并利用它进行计算和化简。
化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
九年级数学上册 人教版
九年级数学上册人教版一、二次函数。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1就是一个二次函数，这里a = 2，b=3，c = - 1。
2. 二次函数的图象。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)的对称轴为直线x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
3. 二次函数的性质。
- 当a>0时，在对称轴左侧（即x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（即x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。
当x =-(b)/(2a)时，y有最小值frac{4ac - b^2}{4a}。
- 当a < 0时，在对称轴左侧（即x<-(b)/(2a)），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（即x>-(b)/(2a)），y随x的增大而减小。
当x =-(b)/(2a)时，y有最大值frac{4ac - b^2}{4a}。
二、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
例如对于方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
- 配方法：将一元二次方程通过配方转化为(x + m)^2=n(n≥0)的形式，然后用直接开平方法求解。
【人教版】九年级数学上册全册教案(精选)
【人教版】九年级数学上册全册教案（精选）第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．(1)2x－1(2)mx＋n＝0(3)1x＋1＝0(4)x2＝13．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．A．0B．1C．2D．3活动2探究新知根据题意列方程．1．教材第2页问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是 2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题．问题1：填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3，2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1，t2＝－2例1解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知，得：(x＋3)2＝2直接开平方，得：x＋3＝±2即x＋3＝2，x＋3＝－ 2所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2解：略．例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p 转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5 解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略．三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 2＝4 (2)(x －2)2＝7提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程 2x 2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－c a配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2 即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac 4a 2≥0 ∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2 直接开平方，得：x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根． (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x(3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程．难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x－1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页习题6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋b2－4ac与－b－b2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x－1＝0(2)2x2＋3x－5＝0(3)13x2－2x＝0 (4)2x2＋6x＝ 3(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x2－22x＋1＝0 (x1＝2＋1，x2＝2－1)(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝7＋734，x2＝5－734)例3已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x2－5x－3＝0(2)9x＋2＝x2(3)6x2－3x＋2＝0(4)3x2＋x＋1＝02．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x ＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y。
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0002页 0036页 0081页 0107页 0173页 0225页 0252页 0274页 0307页 0336页 0393页 0437页 0492页 0494页 0518页 0537页 0567页
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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22.1 二次函数的图象和性质
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22.2 二次函数与一元二次方程
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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小结
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复习题21
第二十一章 一元二次方程
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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信息技术应用 探索干净函数的 性质
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人教版九年级上册数学教学计划(8篇)
人教版九年级上册数学教学计划一、学情分析本班学生两极分化比较严重，部分学生数学基础不够好,学习积极性不高,其中女生居多：-等。
部分男生学习习惯不太好，家长也不够重视，如：-等。
由于平时学习不够认真和扎实，我非常担心这些学生对前面所学的一些基础知识记忆不清，掌握不牢。
二、教学内容分析本学期的课本内容只剩下投影和视图这一章，因此在一周内把课本最后一章结束，接下来就是整体初中内容的有计划复习，复习的教学内容大致可分成代数、几何两大部分，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。
在《课标》要求下，培养学生创新精神和实践能力是当前课堂教学的目标。
在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，以及与生活实际相联系的应用问题。
这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐年扩大的趋势。
如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备扎实的基础知识和知识迁移能力。
因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见题解题中的通性通法须掌握。
学生解题过程中存在的主要问题：（1）审题不清，不能正确理解题意;（2）解题时自己画几何图形不会画或有偏差，从而给解题带来障碍;（3）对所学知识综合应用能力不够;（4）几何依然对部分同学是一个难点，主要是几何分析能力和推理能力较差。
三、教学计划措施1、认真研读学习课标，紧抓中考方向，了解中考的有关的政策，避免走弯路，走错路。
同时研读《中考说明》，看清范围，研究评分的标准，牢记每一个得分点。
2、扎扎实实打好基础。
重视课本，系统复习。
初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面。
现中考仍以基础的为主，有些基础题是课本的原型或改造，后面的大题是教材题目的引伸、变形或组合，复习时应以课本为主。
尤其课后的读一读，想一想，有些中考题就在此基础上延伸的，所以，在做题时注意方法的归纳和总结，做到举一反三。
人教版初中数学九年级上册 第二十一章 因式分解法
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
导入新知
21.2 解一元二次方程/
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法： x2=a (a≥0)
配方法：
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3,
x2=
2 3
．
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； 解：x2+2x+2=0，
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
21.2 解一元二次方程/
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
把方程左边因式分解，
∴x＝－－4±
－24×2－3 4×3×－1＝2±3
7 .
