大学物理力学：第二章 质点力学

第二章 质点力学
本章分别讨论质点运动学和质点动力学。 对于前者重点给出速度和加速度的确切定义、相 互关系和描述方法； 对于后者，重点是理解牛顿运动定律的物理内涵， 并学习牛顿运动定律求解物理问题。
质点力学中先讨论运动学，再讨论动力学。讨论 之前对质点模型要有一个正确的认识。
1
§1 质点运动的矢量描述 1-1 质点的运动方程、轨道
(a0t
a0
2
t 2 )dt
a0 2
t2
a0
6
t3
c2
t 0时x 0c2 0
x a0 t 2 a0 t 3
2 6
9
例2、一质点沿x轴作直线运动，其位置与时间的关系 为x=10+8t-4t2,求： （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
解：直线运动中矢量可以用标量代替
平均速度
方向与x轴正向相同 10
第二秒内的 v12 8 8 4 4(m s)
平均速度
方向与x轴正向相反
（2）v x
dx dt
8 8t
初始时刻 的速度
v0 8m s
x 10 8t 4t2
与x轴正向相同
第一秒时刻 的速度
t 1 v1 0 此时转向
第二秒时刻 的速度
v2 8 m s 与x轴正向相反
线的称为曲线运动。 2
1-2 位置矢量（位矢）和位移
• 位矢和位移的概念
r
xiˆ
yˆj
zkˆ
r r (t ) 即为运动方程
在直线运动中，可用标量表示，
记作 x x(t)
一般 t 时刻，P点位矢为 r1
t+Δt 时刻在Q点位矢为 r2
P Q 位移 r r2 r1
y Q l
r2
r
P
r1
v1
瞬时加速度
a
大小a
a
dv
t
v
lim
t
0
t
dv
dv dt
d
2
r
dt 2
dt
dt
方向是 t0时速度（元）增量的极限方向。 6
加速度的方向总是 指向曲线的凹侧。
v v''
在平面运动中：
a
a x iˆ
ay
ˆj
dv x dt
iˆ
dv y dt
ˆj
v v'
v'
v
v''
d2 dt
t=0为初始时刻，初始位置和初始速度通常称为质点
来自百度文库运动的初始条件。 （1）t时刻 x 10 8t 4t 2
t t时刻 ( x x) 10 8(t t) 4(t t)2
t内位移为x 8t 8tt 4(t)2
x
v x t 8 8t 4t
第一秒内的
v01 8 0 4 4(m s)
设质点作平面运动，在平面上取坐标 O-x y，则质点P
的位置由两个坐标x、y 确定。质点运动时，x、y 随 t
变化，为t 的函数。记作:
x x(t ) 质点的
y
y(t )
运动方程。
y
p
r
在运动方程中，消去 t 得 f( x, y )=0,
此方程称为质点的轨道方程。轨道 o
x
是直线的称为直线运动，轨道是曲
例如在匀加速直线运动中可将 x(t) , V(t) , a(t) 用曲线表示，如图：
V(t)
a(t)
o x(t1) x(t2) x
x（t）
o
t
匀变速直线运动的轨道和x(t), V(t), a(t)曲线 8
例1、一质点由静止开始作直线运动初始加速度为a0， 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加 a0，
r1
x
dt t0 t
z
瞬时速率v v dr dl dr dt dt dt
平均速率v l t
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平面运动在 直角坐标系 中的描述
v
dr dt
dx dt
iˆ
dy dt
ˆj
vxiˆ vy ˆj
v
v
2 x
v
2 y
tan v y
vx
单位：m/s
1t -,4v加1 ;平速均度t 加速t是, 度表v示2 ;速a度变化快v慢的v 物 理v 2量
方向：tan y 为r与x的夹角 r r2 r1
x 4
1-3 速度
速度是描述物体运动快慢和运动方向的物理量
平均速度和瞬时速度（都是矢量）
t：
r1 r1(t)
r r2 r1
t t：
r2 r2(t t)
y Q l
平均速度 v r
r2
r
p
t
瞬时速度v (t )
dr
lim
r
通过该例说明平均速度与瞬时速度的区别！ 11
例3、用矢量表示二维运动，设
r
2tiˆ
(2
t
2
)
ˆj
求：t=0秒及t=2秒时质点的速度，
并求后者的大小和方向。
解：
v
dr
2iˆ 2t
ˆj
dt
t 0
v0
2iˆ
t 2
v
2iˆ
4
ˆj
大小： v2 22 42 4.47m / s
方向：
arctan
求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。
已知加速度
求速度
求位置
直线运动中可用 标量代替矢量
解：据题意知
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
v
adt
(a0
a0
t )dt
a0t
a0
2
t2
c1
t 0时v 0c1 0 v dx dx vdt
v
a0t
a0
2
t2
dt
x
vdt
x
其大小为PQ的距离 方向则从P指向Q
z
3
• 路程与位移的区别
路程是Δt 内走过的轨道的长度，而位移大小是质点实
际移动的直线距离，它和位矢均为矢量，路程用Δl 表
示，当Δt→0时，
r l
质点在平面内运动时，位矢为：
r (t
)
x(t )iˆ
y(t
)
ˆj
r2
r
r1
大小：
r
x2 y2
注意
r r
大小：
x
2
iˆ
a
d2y
dt 2 a
方向：tan a y
ˆj
a
2 x
a
2 y
为a与x轴
单位为m/s2
的夹角
ax
* 描述质点运动的状态参量的特性
状态参量包括： r ,
v, a
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（1）矢量性 注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性 注意瞬时量和过程量的区别 （3）相对性 对不同参照系有不同的描述。
* 运动的曲线表示法：
4 2
6326为v 2与x轴的夹角
表示矢量一定包含大小和方向 12
例4、一质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，
如t=0时，质点位于坐标原点，求：t=4.5秒时，质点
在x轴上的位置。
v(m/s)
解： x vdt
实际上可以用求面 积的方法。
2
1
0
t(s)
1234 -1
x (2.5 1) 2 (1.5 0.5) 0.8
2
2
2.7m
结论：只要知道初始条件（初始时刻的位矢、速度
或者初始时刻的加速度、速度），原则上可根据位矢、
速度、加速度的定义，求出它的运动方程。
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§2 质点运动的坐标描述
2-1 直角坐标系
一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正 交的坐标系称为正交坐标系。直角坐标系是正交坐 标系，它的基为：