计算方法 插值法(一)

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1 x0 x02 x0n
V 1 x1 x12
x1n
n1
n
xi x j
(x j xi ) 0
1 xn xn2 xnn
i0 ji1
由Cramer法则可知，
a0,a1,a2,...,an有唯 一解
定理1. 若插值节点 xi x j (i j) ，则满足插值条件 Pn (xi ) yi i 0,1,2,, n
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基本概念:
已知函数表
函数y=插f(值x)不节知点道或很复杂
构造 P(x)，使 P(xi ) yi f (xi ) i 0,1,2,, n
Pn (x)
插值条件 Def：P(x) 是插值函数，f(x)为被插值函数（原函数）
Pn (x) sk sin c (x xk )
三角函数
Pm,n (x)
Pm ( x) qn (x)
amxm am1xm1 a1x a0 bnxn bn1xn1 b1x b0
有理函数
非线性
Pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn
代数多项式
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y
代数多项式P(x) 的是否存在？是否唯一？
×
×
设代数插值多项式为 Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 且满足 Pn (xi ) yi i 0,1,2,, n
求作次数 n 多项式 Ln (x) ，使满足插值条件
Ln xi yi ,(i 0,1,, n)
即为拉格朗日（Lagrange）插值。
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是：把构造插值多项式 的问题转化为构造n +1个插值基函数li(x)(i=0,1,…, n)。 •插值区间I=[min(x0,x2,…,xn), max] •当所求插值点xI, 称内插(Interpolation) •当所求插值点xI, 称外推(Extrapolation)
浮点数的IEEE标准：舍入误差
当x在计算机中要求超过p个尾数位时，引起舍入误差
e* = x* - x （绝对误差）
计算机中的估计值
x*
e* < 2- p * 2E e Machine precision
相对误差 x* - x < 2- p = e
x
更多浮点数的内容见：
https://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers
南京大学大气科学学院《计算方法》
第二章 插值法和数值逼近
授课老师：汪名怀
问题提出:
表示两个变量 x ,y 内在关系一般由函数式 y=f(x) 表示，但在实际问 题中，通常有两种情况：
1 函数解析表达式 f(x) 已知，但函数形式很复杂，不便于计算， 但又需要计算多点处的函数值。
2 实验或测量得到的采样值（函数表），函数 关系式 y=f(x)未知，需要知道非采样点的值。 如果想求不在表上的函数值，怎么办?
上机作业邮箱：jsff2_nju@sina.cn
上节课内容
计算方法简介 误差，误差来源，误差估计 数值稳定性/误差的传播和积累 数值计算一些注意原则
浮点数 (float point numbers)
计算机只能代表有限、离散的数字！ 现代计算硬件上用来表示数字的标准方法是二进制
浮点数在计算机上的储存
× × ×
x0
x1 x2
x3
x4 x
即多项式 Pn(x) 的系数a0，a1，a2，… ，an满足线性方程组
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0
源自文库
a0 a1 x1 a2 x12
an x1n
y1
a0 a1 xn a2 xn2 an xnn yn
a0, a1,a2,, an是否有解？是否唯一？
的插值多项式 Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn 存在且唯一。
当 n 很大时，通过直接解线性方程组求插值多项式不是好方法! 拉格朗日插值、牛顿插值、埃特肯插值、埃尔米特插值、样条插值
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§ 2.1 拉格朗日插值 /* Lagrange interpolation */
－理论价值大于应用价值 • 此插值问题可表述为如下：
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2.1.1 线性插值与抛物线插值（由已知节点的数量决定）
一、线性插值－点斜式 已知两个节点 x0 ,x1
问题
已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求作一次式 L1(x)，使满足条件
L1(x0 ) y0 , L1(x1) y1
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
构造一个新的 x 与 y 的函数关系式 ŷ = p(x) 代替原函数式 y = f(x) 进行求
解,称为函数逼近,即数据建模过程。
便于计算，精度高
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函数逼近的两种主要形式：插值、拟合
函数逼近－插值法
是数值分析的基本工具，是数值积分、数值微分、非线性方 程求根和微分方程数值解的重要基础，许多求解计算公式都 是以插值为基础导出的
符号位
尾数位
这里位数（bit）指一个二进制位
指数位
指数E的范围： [L, U] （基本决定了计算机能代表数字的范围）
浮点数的IEEE标准
现代计算机硬件上的浮点数标准来自IEEE的浮点数算法（采纳于1985）
单精度：１符号位，23尾数位 (~7个十进位数字），及8个指数位 单精度指数位数只有254个不同E值，其中一些位数用来代表一些特 殊数字，如Inf (infinity, 1/0), NaN (Not a number, 0/0, inf/inf) 双精度：１符号位，52尾数位 (~16个十进位数字），及11个指数位