得(y－5)(y＋3)＝0.
∴x1＝2＋3
③x2－3x＝0；
∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±2
5 .
④x2－2x＝4.
∴x1＝3＋2
5，x2＝3－2
5 .
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
若选择②， ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3，
人教版九年级数学上册教案5篇
人教版九年级数学上册教案5篇人教版九年级数学上册教案1一、教学目标1.理解分式的基本性质.2.会用分式的基本性质将分式变形.二、重点、难点1.重点:理解分式的基本性质.2.难点:灵活应用分式的基本性质将分式变形.3.认知难点与突破方法教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形.突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.三、例、习题的意图分析1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母(或分子)，乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3.P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入1.请同学们考虑：与相等吗?与相等吗?为什么?2.说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据?3.提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3.约分：[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4.通分：[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母.人教版九年级数学上册教案2一、创设情境导入新课1、介绍七巧板师：你们玩过七巧板吗?你知道七巧板是由哪些不同的图形组成的吗?一千多年前，中国人发明了七巧板。
人教版九年级数学上册全套课件(共1001张PPT)
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是 整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 x1＝2,x2＝－1.
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9,x2＝－9；
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数
常数项
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以 为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
人教版九年级数学上册教案5篇
人教版九年级数学上册教案5篇人教版九年级数学上册教案5篇数学是一种精确的艺术，它要求我们严谨和准确地表达思想，从而减少误解和歧义。
这里给大家分享一些关于人教版九年级数学上册教案，供大家参考学习。
人教版九年级数学上册教案【篇1】教材分析：学生在三年级初步感受了生活中的平移与旋转现象，并能在方格纸上画出一个沿水平、垂直方向平移后的图形，本节课所学的图形的旋转内容是在上述基础上的进步发展，通过具体实例的展示，通过操作活动，使学生知道一个简单图形在旋转或平移的过程中，能形成一个较复杂的图形，它的学习对于培养学生的空间观念，感受数学美、运用数学知识进行设计具有重要作用。
教学要求：１、通过实例观察，了解一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程。
２、能在方格纸上画出简单图形旋转后的图形。
教学重点、难点：１、能在方格纸上将简单图形旋转９０，明确是绕哪一点进行旋转的。
２、能找出旋转或平移后的原图形。
教具准备：多媒体、三角形纸学具准备：４张扇形张、方格纸、三角形纸教学过程：一、创设情景电脑出示一组图案，请学生欣赏。
师：这些图案美吗？生：美。
师：这些图案是怎样设计的呢？生：通过旋转设计成的。
师：这些图形是怎样旋转的呢？今天我们就来学习有关图形旋转的知识，并板书课题：图形的旋转。
二、探究新知1、理解顺时针方向。
（1）师出示一个钟面模型。
（2）问：钟面上的时针是怎样旋转的呢？你能用手势比一比吗？（3）抽生比划时针转动的方向，全班一起跟着比手势。
（4）师：时针转动的方向叫顺时针方向。
板书：顺时针方向（5）师：生活中很多图形都是按顺时针方向进行旋转的。
2、体会旋转900的过程，明确是绕哪个点进行旋转的。
（1）电脑出示主题图，请学生仔细观察并思考：图a是怎样变化就得到了图b？生：图a按顺时针方向旋转就得到图b。
师：图a是以哪个点为中心，旋转多少度得到图b的？生：图a是以o点为中心旋转900得到图b的。
师：谁能用完整的语言说说图a到图b的变化过程？生：图a以o点为中心，按顺时针方向旋转900得到图b。
新人教版九年级数学上册全册课件.
