无界函数的广义积分

1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
b
c
f ( x)dx}
称此极限为广义积分的柯西主值,记为
PV . . f ( x)dx lim{
a
0
a
f ( x)dx
b
c
f ( x)dx}
2.无穷积分的柯西主值
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 如果 极限
A
lim

A
A
f ( x)dx
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
思考题
积分 0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x 1
思考题解答
积分 0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1
x 1
b
b
c
b
f ( x )dx
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
例1 计算广义积分 0 解
a
dx a2 x2
(a 0).
lim
x a 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点
ⅱ．当 f ( x)dx 发散时， g ( x)dx 也发散．
a a
b
bFra Baidu bibliotek
比较判别法的极限形式:
设函数 f ( x), g ( x) 在 ( a, b] 上连续非负，且以
f ( x) a 为瑕点，若极限 lim l 存在，则 xa g ( x)
ⅰ．当 0 l 时， f ( x)dx 与 g ( x)dx 具有相
第2节 无界函数的广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2
b
设函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上连续，而在
点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间(a , b]上的广义积分，记作a f ( x )dx .
根据比较判别原理,
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
例：讨论下列瑕积分的收敛性：
（ 1 ）
解:(1)
1 0
ln x x
dx；
x (2) dx 1 ln x
2
由于
ln x x
0, x (0 ,1]，所以考虑
ln x x
再因为 lim (
b
b
b
阿贝尔判别法
定理 设积分 a f(x)dx 仅以 a 为瑕点 ⅰ若 a
b
b
f ( x)dx 收敛，
ⅱ g ( x )在 ( a, b] 上单调， ⅲ g ( x )在 ( a, b] 上有界， 则 a f ( x) g ( x)dx 收敛。
b
例１
1 sin 1 x dx, (2 r 0) 讨论积分 0 x r
c
散，且有
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
b
c
b
性质 3 设函数 f 瑕点为 x a ， 在任何有限 区间[u, b] 上可积，则当 | f ( x ) | dx 收敛，则
a b
a f ( x )dx 也收敛，且
| a f ( x )dx | a | f ( x ) | dx
x 此时p 1 ， 1, 所以 dx是发散的。 1 ln x
2
四.柯西主值
1.瑕积分的柯西主值
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a c b) 外 连续，而在点 c 的邻域内无界.如果下式极限收敛，
0
lim{
b
c
a
f ( x)dx
c
由洛必达法则知
1 1 lim ( x 1) lim 1 0, x 1 0 ln x x 1 0 1 x 根据柯西极限判别法,所给广义积分发散.
1 sin 3 x dx 的收敛性. 例7 判别广义积分 1 x 1 sin 1 dx 1 x 解 ,而 收敛， ０ x x x
x
2 r
1
又
2 r x 0, ( x 0) ， 单调，且
由狄里克莱判别法，积分收敛．
ⅲ．当 r=2 时，因为
1 1 1 sin dx cos cos1 2 x ， x
当 0 时，无极限，所以积分
1
1 sin 1 x dx 0 x 2 发散．
而
0
1
ln x x
dx与
1 0
1 0
ln x x
dx是同敛散的,
所以
ln x x
dx是收敛的。
(2)
x 0, x (1, 2 ]， ln x x x 因为 lim , 所以x 1是 的瑕点 x 1 ln x ln x
x x 1 由于 lim ( x 1) lim 1 x 1 ln x x1 ln x
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x ) 在区间 (a, b) 上连续，而在点 a , b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
a f ( x )dx 和 c f ( x )dx 都收敛，则称广义积分 f ( x)dx 收敛，并定义
b a
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
lim a
b
dx 2 2 a x
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
a
例2 计算广义积分 解

2
1
dx . x ln x
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
a a
b
b
同的敛散性；
ⅱ． l 0 时，若 g ( x)dx 收敛，则 f ( x)dx 收敛；
a a
b
b
ⅲ． l 时，若 g ( x)dx 发散，则 f ( x)dx 发
a a
b
b
散．
柯西判别法的不等式形式:
设x a为f ( x)的奇点，如果| f ( x) | 如果 | f ( x) |
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
0
.
故原广义积分发散.
1 例 3 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛，当 x q 1时发散.
b b
b
三、瑕积分的判别法
比较判别法的不等式形式:
设函数 f ( x), g ( x) 在 ( a, b] 上连续非负，且都 a 为瑕点，若 0 f ( x) g ( x) 在 ( a, b] 上成立，则 ⅰ．当 g ( x)dx 收敛时， f ( x)dx 也收敛；
a a b b
例4 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
. dx
x 1瑕点
2 3
解
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )
0
1
( x 1)
0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
x 0
ln x x
) , 所以x 0是
ln x x
1 4
的瑕点
由于 lim x (
4 x 0
3
ln x x
) lim
x 0
ln x x
1 4
lim (4 x ) 0
x 0
1 ln x 3 此时p ， 0, 所以 dx是收敛的, 4 0 x
存在，则称此极限为广义积分的柯西主值，记 作
PV . .


f ( x)dx lim
A

A
A
f ( x)dx
.
注:若广义积分收敛,则它的柯西主值存 在,但反之不一定成立.
五.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
定理（狄利克雷判别法） 设积分 a f(x)dx 仅以 a 为瑕点 ⅰ若 F (u) au f ( x)dx 在 ( a, b] 上有界， ⅱ g ( x )在 ( a, b] 上单调 ⅲ g ( x )当 x a 时趋于 0， 则 a f ( x) g ( x)dx 收敛。
a
b
a [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx a f1 ( x )dx a f 2 ( x )dx
b
b
b
c (a , b) 为 性质 2 设函数 f 的瑕点为 x a ，
任一常数，则 f ( x )dx 与 a f ( x)dx 同收敛同发
b a
x a
如果0 k , p 1, 那么 f ( x)dx绝对收敛。
a
b
如果0 k , p 1, 且f ( x)在区间(a, b]内的符号不改变， 那么 f ( x)dx发散。
a b
例6
判别广义积分
3
1
dx 的收敛性. ln x
解 被积函数在点 x 1 的左邻域内无界．
的敛散性． 解 ⅰ．当 0<r<1 时，因为
sin1/ x 1 | | r , r x x ，
所以，积分绝对收敛，
ⅱ．当 r<2 时，因为
1 1 1 | 2 sin dx || cos1 cos | 2 x ， x
1 sin 1 x dx 1 x 2r 1 sin 1 dx, 0 xr 0 x2 x
u1 f ( x )dx u2 f ( x )dx u1
b
b
u2
f ( x )dx
二、瑕积分的性质
, 性质 1 设函数 f 1 与 f 2 的瑕点同为 x a ，
为任意常数，若 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛，
a a b b
则 [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx 也收敛，且
b c , c 0 , p 1 , 那么 f ( x)dx绝对收敛。 p a ( x a)
b c , c 0 , p 1 , 那么 | f ( x) | dx发散。 p a ( x a)
柯西判别法的极限形式:
设 lim( x a) p | f ( x) | k ,
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
b
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
ln x 1 lim 1, lim x 1 x x 1 x 1 0
1
x 1 不是瑕点,
ln x dx 的瑕点是 x 0. x 1
柯西收敛准质
定理( 柯西准则) 瑕积分 f ( x )dx （瑕点
a b
为 a）收敛的充要条件是：任给 0 ，存在
0 ，只要 u1 , u2 ( a , a ) ，总有