黄冈中学启黄学校中考复习第5讲 一次方程组

第二单元 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组
)
考纲要求
命题趋势
1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．
2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．
3．会列方程(组)解决实际问题.
一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.
知识梳理
一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程
1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______.
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.
三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程
(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
2．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1x ＋
b 1y ＝
c 1，
a 2x ＋
b 2y ＝
c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．
四、二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．
1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；
(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；
(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；
(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．
五、列方程(组)解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．
列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．
验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)．
六、常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系
工作效率＝工作总量
工作时间
.
(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”． 自主测试
1．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－1
2 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－1 2．方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，
2x －y ＝5的解是( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2
B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3
C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－1 3．若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为__________．
4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
考点一、一元一次方程的解法
【例1】解方程：2x ＋13－10x ＋1
6
＝1.
解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x
－10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－5
6
.
方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
考点二、二元一次方程组的有关概念
【例2】已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )
A ．4
B ．2
C ． 2
D ．±2
解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
mx ＋ny ＝8，
nx －my ＝1的解，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，
n ＝2.
∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2. 答案：B
方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
触类旁通1 已知⎩⎨⎧
x ＝2，
y ＝3
是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a
－1)＋7的值．
考点三、二元一次方程组的解法
【例3】解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，
5x ＋2y ＝23.
①②
解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③
②＋③得11x ＝33，解得x ＝3.
把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.
所以原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝4.
方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y ＝3x －5，③
把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入③得y ＝4.所以原
方程组的解为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3，y ＝4.
方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
触类旁通2 解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧
4x －3y ＝11，①
2x ＋y ＝13.②
考点四、列方程(组)解决实际问题
【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知
270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？
分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．
解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了(100－x )瓶，依题意，得2x ＋3(100－x )＝270.
解得x ＝30,100－x ＝70.
解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝100，
2x ＋3y ＝270，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝30，
y ＝70. 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶．
方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．
1．(2012重庆)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．(2012山东临沂)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，则|m －n |的值是
( )
A ．5
B ．3
C ．2
D ．1
3．(2012浙江杭州)已知关于x ，y 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝4－a ，
x －y ＝3a ，其中－3≤a ≤1.给出下列
结论：①⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝－1
是方程组的解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，
方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x ≤1，则1≤y ≤4.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④
4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )
A ．x (x －10)＝200
B ．2x ＋2(x －10)＝200
C ．2x ＋2(x ＋10)＝200
D ．x (x ＋10)＝200
5．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1.
6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．
(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；
(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．
1．已知3是关于x 的方程2x －a ＝1的解，则a 的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．7 D ．2
2．方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －y ＝2，2x ＋y ＝4的解是( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2
B ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝1
C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝0 3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品
共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400
B ．⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 4．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，
则k 的值为( )
A ．－34 B.34 C ．43 D ．－43
5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________．
6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值范围是__________．
7．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＝7，
ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．
8．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝3k －1，
x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范
围是__________．
9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
参考答案
导学必备知识 自主测试
1．B 把A 项代入方程左边＝0－2×⎝⎛⎭⎫－1
2＝右边，把B 项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C 项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D 项代入方程左边＝－1－2×(－1)
＝右边．
2．D 解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，①
2x －y ＝5，②①＋②得3x ＝6，故x ＝2，把x ＝2代入①得y ＝－1，
故⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1. 3．－1 因为把x ＝2代入方程，得4＋3m －1＝0，解得m ＝－1.
4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝10，
1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝6.
答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩． 探究考点方法
触类旁通1．解：把x ＝2，y ＝3代入方程得23＝3＋a ，解得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9. 触类旁通2．解：②×2得4x ＋2y ＝26，③ ③－①得5y ＝15，解得y ＝3，
把y ＝3代入②得2x ＋3＝13，解得x ＝5.
所以原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝3.
品鉴经典考题
1．D ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2， ∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.故选D.
2．D 把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1代入原方程组得⎩
⎪⎨⎪
⎧
3－1＝m ，1＋m ＝n ，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝2，n ＝3，则|m －n |＝1. 3．C 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2a ，y ＝1－a .
∵－3≤a ≤1，∴－5≤x ≤3,0≤y ≤4，
①⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝－1不符合－5≤x ≤3,0≤y ≤4，结论错误； ②当a ＝－2时，x ＝1＋2a ＝－3，y ＝1－a ＝3，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ③当a ＝1时，x ＋y ＝2＋a ＝3,4－a ＝3，方程x ＋y ＝4－a 两边相等，结论正确；
④当x ≤1时，1＋2a ≤1，解得a ≤0，y ＝1－a ≥1，已知0≤y ≤4，故当x ≤1时，1≤y ≤4，结论正确．
故选C.
4．D 设宽为x 米，则长为(x ＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x (x ＋10)＝200.
5．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一) 6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x )个，由题意得2x －(348－x )＝51，解得x ＝133，
∴348－x ＝348－133＝215.
答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．
解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，省外境内投资合作项目有y 个，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝348，2x －y ＝51，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝133，y ＝215. 答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个． (2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．
答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元． 研习预测试题
1．B 把x ＝3代入方程，得6－a ＝1，所以a ＝5.
2．D 两方程相加，得3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入x －y ＝2，得y ＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝0.
3．B 购买甲种奖品x 件，每件16元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12元，共花了12y 元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱
＝400元．
4．B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7k ，y ＝－2k ，
代入2x ＋3y ＝6，得到14k －6k ＝6，所以k ＝3
4
.
5．8x ＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．
6．m ＜2 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
4x －8＝0，
x －y －m ＝0，解得y ＝2－m ，
∵y ＞0，∴2－m ＞0，∴m ＜2.
7．－1 因为把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1代入方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝7，
2a －b ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝3.所以a －b ＝－1.
8．k ＞2
9．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝5.
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本．
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ＋5(48－a )≤200，
48－a ≥a .
解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。