数列求通项的四种方法答案

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1

2

n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

n

a 是以1222a 11==为首项，以2

3

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例3（例2的变型） 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解

：

由

123

1

n

n n a a +=+⨯

+得

1231

n n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，

即得数列{}n a 的通项公式。

例4（例1和例2的结合）已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

111

21

3333n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333

n n n n n a a +++-=+，故 11223211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n

n n a a +=+⨯+转化为111

21

3333n n n n n a a +++-=+，进而求出11223

2111122321(

)()()(

)333333

333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，

进而求出

1

32

112

21

n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的

通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥

①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