新人教版九年级数学上册全册课件.一、教学内容1. 第1章：二次函数详细内容：二次函数的定义、图像、性质、二次函数的顶点式与一般式之间的转换、最值问题等。
2. 第2章：锐角三角函数详细内容：锐角三角函数的定义、图像、性质、互化公式、解直角三角形等。
3. 第3章：圆详细内容：圆的基本概念、圆的方程、圆的性质、直线与圆的位置关系等。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、锐角三角函数和圆的基本概念和性质。
2. 学会运用二次函数、锐角三角函数和圆的方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数与锐角三角函数的性质、图像的理解，圆的方程的求解。
2. 教学重点：二次函数的应用、锐角三角函数的互化公式、直线与圆的位置关系。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、草稿纸、计算器等。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中与二次函数、锐角三角函数和圆相关的实例，激发学生兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 例题讲解（1）二次函数部分：以实际案例为例，讲解二次函数的性质、图像、顶点式与一般式的转换等。
（2）锐角三角函数部分：通过具体例题，讲解锐角三角函数的定义、图像、性质、互化公式等。
（3）圆部分：结合实例，讲解圆的方程、性质、直线与圆的位置关系等。
3. 随堂练习设计具有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数：定义、图像、性质、顶点式与一般式的转换。
2. 锐角三角函数：定义、图像、性质、互化公式。
3. 圆：方程、性质、直线与圆的位置关系。
七、作业设计1. 作业题目：（2）锐角三角函数：已知直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，求第三个锐角的正弦、余弦、正切值。
（3）圆：已知圆的方程为(x2)^2+(y3)^2=25，求圆心坐标和半径。
2. 答案：（1）解：x^25x+6=0，解得x1=2，x2=3。
人教版九年级数学上册全册完整优质课件
人教版九年级数学上册全册完整优质课件一、教学内容二、教学目标通过本节课学习，我希望学生能够掌握一元二次方程、二次函数、圆基本性质及概率初步等知识，培养他们解决实际问题能力，提高数学思维和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点本节课教学难点在于二次函数图像与性质理解、圆与直线关系判定以及概率计算。
教学重点是一元二次方程求解方法、二次函数顶点坐标求法以及圆方程。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：学生用书、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中实例，引入一元二次方程、二次函数等概念，激发学生兴趣。
2. 例题讲解：（1）求解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。
（2）二次函数y = x^2 2x 3图像及顶点坐标求法。
（3）圆方程x^2 + y^2 = 4图像及性质。
（4）计算随机事件A和B同时发生概率。
3. 随堂练习：针对每个知识点设计相应练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。
六、板书设计1. 一元二次方程求解方法、判别式。
2. 二次函数图像、性质、顶点坐标求法。
3. 圆方程、性质、圆与直线关系。
4. 概率计算、随机事件独立性。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求解一元二次方程：x^2 3x 4 = 0。
（2）求二次函数y = x^2 4x + 3顶点坐标。
（3）已知圆方程为x^2 + y^2 4x 6y + 9 = 0，求圆半径和圆心坐标。
（4）计算随机事件A和B同时发生概率，已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(AB) = 0.12。
2. 答案：（1）x1 = 1，x2 = 4。
（2）顶点坐标为（2，1）。
（3）半径为2，圆心坐标为（2，3）。
（4）P(A∩B) = 0.12。
八、课后反思及拓展延伸本节课结束后，我将反思教学过程中不足之处，并根据学生掌握情况，对教学内容进行适当调整。
同时，针对学有余力学生，我会设计一些拓展延伸题目，提高他们数学思维能力和解决问题能力。
人教版九年级数学上册全册教案及作业题(带答案)
人教版九年级数学上册全册教案及作业题（带答案）【导语】人教版九年级数学上册全册教案及作业题（带答案），以下是由无忧考网整理发布。
《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．（3）掌握•＝（a≥0，b≥0）， = •； = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结 2课时 21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键 1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（，）．问题2：由勾股定理得AB= 问题3：由方差的概念得S= .二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、- 、、（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、- 、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥- 由②得：x≠-1 当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义．例4(1)已知y= + +5，求的值．(答案:2) (2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．教材P8复习巩固1、综合应用5． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（） A．- B． C． D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（） A． B． C． D． 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B． C． D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3．若+ 有意义，则=_______． 4.使式子有意义的未知数x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0）2．3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= ． 2．依题意得：，∴当x>- 且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义． 3. 4．B 5．a=5，b=-4。
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教学时间课题26.1二次函数（2）课型新授课教学目标知识和能力使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
过程和方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程情感态度价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
教学准备教师小黑板学生教材、练习本课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。
交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。
四、归纳、概括函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题；(1)X A、X B大小关系如何?是否都小于0？(2)y A、y B大小关系如何?(3)X C、X D大小关系如何?是否都大于0?(4)y C、y D大小关系如何?(X A<X B，且X A<0，X B<0；y A>y B；X C<X D，且X C>0，X D>0，y C<y D)其次，让学生填空。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。
思考以下问题：观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?让学生讨论、交流，达成共识，当a<O时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。
图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。
作业设计必做教科书P14：3、4选做教科书P14：8教学反思教学时间课题26.1 二次函数（3）课型新授课教学目标知识和能力使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
过程和方法让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
情感态度价值观师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦教学重点会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b 与函数y＝ax2的相互关系教学难点正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系教学准备教师小黑板学生教材、练习本教学时间课题26.1 二次函数（7）课型新授课教 学 目 标知 识 和 能 力 1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。
过 程 和 方 法 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
情 感 态 度 价值观教学重点 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围教学难点 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围教学准备教师小黑板学生教材、练习本课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、复习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y ＝6x 2＋12x ； (2)y ＝－4x 2＋8x －10[y ＝6(x ＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；y ＝－4(x －1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标是(1，－6))2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? (函数y ＝6x 2＋12x 有最小值，最小值y ＝－6，函数y ＝－4x 2＋8x －10有最大值，最大值y ＝－6) 二、范例有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题； 例1、要用总长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?解：设矩形的宽AB 为xm ，则矩形的长BC 为(20－2x)m ，由于x ＞0，且20－2x ＞O ，所以O ＜x ＜1O 。
围成的花圃面积y 与x 的函数关系式是 y ＝x(20－2x) 即y ＝－2x 2＋20x配方得y ＝－2(x －5)2＋50所以当x ＝5时，函数取得最大值，最大值y ＝50。
因为x ＝5时，满足O ＜x ＜1O ，这时20－2x ＝10。
所以应围成宽5m ，长10m 的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 教学要点(1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程：解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。
商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OOx 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。
所以当x ＝12时，函数取得最大值，最大值y ＝225。
所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。
例3。
用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。
应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题：(1)若设做成的窗框的宽为xm ，则长为多少m? (6－3x2m)(2)根据实际情况，x 有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。
让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x ＞0，且6－3x2＞0，即解不等式组⎩⎨⎧x ＞06－2x 2＞0，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O ＜x ＜2，所以x 的取值范围应该是0＜x ＜2。
(3)你能说出面积y 与x 的函数关系式吗?(y ＝x ·6－3x 2，即y ＝－32x 2＋3x)小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题。
三、课堂练习：P13 练习。
四、小结： 1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?2．谈谈你的收获和体会。
作业 设计 必做 教科书P15：9 选做 教科书P15：10教学 反思一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为0.8m 。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m 。